精品解析：陕西省安康市旬阳县2025-2026学年上学期九年级11月期中数学试题

2025—2026学年度第一学期期中学业水平测试 九年级数学试题（卷） （北师大版） 老师真诚地提醒你： 1．本试卷共8页，满分120分； 2．答卷前请将密封线内的项目填写清楚； 3．书写要认真、工整、规范；卷面干净、整洁、美观． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的，请将正确答案的序号填在题前的答题栏中） 1. 如图，在中，，是斜边上的中线．若，则的长为（ ） A. 3 B. 2 C. 12 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形的性质：直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半．根据直角三角形的性质解决此题即可． 【详解】解：在中，，是斜边上的中线， ． ． 故选：C． 2. 用配方法解一元二次方程时可配方得（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，根据配方法的步骤求解即可． 【详解】解：移项，得， 配方，得， 即， 故选：A． 3. 现有四条线段，长度按从长到短的顺序依次为6，4，m，2，若这四条线段是成比例线段，则m的值是（ ） A. B. 2 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比例线段，根据比例线段的定义列出比例式是解题的关键． 根据题意得到，计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意得， ， ， 故选：D． 4. 下列说法中，正确的是（ ） A. 任意两个等边三角形都相似 B. 任意两个直角三角形都相似 C. 任意两个菱形都相似 D. 任意两个矩形都相似 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似图形，利用相似三角形和相似多边形的判定方法解答即可．解题的关键是掌握相似图形的定义． 【详解】解：A、任意两个等边三角形的内角等于，所以任意两个等边三角形都相似，故选项符合题意； B、任意两个直角三角形有一对直角相等，但直角的夹边不一定成比例，故都任意两个直角三角形不一定相似，故选项不符合题意； C、任意两个菱形对应角不一定相等，故任意两个菱形不一定相似，故选项不符合题意； D、任意两个矩形对应边不一定成比例，故任意两个矩形不一定相似，故选项不符合题意． 故选：A． 5. 一个不透明的口袋中装有3个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则估计口袋中白球的个数是（ ） A. 9 B. 10 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用频率估计概率，概率公式．由摸到红球的频率稳定在附近，可得摸到红球的概率为，设口袋中有x个白球，根据概率公式列方程即可． 【详解】解：设口袋中有x个白球， 则， 解得， 故选：C． 6. 如图，在中，，，，，则的长度为（ ） A. 6 B. 10 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例．根据平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 7. 如图，菱形的边长为10，对角线与交于点O，，则该菱形的面积为（ ） A. 30 B. 48 C. 60 D. 96 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理．根据勾股定理得出的长，得到的长，据此求解即可． 【详解】解：∵菱形的边长为10，， ∴，，， ∴， ∴， ∵菱形的面积， 故选：D． 8. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，解题关键是时需注意二次项系数不为零的条件． 根据一元二次方程的定义和根的判别式，方程需满足二次项系数不为零且判别式大于零． 【详解】解：方程化为标准形式， ∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴判别式，且， 解得：且． 故选：A． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，设是一元二次方程的两个根，则，．根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两个根， ∴． 故答案为：2． 10. 如图，在正方形中，E是延长线上一点，，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质，熟练掌握正方形的性质和等腰三角形的性质是解答的关键．先根据正方形的性质得到，，则，再根据等腰三角形的性质可得到，进而可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 如果关于x的一元二次方程的一个根是，那么______． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，正确理解一元二次方程的解的定义是解答本题的关键． 根据一元二次方程根的定义，将代入方程求得的值，再代入所求表达式计算． 【详解】因为是关于的一元二次方程的一个根， 所以把代入方程得：，求得， 所以． 故答案为2025． 12. 某校举办书法比赛，获得一等奖的有甲、乙、丙、丁四位同学，其中甲、乙来自九年级（1）班，丙、丁来自九年级（2）班，现从中推荐两名同学代表学校去参加县级比赛．若随机推荐，则两名同学均来自相同班级的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了画树状图法求概率，熟练掌握求概率的方法是解题的关键． 根据题意，根据画树状图法求概率即可求解． 【详解】解：画树状图，如图所示， 共有12种等可能结果，其中符合题意的有4种， ∴两名同学均来自相同班级的概率是， 故答案为：． 13. 如图，在中，D是的中点，，且．若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质. 根据是的中点，，得，再证明，则，代入数值进行化简计算，即可作答． 【详解】解：∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∵， 即， 解得， 故答案为：． 14. 如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，D为斜边AB上一动点，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．则线段EF的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接CD，证四边形CEDF是矩形，可得EF＝CD，再由垂线段最短可得CD⊥AB时线段CD的长最小，进而解答即可． 【详解】解：如图，连接CD， ∵DE⊥BC，DF⊥AC，∠ACB＝90°， ∴四边形CEDF是矩形， ∴EF＝CD， 由垂线段最短可得：CD⊥AB时，线段CD的长最小， 在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4， ∴AB＝＝＝5， 当CD⊥AB时， ∵△ABC的面积＝AB×CD＝AC×BC， ∴CD＝＝＝， ∴EF的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理以及三角形面积等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 三、解答题．（共12小题，计78分，解答应写出过程） 15. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）通过因式分解法解方程； （2）通过公式法解方程． 【小问1详解】 解： 或， ，； 【小问2详解】 解：， ，，， ， ， ，． 16. 周末，某商场进行促销活动，有一个可以自由转动的转盘（如图）．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品．下表是活动进行中的统计数据： 转动转盘的次数 100 200 300 400 500 600 落在“矿泉水”的次数 68 144 207 414 落在“矿泉水”的频率 （1）补全表格； （2）估计转动该转盘一次，获得矿泉水的概率．（结果保留一位小数） 【答案】（1） 完成表格如下： 转动转盘的次数 100 200 300 400 500 600 落在“矿泉水”的次数 68 144 207 284 350 414 落在“矿泉水”的频率 （2）【解析】 【分析】本题考查了频数、频率统计表、用频率估计概率，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据频数与频率之间的关系即可完成表格； （2）利用频率的稳定值估计概率即可． 【小问1详解】 解：当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 【小问2详解】 解：由表格得，落在“矿泉水”的频率稳定在附近， 转动该转盘一次，获得矿泉水的概率约是． 17. 如图，在中，点是边上的一点，请用尺规作图法，在边上求作一点，连接，使得与相似．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图，点E即为所求； 或 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，尺规作图—作一个角等于已知角，根据两角对应相等的两个三角形相似，作或，即可． 【详解】略 18. 已知，是的角平分线，交于点E，交于点F．求证：四边形是菱形． 【答案】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】先证明四边形是平行四边形，再根据角平分线的定义得到，根据两直线平行，内错角相等求出，等量代换可得， 根据等角对等边的性质可得，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形进行判定即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，平行线的性质，等腰三角形的判定，掌握判定方法是解题的关键． 19. 如图，在边长为的小正方形组成的网格中，和的顶点都在网格点上，证明：． 【答案】 证明：根据勾股定理，得，，，，，， ∴，，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了网格与勾股定理，相似三角形的判定，由网格可知，，，，，，再利用三边对应成比例的两个三角形相似即可求证，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 【详解】略 20. “道路千万条，安全第一条”，公安交警部门提醒市民，骑行必须严格遵守“一盔一带”的法规．某安全头盔经销商统计了某品牌头盔6月份到8月份的销量，该品牌头盔6月份销售400个，8月份销售676个，且从6月份到8月份销售量的月均增长率相同．