专题 等差、等比数列 学习任务单-2026届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习学案系统覆盖等差、等比数列核心考点，知识回顾按定义、公式、性质构建完整体系，考点精析分基本量运算、判定证明等七个层次，通过问题导向任务驱动引导学生自主梳理知识联系，形成结构化认知框架。 亮点在于自主诊断与分层提升设计，知识回顾采用填空式梳理引导自主查漏，典例融入高考真题改编培养数学思维，跟踪训练和课后作业分层设置强化数学语言表达，助力学生自主诊断薄弱点精准提升，为教师因材施教提供实效支持。

专题 等差、等比数列 一、知识回顾 1．等差数列的定义及有关概念 定义 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于_ _ _ _ _ _ _ _ ,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母表示,符号表示为（,,为常数）或（,为常数） 等差中项 若三个数,,成等差数列,则叫做与的等差中项,即_ _ _ _ _ _ _ _ 通项公式 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ;推广:, 前 项和公式 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 或_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 2．等差数列的性质 项的有关性质 （1）若是等差数列,且,,,,则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .特别地,若,则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 前 项和的有关性质 若等差数列的公差为,前项和为，等差数列的前项和为，则： （1）数列是公差为_ _ _ _ _ _ 的等差数列. ,,, 也是等差数列，公差为. 3．等比数列的定义及有关概念 定义 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于_ _ _ _ _ _ _ _ ,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母表示,符号表示为 等比中项 如果在与中间插入一个数,使,,成等比数列,那么叫做与的等比中项,此时_ _ _ _ _ _ 通项公式 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；推广:, 前 项和公式 4．等比数列的性质 项的有关性质 （1）若是等比数列,且,,,,则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .特别地,若,则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 前 项和的有关性质 若等比数列的公比,前项和为,则,,, 成等比数列，公比为_ _ _ _ _ _ 二、考点精析 考点一 等差数列基本量求解问题 典例1（2023·全国乙卷·高考真题改编）记为等差数列的前项和，已知． (1) 求的通项公式； （2）求使成立的n的最大值 （3）数列的前n项和的最大值 （4）求数列的前项和． 跟踪训练1 1.记为等差数列的前n项和．已知，则 A． B． C． D． 2.记Sn为等差数列{an}的前n项和，，则 . 考点二 等差数列的判定与证明 典例2 （2025·全国一卷·高考真题）已知数列中，，. (1)证明：数列是等差数列； 跟踪训练2 1.(2021·全国乙卷（理）记为数列的前项和，为数列的前项积，已知. （1）证明：数列是等差数列； 考点三 等差数列的性质及其应用 典例3（1）(2024·全国甲卷（文）) 已知等差数列的前项和为,若,则（ ） A. B. C. 1 D. （2）（2023·全国甲卷·高考真题）记为等差数列的前项和．若，则（    ） A．25 B．22 C．20 D．15 （3） 已知是等差数列的前项和，若，则 ． （4） 设等差数列，的前项和分别为，，，则 ． 跟踪训练3 1．设是等差数列的前项和，若，则（ ） A． B． C． D． 2．设等差数列的前项和为，若，则 . 考点四等比数列基本量运算 典例4【2020年新高考2卷改编】已知公比大于的等比数列满足． （1） 求数列的，； （2） 求数列的前项积. （3）求. 跟踪训练4 1．（2025·全国二卷·高考真题）（多选）记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（2023·全国甲卷）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（    ） A． B． C．15 D．40 考点五等比数列的证明 典例5. 已知数列满足，，设． （1）求； （2）判断数列是否为等比数列，并说明理由； （3）求的通项公式． 跟踪训练5 1．已知数列中，，. (1)证明：是等比数列； 考点六等比数列性质 典例6（1）已知等比数列满足,,则（ ） A. B. C. D. （2）设等比数列满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2 …an的最大值为___________． （3）（2023·全国新Ⅱ卷）记为等比数列的前n项和，若，，则（    ）． A．120 B．85 C． D． 跟踪训练6 1．已知等比数列的各项均为正数，且，则（    ） A．12 B．10 C．8 D． 2． 已知数列是递增的等比数列，，则数列的前项和等于 . 考点七等差等比混合应用 典例7 （1）等差数列的首项为，公差不为．若、、成等比数列，则的前项的和为（ ） A. B. C. D. （2）已知各项均为正数且单调递减的等比数列满足、、成等差数列.其前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 跟踪训练 1. 已知首项为最小正整数，公差不为零的等差数列中，，，依次成等比数列，则的值是（ ） A. B. C. D. 58 三、课后作业 1．（2020·山东）将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为 ． 2．（2020·全国）记为等差数列的前n项和．若，则 ． 3．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若，则S5= ． 4．（2021·全国甲卷）记为等比数列的前n项和.若，，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 5．（2025新高考Ⅰ卷）若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于 . 6．（2020·全国）设是等比数列，且，，则（    ） A．12 B．24 C．30 D．32 7．（2020·全国）记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=（    ） A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n-1 D．21–n–1 8．设为等比数列的前项和，若，且，，成等差数列，则 . 9（2023·全国新Ⅰ卷）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 10（2020·全国·高考真题）数列中，，对任意 ，若，则 （ ） A．2 B．3 C．4 D．5 11．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和． (1)若，求的通项公式； (2)若为等差数列，且，求． 12．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 13．（2021全国甲卷（理））已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①数列是等差数列：②数列是等差数列；③． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $