2.1.2 两条直线平行和垂直的判定-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用课件（人教A版）

2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 1 过山车是一种富有刺激性的游乐设施.实际上，过山车的运动包含了许 多数学、物理学原理.过山车的两条铁轨是永远平行的轨道，它们依靠一根 根巨大且垂直于地面的钢筋支撑着.你能感受到过山车中的平行和垂直吗？ 两条直线的平行与垂直又用什么来刻画呢？ 返回导航 新课导入 2 1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件. 2.会运用条件判定两直线是否平行或垂直. 3.运用两直线平行和垂直时的斜率关系解决相应的几何问题. 返回导航 学习目标 3 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 4 PART 01 新知学习 探究 5 一 两条直线平行的判定 思考1 在平面几何中，两条平行直线被第三条直线所截，形成的同位角、 内错角、同旁内角有什么关系？ 提示：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行， 同旁内角互补. 思考2 平面中的两条平行直线被 轴所截，它们的倾斜角是一对同位角， 因此可以得出什么结论？ 提示：两直线平行，倾斜角相等. 返回导航 6 ［知识梳理］ 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 对应关系 ①________ 两直线的斜率都②________ 图示 ___________________________________ ____________________________________ 不存在 返回导航 7 ［例1］ 根据下列给定的条件，判断直线与直线 的位置关系. （1）经过点，，经过点， ； 【解】设两直线，的斜率分别为， . 由题意知， . 因为，又 ， 所以，所以，，三点不共线，所以，，， 四点不共线， 所以 . 返回导航 8 （2）的倾斜角为 ，经过点， . 【解】设两直线，的斜率分别为， . 由题意知， . 所以，所以或与 重合. 返回导航 9 判断两条直线是否平行的步骤 注意 若已知直线上点的坐标，判断两条直线是否平行时，要考虑直线重 合的情况 返回导航 10 ［跟踪训练1］ （1）已知,,,，则直线与 的位置关系是( ) A.垂直 B.平行 C.重合 D.相交但不垂直 解析：选B.， ，由图 可知，，，不共线，所以 . √ 返回导航 11 （2）（2025·福州期中）已知过点和 的直线与斜率为2的 直线平行，则 的值为___. 1 解析：由过点和 的直线与斜率为2的直线平行，得 ，解得，所以 的值为1. 返回导航 12 二 两条直线垂直的判定 思考 平面中，两条直线，的斜率分别为， ，则两条直线的方向向量 分别为， ，当两条直线互相垂直时，可以得出什么结论？ 提示： . 返回导航 13 ［知识梳理］ 图示 _______________________________ ____________________________ 对应关 系 （两直线的斜率都存在） ①___________ 的斜率不存在， 的斜率为 ②_______ 返回导航 14 ［例2］ 判断下列两条直线是否垂直. （1）直线的斜率为，直线经过点， ； 【解】直线的斜率，直线的斜率 ，因为 ，所以与 不垂直. （2）直线经过点，，直线经过点， ； 【解】直线的斜率不存在，故与轴垂直，直线的斜率为0，故直线 与轴平行，所以与 垂直. 返回导航 15 （3）直线的方向向量为，直线的方向向量为 . 【解】因为直线的方向向量为，所以直线的斜率 .因为直线 的方向向量为，所以直线的斜率 ， ，所以与 垂直. 返回导航 16 判定两直线垂直的步骤 （1）一看：看每条直线所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的 斜率不存在；若不相等，则进行第二步； （2）二代：将点的坐标代入斜率公式计算斜率的值； （3）三判断：根据两斜率之间的关系进行判断. 