4.2.2 等差数列的前n项和公式（十五大题型）专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.2.2 等差数列的前n项和公式 题型一 求等差数列前n项和 1．已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．数列的项是由1或2构成，且首项为1，在第个1和第个1之间有个2，即数列为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，….记数列的前项和为，则 . 3．记为等差数列的前项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)在数列中依次取出下标能被4除余1的项组成数列，记的前项和为，求. 题型二 等差数列前n项和的基本量计算 4．已知数列为等差数列，的前项和为，，，则（    ） A． B． C． D． 5．记为等差数列的前项和，若，则 . 6．记为等差数列的前项和，已知 (1)求数列的通项公式； (2)记数列，的前项和为，求． 题型三 含绝对值的等差数列前n项和 7．单调递增的等差数列满足，当公差取最小值时，（   ） A． B． C． D． 8．在数列中，，，则数列的前10项和为 . 9．已知等差数列的公差，且. (1)求数列的通项公式； (2)记，若，求. 题型四 等差数列奇数项或偶数项的和 10．若成等差数列，奇数项的和为75，偶数项的和为60，则该数列的项数为（   ） A．4 B．5 C．9 D．11 11．已知一个项数为的等差数列，设其前项和为，其所有奇数项的和为480，所有偶数项的和为360，公差，则当为偶数时，此数列首尾两项之和为 ． 12．已知数列满足，， (1)求； (2)当为奇数时，求数列的前项和 题型五 由前n项和判断数列是否是等差数列 135．已知数列的前n项和，则是（   ） A．公差为4的等差数列 B．公差为2的等差数列 C．公比为2的等比数列 D．公比为3的等比数列 14．设数列的前项和为，点均在函数的图象上，则数列的通项公式 ． 15．已知数列的前项和是的二次函数，且. (1)求； (2)证明：数列是等差数列． 题型六 由Sn求通项公式 16．已知为等差数列，记为其前n项和，若，则（   ） A．3 B．7 C．13 D．2 17．记为数列的前n项和，为数列的前n项和，则 ． 18．已知数列的前项和满足，，且. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 题型七 等差数列片段和的性质及应用 19．已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．51 B．57 C．63 D．66 20．已知等差数列的前项和为.若，则 . 21．设是由正数组成的等差数列，是其前项和． (1)若，求的值； (2)若存在互不相等的三个正整数p，q，m，使得，证明：不等式成立． 题型八 前n项和与n的比所组成的等差数列 22．设是等差数列的前n项和，是数列的前n项和.若，则等于（   ） A．49 B．50 C．51 D．52 23．已知是等差数列的前项和，设为数列的前项和，若，，则 . 24．已知是等差数列的前项和. (1)证明：是等差数列； (2)设为数列的前项和，若，求. 题型九 两个等差数列前n项和之比问题 25．设等差数列的前项和分别为．若，则（   ） A． B． C． D．2 26．已知等差数列的首项和公差相等且均不为零，则 . 27．已知等差数列和等差数列的前项和分别为，，，. (1)求数列和数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 题型十 等差数列前n项和的其他性质及应用 28．已知等差数列的前项和为，若，则的值为（    ） A．9 B．4 C．3 D．2 29．记等差数列的前项和为，已知，，则的公差为 . 30．已知正项数列，其前项和为． (1)证明：“”是“若数列是等差数列，且也是等差数列”的充分条件； (2)若，求数列的前项和． 题型十一 等差数列前n项和的二次函数特征 31．已知数列中，前项和，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 32．设等差数列，的前项和分别为，，若，则 . 33．记等差数列的前项和为，公差为. (1)证明：是关于的不含常数项的二次函数； (2)等差数列的公差为，且. ①求的通项公式； ②记数列的前项和为，是否存在，，使得？若存在，求，；若不存在，请说明理由. 题型十二 二次函数法求等差数列前n项和的最值 34．记为数列的前n项和，已知，，，若，则的最小值为（   ） A．1 B． C．2 D．3 35．已知等差数列的前项和为，，且，则取最大值时的值为 . 36．已知数列是等差数列，为数列的前项和，； (1)求数列的通项公式； (2)求数列的最大项. 题型十三 求等差数列前n项和的最值 37．设等差数列的前项和为，若有最大值，且，则中最大的是（   ） A． B． C． D． 38．已知数列的通项公式为，前n项和为，则的最大值为 . 39．记为等差数列的前项和，且满足，. (1)求. (2)是否存在最大（小）值，如果存在，求出取得最值时n的值，此时最值是多少？如果不存在，请说明理由 题型十四 根据等差数列前n项和的最值求参数 40．设等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时的值为（    ） A．12 B．13 C．14 D．25 41．在等差数列中，，公差为d，前n项和为，当且仅当时取得最大值，则d的取值范围为 . 42．已知数列的前项和为． (1)求出的通项公式； (2)求数列前项和最小时的取值． 题型十五 等差数列的简单应用 43．已知正项数列的前项积为，若，则（   ） A．4051 B．4050 C．2026 D．2025 44．一支车队有辆车，某天下午车队依次出发执行运输任务，第一辆车于时出发，以后每间隔分钟发出一辆车.假设所有的司机都连续开车，并都在时停下来休息，则截止到时，最后一辆车行驶了 小时. 45．设和是两个等差数列，记（，2，3，…），其中表示，，…这s个数中最小的数. (1)若，，求证：不是等差数列； (2)若，，证明：是等差数列； (3)证明：或者对任意实数M，存在正整数m，当时，；或者存在正整数m，使得，，，…是等差数列. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2.2 等差数列的前n项和公式 题型一 求等差数列前n项和 1．已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据题意，由等差数列前n项和的性质可得，要使为整数，只需要为的因数即可. 【详解】， 又， ， 当时，，所以使得为整数的正整数的个数是4个. 故选：D. 2．数列的项是由1或2构成，且首项为1，在第个1和第个1之间有个2，即数列为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，….记数列的前项和为，则 . 【答案】4005 【分析】根据数列得到构成，利用等差数列的求和公式，确定数列1和2的个数，再求和. 【详解】由条件可知， 前个1之间有个2， 所以个1和个2的个数为，令，满足条件的最大为， 当时，个数，第45个1后面有个2， 所以 故答案为： 3．记为等差数列的前项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)在数列中依次取出下标能被4除余1的项组成数列，记的前项和为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件列出方程求公差即可得解； （2）由题意可证明数列为等差数列，利用求和公式求解即可. 【详解】（1）因为， 所以，所以， 所以. （2）由题意，， 所以， 故， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， ， 所以. 题型二 等差数列前n项和的基本量计算 4．已知数列为等差数列，的前项和为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列的项与和的基本量运算列式，求出数列的首项和公差，即可求得. 【详解】设等差数列的公差为, 则，即， 又，即， 则由解得， 则. 故选：B. 5．记为等差数列的前项和，若，则 . 【答案】 【分析】设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，可得，即， 又因为，可得，即， 联立方程组，解得. 故答案为：. 6．记为等差数列的前项和，已知 (1)求数列的通项公式； (2)记数列，的前项和为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列的通项公式，求和公式，列方程组求解； （2）利用分组求和，将奇数项、偶数项的和分别由常数列、等差数列求和即可求出结果. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则，解得， 所以； （2）由（1）得， . 题型三 含绝对值的等差数列前n项和 7．单调递增的等差数列满足，当公差取最小值时，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质以及绝对值的几何意义，分析，，的特点，进而确定公差的最小值以及的值. 【详解】设等差数列的公差为，，表示点到原点的距离，表示点到点的距离，表示点到点的距离； 已知， 根据绝对值的几何意义可知，数列中的项应满足，， 因为，由，可得，所以的最小值为， 当时，，， 解不等式可得；解不等式可得，所以. 故选:C． 8．在数列中，，，则数列的前10项和为 . 【答案】50 【分析】求出等差数列通项公式，再分析得前6项小于等于0，最后利用等差数列前项公式计算即可. 【详解】由，得． 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列． 则． 数列的前项和． 当时，，当时，， 则数列的前10项和为 . 故答案为：50. 9．已知等差数列的公差，且. (1)求数列的通项公式； (2)记，若，求. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据等差数列的性质和通项公式，即可求解，进而可求解通项公式； （2）由（1）得，进而可得，从而求得，列方程即可求解. 【详解】（1）因为数列为等差数列，所以， 又，所以， 又，，解得， 所以由得到； （2）由（1）得，所以， 则， 所以，当时，，数列为首项是，公差为的等差数列， 所以， 当时，，数列为首项是，公差为的等差数列， 所以， 所以， 又，即，解得（舍）或. 题型四 等差数列奇数项或偶数项的和 10．若成等差数列，奇数项的和为75，偶数项的和为60，则该数列的项数为（   ） A．4 B．5 C．9 D．