4.4 数学归纳法（七大题型）专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.4 数学归纳法 题型一 数学归纳法 1．下列命题错误的个数是（   ） ①用数学归纳法证明时，正整数的第一个取值是1. ②用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是. ③设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”，若成立，则当时，均有成立. ④对于不等式，用数学归纳法的证明过程如下： （1）当时，左边，右边，不等式成立. （2）假设当（且）时，不等式成立，即， 那么当时， ， 所以当时，不等式成立. 综上. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据数学归纳法证明的要求和步骤判断各选项即可. 【详解】对于①，时，成立,而时,,不满足题意， 根据数学归纳法证明的要求可知，正整数的第一个取值不是1，故①错误； 对于②，当时，左边的代数式为， 当时，左边的代数式为， 故用时左边的代数式减去时左边的代数式的结果为： ，故②错误； 对于③，由题意，无法推出时，均有成立，故③错误； 对于④，在时，没有用到的假设结论，故④错误. 故选：D. 2．若用数学归纳法证明是31的倍数，在验证成立时，原式为 ． 【答案】 【分析】将代入计算可得结果. 【详解】当时，. 故答案为： 3．已知数列的首项，且满足. (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前项和； (3)令，数列的前项和为.求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据题设易得，即可得证； （2）由（1）可得，进而根据等比数列的求和公式分组求和即可； （3）由题设可得，即可证明，分析可得，即证，再结合数学归纳法证得，即可得到，当且仅当时取等，进而求证即可. 【详解】（1）由，则， 又，所以数列是以4为首项4为公比的等比数列. （2）由（1）知，，则， 所以 . （3）由， 则， 由于，则， 所以. 由，则， 要证，即证， 由，则， 则， 下面证明， 当时，，即； 假设，，时，， 则时， . 综上所述，，则， 所以， 则，当且仅当时取等， 则，即. 综上所述，. 题型二 数学归纳法证明恒等式 4．用数学归纳法证明：时，从推证时，左边增加的代数式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，对分别赋值和，比较左式即得. 【详解】根据数学归纳法的规定，当时，等式为， 当时，等式为， 则左边增加的代数式是. 故选：A. 5．用数学归纳法证明的过程中，第二步假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，则当n＝k＋1时应得到的式子为 . 【答案】1＋2＋22＋＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k 【分析】分析由n＝k到n＝k＋1时，等式左边增加的项可得结果. 【详解】因为由n＝k到n＝k＋1时，等式的左边增加了一项，该项为， 所以当n＝k＋1时应得到的式子为1＋2＋22＋＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k， 故答案为：1＋2＋22＋＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k 6．已知． (1)是否存在常数使得对任意的都成立？若存在，求出； (2)若（1）中存在，用数学归纳法证明． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）根据数学归纳法的证明步骤证明． 【详解】（1）存在， 由题可得，解得， 所以存在，； （2）证明： 当时，， 假设时，等式成立， 时， 成立， 综上，成立． 题型三 数学归纳法证明整除问题 7．用数学归纳法证明“对任意偶数，能被整除时，其第二步论证应该是（    ） A．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 B．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 C．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 D．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 【答案】D 【分析】根据题意可得为偶数，结合数学归纳法的证明步骤即可得出答案. 【详解】因为为正偶数，所以第二步的假设应写为： 假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立， 即当（为正整数）时，能被整除， 再证时，能被整除. 故选：D 8．用数学归纳法证明34n＋2＋52n＋1能被14整除的过程中，当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1应变形为 . 【答案】25(34k＋2＋52k＋1)＋56×34k＋2 【分析】证明34n＋2＋52n＋1能被14整除的过程中，将n＝k＋1代入，化简可得答案． 【详解】当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1＝81×34k＋2＋25×52k＋1＝25(34k＋2＋52k＋1)＋56×34k＋2. 