4.2.2 第2课时 等差数列前n项和的性质及应用-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（人教A版）

第四章 数列 4.2 等差数列 1 4.2.2 等差数列的前项和公式 第2课时 等差数列前 项和的性质及应用 2 银行有一种“零存整取”的储蓄项目：它是每月某日存入一笔相同的金 额，这是零存；到一定时期存款到期，可以提出全部本金及利息，这是整 取.我们比较关心的是利息多少，你从中发现等差数列了吗？ 返回导航 新课导入 3 1.理解并应用等差数列前 项和的性质. 2.会利用等差数列前 项和的函数特征求最值. 3.会利用等差数列前 项和解决一些实际问题. 返回导航 学习目标 4 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 5 PART 01 新知学习 探究 6 一 等差数列前 项和的性质 思考1 已知等差数列的前项和为,则 是等差数列吗？ 提示：由等差数列前项和公式,得 , 所以数列是以为首项，以 为公差的等差数列. 返回导航 7 思考2 设等差数列的前项和为，公差为,你能发现, , 的关系吗？ 提示：,同样我们发现 ， 这里出现了一个数列,,, ， 是一个公差为 的等差数列. 返回导航 8 ［知识梳理］ 1.等差数列前 项和的常见性质 若数列是公差为的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为 . 2.设等差数列的公差为,为其前项和，则， , , 仍构成等差数列，且公差为 . 返回导航 9 3.项的个数的“奇偶”性质： （1）若等差数列的项数为，则， . （2）若等差数列的项数为，则 ， . 返回导航 10 ［例1］ （1）已知等差数列的前项和为，若， ， 则 ( ) A.30 B.58 C.60 D.90 解析：因为，，，， 为等差数列.由 ，，得，故， ， ，即， ， . √ 返回导航 11 （2）在等差数列中，，其前项和为，若 ，则 ( ) A.10 B.100 C.110 D.120 解析：因为数列是等差数列，则数列 也为等差数列，设其公差为 ，则，则，又因为 ， 所以，所以 ， 所以 . √ 返回导航 12 利用等差数列前<m></m>项和的性质简化计算 （1）在解决等差数列问题时，先利用已知求出<m></m>,<m></m>是基本解法，有时运 算量大些. （2）等差数列前<m></m>项和<m></m>的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达 到事半功倍的效果. （3）设而不求，整体代换也是很好的解题方法. 返回导航 13 ［跟踪训练1］ （1）设是等差数列的前项和，若,则 ( ) A.2 B. C.1 D. 解析：选C.因为,所以 . √ 返回导航 （2）一个等差数列共100项，其和为80，奇数项和为30，则该数列的公差 为( ) A. B.2 C. D. 解析：选D.设该等差数列的公差为 ,则由条件可知， 数列的奇数项之和为 ,① 偶数项之和为 ,② 由，得,所以,即该数列的公差为 . √ 返回导航 15 （3）已知一个等差数列 的前10项和为100，前100项和为10，求前110 项之和. 返回导航 16 解：方法一：在等差数列中，其前项和，， ， ，， 也成等差数列. 设该数列公差为,则前10项和为,解得 , 所以 , 所以 . 方法二：由题知，， ，， ，， , ,…成等差数列，设 的公差为，则，解得 ，① 又 ，② 由①②可求得 . 返回导航 17 二 等差数列中前 项和的最值 思考 若一个数列的前项和为,你能说明数列 的单 调性吗？该数列的前 项和有最值吗？ 返回导航 18 提示：思路一：当时，;当 时， ,当 时，满足上式，则,故数列 是递减数列，由 知，,, ，则该数列的前 项和在或 时取到最大值. 思路二： ,它的图象是分布在函数 的图象上的离散的点，图象开始上升后又下降说明了 的 前几项为正数且数列是递减数列.由的图象可知， 有最大值且当 或时，最大，最大值为6，即数列 的前2项或前3项和最大. 返回导航 19 ［知识梳理］ 等差数列前 项和的最值 （1）在等差数列 中， 当,时，有最____值，使取得最值的 可由不等式组 确定； 当,时，有最____值，使取得最值的 可由不等式组 确定. 大 小 返回导航 20 （2）,若,则从二次函数的角度看：当 时，有最____值；当时，有最____值.当 取最接近对称轴的正 整数时， 取到最值. 小 大 返回导航 21 ［例2］ （对接教材例9）在等差数列中，， ，求前 项和 的最大值. 【解】 方法一：设等差数列的公差为 ， 因为， ， 所以 ， 解得 . 所以 .所以当时， 有最大值为169. 返回导航 22 方法二：同方法一，求出公差 ， 所以 . 因为 ， 由得 又因为，所以当时， 有最大值为 . 返回导航 方法三：因为 ， 则 . 由等差数列的性质得 . 因为，所以 . 所以， . 所以当时， 有最大值. 由，得 ， 解得 ， 所以 ， 所以 的最大值为169. 返回导航 求等差数列前<m></m>项和<m></m>最值的方法 （1）寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用<m></m>或 <m></m>来寻找. （2）运用二次函数求最值，注意<m></m>. 返回导航 25 ［跟踪训练2］ （1）已知是等差数列的前项和，且 , ,则( ) A.数列为递增数列 B. C.的最大值为 D. 解析：选C.由题意，,,则 ,故B错误； 数列的公差,所以数列 为递减数列，故A错误； 由于时，,时，,所以的最大值为 ，故C正确； ,故D错误. √ 返回导航 26 （2）已知等差数列中，，当且仅当时，前项和 取 得最小值，则公差 的取值范围是_ _____. 解析：由题意可得 即解得 ， 即公差的取值范围是 . 返回导航 27 应用点 等差数列前 项和的实际应用 ［例3］ 某车间全年共生产2 250个零件，已知1月该车间生产了105个零 件，且每月该车间生产零件的个数按等差数列递增，则该车间从2月起每 月比前一个月多生产多少个零件？该车间12月生产多少个零件？ 返回导航 28 【解】 设每个月生产的零件数构成以 为公差的等差数列 ,其前项和为，则， ， , 则,即 ,解 得 , 所以 , 故该车间从2月起每月比前一个月多生产15个零件，该车间12月生产270个 零件. 返回导航 29 应用等差数列解决实际问题的一般思路 返回导航 30 ［跟踪训练3］ 蚊香具有悠久的历史， 我国蚊香的发明与古人端午节的习俗 有关.如图为某校数学社团用数学软件 A. B. C. D. 制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上取长度为1的线段 ，作一个等边 三角形，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段 的延 长线于点（第一段圆弧），再以点为圆心， 为半径逆时针画圆弧交 线段的延长线于点，再以点为圆心， 为半径逆时针画圆弧……以 此类推，当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为( ) √ 返回导航 31 解析：选D.由题意知每段圆弧的中心角都是 ，每段圆弧的半径依次增加 1，则第段圆弧的半径为，弧长记为，则 ， 所以 . 返回导航 32 PART 02 课堂巩固 自测 33 1.在等差数列中，如果,,那么 ( ) A.95 B.100 C.135 D.80 解析：选B.在等差数列中，,,, 成等差数 列，设其公差为,则 ,则 . √ 返回导航 34 2.在等差数列中，，且在这10项中，，则公差 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析：选A.在等差数列前10项中， 得所以,所以 . √ 返回导航 35 3.现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能 少，那么剩余钢管的根数为____. 10 解析：由题意知钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列， 设其前项和为 ，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个.所以钢管总数 .当时，，当 时， ，所以当 时，剩余钢管根数最少，为 （根）. 返回导航 36 4.已知数列是一个等差数列，且, . （1）求数列 的通项公式； 解：设等差数列的公差为.由已知得 ,所以 . （2）求数列的前项和 的最大值. 解：由（1）得 , . 所以当时，前项和 取得最大值，最大值为4. 返回导航 37 1.已学习：（1）等差数列前 项和的性质. （2）等差数列前 项和的最值. （3）等差数列前 项和的实际应用. 2.须贯通：（1）等差数列前 项和的性质：简化运算，整体代换思想. （2）等差数列前 项和的最值：二次函数法、邻项变号法、性质法、数形 结合思想. 3.应注意：由于取正整数，所以 不一定是在顶点处取得最值，而是在 离顶点最近的横坐标取整数的点处取得最值. 返回导航 38 $