11 【答案】C 【分析】利用奇偶数项的和及等差数列的性质有，即可求项数. 【详解】由题设，则，显然， 所以，可得，则共有项. 故选：C 11．已知一个项数为的等差数列，设其前项和为，其所有奇数项的和为480，所有偶数项的和为360，公差，则当为偶数时，此数列首尾两项之和为 ． 【答案】56 【分析】只需根据等差数列前项和性质求得的值，再结合等差数列性质即可求解. 【详解】当为偶数时，由题意可知， 所以，所以， 此时，解得， ，解得， 则． 故答案为：56. 12．已知数列满足，， (1)求； (2)当为奇数时，求数列的前项和 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，得出数列为等差数列，即可求出结果； （2）根据条件得出，由（1）知，再利用分组求和即可求出结果. 【详解】（1）因为，所以数列构成首项为，公差为的等差数列， 所以. （2）由，所以数列构成首项为，公差为的等差数列，得到， 设， 则， 又，所以为奇数时， 题型五 由前n项和判断数列是否是等差数列 135．已知数列的前n项和，则是（   ） A．公差为4的等差数列 B．公差为2的等差数列 C．公比为2的等比数列 D．公比为3的等比数列 【答案】A 【分析】利用的关系先确定通项公式，结合等差数列与等比数列的定义判定即可. 【详解】当时，， 当时，，作差得， 显然时，也满足上式，故， 显然，由等差数列与等比数列的定义知A正确，B、C、D错误. 故选：A 14．设数列的前项和为，点均在函数的图象上，则数列的通项公式 ． 【答案】 【分析】代入法求得，由表达式可知数列为等差数列，求得首项和公差后可得通项公式． 【详解】解：依题意得，即， 所以数列为等差数列，且，， 设其公差为，则， 所以． 故答案为：. 15．已知数列的前项和是的二次函数，且. (1)求； (2)证明：数列是等差数列． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设，根据题意，列出方程组，求得的值，即可求解； （2）由（1）知，利用与的关系式，求得，结合等差数列的定义，即可得证. 【详解】（1）解：设数列的前项和为， 因为， 可得，解得， 所以. （2）证明：由（1）知， 当时，可得； 当时，， 当时，适合上式，所以， 又由，所以数列表示首项为，公差的等差数列. 题型六 由Sn求通项公式 16．已知为等差数列，记为其前n项和，若，则（   ） A．3 B．7 C．13 D．2 【答案】C 【分析】由及已知，即可求. 【详解】由. 故选：C 17．记为数列的前n项和，为数列的前n项和，则 ． 【答案】 【分析】根据数列前n项和与通项公式的关系，求出数列通项公式，求出结果. 【详解】由可知，当时，， 当时，，符合通项公式，所以， 同理可得，所以． 故答案为：. 18．已知数列的前项和满足，，且. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列通项公式求出，再利用求出； （2）采用裂项相消即可求和. 【详解】（1）因，则， 则数列是以为首项，为公差的等差数列， 则，即， 则， 又满足上式，故， 则数列的通项公式为 （2）由（1）知，， 则 题型七 等差数列片段和的性质及应用 19．已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．51 B．57 C．63 D．66 【答案】D 【分析】根据等差数列的前项和性质：片段和仍然成等差数列计算 【详解】等差数列的前项和为，，， ，，，成等差数列， ，，， ，则数列的前三项为，是公差为的等差数列，故，. 故选：D 20．已知等差数列的前项和为.若，则 . 【答案】12 【分析】根据等差数列的片段和性质即可求解. 【详解】在等差数列中，成等差数列，即成等差数列，所以，解得. 故答案为：12 21．设是由正数组成的等差数列，是其前项和． (1)若，求的值； (2)若存在互不相等的三个正整数p，q，m，使得，证明：不等式成立． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据也是等差数列，得到，从而可求的值； （2）利用等差数列的性质以及求和公式可得，再利用基本不等式可证明题中不等式． 【详解】（1）在等差数列中，成等差数列， ，． （2）是等差数列，且，正整数p，q，m互不相等, ，即. 题型八 前n项和与n的比所组成的等差数列 22．设是等差数列的前n项和，是数列的前n项和.若，则等于（   ） A．49 B．50 C．51 D．52 【答案】C 【分析】设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组求得的值，求得，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，可得，解得， 所以，所以， 所以. 故答案为：C. 23．已知是等差数列的前项和，设为数列的前项和，若，，则 . 【答案】 【分析】根据等差数列性质，可得数列为等差数列，求出其公差和首项，利用等差数列前项和公式求解. 【详解】根据等差数列性质，数列为等差数列，设其公差为. 因为，， ，又，， . 故答案为：. 24．已知是等差数列的前项和. (1)证明：是等差数列； (2)设为数列的前项和，若，求. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，然后由等差数列的定义证明即可； （2）由（1）可知数列是等差数列，由求出其首项和第四项，然后求出公差，利用等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】（1）证明：设等差数列的公差为， ，． ． 是等差数列． （2）， 数列的首项为2，第四项为． 数列的公差． ． 题型九 两个等差数列前n项和之比问题 25．设等差数列的前项和分别为．若，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】先对目标式合理变形得到，再结合题意求值即可. 【详解】由题意得， 因为，所以，故A正确. 故选：A. 26．已知等差数列的首项和公差相等且均不为零，则 . 【答案】 【分析】利用等差数列的求和公式结合题意可得. 【详解】设等差数列的公差为，且， 则，所以. 故答案为：. 27．已知等差数列和等差数列的前项和分别为，，，. (1)求数列和数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用等差数列前项和的性质，结合，即可求得； （2）由，把表达式求出后，可直接求和. 【详解】（1）， 设，则，又， 所以，. （2） . 题型十 等差数列前n项和的其他性质及应用 28．已知等差数列的前项和为，若，则的值为（    ） A．9 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】根据等差数列前项和性质即可得到答案. 【详解】由等差数列前项和性质知，解得. 故选：D. 29．记等差数列的前项和为，已知，，则的公差为 . 【答案】 【分析】由等差数列的前项和性质结合基本量运算求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，所以，即， 又，所以，解得. 故答案为：. 30．已知正项数列，其前项和为． (1)证明：“”是“若数列是等差数列，且也是等差数列”的充分条件； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）设（为常数），则有，设， 可得，再根据对应项系数相等即可得证； （2）利用裂项相消求解即可. 【详解】（1）证明：因为等差数列的通项公式是关于的一次式，前项和为关于的缺少常数项的二次式， 所以若数列是等差数列，则设（为常数）， 即， 设， 即，所以， 解得， 所以， 故“”是“若数列是等差数列，则也是等差数列”的充分条件． （2）解：若， 则， 所以 ． 题型十一 等差数列前n项和的二次函数特征 31．已知数列中，前项和，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对进行配方，结合即可求出的最小值. 【详解】，因为，二次项系数为正数， 所以或时，取最小值为， 故选：C. 32．设等差数列，的前项和分别为，，若，则 . 【答案】 【分析】由题意可设，，，再结合与的关系求解即可. 【详解】由题意，可设，，， 则，， 所以. 故答案为：. 33．记等差数列的前项和为，公差为. (1)证明：是关于的不含常数项的二次函数； (2)等差数列的公差为，且. ①求的通项公式； ②记数列的前项和为，是否存在，，使得？若存在，求，；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见详解 (2)①或；②存在， 【分析】（1）根据题意结合等差数列的求和公式分析证明； （2）①根据（1）中结果，结合等差数列通项公式运算求解即可；②根据等差数列求和公式结合分组求和求，分类讨论，分析数据的整数型求解即可. 【详解】（1）因为等差数列的公差为 由题意可得：， 则二次项系数，且常数项为0， 所以是关于的不含常数项的二次函数. （2）①由题意可知：， 即 ， 可得，解得，或， 若，则； 若，则， 综上所述：或； ②因为， 当时，若，，则，不合题意； 当时， 若为偶数，则 ， 因为为偶数，则或， 若，则，即，不合题意； 若，则， 整理可得， 可知，代入检验可得仅成立； 若为奇数，则 ， 因为为奇数，则或， 若，则，即，不合题意； 若， 则， 整理可得， 显然为偶数，方程无解，不合题意； 综上所述：. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键时分析数据的整数性，分类讨论的特征解题. 题型十二 二次函数法求等差数列前n项和的最值 34．记为数列的前n项和，已知，，，若，则的最小值为（   ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】A 【详解】由等差数列定义数列为等差数列，求出，利用求出，则等价于，再利用配方法求出取得最大值可得答案． 【分析】由知， 所以数列为等差数列， 又，， 则等差数列的公差， 所以，，则， 故， 经检验，满足该通项公式.故， 则等价于， 故当时，取得最大值1，故的最小值为1． 故选：A. 35．已知等差数列的前项和为，，且，则取最大值时的值为 . 【答案】6 【分析】首先由条件得到，再代入等差数列的前项和公式，根据二次函数的性质，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为，则，即， ，其中， 对称轴为，所以当时，取得最大值. 故答案为：6 36．已知数列是等差数列，为数列的前项和，； (1)求数列的通项公式； (2)求数列的最大项. 