提醒 （1）判断两直线是否垂直也可以根据两直线的方向向量的数量积是 否为0进行判断. （2）若已知点的坐标中含有参数，利用两直线的垂直关系求参数值时， 要注意讨论斜率不存在的情况. 返回导航 17 ［跟踪训练2］ （1）已知平面内两直线,的斜率分别为,，且, 是方程的两根，则与 的位置关系为( ) A.平行 B.相交且垂直 C.重合 D.相交且不垂直 解析：选B.由题意 ，因此两直线垂直.平面内的两直线垂直时当 然相交. （2）已知直线经过点,，直线经过点 ， ,若，则 的值为______. 0或5 √ 返回导航 18 解析：方法一：因为直线经过点,，且，所以 的斜率存在，而经过点，,则其斜率可能不存在，当 的 斜率不存在时，，即，此时的斜率为0，则 ，满足 题意； 当的斜率存在时，，即，此时直线, 的斜率均存在，由 得，即，解得.综上， 的值为0或5. 方法二：由题知，的方向向量为, 的方向向量为 ,由得,即 ,解 得或 . 返回导航 19 三 平行与垂直关系的综合应用 ［例3］ （对接教材例5）已知四边形 的四个顶 点坐标分别为，，， .试判 断四边形 的形状，并给出证明. 返回导航 20 【解】 由已知可判断四边形 是直角梯形. 证明如下：由题意得 ， ， ， ， 所以，，即且与 不平行，所以四边形 是梯形，又因为，所以 ， , 综上，四边形 是直角梯形. 返回导航 母题探究 本题条件“”变为“”，当四边形 是平行四边形 时，求， . 解：由本例解析知,，，， , 因为四边形是平行四边形，所以， ，所以 ，，联立解得, . 返回导航 22 利用两条直线平行或垂直判定几何图形形状的步骤 （1）描点：在平面直角坐标系中描出给定的点； （2）猜测：根据描出的点，猜测图形的形状； （3）求斜率：根据给定的点的坐标求直线的斜率； （4）结论：由斜率之间的关系，判断形状. 返回导航 23 ［跟踪训练3］ （1）以,, 为顶点的三角形是 ( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.以为直角顶点的直角三角形 D.以 为直角顶点的直角三角形 解析：选D.直线的斜率，直线 的斜率 ，直线的斜率，由 ，所 以，故是以 为直角顶点的直角三角形. √ 返回导航 24 （2）已知矩形的三个顶点的坐标分别为，， ， 则点 的坐标为 ______. 解析：设点的坐标为，由题易知, ,所 以 解得所以点的坐标为 . 返回导航 25 PART 02 课堂巩固 自测 26 1.过点和点的直线与 轴所在直线的位置关系是( ) A.相交但不垂直 B.平行 C.重合 D.垂直 解析：选D.由题意知直线的斜率不存在，与 轴所在直线垂直. √ 返回导航 27 2.（多选）已知, 为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有( ) A.若,斜率相等，则, 平行 B.若,平行，则, 的斜率相等 C.若,的斜率乘积等于，则, 垂直 D.若,垂直，则,的斜率乘积等于 解析：选.根据题意及两直线的位置关系可知若，斜率相等，则 ， 平行，故A正确；若，平行，当，都与轴平行时，， 的斜率 不存在，故B错误；易知若，的斜率乘积等于，则， 垂直，故C 正确；若，垂直,当与轴平行，与轴平行时，直线 的斜率为0， 的斜率不存在，故D错误. √ √ 返回导航 28 3.（教材P练习T改编）已知直线的倾斜角为 ,直线,若直线 过点,,则 ___. 6 解析：设直线,的斜率分别为,,因为直线的倾斜角为 ,所以 .又直线,则,解得 . 返回导航 29 4.（教材P练习T 改编）判断下列各组不重合的直线是否平行或垂直： （1）的斜率为，经过, 两点； 解：的斜率为，经过, 两点， 则的斜率为，即， 的斜率相等，且两直线不重合，故 . （2）的倾斜角为 ，经过, 两点. 【解】的倾斜角为 ，所以的斜率为1，经过， 两点，则的斜率为，即两直线斜率之积等于，故 . 返回导航 30 1.已学习：两条直线平行与垂直的判定及应用. 2.须贯通：（1）利用直线的斜率判断平面图形的形状时，一般先根据图形 进行猜测，然后利用直线的斜率关系进行判断； （2）探究及应用两直线平行、垂直的条件体现了数形结合、分类讨论的 思想方法. 3.应注意：（1）研究两直线平行、垂直关系时不要忽略直线斜率为0或不 存在的情况； （2）当两直线的斜率相等时，这两条直线可能平行，也可能重合. 返回导航 31 $