1.6一元二次方程课件-2025-2026学年高一上学期初升高衔接

1.6一元二次方程 1.什么是一元二次方程？ 一、复习回顾： 形如： 4.根与系数关系（韦达定理）是如何得到？其前提是什么？ 内容又是什么？ 这一关系也被称为韦达定理． 例6：-x+a-4=0有一正根和一负根，求a的取值范围 解： （2）该方程的根的判别式Δ＝a2－4×1×(－1)＝a2＋4＞0， 所以方程一定有两个不等的实数根 ， ． 例1 判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根， 写出方程的实数根． （1）x2－3x＋3＝0； 解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根． （2）x2－ax－1＝0； （3） x2－ax＋(a－1)＝0； 解：（3）由于该方程的根的判别式为 Δ＝a2－4×1×(a－1)＝a2－4a＋4＝(a－2)2， 所以， ①当a＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝1； ②当a≠2时，Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根 x1＝1，x2＝a－1． （4）x2－2x＋a＝0． 解（4）由于该方程的根的判别式为 Δ＝22－4×1×a＝4－4a＝4(1－a)， 所以 ①当Δ＞0，即4(1－a) ＞0，即a＜1时，方程有两个不相等的实数根 ， ； ②当Δ＝0，即a＝1时，方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝1； ③当Δ＜0，即a＞1时，方程没有实数根． 若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根 ， ， 则有 ； 例2.已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根， 并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值． 解：设x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得 x1＋x2＝－2(m－2)，x1·x2＝m2＋4． ∵x12＋x22－x1·x2＝21， ∴(x1＋x2)2－3 x1·x2＝21， 即 [－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝21， 化简，得 m2－16m－17＝0， 解得 m＝－1，或m＝17． 当m＝－1时，方程为x2＋6x＋5＝0，Δ＞0，满足题意； 当m＝17时，方程为x2＋30x＋293＝0， Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去． 综上，m＝17． 特别说明：． （1）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时， 还要考虑到根的判别式Δ是否大于或大于零． 因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根． 例3 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数． 解法一：设这两个数分别是x，y， 则 x＋y＝4， ① xy＝－12． ② 由①，得 y＝4－x， 代入②，得 x(4－x)＝－12， 即 x2－4x－12＝0， ∴x1＝－2，x2＝6． ∴ 或 因此，这两个数是－2和6． 解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程 x2－4x－12＝0 的两个根． 解这个方程，得 x1＝－2，x2＝6． 所以，这两个数是－2和6． 特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根， 由韦达定理可知 x1＋x​2＝－p，x1·x2＝q， 即 p＝－(x1＋x​2)，q＝x1·x2， 所以，方程x2＋px＋q＝0可化为 x2－(x1＋x​2)x＋x1·x2＝0， 由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根， 所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x​2)x＋x1·x2＝0．因此有 以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 x2－(x1＋x​2)x＋x1·x2＝0． 例5 若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根． （1）求| x1－x2|的值； （2）求 的值； （3）x13＋x23． 解：∵x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根， ∴ ， ． （1）∵| x1－x2|2＝x12+ x22－2 x1x2＝(x1＋x2)2－4 x1x2＝ ＝ ＋6＝ ， ∴| x1－x2|＝ ． （2） ． （3）x13＋x23＝(x1＋x2)( x12－x1x2＋x22)＝(x1＋x2)[ ( x1＋x2) 2－3x1x2] ＝(－ )×[(－ )2－3×( )]＝－ 一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题， 为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律： 若x1和x2分别是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），则| x1－x2|＝ 设x1和x2分别是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），则 ， ， ∴| x1－x2|＝ $