求该品牌头盔销售量的月均增长率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设该品牌头盔销售量的月增长率为，利用该品牌头盔8月份的销售量=该品牌头盔6月份的销售量（1+该品牌头盔销售量的月增长率），可列出关于的一元二次方程，求解出增长率，即可得出结论． 【详解】解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 由题意得，， 解得，（舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月均增长率为． 21. 如图，矩形中，、是上的点，． 求证：． 【答案】 证明：四边形为矩形， ，， 又， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定与性质，由矩形的性质得到，，易证，即可证明结论． 【详解】略 22. 已知关于的一元二次方程． （1）若该方程的一个根为，求的值； （2）求证：不论取何实数，该方程总有实数根． 【答案】（1） （2） 证明：由题意可知，， 不论取何实数，该方程总有实数根． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义以及根的判别式，熟练掌握相关公式是解题关键． （1）把代入方程中即可求出答案； （2）根据根的判别式即可求出答案． 【小问1详解】 解：把代入方程得， 解得，故的值为1； 【小问2详解】 略 23. 现有4张卡片正面写有不同的变化现象，A．冰化成水，B．酒精燃烧，C．铁棒成针，D．牛奶变酸，它们除此之外都相同，把这4张卡片背面朝上，洗匀放在桌子上． （1）小辰从中随机抽取1张，则这张卡片呈现的变化是物理变化的概率是 ； （2）小雨从4张卡片中随机抽取1张，再从剩下的3张卡片中随机抽取1张，请用列表或画树状图的方法，求小雨抽出的2张卡片呈现的变化都是化学变化的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是用树状图法求概率以及随机事件的定义．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）由概率公式即可得出结论； （2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中小雨抽出的2张卡片呈现的变化都是化学变化的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：小辰从中随机抽取1张，共有4种等可能的结果，其中抽取的卡片是呈现的变化是物理变化的结果只有2种， ∴概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中小雨抽出的2张卡片呈现的变化都是化学变化的结果有2种， ∴小雨抽出的2张卡片呈现的变化都是化学变化的概率为． 24. 《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（图中的）．小华利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上．已知“矩”的两边长分别为，，小华的眼睛到地面的距离为，测得，求树的高度． 【答案】树的高度为 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，根据相似三角形的判定与性质即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得：，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 答：树高为． 25. 水果批发商进口一种高档水果，售出水果每千克盈利（毛利润）元，每天可售出千克，经市场调查后发现，在进价不变的情况下，若每千克售价降低1元，每天多售出千克． （1）若以每千克盈利元的价钱出售，能卖出多少千克？ （2）若以每千克盈利元的价钱出售，此时能盈利多少元？ （3）若水果店要保证每天销售这种水果的毛利润为元，同时又要价格尽可能低，则每千克水果应降价多少元？ 【答案】（1）千克 （2）元 （3）5元 【解析】 【分析】本题考查了销售盈亏(一元一次方程的应用)，营销问题(一元二次方程的应用) ，有理数四则混合运算的实际应用等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）设降价元，可用表示出盈利，由此列出方程求解，从而可求出销量； （2）每千克盈利元，乘以（1）中算出的销量即可； （3）设每千克应降价元，根据题意，列出一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：设降价元， 盈利（元/千克）， 每千克盈利元， 则， 解得：， 销量千克； 【小问2详解】 以每千克盈利元的价钱出售， 此时能盈利元； 【小问3详解】 设每千克应降价元， 则， 解得：，， 因为同时又要价格尽可能低， 所以每千克水果应降价5元． 26. 如图，四边形是菱形，对角线、交于点O，点D、B是对角线所在直线上两点，且，连接、、、，． （1）证明：； （2）四边形是怎样的特殊四边形？请说明理由． 【答案】（1） 解：∵菱形的对角线和交于点O， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴； （2） 解：四边形是正方形．理由如下， ∵四边形是平行四边形，且， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，正方形的判定，平行四边形的性质与判定． （1）先根据菱形的性质得，，，则，证明四边形是平行四边形，推出，，利用即可证明结论成立； （2）结合，得到四边形是菱形，由，推出，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期期中学业水平测试 九年级数学试题（卷） （北师大版） 老师真诚地提醒你： 1．