5.4二元一次方程与一次函数讲义 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

5.4二元一次方程与一次函数 考点1: 二元一次方程与一次函数的关系 1. 任何一个二元一次方程都可化成一次函数的形式. 如：ax＋bу＋с＝0(a≠0,b≠0)[二元一次方程]у＝－x－ [一次函数] 2. 直线у＝kx＋b(k≠0)的表达式可以看成一个关于x，y的二元一次方程；二元一次方程的解一般有无数个，以二元一次方程у＝kx＋b(k≠0)的解为坐标的点组成的图象与一次函数у＝kx＋b(k≠0)的图象相同，是同一条直线. · 二元一次方程(组)与一次函数的关系： ①方程的解与对应函数图象上的点的坐标一一对应； ②一个二元一次方程对应着平面上的一条直线] · 二元一次方程与一次函数的区别： ①方程中的x，y是未知数，一次函数中的x，y为变量. ②二元一次方程用等式表示两个未知数的关系，一次函数可用等式或表格或图象来表示两个变量的关系. ③从数的角度，二元一次方程有无数个解；从形的角度，一次函数图象上有无数个点. 练习1. 1. 下列一次函数图象中，每个点的坐标均可以看作是二元一次方程x－3y＝3的解的是(　C　). 2. 把方程x+y=2的两组解和组成有序数对(1，1)，(0，2)，过以这两对有序数对为坐标的两点画直线l，下列各点不在直线l上的是(　B　). A.点(4，－2)　    B.点(2，1) C.点(－2，4)　    D.点(－4，6) 3. 若以二元一次方程x＋2y－b＝0的解为坐标的点(x，y)都在直线y＝－x＋1，则常数b＝(　B　). A.　    B.2 C.－1　    D.1 4. 以方程x－3y＝2的解为坐标的点都在直线y＝ x－ 5. 如图是一次函数y＝ax－b的图象，则关于x的方程ax－1＝b的解为x＝　4　.  考点2: 二元一次方程组与一次函数的关系 1. 二元一次方程组的解对应着平面上两条直线的交点 二元一次方程组的解⇔函数у＝－x＋与у＝－x＋图象的交点坐标 · 两条直线的位置与对应二元一次方程组的解之间的关系： ①两条直线有一个交点(≠)⇔方程组只有一个解； ②两条直线平行(无交点，＝) ⇔方程组无解； ③两条直线重合(有无数个交点，＝且＝)⇔方程组有无数个解. 练习2. 1. 已知直线l1：y＝2x－5与直线l2：y＝ax－b相交于点P(m，1)，则方程组的解为(　D　). A.　 B.　 C. 　D. 2. 在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b与y＝mx＋n的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解为(　D　). A.　 B.　 C. 　D. 3. 如图，直线l1，l2交点坐标可以看作是下列方程组的解的是(　A　). A. B. C. D. 4. 直线y＝ax＋2与直线y＝3x－2平行，下列说法不正确的是(　D　). A.a＝3 B.直线y＝ax＋2与直线y＝3x－2没有交点 C.方程组无解 D.方程组有无穷多个解 5. 如图，直线l1：y＝－2x＋5与x轴交于点B，与l2交于点A，直线l2与x轴交于点C(－3，0). (1)求点A的坐标； (2)求S△ABC. 答案：(1)点A的坐标为(，).(2) S△ABCC＝ 考点3: 用二元一次方程组确定一次函数的表达式 1. 待定系数法的概念 先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法，叫作待定系数法. 2. 利用二元一次方程组求一次函数表达式的步骤 利用二元一次方程组确定一次函数的表达式是求一次函数表达式的主要方法，其一般步骤如下： ①设：设函数表达式为у＝kx＋b ②代：把已知条件代入[两对对应值或图象上两点的坐标]，得到关于k，b的方程组 ③解：解方程组，求出k，b的值 ④写：将k，b的值代人у＝kx＋b，写出一次函数表达式 · 一次函数的表达式有两个参数k，b，因此要确定一次函数的表达式，需要两个条件 练习3. 1. 已知y是x的一次函数，下表列出了部分对应值： x … －2 1 3 … y … 7 －2 －8 … 则y与x的函数表达式为(　D　). A.y＝－2x＋1 B.y＝2x－3 C.y＝3x－1 D.y＝－3x＋1 2. 已知y与x的一次函数，根据下表中x与y的部分对应值可得a的值为 3 ⁠. x … －1 0 1 … y … 15 a －9 … 3. 经过(2，3)，(－1，－3)两点的直线的表达式为： y＝2x－1 4. 已知直线у＝－x＋n和直线y＝mx－2(m≠－)交于点A(－2，2)，则m＋n＝　－1 　.  5. 如图，直线AB与x轴交于点A(－4，0)，与y轴正半轴交于点B，△AOB的面积等于4，求直线AB的表达式. 答案：直线AB的表达式为：у＝x＋2 6. 如图所示，已知一次函数у＝kx＋b的图象经过A(－2，－1)，B(1，3)两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D. (1)求该一次函数的解析式； (2)求△AOB的面积. 答案：(1)一次函数的解析式为у＝x＋.(2)△AOB的面积＝. 巩固练习： 1. 下面四条直线,其中直线上的每一个点的坐标可能是二元一次方程2x－y＝6的解的是(　A　). 2. 如图，已知一次函数у＝－x＋4和y＝ax＋2(a≠0)的图象交于点M，则关于x，y的二元一次方程组的解是 　.  3. 如图，直线l1：y1＝kx＋b与y轴交于点A，与x轴交于点B(，0)，直线l2：y2＝－x＋2与y轴交于点C，与直线l1交于点D，点D到y轴的距离为2. (1)求直线l1的函数表达式. (2)请直接写出方程组的解：　　　　.  (3)求△ACD的面积. (4)在直线l1上是否存在异于点D的另一点M，使得△ACD与△ACM的面积相等?若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由. 答案：(1) 直线l1的函数表达式为y1＝2x－3；(2)；(3) S△ACD＝5；(4)存在，点M的坐标为(－2，-7) 4. 已知一次函数у＝－x＋b的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，与正比例函数у＝3x的图象交于点 C(1，a). (1)求a，b的值； (2)方程组的解为　　　　;  (3)在у＝3x的图象上是否存在点P，使得S△BOP－S△AOP＝16?若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由. 答案：(1)a＝3；b＝；(2)；(3)存在.点P的坐标为(，)或(－，－). 3 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.4二元一次方程与一次函数 考点1: 二元一次方程与一次函数的关系 1. 任何一个二元一次方程都可化成一次函数的形式. 如：ax＋bу＋с＝0(a≠0,b≠0)[二元一次方程]у＝－x－ [一次函数] 2. 直线у＝kx＋b(k≠0)的表达式可以看成一个关于x，y的二元一次方程；二元一次方程的解一般有无数个，以二元一次方程у＝kx＋b(k≠0)的解为坐标的点组成的图象与一次函数у＝kx＋b(k≠0)的图象相同，是同一条直线. · 二元一次方程(组)与一次函数的关系： ①方程的解与对应函数图象上的点的坐标一一对应； ②一个二元一次方程对应着平面上的一条直线] · 二元一次方程与一次函数的区别： ①方程中的x，y是未知数，一次函数中的x，y为变量. ②二元一次方程用等式表示两个未知数的关系，一次函数可用等式或表格或图象来表示两个变量的关系. ③从数的角度，二元一次方程有无数个解；从形的角度，一次函数图象上有无数个点. 练习1. 1. 下列一次函数图象中，每个点的坐标均可以看作是二元一次方程x－3y＝3的解的是(　 　). 2. 把方程x+y=2的两组解和组成有序数对(1，1)，(0，2)，过以这两对有序数对为坐标的两点画直线l，下列各点不在直线l上的是(　 　). A.点(4，－2)　    B.点(2，1) C.点(－2，4)　    D.点(－4，6) 3. 若以二元一次方程x＋2y－b＝0的解为坐标的点(x，y)都在直线y＝－x＋1，则常数b＝(　B　). A.　    B.2 C.－1　    D.1 4. 以方程x－3y＝2的解为坐标的点都在直线y＝ 5. 如图是一次函数y＝ax－b的图象，则关于x的方程ax－1＝b的解为x＝ .  考点2: 二元一次方程组与一次函数的关系 1. 二元一次方程组的解对应着平面上两条直线的交点 二元一次方程组的解⇔函数у＝－x＋与у＝－x＋图象的交点坐标 · 两条直线的位置与对应二元一次方程组的解之间的关系： ①两条直线有一个交点(≠)⇔方程组只有一个解； ②两条直线平行(无交点，＝) ⇔方程组无解； ③两条直线重合(有无数个交点，＝且＝)⇔方程组有无数个解. 练习2. 1. 已知直线l1：y＝2x－5与直线l2：y＝ax－b相交于点P(m，1)，则方程组的解为(　 　). A.　 B.　 C. 　D. 2. 在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b与y＝mx＋n的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解为(　 　). A.　 B.　 C. 　D. 3. 如图，直线l1，l2交点坐标可以看作是下列方程组的解的是(　 　). A. B. C. D. 4. 直线y＝ax＋2与直线y＝3x－2平行，下列说法不正确的是(　 　). A.a＝3 B.直线y＝ax＋2与直线y＝3x－2没有交点 C.方程组无解 D.方程组有无穷多个解 5. 如图，直线l1：y＝－2x＋5与x轴交于点B，与l2交于点A，直线l2与x轴交于点C(－3，0). (1)求点A的坐标； (2)求S△ABC. 考点3: 用二元一次方程组确定一次函数的表达式 1. 待定系数法的概念 先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法，叫作待定系数法. 2. 利用二元一次方程组求一次函数表达式的步骤 利用二元一次方程组确定一次函数的表达式是求一次函数表达式的主要方法，其一般步骤如下： ①设：设函数表达式为у＝kx＋b ②代：把已知条件代入[两对对应值或图象上两点的坐标]，得到关于k，b的方程组 ③解：解方程组，求出k，b的值 ④写：将k，b的值代人у＝kx＋b，写出一次函数表达式 · 一次函数的表达式有两个参数k，b，因此要确定一次函数的表达式，需要两个条件 练习3. 1. 已知y是x的一次函数，下表列出了部分对应值： x … －2 1 3 … y … 7 －2 －8 … 则y与x的函数表达式为(　 　). A.y＝－2x＋1 B.y＝2x－3 C.y＝3x－1 D.y＝－3x＋1 2. 已知y与x的一次函数，根据下表中x与y的部分对应值可得a的值为 ⁠. x … －1 0 1 … y … 15 a －9 … 3. 经过(2，3)，(－1，－3)两点的直线的表达式为： 4. 已知直线у＝－x＋n和直线y＝mx－2(m≠－)交于点A(－2，2)，则m＋n＝ 　.  5. 如图，直线AB与x轴交于点A(－4，0)，与y轴正半轴交于点B，△AOB的面积等于4，求直线AB的表达式. 6. 如图所示，已知一次函数у＝kx＋b的图象经过A(－2，－1)，B(1，3)两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D. (1)求该一次函数的解析式； (2)求△AOB的面积. 巩固练习： 1. 下面四条直线,其中直线上的每一个点的坐标可能是二元一次方程2x－y＝6的解的是(　 　). 2. 如图，已知一次函数у＝－x＋4和y＝ax＋2(a≠0)的图象交于点M，则关于x，y的二元一次方程组的解是 .  3. 如图，直线l1：y1＝kx＋b与y轴交于点A，与x轴交于点B(，0)，直线l2：y2＝－x＋2与y轴交于点C，与直线l1交于点D，点D到y轴的距离为2. (1)求直线l1的函数表达式. (2)请直接写出方程组的解：　　　　.  (3)求△ACD的面积. (4)在直线l1上是否存在异于点D的另一点M，使得△ACD与△ACM的面积相等?若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由. 4. 已知一次函数у＝－x＋b的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，与正比例函数у＝3x的图象交于点 C(1，a). (1)求a，b的值； (2)方程组的解为　　　　;  (3)在у＝3x的图象上是否存在点P，使得S△BOP－S△AOP＝16?若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $