8.2.2 函数的实际应用-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦“函数的实际应用”，通过爱因斯坦复利名言导入，衔接已学一次、二次、指数等函数模型，构建从已知函数模型应用到建立模型解决问题的学习支架，帮助学生逐步掌握函数与实际问题的联系。 其亮点在于精选黄桃销售、太空水过滤等贴近生活的实例，引导学生用数学眼光观察现实问题，通过二次函数性质、基本不等式等数学思维推理求解，以函数表达式等数学语言建立模型。课堂小结明确定义域等注意点，既提升学生应用能力，也为教师提供清晰教学脉络，助力高效教学。

第8章 函数应用 1 8.2 函数与数学模型 8.2.2 函数的实际应用 2 爱因斯坦说过，复利的威力比原子弹还可怕.按复利计算利率的一种储 蓄，本金为元，每期的利率为，设本利和为，存期为 期后的本利和 是多少？本节课我们一起探究吧！ 返回导航 新课导入 3 1.会利用已知函数模型解决实际问题. 2.能建立函数模型解决实际问题. 返回导航 学习目标 4 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 5 PART 01 新知学习 探究 6 一 给定函数模型解实际问题 思考 回忆一下所学过的函数模型有哪些？ 提示 函数模型 函数解析式 一次函数模型 ，为常数， 反比例函数模型 ，为常数且 二次函数模型 ，，为常数， 指数型函数模型 ，，为常数，， 且 返回导航 7 函数模型 函数解析式 对数型函数模型 ，，为常数，， 且 幂函数型模型 ，为常数， 续表 返回导航 8 ［例1］ （对接教材例3）某县黄桃种植户为了迎合大众需求，提高销售 量，打算以装盒售卖的方式销售.经市场调研，若要提高销售量，则黄桃的 售价需要相应的降低，已知黄桃的种植与包装成本为24元/盒，且每万盒黄 桃的销售价格（单位：元）与销售量 （单位：万盒）之间满足关系 式 （1）写出利润（单位：万元）关于销售量 （单位：万盒）的关系式； （利润销售收入 成本） 【解】由题意得 返回导航 9 （2）当销售量为多少万盒时，黄桃种植户能够获得最大利润？此时最大 利润是多少？ 解：当时，由二次函数性质得 ， 当时，由基本不等式得 ， 当且仅当，即 时，等号成立，则 ， 综上，当销售量为15万盒时，黄桃种植户能获得最大利润，最大利润为 136万元. 返回导航 10 应用已知函数模型解题的两种类型： （1）直接依据题中的函数解析式解决相关问题； （2）若函数解析式中含有参数，将题中相应数据代入解析式，求得参数， 从而确定函数解析式，并解决问题，这时用到的是待定系数法. 返回导航 11 ［跟踪训练1］ 某书店经过一段时间的营销推广后，数学课外书连续数月 的总销量（单位：千本）与前个月，且 满足关系式 .现已知该书店前2个月和前3个月的数学课外书销售 总量分别为4千本和6千本. （1）求， 的值； 解：依题意得 解得 返回导航 12 （2）求该书店第6个月的数学课外书的销售量. 解：由（1）知 ， 当时， ， 当时， ， 所以第6个月数学课外书的销售量为 （千本）. 返回导航 13 二 建立函数模型解决实际问题 角度1 一次函数、二次函数模型 ［例2］ 在经济学中，函数的边际函数 定义为 .已知某公司每月最多生产100台报警系统装置， 生产台的收入函数为 （单位：元），其成 本函数为 （单位：元），利润是收入与成本之差. 返回导航 14 （1）求利润函数及边际利润函数 ； 【解】由题意知，，且 ， . 返回导航 15 （2）利润函数与边际利润函数 是否具有相同的最大值？ 解： ， 当或时， 的最大值为74 120元.因为 在上是减函数，所以当时， 的 最大值为2 440元.因此，利润函数与边际利润函数 不具有相同 的最大值. 返回导航 16 角度2 指数型函数、对数型函数模型 ［例3］ 在太空中水资源有限，要通过回收水的方法制造可用水，回收水 是将宇航员的尿液、汗液和太空中的水收集起来经过特殊的净水器处理成 饮用水，循环使用.净化水的过程中，每过滤一次可减少水中 的杂质， 要使水中杂质减少到原来的 以下，则至少需要过滤的次数为 （参考数据： ）( ) A.19 B.20 C.21 D.22 √ 返回导航 17 解析：设经过 次过滤达到要求，原来水中的杂质为1， 依题意可得 ， 即，所以 ， 所以，又 ， 所以，因为，所以 的最小 值为21，故至少要过滤21次. 