故答案为：25(34k＋2＋52k＋1)＋56×34k＋2 9．设，． (1)当时，计算的值； (2)你对的值有何猜想？用数学归纳法证明你的猜想． 【答案】(1)8，32，144，680； (2)猜想：当时，能被8整除，证明见解析. 【分析】（1）根据给定关系式，代入计算作答. （2）由（1）的结果，猜想结论，再利用数学归纳法证明作答. 【详解】（1）由，，得； ；； ． （2）由（1）猜想：当时，能被8整除． ①当时，有，能被8整除，命题成立； ②假设当时命题成立，即能被8整除， 则当时， ， 显然和均为奇数，它们的和必为偶数，从而能被8整除， 又依归纳假设，能被8整除，所以能被8整除，因此当时命题也成立， 由①②知，当时，能被8整除. 题型四 数学归纳法证明几何问题 10．平面内有个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都无公共点，用表示这个圆把平面分割的区域数，那么与之间的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】第个圆与前个圆相交有个交点，这些交点把第个圆分成段圆弧，每段圆弧把它所在区域分成两部分，由此可得增加的区域数，得出结论． 【详解】依题意得，由个圆增加到个圆，增加了个交点，这个交点将新增的圆分成段弧，而每一段弧都将原来的一块区域分成了2块，故增加了块区域，因此． 故选：B． 11．用数学归纳法证明：“两两相交且不共点的n条直线把平面分为f(n)部分，则f(n)＝1＋.”证明第二步归纳递推时，用到f(k＋1)＝f(k)＋ . 【答案】k＋1 【分析】从目标f(n)＝1＋分析，的结果，便可知第二步归纳递推时需要要证明的结论. 【详解】f(k)＝1＋， f(k＋1)＝1＋， ∴f(k＋1)－f(k) ＝ ＝k＋1， ∴f(k＋1)＝f(k)＋(k＋1)． 故答案为：k＋1. 12．平面内有n(n≥2)个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，记这n个圆的交点个数为f(n)，猜想f(n)的表达式，并用数学归纳法证明． 【答案】猜想f(n)＝n(n－1)(n≥2)，证明见解析. 【分析】当n＝2时，f（2）＝2＝1×2，n＝3时，f（3）＝2＋4＝6＝2×3，n＝4时，f(4)＝6＋6＝12＝3×4，……，由此归纳出f(n)＝n(n－1)(n≥2)，然后利用数学归纳法证明即可 【详解】n＝2时，f（2）＝2＝1×2， n＝3时，f（3）＝2＋4＝6＝2×3， n＝4时，f(4)＝6＋6＝12＝3×4， n＝5时，f(5)＝12＋8＝20＝4×5， 猜想f(n)＝n(n－1)(n≥2)． 下面用数学归纳法给出证明： ①当n＝2时，f（2）＝2＝2×(2－1)，猜想成立． ②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)，时猜想成立，即f(k)＝k(k－1)， 则n＝k＋1时，其中圆O与其余k个圆各有两个交点，而由假设知这k个圆有f(k)个交点， 所以这k＋1个圆的交点个数f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k(k－1)＋2k＝k2＋k＝(k＋1)[(k＋1)－1]， 即n＝k＋1时猜想也成立． 由①②知：f(n)＝n(n－1)(n≥2)． 题型五 数学归纳法证明数列问题 13．已知数列满足，则（    ） A．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立 B．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立 C．当时，为递减数列，且不存在常数，使得恒成立 D．当时，为递增数列，且不存在常数，使得恒成立 【答案】D 【分析】根据数学归纳法，结合定义法判断数列单调性，可得数列的取值范围，进而判断各选项. 【详解】由已知，即， 所以， A选项：当时，可用数学归纳法证明：，即. 证明：当时，，此时不等式成立， 假设当时，成立， 则当时，， 即成立， 综上所述成立， 且， 由，， 则， 即，故数列为递减数列， 由， ， 即，故， 即， 若存在常数，使得恒成立， 则，即， 故，故仅对部分成立，A选项错误； B选项：当时，可用数学归纳法证明：，即. 证明：当时，，此时不等式成立， 假设当时，成立， 则当时，， 即成立， 综上所述成立， 且， 由，， 则， 即，故数列为递增数列， 由， ， 即，故， 即， 所以不存在常数，使得恒成立，B选项错误； C选项：当时，可用数学归纳法证明：，即. 证明：当时，，此时不等式成立， 假设当时，成立， 则当时，， 即成立， 综上所述成立， 且， 由，， 则， 即，故数列为递减数列，且， 所以当，使得恒成立，即C选项错误； D选项：当时，可用数学归纳法证明：，即. 证明：当时，，此时不等式成立， 假设当时，成立， 则当时，， 即成立， 综上所述成立， 且， 由，， 则， 即，故数列为递增数列， 由， ， 即， 即， 若存在常数，使得恒成立， 则，即， 故，故仅对部分成立， 即不存在常数，使得恒成立，D选项正确； 故选：D. 14．设数列的前项和为，已知则 ． 【答案】 【分析】利用数列前项和与通项关系转化所求为连续项和式，令由前几个连续和发现规律，猜想并证明再应用结论求解即可. 【详解】. 由， ， 猜想：. 下面用数学归纳法证明：若，则对任意自然数，成立. 证明：当时，由上可知命题成立； 假设当时，， 则当时， 所以当时，命题也成立. 综上所述，对任意自然数，. 故. 故答案为：. 15．已知整数数列满足．定义数列，其中，对，表示集合的元素个数． (1)对于下列数列，分别写出其对应的： ①；②； (2)记，证明：若，则； (3)记为，当时，记为．证明：与的各项对应相等． 【答案】(1)①；② (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意写出数列即可； （2）根据数列各项可能的取值进行分类讨论； （3）先证明，再证明（2）中更一般的结论，进而通过反证法证明. 【详解】（1）根据题意可得 ①；②． （2）因，且数列为整数数列， 所以，，，而. 若，则均等于，于是，故． 若，则中恰有一个不等于，由于，所以， 于是，，故． 若，则中恰有两个不等于，而，，故， 于是，或1，，故. 若，由，故． 综上，. （3）先证明引理1：对任意． 设．因为，所以均不等于． 所以．故对任意，． 再证明引理2：记数列，对任意，若，则． 设．因为，所以均不等于．而， 所以中恰有项不等于，于是， 进而．易见，所以． 以下证明题目命题. 当时，或，两种情况下都有与的各项对应相等． 假设使得结论不成立的最小，即当时均有与的各项对应相等， 所以与的前项对应相等．根据引理2，与的前项分别相等． 假设与的第项不相等，根据引理1，的第项依次是． （ⅰ）假设的第项是，则的第项也是，矛盾； （ⅱ）假设的第项是时，则的第项也是， 于是的第项也是，矛盾； （ⅲ）假设的第项小于，根据引理2的证明，的第项与第项相等． 于是的前项均小于，则的第项是，矛盾. 故原命题成立． 题型六 数学归纳法证明其他问题 16．用数学归纳法证明“能被9整除”，在假设时命题成立之后，需证明时命题也成立，这时除了用归纳假设外，还需证明的是余项（    ）能被9整除. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】假设时命题成立，即能被9整除，计算当时，，即可得解. 【详解】解：假设时命题成立，即能被9整除， 当时， 能被9整除 要证上式能被9整除，还需证明也能被9整除 故选： 【点睛】本题考查数学归纳法，数学归纳法是证明一个与自然数集相关的性质，其步骤为：设是关于自然数的命题，若（奠基）在时成立；（归纳） 在为任意自然数）成立的假设下可以推出成立，则对一切自然数都成立． 17．已知为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设（为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证 时等式成立. 【答案】 【分析】由数学归纳法的证明过程可得答案，注意在为正偶数即可. 【详解】假设当（且为偶数）时，命题成立， 即成立 由于是对所有正偶数命题成立，则归纳推广时，应该是再证明取下一个偶数时，命题也成立. 所以应证明当时，等式也成立 故答案为： 【点睛】本题考查数学归纳法的证明过程，属于基础题. 18．已知为有穷正整数数列，，且.从中选取第项，第项，，第项，称数列，为的长度为的子列.规定：数列的任意一项都是的长度为1的子列.若对于任意的正整数，数列存在长度为的子列，使得，则称数列为全覆盖数列. (1)判断数列和数列是否为全覆盖数列； (2)在数列中，若，求证：当时，； (3)若数列满足：，且当时，，求证：数列为全覆盖数列. 【答案】(1)不是全覆盖数列，是全覆盖数列 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）直接使用定义验证即可； （2）利用数列的各项都是正整数及，即可得到结论； （3）结合全覆盖数列定义，使用数学归纳法证明即可得． 【详解】（1）对于，有，但该数列不存在和为的子列，故不是全覆盖数列； 对于，有， 由； ； 可知是全覆盖数列； （2）由题知，．若不成立，则，那么与假设矛盾， ∵，即，① 又， ∴， ∴， 由①②得，， ∴， 当时，， 得，命题成立， 此时，当时，成立， 当时，得， 同理可得，， 归纳可得，当时，， 综上可得，命题成立； （3）下面证明，当时，对于任意的， 存在子列，其中，使得， （i）当时，，∴当时，有， 当时，则， ∴．对于任意，命题成立， 或．对于任意，命题成立， （ii）假设当时，命题成立． 即对于任意的正整数，存在子列， 其中，使得， 则当时，对于任意的正整数； ①当正整数时，由假设成立， 存在子列，其中， 使得； ②当正整数时， ∵，∴．若，则此时成立， 若，则， 由假设，存在子列，其中， 使得， 整理得， 此时，即命题成立； 综上，对于任意的，存在子列， 其中，使． ∴数列为全覆盖数列． 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于第3小问中数学归纳法的使用． 题型七 推理证明解决探究问题 19．用数学归纳法证明对任意的自然数都成立，则以下满足条件的的值中正确的为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】先验证四个选项中符合要求的的值，再用数学归纳法进行充分性证明. 【详解】当时，，不合要求，舍去 当时，，不合要求，舍去； 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， 下证：当时，成立， 当时，成立， 假设当时，均有，解得： 当时，有， 因为， 所以成立， 由数学归纳法可知：对任意的自然数都成立， 故选：D 20．已知函数. (1)依次求，，的值； (2)对任意正整数n，记，即.猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明. 【答案】(1)，，； (2)猜想，证明见解析 【详解】（1），，，， ，，， 所以，，； （2），，， 所以猜想， 当时，，成立， 假设当时，命题成立，即， 即 那么当时，， ， ， ， 所以当时，猜想成立， 综合以上可知，当时，成立. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.4 数学归纳法 题型一 数学归纳法 1．下列命题错误的个数是（   ） ①用数学归纳法证明时，正整数的第一个取值是1. ②用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是. ③设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”，若成立，则当时，均有成立. ④对于不等式，用数学归纳法的证明过程如下： （1）当时，左边，右边，不等式成立. （2）假设当（且）时，不等式成立，即， 那么当时， ， 所以当时，不等式成立. 综上. A．1 B．2 C．3 D．4 2．若用数学归纳法证明是31的倍数，在验证成立时，原式为 ． 3．已知数列的首项，且满足. (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前项和； (3)令，数列的前项和为.求证：. 题型二 数学归纳法证明恒等式 4．用数学归纳法证明：时，从推证时，左边增加的代数式是（　　） A． B． C． D． 5．用数学归纳法证明的过程中，第二步假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，则当n＝k＋1时应得到的式子为 . 6．已知． (1)是否存在常数使得对任意的都成立？若存在，求出； (2)若（1）中存在，用数学归纳法证明． 题型三 数学归纳法证明整除问题 7．用数学归纳法证明“对任意偶数，能被整除时，其第二步论证应该是（    ） A．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 B．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 C．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 D．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 8．用数学归纳法证明34n＋2＋52n＋1能被14整除的过程中，当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1应变形为 . 9．设，． (1)当时，计算的值； (2)你对的值有何猜想？用数学归纳法证明你的猜想． 题型四 数学归纳法证明几何问题 10．平面内有个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都无公共点，用表示这个圆把平面分割的区域数，那么与之间的关系为（    ） A． B． C． D． 11．用数学归纳法证明：“两两相交且不共点的n条直线把平面分为f(n)部分，则f(n)＝1＋.”证明第二步归纳递推时，用到f(k＋1)＝f(k)＋ . 12．平面内有n(n≥2)个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，记这n个圆的交点个数为f(n)，猜想f(n)的表达式，并用数学归纳法证明． 题型五 数学归纳法证明数列问题 13．已知数列满足，则（    ） A．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立 B．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立 C．当时，为递减数列，且不存在常数，使得恒成立 D．当时，为递增数列，且不存在常数，使得恒成立 14．设数列的前项和为，已知则 ． 15．已知整数数列满足．定义数列，其中，对，表示集合的元素个数． (1)对于下列数列，分别写出其对应的： ①；②； (2)记，证明：若，则； (3)记为，当时，记为．证明：与的各项对应相等． 题型六 数学归纳法证明其他问题 16．用数学归纳法证明“能被9整除”，在假设时命题成立之后，需证明时命题也成立，这时除了用归纳假设外，还需证明的是余项（    ）能被9整除. A． B． C． D． 17．已知为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设（为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证 时等式成立. 18．已知为有穷正整数数列，，且.从中选取第项，第项，，第项，称数列，为的长度为的子列.规定：数列的任意一项都是的长度为1的子列.若对于任意的正整数，数列存在长度为的子列，使得，则称数列为全覆盖数列. (1)判断数列和数列是否为全覆盖数列； (2)在数列中，若，求证：当时，； (3)若数列满足：，且当时，，求证：数列为全覆盖数列. 题型七 推理证明解决探究问题 19．用数学归纳法证明对任意的自然数都成立，则以下满足条件的的值中正确的为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 20．已知函数. (1)依次求，，的值； (2)对任意正整数n，记，即.猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明. 1 学科网（北京）股份有限公司 $