4.1 第2课时 数列的递推公式及前n项和-课后达标检测-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦数列核心知识，涵盖递推关系、前n项和、通项公式求解等内容，从基础分式递推（如a(n)=a(n-1)/(a(n-1)+1)）入手，逐步过渡到含参数、周期、分段等复杂问题，构建从具体到抽象的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于分层设计与思维培养，通过基础达标、名校检测到素养拓展的梯度练习，结合多选、综合解答等题型，引导学生用数学眼光发现规律（如第3题构造等差数列），用数学思维推理证明（如第13题周期证明），规范数学语言表达。学生能分层提升能力，教师可高效检测教学效果。

课后达标检测 1 1.已知数列满足,,则 的值为( ) A. B. C. D. 解析：选C.由题意可得,, , . √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 2.数列，，，， 的第项与第项 的关系是( ) A. B. C. D. 解析：选D.观察可知该数列的后一项与前一项的比值为 ，即 . √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 3.已知数列满足,,则 ( ) A.10 B.20 C.100 D.200 解析：选C.数列满足,,可得 , ,, ， ,上式累加可得 ,即 . √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 4.已知数列的前项和为,且,则 的值为( ) A.20 B.25 C.30 D.35 解析：选C.分别将,2代入,得, ,即 , , 两式相减得,解得 ,则 ,故 ,故选C. √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5 5.已知数列的前项和满足：,且,那么 ( ) A.1 B.9 C.10 D.55 解析：选C.令,则,则 ,所以 ,所以数列是常数列，则 .故选C. √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 6.（多选）已知数列的通项公式为 则( ) A. B. C. D. 解析：选.因为可求得,, , ,,, ,所以A错误，B正确； ,故C正 确； 因为,所以,所以,故D错误.故选 . √ √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7 7.在数列中，,,,则 ____. 19 解析：由题可知,所以 , , . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8 8.已知是数列的前项和，且满足，则 ___, 数列的通项公式为 ____. 12 解析：因为,所以.当 时， ,当 时， ,当时， 也适合上式，所以 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9 9.在数列中，,,则数列 的 最大项为_______. 1 024 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10 解析：方法一：因为, , 所以,所以,所以,即 是递增数列，又因为 ,所以 的最大项为 . 方法二（累乘法） 由，,知，所以 , 于是 , 显然是递增数列，又,故 的最大项为 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10.（13分）已知数列的前项和,求 的通项公式. 解：当时， . 当时， . ①当时，,符合 ,此时 ; ②当时, 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12 11.已知在数列中，,对所有都有 ,则 _ _____________. 解析：当时， , 因为 不符合上式， 所以 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13 12.一个正方形被分成九个相等的小正方形，将最中间的一个小正方形挖掉， 得到图①；再将剩下的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将其最 中间的一个小正方形挖掉，得到图②；如此继续下去，则图③中共挖掉了 ____个正方形，请写出每次挖掉的正方形个数所构成的数列的一个递推公 式：___________________. 73 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14 解析：题图③中共挖掉了 个正方形.设每次挖掉的正方形个 数为，根据题图得,,,则 ,故递推公 式为 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15 13.（13分）在数列中，已知 . （1）求证 ;（6分） 解：证明：当时，因为,所以 成 立. （2）若,求 的值.（7分） 解：由（1）知数列是以2为最小正周期的周期数列，所以 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.（15分） （1）在数列中，,,求数列 的通项公 式;（7分） 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 17 解：方法一： , , , , , …, , 以上各式相加得 . 因为也适合上式，所以 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 18 方法二： ， 即， ， 所以 ， 所以 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 19 （2）已知数列中，,.求数列 的 通项公式.（8分） 解：方法一：因为,,即,所以 , ,, , . 以上各式两边分别相乘，得.又 ,所以 . 因为也适合上式，所以 . 方法二：因为,即，所以 , ，所以，所以 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 20 15.斐波那契数列 的特点如下：前两个数都是1，从第三个数起，每一 个数都等于它前面两个数的和.记是数列的前 项和，则 _____. 198 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 21 解析：由题意可知，当时，，即 ， 则当 时， ， 因此 ， 而 ，所以 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 22 $