4.3.2 等比数列的前n项和公式（八大题型）专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.3.2 等比数列的前n项和公式 题型一 求等比数列的前n项和 1．已知是首项为2，公比为2的等比数列，记，其中，记数列的前项和为，则（    ） A．9143 B．9145 C．10009 D．10154 【答案】D 【分析】由题意得，结合题意可得，当时，，利用等差数列的前项和公式求出这10 项和，当时，，这些项的和为，利用分组求和法及等差数列、等比数列的前项和公式求解，再加上时的10项和即可求解. 【详解】由题意得， ，，， 所以， 当时，， 共10项，这10项的和为, 其余项有项， 当时，， 这些项的和为 ， 所以. 故选：. 2．设等比数列的前项和为，若公比，则 . 【答案】64 【分析】利用等比数列的性质求解即可. 【详解】由等比数列的性质得. 故答案为：64. 3．已知首项为 的数列 的前n项和为 ， 且． (1)求 的值； (2)求数列 的通项公式； (3)若，的前n项和为 ，证明：． 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用已知结合递推关系式求解； （2）利用已知结合递推关系式构造等比数列，进而求出的通项公式； （3）先求出的通项公式，再利用等比数列前项和公式求出，分情况讨论得出的取值范围． 【详解】（1），， ，，，，． （2），，又， 数列 是首项为，公比为的等比数列，即， ． （3），， ，故是首项为，公比是的等比数列， ， 当为奇数时，，单调递减，单调递减，； 当为偶数时，，单调递增，单调递增，； 综上，． 题型二 等比数列的前n项和的基本量计算 4．记为等比数列的前项和，若，则（    ） A．85 B．15 C． D． 【答案】D 【分析】根据成等比数列得到方程，求出或，分两种情况进行求解，舍去不符合要求的根，得到答案. 【详解】由题意得成等比数列， 设，则成等比数列，即， 解得或， 若，则，， 设的公比为，则，舍去； 若，则，，， 则，满足要求， 由于成等比数列， 故成等比数列，故，解得， 故选：D 5．记为正项等比数列的前项和，且，则数列的公比为 . 【答案】2 【分析】设等比数列的公比为，先检验排除公比为1的情况，再运用等比数列的前项和公式计算即得. 【详解】设等比数列的公比为， 若，则，故不合题意； 即，由，即， 所以，解得或（舍去）. 因为，所以. 故答案为：2. 6．已知正项数列的的前n项为，且满足，等比数列是递增数列，，为其前n项和，且满足． (1)分别求，的通项公式； (2)当时，若对任意的恒成立，求实数的最大值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据得出的递推公式，从而可判断为等差数列，利用等比数列的求和公式计算出公比，即可得出其通项公式； （2）分别求出与的前项和，分离参数得出，设，判断函数的单调性，求出的最小值即可得出的取值范围． 【详解】（1）由于，故， 当时，得 ， ， ， 故是以2为公差的等差数列， 又当时，得， ， ， 等比数列是递增数列，，故公比， 由可得，解得， 故； （2）数列的前项和， 数列的前项和， 由可得，故对任意的恒成立， 设，则， 当时，，则； 当时，，则； 故， ，故实数的最大值为 题型三 等比数列片段和性质及应用 7．已知等比数列的前n项和为，若，，则（   ） A．49 B．63 C．84 D．105 【答案】A 【分析】根据等比数列前项和性质列式计算即可求解. 【详解】由题意可知，成等比数列， 所以，解得. 故选：A 8．设等比数列的前项和为，若，则 ． 【答案】31 【分析】设，根据等比数列的前项和的性质列式求解即可. 【详解】因为为等比数列，且，所以，，成等比数列． 设，则． 因则有，即，所以． 故． 故答案为：31. 9．（1）已知在等比数列中，，数列是等差数列，且，求的值； （2）已知在等比数列中，，，求的值； （3）已知等比数列的前项和为2，其后项的和为12，求再后面项的和． 【答案】（1）8；（2）1024；（3）或． 【分析】（1）利用等差数列和等比数列的性质即可求解； （2）利用等比数列的通项公式将已知条件和所求均用和来表示即可求解. （3）利用等比数列的前项和的性质进行求解即可. 【详解】（1）数列为等比数列，， ，，， 为等差数列，． （2）在等比数列中，设公比为， ①， ②， 则②①得，则， ； （3）由题意可知，其后项为，则， 由等比数列的性质知，，成等比数列， 即，解得或． 当时，，，，是首项为2，公比为的等比数列， 则， 所要求的和为． 当时，，，，是首项为2，公比为的等比数列， 则， ． 故所求的和为或． 题型四 等比数列奇、偶项和的性质及应用 10．已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1012，偶数项之和为2024，则这个数列的公比为（   ） A．8 B． C．4 D．2 【答案】D 【分析】根据题意结合等比数列的性质运算求解. 【详解】由题意可知：， 所以． 故选：D. 11．等比数列共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比 . 