本试卷共8页，满分120分； 2．答卷前请将密封线内的项目填写清楚； 3．书写要认真、工整、规范；卷面干净、整洁、美观． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的，请将正确答案的序号填在题前的答题栏中） 1. 如图，在中，，是斜边上的中线．若，则的长为（ ） A. 3 B. 2 C. 12 D. 6 2. 用配方法解一元二次方程时可配方得（ ） A. B. C. D. 3. 现有四条线段，长度按从长到短的顺序依次为6，4，m，2，若这四条线段是成比例线段，则m的值是（ ） A. B. 2 C. 4 D. 3 4. 下列说法中，正确的是（ ） A. 任意两个等边三角形都相似 B. 任意两个直角三角形都相似 C. 任意两个菱形都相似 D. 任意两个矩形都相似 5. 一个不透明的口袋中装有3个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则估计口袋中白球的个数是（ ） A. 9 B. 10 C. 7 D. 8 6. 如图，在中，，，，，则的长度为（ ） A. 6 B. 10 C. 2 D. 3 7. 如图，菱形的边长为10，对角线与交于点O，，则该菱形的面积为（ ） A. 30 B. 48 C. 60 D. 96 8. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值为______． 10. 如图，在正方形中，E是延长线上一点，，则的度数为________． 11. 如果关于x的一元二次方程的一个根是，那么______． 12. 某校举办书法比赛，获得一等奖的有甲、乙、丙、丁四位同学，其中甲、乙来自九年级（1）班，丙、丁来自九年级（2）班，现从中推荐两名同学代表学校去参加县级比赛．若随机推荐，则两名同学均来自相同班级的概率是__________． 13. 如图，在中，D是的中点，，且．若，则的长为______． 14. 如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，D为斜边AB上一动点，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．则线段EF的最小值为_____． 三、解答题．（共12小题，计78分，解答应写出过程） 15. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 16. 周末，某商场进行促销活动，有一个可以自由转动的转盘（如图）．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品．下表是活动进行中的统计数据： 转动转盘的次数 100 200 300 400 500 600 落在“矿泉水”的次数 68 144 207 414 落在“矿泉水”的频率 （1）补全表格； （2）估计转动该转盘一次，获得矿泉水的概率．（结果保留一位小数） 17. 如图，在中，点是边上的一点，请用尺规作图法，在边上求作一点，连接，使得与相似．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 已知，是的角平分线，交于点E，交于点F．求证：四边形是菱形． 19. 如图，在边长为的小正方形组成的网格中，和的顶点都在网格点上，证明：． 20. “道路千万条，安全第一条”，公安交警部门提醒市民，骑行必须严格遵守“一盔一带”的法规．某安全头盔经销商统计了某品牌头盔6月份到8月份的销量，该品牌头盔6月份销售400个，8月份销售676个，且从6月份到8月份销售量的月均增长率相同．求该品牌头盔销售量的月均增长率． 21. 如图，矩形中，、是上的点，． 求证：． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）若该方程的一个根为，求的值； （2）求证：不论取何实数，该方程总有实数根． 23. 现有4张卡片正面写有不同的变化现象，A．冰化成水，B．酒精燃烧，C．铁棒成针，D．牛奶变酸，它们除此之外都相同，把这4张卡片背面朝上，洗匀放在桌子上． （1）小辰从中随机抽取1张，则这张卡片呈现的变化是物理变化的概率是 ； （2）小雨从4张卡片中随机抽取1张，再从剩下的3张卡片中随机抽取1张，请用列表或画树状图的方法，求小雨抽出的2张卡片呈现的变化都是化学变化的概率． 24. 《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（图中的）．小华利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上．已知“矩”的两边长分别为，，小华的眼睛到地面的距离为，测得，求树的高度． 25. 水果批发商进口一种高档水果，售出水果每千克盈利（毛利润）元，每天可售出千克，经市场调查后发现，在进价不变的情况下，若每千克售价降低1元，每天多售出千克． （1）若以每千克盈利元的价钱出售，能卖出多少千克？ （2）若以每千克盈利元的价钱出售，此时能盈利多少元？ （3）若水果店要保证每天销售这种水果的毛利润为元，同时又要价格尽可能低，则每千克水果应降价多少元？ 26. 如图，四边形是菱形，对角线、交于点O，点D、B是对角线所在直线上两点，且，连接、、、，． （1）证明：； （2）四边形是怎样的特殊四边形？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $