第四章 阶段提升（一）数列的概念与等差数列（范围4.1～4.2）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦数列的概念与等差数列，系统覆盖基本量计算、性质应用、判定证明及综合问题，通过从基础概念到性质探究再到综合应用的逐步深入，构建由浅入深的学习支架，帮助学生理清知识脉络。 其亮点在于融入高考真题与典型例题，通过错题修正和方法总结（如“感悟提升”），培养数学思维中的推理能力和数学语言的规范表达。例如利用等差数列前n项和性质解题，学生能提升逻辑推理能力，教师可借助丰富题型与策略指导优化教学，提高效率。

阶段提升（一） 数列的概念与等差 数列（范围：4.1~4.2） 1 阶段提升（一） 2 题型一 等差数列基本量的计算 1.在1和31之间插入14个数，使它们与1，31组成公差大于零的等差数列， 则该数列的公差为( ) A. B.30 C. D.2 解析：选D.设16个数对应公差为的等差数列 的前16项，由题意可 知，,,故 . √ 阶段提升（一） 3 2.已知为等差数列，为其前项和.若,公差, ,则 的值为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 解析：选B.由 ,得 , 又,又 , 所以 , 解得或 （舍去）. √ 阶段提升（一） 4 3.（2024·新课标Ⅱ卷）记为等差数列的前项和.若 , ,则 ____. 95 解析：设等差数列的公差为 ,由 , ,解得, ,则 . 阶段提升（一） 5 等差数列的基本运算的解题策略 （1）等差数列的通项公式及前<m></m>项和公式共涉及五个量<m></m>,<m></m>,<m></m>,<m></m>,<m></m>,知其 中三个就能求另外两个，体现了用方程（组）解决问题的思想. （2）数列的通项公式和前<m></m>项和公式在解题中起到变量代换的作用，<m></m>和 <m></m>是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法. 阶段提升（一） 6 题型二 等差数列的性质 1.（2024·全国甲卷）记为等差数列的前项和.已知 ，则 ( ) A. B. C. D. 解析：选B.方法一：设等差数列的公差为 ,由 ,得 ,则 . 方法二：因为为等差数列，所以,得 ,则 . √ 阶段提升（一） 7 2.在等差数列中，是其前项和，若，则 ( ) A. B. C. D. 解析：选A.因为在等差数列中，，，， 成 等差数列， 设,因为，故,所以,,, 成等差数列， 所以,,即,,则 . √ 阶段提升（一） 8 3.已知是数列的前项和，若是等差数列，且 , . （1）求 的值； 解：设等差数列的公差为 , 则, , 又,故,解得,所以 ,故 . 阶段提升（一） 9 （2）当为何值时， 的值最小？ 解：由（1）可得,故 , 所以 , 因为,所以当或 时， 的值最小. 阶段提升（一） 10 等差数列的性质的应用 （1）项的性质：如下标和相等性质，利用此性质可以在有关基本量的计 算时达到简化运算的目的. （2）前<m></m>项和的性质、奇偶项和性质、函数特性等，利用这些性质能够快 速解决数列中的选择题、填空题. 阶段提升（一） 11 题型三 等差数列的判定与证明 ［例1］ 已知数列满足,且 . （1）求, ; 【解】由已知，得 , 则 , 又因为,所以 . 由,得 , 所以 . 阶段提升（一） 12 （2）证明数列是等差数列，并求 的通项公式. 解：由已知 , 得,即 , 又，所以数列 是首项为1,公差为2的等差数列， 则 . 所以 . 阶段提升（一） 13 等差数列的判定与证明的方法 阶段提升（一） 14 ［跟踪训练1］ 已知数列满足, ,且 ,则数列 的第100项为( ) A. B. C. D. 解析：选B.因为,所以 ,所以 为等差数列，首项为,第2项为,所以公差 ,所以 ,则 . √ 阶段提升（一） 15 题型四 数列的递推关系 1.已知在数列中，，, , 则 ( ) A. B. C.1 D.2 解析：选A.由题意得, , ,, , , ，则 是以6为周期的周期数列，所以 . √ 阶段提升（一） 16 2.已知在数列中，,,则 _______ ___. 解析：由题得 ,因为 ,且满足上式，所以 . 阶段提升（一） 17 3.若,,则通项公式 _______. 解析：由,得 ,所以 .又满足上式，故 . 阶段提升（一） 18 由递推关系求数列的通项公式的常用方法 注意 根据累加法、累乘法求出之后，注意检验是否满足 . 阶段提升（一） 19 题型五 等差数列的综合问题 ［例2］ 已知公差不为0的等差数列满足, . （1）求数列 的通项公式； 【解】设等差数列的公差为 , 由 得 解得所以 . 阶段提升（一） 20 （2）记数列的前项和为，求使成立的最大正整数 . 解：由（1）得 , 若,即 , 即,解得,所以使成立的最大正整数 为10. 阶段提升（一） 21 解答等差数列综合问题的策略 （1）灵活应用等差数列的定义构造新的等差数列； （2）以“基本量法”为根本，重视公差和首项的计算； （3）树立“目标意识”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意解题的 目标； （4）重视方程、分类讨论等思想在解决数列综合问题中的应用. 阶段提升（一） 22 ［跟踪训练2］ 在等差数列中，已知首项,前项和为 ，公差 ,, . （1）试求和 ; 解：由 解得或因为,所以, . 阶段提升（一） 23 （2）求数列的前项和 . 解：因为, , 所以 , 则 , 且 为等差数列， 所以 . 阶段提升（一） 24 $