【答案】/ 【分析】结合题意列方程组分别求出，，再由等比数列的性质求出结果即可. 【详解】设等比数列的奇数项的和、偶数项的和分别为，. 由题意可得 解得 所以． 故答案为：. 12．设是数列的前项和，已知 (1)求，并证明：是等比数列； (2)求满足的所有正整数. 【答案】(1)，证明见解析 (2)1，2 【分析】（1）利用代入计算即可求得，由等比数列定义可求得，即可得出证明； （2）利用数列分组求和可得出，再利用二次函数及指数函数单调性即可求得结果. 【详解】（1）由可得， 所以， 可得； 由已知得， 所以， 其中， 所以是以为首项，为公比的等比数列； （2）由（1）知， 所以， 所以， 所以 ， 由二次函数及指数函数性质可知当时，单调递减， 其中， 所以满足的所有正整数为1，2. 题型五 等比数列的前n项和的其他性质 13．已知等比数列的前项和为，若，则的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】利用，，成等比数列，借助，可以把看成一个关于的二次函数，从而可求最小值. 【详解】由题意知，，成等比数列，所以， 即，所以， 当时，取得最小值3. 故选：D. 14．当公比时，设，等比数列的前项和公式是，即是的 ． 【答案】指数型函数 【分析】略 【详解】略 15．已知数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据前项和为与的关系，利用相减法得数列递推关系式，从而根据等比数列可得的通项公式； （2）由（1）得，根据不等式，，即可证得结论. 【详解】（1）当时，由，得， 则，整理得. 因为，所以是以为首项，为公比的等比数列， 则. （2）证明：由（1）可得，则. 当时，对于， 所以， 从而. 题型六 前n项和特点 16．已知等比数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用与的关系求出数列的通项公式，利用等比数列的定义可得出关于的等式，解之即可. 【详解】当时，， 当时，， 故当时，， 因为数列为等比数列，易知该数列的公比为，则，即， 解得. 故选：C. 17．已知等比数列的前项和（是常数），则的值为 ． 【答案】 【分析】根据求出数列的通项公式，结合等比数列的定义可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为等比数列的前项和， 当时，， 当时，， 满足，即，解得，故， 故对任意的，，即数列为等比数列，故. 故答案为：． 18．已知等比数列的公比为是的前项和. (1)若，求； (2)若有无最值?说明理由； (3)设，若首项和都是正整数，满足不等式，且对于任意正整数有成立，问：这样的数列有几个? 【答案】(1)或； (2)当时，有最小值为1，但无最大值；当时，有最大值为1，最小值为；理由见解析 (3)232 【分析】（1）先求得公比，然后求得. （2）对进行分类讨论，从而求得正确结论. （3）求得和的关系式，对分类讨论，确定的可能取值，即可求得正确答案. 【详解】（1）依题意， 当时，. 当时， （2）当时，，是单调递增数列， 有最小值为，没有最大值. 当时，，， ①，当为奇数时，单调递减，有最大值为，且， ②，当为偶数时，单调递增，有最小值， 且. 所以当时，的最大值为，最小值为. （3）依题意，，首项和都是正整数，， 由于，所以， 即从开始（），有种可能， 所以从开始（），有种可能， 由于，即， 即恒成立， 则时，，所以， 试题或， 当时，， 则取，共种. 当时，， 则取，共种. 综上所述，数列有个. 题型七 前n项和与通项关系 19．已知等比数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简表达式，求出首项和公比，即可求出. 【详解】由题意，， 在等比数列中，， 设公比为q， ，解得， ∴， 当时，，解得：， ∴是以2为首项，3为公比的等比数列， ∴. 故选：A. 20．已知数列的前n项和为，且满足，则数列的前n项和为 . 【答案】 【分析】由，利用数列通项和前n项和的关系，得到，再利用错位相减法求解. 【详解】当时，所以； 当时，由， 得，所以. 令， 则， 两式作差得， 所以. 故答案为： 21．已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，若对任意的，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由数列的通项与求和的关系，以及等比数列的通项公式，可得所求. （2）由数列的裂项相消求和，可得，再由参数分离和不等式恒成立思想，结合数列的单调性，可得所求取值范围. 【详解】（1）当时，，，解得， 当时，由，可得，相减可得，对也成立， 由此可得数列是首项为，公比为的等比数列，所以， 所以，数列的通项公式为. （2）， 则 两式相减可得： , 整理可得, 若对任意的，恒成立,即为恒成立， 设，则，当时，即时，所以当时，， 所以当时，，当时，， 当时，，当时，， 可以看出在处取得最小值，所以从后才开始递增，即当，，时，， 当时，，所以， 所以的取值范围为. 题型八 等比数列的简单应用 22．一个热气球在第一分钟上升了25m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟上升高度的80%，该热气球在前3分钟里上升的总高度为（    ）米. A．29 B．45 C．61 D．77 【答案】C 【分析】根据等比数列求和公式即可求解. 【详解】由题意可知，热气球每分钟上升的高度构成等比数列，且首项，公比， 则该热气球在前3分钟里上升的总高度为米. 故选：C 23．已知数列的通项公式，在其相邻两项，之间插入个3（），得到新的数列，记的前n项和为，则使成立的n的最小值为 ． 【答案】30 【分析】根据题意分析得的项的情况，求出当时和当时的，并结合数列的增减性找出的最小值. 【详解】由题意得数列的前项依次为： ，3，，，3，3，3，，，个，，个，，， 当时，， 当时，， 因，则数列为递增数列， 所以使成立的的最小值为. 故答案为： 24．正项等比数列的前项和为，满足，． (1)求的通项公式； (2)若为的前n项积，求的最大值（可以用指数式表示），并求出最大时的值． 【答案】(1) (2)或，的最大值为. 【分析】（1）根据求出公比，根据求出首项即可； （2）讨论、、即可求出. 【详解】（1）设数列公比为，则，解得或， 因等比数列为正项数列，则， 则，解得，                                 则. （2）当时，；当时，；当时，，    所以当或时，最大，最大值为 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3.2 等比数列的前n项和公式 题型一 求等比数列的前n项和 1．已知是首项为2，公比为2的等比数列，记，其中，记数列的前项和为，则（    ） A．9143 B．9145 C．10009 D．10154 2．设等比数列的前项和为，若公比，则 . 3．已知首项为 的数列 的前n项和为 ， 且． (1)求 的值； (2)求数列 的通项公式； (3)若，的前n项和为 ，证明：． 题型二 等比数列的前n项和的基本量计算 4．记为等比数列的前项和，若，则（    ） A．85 B．15 C． D． 5．记为正项等比数列的前项和，且，则数列的公比为 . 6．已知正项数列的的前n项为，且满足，等比数列是递增数列，，为其前n项和，且满足． (1)分别求，的通项公式； (2)当时，若对任意的恒成立，求实数的最大值． 题型三 等比数列片段和性质及应用 7．已知等比数列的前n项和为，若，，则（   ） A．49 B．63 C．84 D．105 8．设等比数列的前项和为，若，则 ． 9．（1）已知在等比数列中，，数列是等差数列，且，求的值； （2）已知在等比数列中，，，求的值； （3）已知等比数列的前项和为2，其后项的和为12，求再后面项的和． 题型四 等比数列奇、偶项和的性质及应用 10．已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1012，偶数项之和为2024，则这个数列的公比为（   ） A．8 B． C．4 D．2 11．等比数列共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比 . 12．设是数列的前项和，已知 (1)求，并证明：是等比数列； (2)求满足的所有正整数. 题型五 等比数列的前n项和的其他性质 13．已知等比数列的前项和为，若，则的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 14．当公比时，设，等比数列的前项和公式是，即是的 ． 15．已知数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)证明：. 题型六 前n项和特点 16．已知等比数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 17．已知等比数列的前项和（是常数），则的值为 ． 18．已知等比数列的公比为是的前项和. (1)若，求； (2)若有无最值?说明理由； (3)设，若首项和都是正整数，满足不等式，且对于任意正整数有成立，问：这样的数列有几个? 题型七 前n项和与通项关系 19．已知等比数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 20．已知数列的前n项和为，且满足，则数列的前n项和为 . 21．已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，若对任意的，恒成立，求的取值范围. 题型八 等比数列的简单应用 22．一个热气球在第一分钟上升了25m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟上升高度的80%，该热气球在前3分钟里上升的总高度为（    ）米. A．29 B．45 C．61 D．77 23．已知数列的通项公式，在其相邻两项，之间插入个3（），得到新的数列，记的前n项和为，则使成立的n的最小值为 ． 24．正项等比数列的前项和为，满足，． (1)求的通项公式； (2)若为的前n项积，求的最大值（可以用指数式表示），并求出最大时的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $