第五章 专题课 利用导数研究不等式-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（人教A版）

专题课 利用导数研究不等式 1 类型一 利用导数证明不等式 ［例1］ 已知函数．求证： ． 【证明】 设函数 ，则 ， 因为在上，单调递增， 单调递增， 可得在上单调递增，且 ， 所以当时，， 单调递减， 2 当时，， 单调递增， 所以 ， 故 ， 即 得证． 作差法构造函数证明不等式的解题策略 证明<m></m> <m></m>或<m></m>,<m></m>，可以构造函数<m></m>, 即证明<m></m> <m></m>或<m></m>;如果<m></m>在<m></m>上的最大值小于0（最小值大于 0），那么即证得<m></m> <m></m>或<m></m>,<m></m>. 一般步骤：构造可导函数<m></m> 研究单调性或最值<m></m> 得出不等关系<m></m> 整 理得出结论. 4 ［跟踪训练1］ 已知函数，证明： . 证明：令 ， 则，令 ， 则，所以在 上单调递减， 又，所以当时， ， 即 ， 所以在 上单调递增， 当时，，即 ， 5 所以在 上单调递减， 所以，即 恒成立， 所以 ，原式得证. 类型二 利用导数研究不等式恒成立问题 ［例2］ 已知函数.若 在定义域内 恒成立，求实数 的取值范围. 7 【解】 的定义域为 , ,令 , 得（舍去）， , 所以,, 的变化情况如下表， 0 - 所以,所以 . 所以实数的取值范围是 . 8 由不等式恒成立求参数的取值范围的策略 （1）求最值法：将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题； （2）分离参数法：将参数分离出来，进而转化为<m></m>或 <m></m>的形式，通过导数的应用求出<m></m>的最值，即得参数的取值范 围. 9 ［跟踪训练2］ 已知函数,若对于所有 都有 ,求实数 的取值范围. 解：依题意，得在上恒成立，即不等式 在 上恒成立，即, . 设 ,则 . 当时，,故在 上单调递增. 所以在上的最小值是 . 故实数的取值范围是 . 10 类型三 利用导数研究不等式能成立问题 ［例3］ 已知, ，若对任意的 ，总存在,使得,求实数 的取值范围. 【解】 因为 , 所以 , 令,得 ，故在 上单调递增， 令,得 ,故在 上单调递减， 所以当时， , 又, , 11 所以在上的值域为 , 又在 上是增函数， 所以在上的值域为 . 若对任意的，总存在 , 使得,则 , 所以 , 解得,即实数的取值范围是 . 若关于的不等式在某区间上能成立，则有 ;若关 于的不等式在某区间上能成立，则有 . 13 ［跟踪训练3］ 已知函数,函数 ,若对任 意的,存在,使得,则实数 的取值范围 为_ __________. 14 解析：，当时，,故在 上单调递 增， . ,当时，,当时， ,故 在上单调递增，在上单调递减， . 故,解得 . 15 拓视野 洛必达法则 在解决不等式恒（能）成立、求参数的取值范围问题时，最常用的方 法是分离参数法，转化成求函数的最值，但经常出现“<m></m>”型或“<m></m>”型的代数 式，导致难以求其最值. 其实，“<m></m>”型或“<m></m>”型的代数式，是大学数学中的 不定式问题，解决此类问题的有效方法就是洛必达法则：通过对分子分母 分别求导，再求极限来确定未定式极限值的方法，这里仅用高中生能看懂 的方式说明，能备考使用即可. 16 法则1 若函数和 满足下列条件： （1）及 ; （2）在点的某去心邻域内，与可导且 ; （3）,那么 . 17 法则2 若函数和 满足下列条件： （1） 及 ; （2）在点的某去心邻域内，与可导且 ; （3）,那么 . 注意 1.将上面公式中的换成, 洛必达法则也成立. 2.若条件符合, 洛必达法则可连续多次使用, 直到求出极限为止. 18 类型一 洛必达法则的直接应用 ［例1］ 两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存 在，为此提出洛必达法则，即在一定条件下通过对分子、分母分别求导再 求极限来确定未定式值的方法，如 ， __； ___． 0 解析： ; . 19 类型二 洛必达法则解决函数综合问题 ［例2］ 若不等式对于恒成立，求实数 的取值范围. 【解】 当时，原不等式等价于 . 记 ，则 . 且时，，所以 . 因此在上单调递减也就是时，最大 ， ， 而 .所以 . 20 ［练习1］ ( ) A.0 B. C.1 D.2 解析：选D. .故选D. √ 21 ［练习2］ 对,恒成立，求实数 的取值范围. 解：当 时，不等式成立； 当时，，记 , , 则， , 记， , 则， , 22 所以当时,, 单调递减, 所以,即 , 所以当时, 单调递减， 所以 ，因为 ，所以 . $