4.3.2 第1课时 等比数列的前n项和公式-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦等比数列前n项和公式，通过“借钱还钱”生活化情境导入，连接等比数列定义与通项公式，搭建从具体问题到公式推导的学习支架，帮助学生建立知识脉络。 其亮点在于以情境导入激发兴趣，引导学生用数学眼光观察现实数量关系。推导过程注重逻辑推理，通过错位相减法培养数学思维，例题分层设计，小结强调分类讨论与方程思想，助力学生提升数学语言表达能力。学生能深化理解与应用，教师可借助完整流程提升教学效率。

第四章 数列 4.3 等比数列 1 4.3.2 等比数列的前项和公式 第1课时 等比数列的前 项和公式 2 甲到乙家借钱，原以为乙会不愿意，谁知乙竟一口答应，但提出如下 附加条件：在30天中，每天供给甲10万元，借钱第一天，甲还给乙1分钱， 第二天还2分钱，以后每天还的钱都是前一天的2倍，30天后互不相欠.甲听 后，觉得挺划算，本想定下来，但又想到乙以吝啬出名，怕上当受骗，所 以很为难.请同学们帮他拿拿主意. 返回导航 新课导入 3 1.掌握等比数列的前 项和公式及公式推导思路. 2.会用等比数列的前 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题. 3.能由等比数列前 项和公式的特点判断等比数列. 返回导航 学习目标 4 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 5 PART 01 新知学习 探究 6 一 等比数列的前 项和公式 思考1 对于等差数列，我们用倒序相加法求得了其前项和 ,那么对 于等比数列,如何求其前项和 呢？ 返回导航 7 提示：因为 , 所以 , 上式中每一项都乘等比数列的公比可得 , 发现上面两式中有很多相同的项， 两式相减可得 ， 即 , 当时， , 当时， . 返回导航 8 思考2 当时，由等比数列的定义得 ,你能依据 上式推导等比数列的前 项和公式吗？ 提示：根据等比数列的性质，有 ,所以 , 所以当时， . 返回导航 9 ［知识梳理］ 已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项 求和公式 公式一： 公式二： 提醒 求等比数列的前<m></m>项和，需对公比分<m></m>与<m></m>两种情况进行讨论， 当<m></m>时，应利用公式<m></m>求和. 返回导航 10 ［例1］ （对接教材例7（1）、（2））在等比数列 中， （1）若,,求 ; 【解】由已知得, . （2）若,,,求 . 【解】 因为,所以,解得, . 返回导航 11 求等比数列的前 项和，要确定首项、公比和项数或首项、末项和公 比，正确选用公式，注意公比 时是否成立. 返回导航 12 ［跟踪训练1］ （1）在等比数列中，若,, ,则 _____. 378 解析： . （2）等比数列1，，，， 的前10项和 _____. 解析：由题意知该等比数列的公比为 ，首项为1， 所以 . 返回导航 13 二 等比数列前 项和公式的基本运算 ［例2］ （对接教材例7（3））已知为等比数列的前 项和，则 （1）若,,求 ； 【解】由题意知 解得或从而或 . 返回导航 14 （2）若，,,求和 . 解：方法一：由已知条件得 两式相除解得 方法二：由公式及条件得,解得 ,又由 ,得,解得 . 返回导航 15 等比数列前<m></m>项和运算的技巧 （1）在等比数列的通项公式和前<m></m>项和公式中，共涉及五个量：<m></m>， <m>，</m><m></m>，<m></m>，<m></m>，其中首项<m></m>和公比<m></m>为基本量，且“知三求二”，常列方程 组来解答. （2）对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式 相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如<m></m>,<m></m>都可以看作一个整体. 返回导航 16 ［跟踪训练2］ 已知数列是等比数列，且其前项和为 . （1）若,,求 ; 解：,解得 . （2）若,,求和 ； 解：设的公比为,由题设得 解得或 当,时，, ； 当,时，, . 返回导航 17 （3）若,,求 . 解：设等比数列的公比为 ， 当时， ，不符合题意； 当时，由 , 得 , 所以,则 , 则或 （舍去）， 解得,所以 . 返回导航 18 应用点 等比数列前 项和特点的应用 ［例3］ 记数列的前项和 . （1）当时，求 的通项公式； 【解】当时， , 所以 ; 当时， . 又不适合上式，所以 返回导航 19 （2）是否存在实数 ，使得为等比数列？若存在，求出 的值，若 不存在，请说明理由. 解：由 ,得 ; 当时， . 若存在实数 ,使得 为等比数列， 则,得 . 故存在实数,使得 为等比数列. 返回导航 20 等比数列前<m></m>项和公式的特点及应用 （1）推导：<m></m>, 令<m></m>,则<m></m>. （2）应用 ①若数列<m></m>的前<m></m>项和<m></m>,<m></m>且<m></m>,<m></m>，则数 列<m></m>是等比数列. ②知道等比数列的前<m></m>项和（含参数），可利用此结论求参数的值. 返回导航 21 ［跟踪训练3］ （1）已知数列是等比数列，且其前 项和为 ,则实数 __. 解析：因为,且为等比数列，所以 ， 即 . 返回导航 22 （2）若数列的前项和,则的通项公式是 ______ _____. 解析：当时，由，得,即;当 时， ,即 ,故数列是以1为首项， 为公比的等比数列，从而 . 返回导航 23 PART 02 课堂巩固 自测 24 1.数列1，5，，，， 的前10项和为( ) A. B. C. D. 解析：选B.易知题中数列为首项为1，公比为5的等比数列，则 . √ 返回导航 25 2.已知等比数列中，,,前项和，则 ( ) A.9 B.8 C.7 D.6 解析：选D.由等比数列的前项和公式，知 , 解得 . √ 返回导航 26 3.已知等比数列的前项和为，且，则 ____． 54 解析：当时， . 当时， ． 又因为是等比数列，所以 ， 所以，解得，所以，所以 ． 返回导航 27 4.已知数列 是等比数列. （1）若，求 ； 解：因为 ， 所以，且公比 , 所以 . 返回导航 28 （2）若,,,求 . 解：设等比数列的公比为 ， 因为， ， 所以，解得 ， 所以 . 所以，解得 . 返回导航 29 1.已学习：（1）等比数列前项和公式的推导及运算；（2）等比数列前 项和公式的结构特点. 2.须贯通：（1）公式的推导可用错位相减法； （2）计算等比数列的基本量，通常将已知条件转化为首项和公比的方程 （组）求解，这里运用了方程的思想. 3.应注意：等比数列前项和公式分与 两种情况，因此当公比 未知时，要对公比进行分类讨论. 返回导航 30 $