4.3.1 第1课时 等比数列的概念及通项公式-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦等比数列的概念、等比中项及通项公式，以《孙子算经》“出门望九堤”实例导入，从传统文化情境引出数列特征，类比等差数列构建概念，通过实例观察、定义辨析、公式推导形成学习支架，衔接前后知识。 其亮点在于融合数学核心素养，以实例导入培养数学眼光，类比推理发展数学思维，通过多选判断、方程运算强化数学语言表达。如例1辨析等比数列，跟踪训练2用方程求基本量，课堂小结系统梳理。助力学生深化理解，方便教师高效教学。

第四章 数列 1 4.3 等比数列 4.3.1 等比数列的概念 2 我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”： “今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九 雏，雏有九毛，毛有九色，问:各几何？”构成数列：9,，，， ， ，， .这个数列有何特点？ 返回导航 新课导入 3 1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念. 2.熟练掌握等比数列的判断方法. 3.能应用等比数列通项公式进行简单运算. 4.掌握等比数列的判定及证明方法. 5.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题. 返回导航 学习目标 4 第1课时 等比数列的概念及通项公式 5 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 6 PART 01 新知学习 探究 7 一 等比数列的概念 观察下面几个问题中的数列，回答问题. （1）细胞分裂个数可以组成数列：1，2，4，8， ； （2）的次幂按1次幂、2次幂、3次幂， ，依次排成一列数：- ， ，， . 返回导航 8 思考 类比等差数列，你发现以上数列有什么共同特征？ 提示：对于（1），，，， ，也就是说从第二项起，每 一项与它的前一项的比都等于2；对于（2）,，， ；也 有相同的取值规律（从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个 常数）. 返回导航 ［知识梳理］ 等比数列的概念 文字语言 一般地，如果一个数列从第___项起，每一项与它的前一项的 比都等于____________，那么这个数列叫做等比数列，这个常 数叫做等比数列的______，公比通常用字母 表示（显然 ） 符号语言 ___为常数，, 2 同一个常数 公比 返回导航 10 提醒 （1）定义强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项. （2）等比数列的公比 可正可负，但不能为0；等比数列中任意一项都不为0. （3）常数列（除0，0，0， 外）都是公比为1的等比数列. 返回导航 11 ［例1］ （多选）下列数列是等比数列的是( ) A.,,,,为常数， B.,,,, C.1，，，， D.，，，， 解析：A选项中的数列为常数列，公比为1，所以该数列是等比数列；B选 项中 ，所以该数列不是等比数列；C选项中的数列是以1为首项， 为公比的等比数列；D选项中的数列是以为首项， 为公比的等比数列. √ √ √ 返回导航 12 判断一个数列是否为等比数列的方法 定义法：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一 个常数，那么这个数列是等比数列，否则，不是等比数列，且等比数列中 任意一项不能为0，对于含参的数列需要分类讨论. 返回导航 13 ［跟踪训练1］ （多选）下列数列中一定是等比数列的有( ) A.1，1，2，4，8，16，32，64 B.在数列中，已知, C.数列的通项公式为 D.在数列中，,其中 √ √ 返回导航 14 解析：选.对于A， ,不符合定义中“同一个常数”，故不是 等比数列； 对于B，不一定是等比数列，当数列 的项数超过3时，只知道前三项的 每一项与前一项的比值相等，后面的项与前一项的比值情况不知，不一定 符合定义中“每一项”； 对于C，因为当，时， （常数），所以数列 为等比数列，且公比 ; 对于D，在数列中，对任意,有恒成立，那么 是等比 数列. 返回导航 15 二 等比中项 思考 我们知道，任意两个实数都有等差中项，那么,任意两个实数是否也 有等比中项？ 提示：不一定，首先，0不能出现在等比数列中，就没有任意性；其次， 假设，,1这三个数成等比数列，则根据定义会有,即 ,该 方程无实数解，故符号不同的两个实数无等比中项. 返回导航 16 ［知识梳理］ 如果在与中间插入一个数，使,,成__________，那么叫做 与的等比中项.此时， ____. 等比数列 返回导航 17 ［即时练］ 1.和 的等差中项与等比中项分别为( ) A.， B.2， C.， D.1， 解析：选和的等差中项为， 和 的等比中项为 . √ 返回导航 18 2.已知,,若,2,成等比数列，则 的最小值为___. 8 解析：由,,,2,成等比数列，得 ,所以 ，当且仅当, 时取等号. 返回导航 19 3.已知等比数列的前三项为,,,则 ____. 解析：由题意知， , 解得或 . 当时，的前三项为 ，0，0，不满足等比数列的定义，故舍去； 当时，的前三项为，,，满足题意，综上， . 返回导航 20 应用等比中项需注意的问题 （1）由等比中项的定义可知<m></m>,所以只有<m></m>,<m></m> 同号时，<m></m>,<m></m>的等比中项有两个，异号时，没有等比中项. （2）在一个等比数列中，从第二项起，每一项（有穷数列的末项除外） 都是它的前一项和后一项的等比中项. <m></m>,<m></m>,<m></m>成等比数列等价于<m></m>. 返回导航 21 三 等比数列的通项公式 思考 类比等差数列通项公式的推导过程，试根据等比数列的定义推导它 的通项公式. 返回导航 22 提示：设一个等比数列的首项是,公比是 ,则由定义可知 且 . 方法一：,当 时，上式也成立. 方法二： , , , … 由此可得,当 时，上式也成立. 返回导航 23 ［知识梳理］ 等比数列的通项公式 设等比数列的首项为,公比为,则通项公式为 ________. 提醒 类似于等差数列与一次函数的关系，由 可知，当且时，等比数列的第项 是函 数当 时的函数值，即 , 时如图. 返回导航 24 ［例2］ （对接教材例1）已知数列是公比为 的等比数列. （1）若,,求 ; 【解】因为数列为等比数列，且, ,所以 . （2）若,,求和 ; 解：由题可知解得 返回导航 25 （3）,,,求 . 解：因为 由得,解得 . 又,所以 , 解得 . 返回导航 26 关于等比数列基本量的运算 <m></m>和<m></m>是等比数列的两个基本量，解题时，只要求出这两个基本量，其 余的量便可以求出． （2）等比数列的通项公式共涉及4个量<m></m>，<m></m>，<m></m>，<m></m>，知三求一，解题 时通常列方程（组）来解决． 返回导航 27 ［跟踪训练2］ （1）已知数列是等比数列，公比, , 则 ___. 8 解析：因为 为等比数列， 所以,可得 . 返回导航 28 （2）已知数列为等比数列，且,,则 的通项公式为 ____________________________. 或 解析：设等比数列的公比为 , 则解得或 所以或 . 返回导航 29 应用点 等比数列与指数函数的关系 ［例3］ 设是等比数列，则“”是“数列 是递增数列”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：设等比数列的公比为,由,可得 ,解得 或此时数列 不一定是递增数列，即充分性不成 立；若数列为递增数列，则，即必要性成立.所以“ ”是 “数列 是递增数列”的必要不充分条件. √ 返回导航 30 由等比数列的通项公式可知，公比影响数列各项的符号：一般地，当 时，等比数列各项的符号相同；当 时，等比数列各项的符号正 负交替. 返回导航 31 ［跟踪训练3］ 已知是递增的等比数列，且，则其公比 满足 ( ) A. B. C. D. 解析：选D.是等比数列，故，当时， 各项符号 正负间隔,不符合题意，故,显然，由得 ， 又是递增的等比数列，故 为递减数列,由指数函数的单调性知 . √ 返回导航 32 PART 02 课堂巩固 自测 33 1.已知等比数列中，,,则公比 ( ) A.2 B. C.4 D. 解析：选D.依题意,解得 . √ 返回导航 34 2.已知是1，2的等差中项，是，的等比中项，则 ( ) A.6 B. C. D. 解析：选C.因为,, ,所以 . √ 返回导航 35 3.数列，，，， 的通项公式为 _____. 解析：该数列是以为首项， 为公比的等比数列，则 . 返回导航 36 4.在等比数列 中， （1）已知,,,求 ; 解：因为,, , 所以 , 所以 , 所以, . 返回导航 37 （2）已知,,求公比 和通项公式. 解：因为 , 所以,所以 . 当时， , 当时， . 返回导航 38 1.已学习：（1）等比数列、等比中项的概念及等比数列的通项公式. （2）等比数列中基本量的运算. 2.须贯通：等比数列的通项公式及基本计算，通过建立关于和 的方程 （组），求出,后再求 . 3.应注意：（1）在等比数列的定义中，应该把握好三个关键：即“第二项 起”、“后一项与前一项的比”、“同一个常数”.同时在证明中应注意验证“第 一项”也满足条件. （2）,,成等比数列,但,, 成等比数列. 返回导航 39 $