13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 课件 2025-2026学年人教版 数学八年级上册

该初中数学课件聚焦三角形的中线、角平分线、高，通过复习三角形三边关系和稳定性，结合分菜地、修三角尺等生活情境提问，搭建旧知到新知的学习支架，引导学生从已有知识自然过渡到三种特殊线段的探究。 其亮点在于以数学眼光观察生活情境提出问题，通过实验操作（如测量中线分面积）和探究活动（画不同三角形的高）培养数学思维，用符号语言规范表达及对比表格梳理位置特点强化数学语言。采用情境导入、探究归纳的教学方法，知识梳理结合思想方法与易错点总结，助力学生理解概念本质，也为教师提供系统教学资源。

人教版（2024）版数学8年级上册 第十三章 三角形 13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 复习 1.三角形三边的关系： 2.三角形具有____________. 3.已知一个三角形的最小边为2cm，另两边分别为6cm和acm， a的取值范围是什么？ 稳定性 4<a<8 三角形两边的和大于第三边， 三角形两边的差小于第三边. 13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 三角形中的“特殊线段” 观察下列生活情境，思考三角形中特殊线段的作用： 1. 农民伯伯要将一块三角形菜地分成面积相等的两部分种植不同蔬菜，该怎么分割？ 2. 工人师傅修理三角尺时，想把一个内角精确平分，需要借助什么几何线？ 3. 建筑工人搭建三角形支架时，为了确定支架的高度，需要从顶点向对边作一条垂直线，这条线是什么？ 这些问题涉及的线段分别是三角形的中线、角平分线和高，今天我们就来系统认识它们。 一、三角形的中线：“面积均分线” 1. 定义 在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段，叫做三角形的中线。 如图，在△ABC中，点D是BC边的中点（即BD=DC），则线段AD就是△ABC的一条中线。 2. 图形特征与表示 - 表示方法：∵ D是BC中点，∴ AD是△ABC的中线；反之，∵ AD是△ABC的中线，∴ BD=DC=½BC。 - 数量：一个三角形有3条中线，分别从三个顶点向对边作中线。 3. 核心性质——中线与面积的关系 实验操作：用三角板画出△ABC的中线AD，分别测量△ABD和△ADC的面积。 结论：△ABD和△ADC的面积相等。 理由：两个三角形共用高（从A向BC作的高），且底边BD=DC，根据“三角形面积=½×底×高”，面积相等。 性质：三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两部分。 二、三角形的角平分线：“内角分割线” 1. 定义 在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段，叫做三角形的角平分线。 如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，则线段AD就是△ABC的一条角平分线。 2. 图形特征与表示 - 表示方法：∵ AD平分∠BAC，∴ ∠BAD=∠CAD=½∠BAC；反之，∵ AD是△ABC的角平分线，∴ ∠BAD=∠CAD。 - 数量：一个三角形有3条角平分线，分别平分三个内角。 - 注意：三角形的角平分线是“线段”，而角的平分线是“射线”，二者不可混淆。 3. 简单应用 例1：在△ABC中，AD是角平分线，已知∠BAC=80°，求∠BAD的度数。 解：∵ AD平分∠BAC，∴ ∠BAD=½∠BAC=½×80°=40°。 三、三角形的高：“垂直距离线” 1. 定义 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，叫做三角形的高。 如图，在△ABC中，从A向BC作垂线，垂足为D（即AD⊥BC），则线段AD就是△ABC的一条高。 2. 不同类型三角形高的位置特点 三角形的高的位置会因三角形类型不同而变化，需重点区分： - 锐角三角形：3条高都在三角形内部，且相交于三角形内一点； - 直角三角形：两条直角边互为高，第三条高在三角形内部（从直角顶点向斜边作），三条高相交于直角顶点； - 钝角三角形：两条高在三角形外部（从钝角顶点向对边延长线作），一条高在内部，三条高的延长线相交于三角形外一点。 3. 表示方法与应用 表示方法：∵ AD是△ABC的高，∴ AD⊥BC（或∠ADB=∠ADC=90°）。 例2：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，求AB边上的高CD的长度。 解：先求AB长度（勾股定理）：AB=√(AC²+BC²)=√(3²+4²)=5； 再用面积法：△ABC面积=½×AC×BC=½×AB×CD， 即½×3×4=½×5×CD，解得CD=12/5=2.4。 四、三种线段的对比与辨析 为了更清晰地掌握三者的区别与联系，我们从定义、作用、交点等方面进行对比： 1. 核心区别 - 中线：连接顶点与对边中点，核心作用是“均分面积”； - 角平分线：平分内角并交对边于一点，核心作用是“均分内角”； - 高：从顶点向对边作垂线，核心作用是“表示垂直距离”，常用于面积计算。 2. 共同特征 - 都是线段：且线段的两个端点分别是三角形的顶点和对边上的点； - 数量固定：一个三角形都有3条中线、3条角平分线、3条高； - 交于一点：3条中线交于“重心”，3条角平分线交于“内心”，3条高（或延长线）交于“垂心”（统称三角形的“五心”中的三个）。 3. 易混点辨析 判断：“三角形的角平分线和高都是射线”，这句话对吗？ 答案：不对。二者都是线段，角的平分线是射线，而三角形的角平分线是线段；高是从顶点到垂足的线段，并非射线。 五、综合应用：线段关系与角度、长度计算 例3：在△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，AF是高，已知∠BAC=100°，BC=10cm，∠AFB=90°。 （1）求∠BAE的度数；（2）求BD的长度；（3）若∠B=30°，求∠CAF的度数。 解：（1）∵ AE是角平分线，∴ ∠BAE=½∠BAC=½×100°=50°； （2）∵ AD是中线，∴ BD=½BC=½×10=5cm； （3）∵ AF是高，∴ ∠BAF=90°-∠B=90°-30°=60°， ∴ ∠CAF=∠BAC-∠BAF=100°-60°=40°。 例4：在△ABC中，AB=AC=5cm，AD是BC边上的中线，AD=4cm，求BC的长度。 解：∵ AB=AC，AD是中线，∴ AD也是高（等腰三角形“三线合一”性质）， 在Rt△ABD中，BD=√(AB²-AD²)=√(5²-4²)=3cm， ∴ BC=2BD=6cm。 拓展：等腰三角形中，“中线、角平分线、高”三线合一（即从顶角顶点出发的中线同时也是角平分线和高），这是等腰三角形的重要性质。 六、知识梳理与总结 1. 三大核心线段 - 中线：定义→连接顶点与对边中点；性质→均分面积； - 角平分线：定义→平分内角交对边；注意→与角的平分线区分； - 高：定义→顶点向对边作垂线；特点→位置随三角形类型变化。 2. 关键思想方法 - 转化思想：利用中线将三角形面积转化为两个小三角形面积，简化计算； - 面积法：利用高与底的乘积计算面积，或通过面积相等求高的长度； - 分类讨论：判断钝角三角形高的位置时，需考虑“高在外部”的情况。 3. 易错点提醒 1. 混淆“线段”与“射线”：三角形的三种特殊线段均为线段； 2. 忽略高的位置：钝角三角形有两条高在外部，画图时需延长对边； 3. 忘记等腰三角形性质：“三线合一”可快速解决等腰三角形中的线段与角度问题。 情景导入 4.如图，P为线段AB右上方一点，过点P作线段AB的垂线. A B 复习 知识点1 三角形中线的概念 P ● 情景导入 5.如图，如果点C是线段AB的中点，你能得到什么结论？ A C B AC=BC=AB 或AB=2AC=2BC 知识点1 三角形中线的概念 复习 情景导入 在这些三角形中，除了边之外，还有一些特殊的线段，它们有着独特的性质和作用，大家想不想知道是什么呢？ 情景导入 连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点，所得线段叫作三角形的这条边上的中线. 三角形的中线的定义 符号语言： ①AD是△ABC的边BC上的中线， ②点D是边BC的中点， ③BD=CD=BC. D C B A 探究新知 如图，画出△ABC的另两条中线，观察三条中线，你有什么发现？ 三角形的三条中线相交于一点. E F O 探究新知 画一个锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，再分别画出这三个三角形的三条中线. 三角形的三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫作三角形的重心． 探究新知 D C B A 思考 被三角形的中线分成的两个小三角形的面积大小有什么关系？ 三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形. 探究新知 例1 如图，AD,BE,CF是△ABC的三条中线，下列结论一定正确的是（ ） B 探究新知 跟踪训练 如图，AD为△ABC的中线，AB=13cm，AC=10cm.若△ACD的周长为28cm，则△ABD的周长为_________. 解析：∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD. ∵△ACD的周长为28cm, ∴AC+AD+CD=28cm. ∵AC=10cm, ∴AD+CD=18cm,即AD+BD=18cm. ∵AB=13cm， ∴△ABD的周长=AB+AD+BD=31cm. 31 cm 探究新知 探究 在一张薄纸上任意画一个三角形，你能设法画出它的一个内角的平分线吗? B C A 方法一： 探究新知 折纸：在一张纸上画出一个三角形并剪下，将它的一个角对折，使其两边重合. 折痕AD即为三角形的∠A的平分线. B C A 方法二： 探究 在一张薄纸上任意画一个三角形，你能设法画出它的一个内角的平分线吗? 探究新知 符号语言： 如图，画△ABC的∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫作△ABC的角平分线. 在三角形中，一个内角的平分线与这个角所对的边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫作三角形的角平分线. 1 2 A B C D ①AD是△ABC的角平分线， ②AD平分∠BAC，交BC于点D， ③∠1=∠2∠BAC. 探究新知 思考 用同样的方法，你能画出△ABC的另外两条角平分线吗？ 1 2 A B C D 三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并且三条角平分线交于三角形内一点. 