返回导航 18 角度3 建立分式函数模型 ［例4］ 如图，某居民小区要建一座八边形的休闲场所， 主体造型的平面图是由两个相同的矩形和 构 成的面积为的十字形地域.计划在正方形 上 建一座花坛，造价为1 000元/ ；在四个相同的矩形 （图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为400元/ ；在四个空角 （图中四个三角形）上铺草坪，造价为200元/.设长为（单位： ）. 返回导航 19 （1）用表示的长度，并求 的取值范围； 【解】由题意可得,矩形的面积为，因此 ， 因为，所以 . 返回导航 20 （2）当 的长为何值时，总造价最低？最低总造价是多少？ 解：设总造价为 ，由题意可得, ，由基本不等式得 ，当且仅当 ， 即时，等号成立，所以当时，总造价 最低，最低总造价 为240 000元. 返回导航 21 建立函数模型求解实际问题的策略 （1）解题步骤：理解实际问题<m></m> 建立数学模型<m></m> 求解数学模型<m></m> 解决 实际问题. （2）与实际应用相结合的题型也是高考命题的热点，这类问题的特点是 通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔 细理解题意，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答. 返回导航 22 ［跟踪训练2］ 一艘动力船拖动载重量相等的小船若干只，在两个港口之 间往返运货.若拖4只小船，则每天能往返16次；若拖7只小船，则每天能往 返10次.已知增加的小船只数与相应减少的往返次数成正比例.为使得每天 运货总重量最大，则每次应拖___只小船. 6 返回导航 23 解析：设每次拖只小船，每天往返次，每只小船的载重量为 ，每天的 运货总重量为，由题意设 ， 则解得 所以 ， 所以每日运货总重量为 ， 所以当,时，取得最大值 ，即每次应拖6只小船. 返回导航 24 PART 02 课堂巩固 自测 25 1.某食品的保鲜时间（单位：）与储藏温度（单位： ）满足函数关 系式 为自然对数的底数，,为常数 .若该食品在 的保鲜时间是，在的保鲜时间是，则该食品在 的保鲜时间是( ) A. B. C. D. 解析：选C.当时，,当时， ,所以 ,所以,故当 时， .故选C. √ 返回导航 26 2.某品牌电动车有两个连锁店,其月利润（单位：元）分别为 ,,其中 为月销售量 （单位：辆）.若某月两店共销售了110辆电动车,则月利润最大为( ) A.11 000元 B.22 000元 C.33 000元 D.40 000元 解析：选C.设两个店分别销售出辆与 辆电动车,两店的月利润为 ，则 , 又，所以当 时,两店的月利润取得最大值,最大值为 33 000元. √ 返回导航 27 3.（2025·苏州月考）某杂志能以每本12元的价格销售12万本，假设定价每 降低1元，销售量就增加4万本，要使总销售收入不低于200万元，则杂志 的价格最低为___元. 5 解析：设杂志的价格降低了个1元，则此时价格为 元，卖出 万本，设总销售收入为 万元， 则 ， 要使，即，即 ，解得 ， 当时，价格最低，为 （元）. 返回导航 28 4.2026年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析：全年需投 入固定成本2 500万元． 每生产 （单位:百辆）新能源汽车，需另投入成 本（单位:万元），且 由市场 调研知，每辆车售价9万元，且生产的车辆当年能全部销售完． 返回导航 29 （1）请写出2026年的利润（单位:万元）关于产量 （单位:百辆）的 函数关系式； 解：当 时， ； 当时，，所以 返回导航 30 （2）当2026年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润． 解：当时，，所以当 时， ； 当时， , 当且仅当，即 时，等号成立． 因为 ， 所以当时，有最大值 ,即2026年产量为80百辆时，该企业 获得利润最大，且最大利润为3 540万元． 返回导航 31 1.已学习：函数的实际应用. 2.须贯通：函数模型的应用实例主要包括两个方面： （1）利用给定的函数模型解决实际问题； （2）建立确定性的函数模型解决实际问题. 3.应注意：建立函数模型忽视定义域. 返回导航 32 $