【答案】(1) (2)和 【分析】（1）根据等差数列通项公式解题即可; （2）根据等差数列的前项和公式，再由二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）因为数列是等差数列，所以， 因为，所以， 所以， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，数列的前项和， 因为，所以当或时，有最大值，即. 所以数列的最大项和. 题型十三 求等差数列前n项和的最值 37．设等差数列的前项和为，若有最大值，且，则中最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等差数列的性质可知，，依次分析选项即可得到的最大值. 【详解】因为等差数列的前项和为，且有最大值，所以公差， 由，可得，故有最大值为， 又，单调递减，且， 所以当时，,单调递减，单调递增，此时最大； 当时，，，则， ，则， 同理可得均大于0，则 综上，最大； 故选：B 38．已知数列的通项公式为，前n项和为，则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据的取值正负判断出的最大值，再根据等差数列的前项和公式求得结果. 【详解】因为，当时，，当时，， 所以的最大值为， 故答案为：. 39．记为等差数列的前项和，且满足，. (1)求. (2)是否存在最大（小）值，如果存在，求出取得最值时n的值，此时最值是多少？如果不存在，请说明理由 【答案】(1) (2)或6时，取得最大值15，无最小值 【分析】（1）根据题设结合等差数列求和公式可得，进而求解即可； （2）先根据等差数列求和公式可得，再结合二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意得，，则，解得， 所以. （2）由，函数开口向下，对称轴为， 而，则或6时，取得最大值15，无最小值. 题型十四 根据等差数列前n项和的最值求参数 40．设等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时的值为（    ） A．12 B．13 C．14 D．25 【答案】C 【分析】利用等差数列的性质化简，得到，结合，判断公差，得到即可判断. 【详解】由可得，由等差数列的性质可得：， 因，则等差数列的公差，即等差数列为递增数列， 故，即取最小值时，的值为14. 故选：C. 41．在等差数列中，，公差为d，前n项和为，当且仅当时取得最大值，则d的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题意得到数列是递减数列，由求解. 【详解】因为等差数列中，当且仅当时取得最大值， 所以数列是递减数列， 又，所以 ， 解得， 所以d的取值范围为. 故答案为： 42．已知数列的前项和为． (1)求出的通项公式； (2)求数列前项和最小时的取值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用的关系求解； （2）确定当时，，当时，，即可求解. 【详解】（1）当时，， 当时，,满足上式， 所以. （2）因为，所以， 因, 则数列是以为首项，2为公差的等差数列， 令，解得， 所以当时，，当时，， 所以当或时，数列前项和有最小值， 最小值为. 题型十五 等差数列的简单应用 43．已知正项数列的前项积为，若，则（   ） A．4051 B．4050 C．2026 D．2025 【答案】A 【分析】根据，得数列为等差数列进行求解． 【详解】依题意，当时，，因为是正项数列，所以． 当时，，所以，所以， 所以数列是公差为2，首项为3的等差数列， 所以． 故选：A 44．一支车队有辆车，某天下午车队依次出发执行运输任务，第一辆车于时出发，以后每间隔分钟发出一辆车.假设所有的司机都连续开车，并都在时停下来休息，则截止到时，最后一辆车行驶了 小时. 【答案】 【分析】计算出最后一辆车出发的时间，即可计算出最后一辆车共行驶的时长. 【详解】因为每间隔分钟小时发出一辆车， 则最后一辆车出发的时间为时， 故最后一辆车行驶了小时. 故答案为：. 45．设和是两个等差数列，记（，2，3，…），其中表示，，…这s个数中最小的数. (1)若，，求证：不是等差数列； (2)若，，证明：是等差数列； (3)证明：或者对任意实数M，存在正整数m，当时，；或者存在正整数m，使得，，，…是等差数列. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析； 【分析】（1）把代入即可求得，即可证明不是等差数列； （2）在（1）的启发下，证明当时，，所以关于单调递增. 所以，从而得证； （3）首先求的通项公式，分三种情况讨论证明. 【详解】（1），， ， 所以不是等差数列. （2）， 当时， 当时，， 所以关于单调递增， 所以， 所以对任意，因此， 所以是等差数列； （3）设数列和的公差分别为，则 . 所以 ①当时，取正整数，则当时，，因此. 此时，是等差数列. ②当时，对任意， 此时，是等差数列. ③当时， 当时，有. 所以 对任意正数，取正整数， 故当时，. 【点睛】易错点睛：本题主要考查函数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项： (1)数列是一类特殊的函数，它的图像是一群孤立的点； (2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题； (3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化. 1 学科网（北京）股份有限公司 $