探究新知 例2 如图，∠1=∠2，∠3=∠4，下列结论错误的是（ ） A. BD是△ABC的角平分线 B. CE是△BCD的角平分线 C. ∠3=∠ACB D. CE是△ABC的角平分线 D 探究新知 从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，连接顶点和垂足的线段叫作三角形的这条边上的高. 思考 你还记得小学学过的“三角形的高”的定义吗？ 高 底 A B C D 探究新知 A B C D 如图，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的高线. 三角形的高线，简称三角形的高. 几何语言： ①AD是△ABC的边BC上的高， ②AD⊥BC于点D. 探究新知 探究 分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高，你有什么发现？ A B C D E F B A C F A B C D E F 三角形的三条高所在直线交于一点. 探究新知 观察图形，不同三角形的三条高各有什么特点？ B A C F A B C D E F A B C E F 探究新知 三角形三条高的位置 三角形 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 三条高的位置 三条高都在三角形内部 有两条高恰好是它的两条直角边，另一条高在三角形内部 有两条高在三角形外部，另一条高在三角形内部 三条高的交点 三条高交于三角形内部一点 三条高交于三角形的直角顶点 三条高没有交点，但三条高所在的直线交于三角形外一点 探究新知 例3 如图是一个钝角三角形ABC，利用一个直角三角板作边AC上的高，下列作法正确的是（ ） A 知识点3 三角形的高 探究新知 知识点1 三角形的中线 1.如图，已知是的中线，，则 的长为( ) B （第1题） A.4 B.5 C.6 D.8 返回 考试考法 23 （第2题） 2.如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片， 则他支起的这个点应是三角形__________的交点,即____心. 三条中线 重 （第3题） 3.［教材习题变式］如图，在中， 是 边上的中线，的面积是，则 的面 积为____ . 12 返回 考试考法 24 4.［2025绍兴月考］如图，已知为的中线， ， ，的周长为，则的周长为____ . 22 （第4题） 返回 考试考法 25 知识点2 三角形的角平分线 （第5题） 5.［2025北京朝阳区月考］如图，若是 的角平 分线，则下列结论不正确的是( ) C A.平分 B. C. D. 返回 考试考法 26 6.如图，在中， ， ，是 的角平分 线，则 _____. （第6题） 返回 考试考法 27 7.［教材习题变式］如图，是 的角平 分线，交于点，交于点 ， 则图中与 有什么数量关系？ 解：， . ， . 是 的角平分线， . 返回 考试考法 28 知识点3 三角形的高 8.下列图形中，线段是 的高的是( ) D A. B. C. D. 返回 考试考法 29 （第9题） 9.如图，是锐角三角形，过点作 于点，过点作，交的延长线于点 ， 则下列说法错误的是( ) B A.是的高 B.是 的高 C.是的高 D.是 的高 返回 考试考法 30 10.如果一个三角形两边上的高的交点在三角形的内部，那么这个三角 形是( ) A A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.任意三角形 返回 考试考法 31 11. 如图，在三角形中，已知 ， ,,,则边上的高 的长为_ __. （第11题） 返回 考试考法 32 12.如图，画出 的三条高. 解：如图，线段，， 分别 是，， 边上的高. 返回 考试考法 33 13.如图，，，分别是 的高、角平分线、中线，则下列结 论错误的是( ) C （第13题） A. B. C. D. 返回 考试考法 34 （第14题） 14.［2025温州期末］如图，是 的中 线，，，垂足分别是， .已 知，，则 的长为( ) C A.3 B.4 C.6 D.8 返回 考试考法 35 15.［2025天津和平区期末］在中，，中线 将这个三 角形的周长分为15和21两部分，则 的长为( ) C A.16 B.11 C.16或8 D.11或1 返回 考试考法 36 16.如图，是的中线，，分别为，的中点，若 的面积为3，则 的面积为____. 12 返回 考试考法 37 17.如图①，在中，，为边上一点， 于点 ，于点 . 考试考法 38 （1）请作出边上的高 . 解：如图①， 即为所求. （2）请你通过观察、测量找到，， 之间的数量关系：_______ ________. 考试考法 39 （3）为了说明，， 之间的数量关系，小嘉是这样做的：连接 ，则__________，__________， ________ ______________， 还可以表示为__________. 请你帮小嘉完成上述填空. （4）当在如图②的位置时，上面，， 之间的数量关系是否 仍然成立？并说明理由. 考试考法 40 解：仍然成立，理由：如图②，连接 ， ，， ， ， ， ， . 返回 考试考法 41 三角形 中线 连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点的线段. 角平分线 高 一个内角的平分线与这个角所对的边相交，这个角的顶点和交点之间的线段. 从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段. 课堂小结 谢谢观看！ $