第13章 轴对称 全章同步教学课件 2025-2026学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦轴对称图形、两个图形成轴对称的概念及区别联系，垂直平分线定义等核心知识点。通过观察图片导入，结合问题链与合作探究构建学习支架，引导学生从具体到抽象理解知识脉络。 其亮点是融入车牌倒影、艺术字猜字等生活实例和抢答游戏，培养数学眼光观察现实世界。合作探究环节通过独立思考、小组交流发展推理意识，用符号描述对称关系体现数学语言，助力学生提升空间观念，为教师提供丰富互动教学方案。

等腰三角形 第二课时 习题课 学习目标：（默读） 熟练应用等腰三角形判定定理解决实际问题 　求证：如果三角形一条边上的中线等于这 条边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 已知： 求证： 作业讲评： 例题精讲 《高效课堂》P53 探究三 独立作业 完成《高效课堂》P53-54 当堂演练 及 拓展延伸 $ 情景创设 【流程】独立思考—个人举手口答（2分钟） 画面中你发现什么？ 13.3.1 等腰三角形 第1课时 八年级数学 细心观察---在观察中发现特点 积极探索---在探索中提高能力 默读学习目标，读完举手示意（1分钟） 1、了解等腰三角形的概念，掌握等腰三 角形的性质. 2、运用等腰三角形的概念及性质解决相关问题. 学习目标 复习旧知 1、有两条边相等的三角形 叫做___________. 2、等腰三角形中，相等的 两边都叫做___，另一边叫做 ____，两腰的夹角叫做 ___， 腰和底边的夹角叫做 ____. 等腰三角形 腰 底边 顶角 底角 【流程】独立思考—个人举手抢答（2分钟） 腰 A B C 腰 腰 底边 顶角 底角 （1）把一张长方形的纸按图中虚线对折 （2）剪去绿色部分, A B C 活动探究 （3）把它展开，得到△ABC，纸片上标注如图所示字母 【流程】动手操作—独立思考—个人展示（7分钟） D 独立思考 思考： （1）展开的△ABC有什么特点?你是怎么知道的？ （2）找出图中相等的线段和角. A B C D 1.独立思考 2.举手回答 3.酌情评价 合作学习 性质1：等腰三角形的两个底角相等 (简写“等边对等角”) 已知： 求证： 证明： A B C 2. 你能证明性质1吗？ Ｄ 1.在等腰△ABC中AB=AC，有哪几个角等？由此得到等腰三角形有什么性质？ 　 1.独立思考 2.组内交流 3.代表展示 A B C D 性质2 等腰三角形的顶角平分线与底边上的中线，底边上的高互相重合（简写成：三线合一） 合作探究 思考：在论证性质一的时候，我们添加了辅助线——“BC上的高AD”,于是 △ABC被分成了两个全等的三角形，在此基础上，我们能重新认定一下AD的身份吗？或者说：AD对于△ABC来讲，还有别的身份吗？ 填空：在△ABC中， 当AB=AC时， (1) ∵AD⊥BC，∴∠_____ = ∠_____，____= ____. (2) ∵AD是中线， ∴____⊥____ ，∠_____ =∠_____. (3) ∵AD是角平分线， ∴____ ⊥____ ，_____ =_____. A B C D BAD CAD CAD BD CD AD BC BD BAD BC AD CD 尝试练习 判断： (1)如图∵BA=DA∴∠B=∠C （ ） (2)如图△ABC中， ∵ AD平分∠BAC ∴AD ⊥BC、BD=CD （ ） × × “三线合一”的正确使用 ⒉等腰三角形一个内角为70°,它的另外两个角为 __________________. 40 ° 70°,40°或55°,55° 跟踪练习 ⒈等腰三角形一个底角为70°,它的顶角为______. 5. 如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26º求∠B和∠C的度数. A B C D 3.已知等腰三角形的两边长分别是2和6，则它的周长是 。 14 4.已知△ABC中，AB=AC，AD⊥BC,且BD=2cm, 则BC= DC =____ 1.自主完成2.小组交流展示3.酌情评价 本节课你有什么收获？说出来一起分享. 课堂小结 1.自主完成 2.小组交流展示 3.酌情评价 如图，在△ABC中 ，AB=AC， 点D在AC上，且BD=BC=AD，求 △ABC各角的度数. A B C D 当堂检测 拓展延伸 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则这个等腰三角形的顶角为多少？ 课后作业 P77 练习1、2 $13.3.2（1）等边三角形 习题课 乐中数学组 学习目标：（默读） 能灵活运用等边三角的形的性质及两个判定解决实际问题 自主学习（3分钟） 完成《高效课堂》P56 归纳反思第1、2题 课本P80例4　如图，△ABC 是等边三角形，DE∥BC, 分别交AB，AC 于点D，E．求证：△ADE 是等边三角形. 本题还有其他证法吗？ A B C D E 1.独立思考 2.小组交流 3.代表展示 4.酌情评价 变式训练 —— 比比谁快 变式1　若点D、E 在边AB、AC 的延长线上，且 DE∥BC，结论还成立吗？ A D E B C 变式训练 —— 比比谁快 　　变式2　若点D、E 在边AB、AC 的反向延长线上， 且DE∥BC，结论依然成立吗？ A D E B C 独立作业（当堂完成） 《高效课堂》 P55 当堂演练 1、2、3、5（必做） P55 探究三 （选做） $复习检测 +2 1.如图，AC垂直平分BD， AB=6,BC=9，求四边形ABCD的周长。 2. AB⊥BC, AD⊥DC,∠1=∠2. （1）C在BD的垂直平分线上么？ （2）A在BD的垂直平分线上么？ （3）AC在BD的垂直平分线上么？ 13.1.2 尺规作图--- 线段的垂直平分线的判定的运用 乐天溪初中数学组 教学目标 默读 1、会用尺规过直线外一点作已知直线的垂线； 2、会用尺规作对称轴； 3、会用尺规作线段的垂直平分线或中点； 学习内容： 1、熟读过直线外一点作垂线的作法； 2、思考作图依据。 学习活动1 学习要求： 1.独立自学 2. 组内交流 3、代表展示 4、评价小结（1分） 读书P63，回答下列问题： 1.如何作两个成轴对称图形的对称轴？ 2.如何作线段的中点？ 3.如何快速作出正多边形的一条对称轴？ 学习活动2 学习要求： 1.独立自学 2. 组内交流 3、代表展示 4、评价小结（3分） 作图痕迹展示 如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？ 五角星的对称轴画法 思考： 角的对称轴应该如何画？ +1 如图，A，B是路边两个新建小区， 要在路边增设一个公共汽车站。使 汽车站到两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？ 合作探究 学习要求： 1.独立自学 2. 组内交流 3、代表展示 4、评价小结（1分） 课堂小结 今天你有什么收获？ 今天的作图都是转化为作垂直平分线 当堂检测 P66 第12、13题 （A本） $垂直平分线定义是什么？ 经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。（又叫中垂线） A D C M B 如果直线CD 垂直平分线段AB，则有： MA=MB, CD⊥AB于M 复习检测（+1） 如何用数学语言来描述？ 13.1.2 线段的垂直平分线的性质 乐天溪初中数学组 (包含“垂直平分线的判定定理”) 学习目标（默读） 1、会用文字表达垂直平分线的性质和判定； 2、能用几何语言表达垂直平分线的性质和判定； 3、运用全等法证明垂直平分线的性质和判定。 学习内容： P61 探究 学习活动1 （3分钟左右） 学习要求： 1.动手实践 2.4号回答 3.评价 +1 垂直平分线的性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 条件：______________________________ 有一个点在线段段垂直平分线上 这个点与这条线段两个端点的距离相等． 结论：______________________________ 几何语言： ∵PC是AB的中垂线， ∴____________ PA=PB 垂直平分线的性质的证明 已知：如图，直线ι⊥AB，垂足为C，AC=CB，点P在ι上。求证：PA=PB。 1.独立思考 2.小组交流 3.2号展示 4.评价 +1 学习内容： 1、垂直平分线的逆命题是什么？ 2、如何用几何语言表述此逆命题。 学习活动2（3分钟） 学习要求： 1.看书自学 2. 组内交流 3、代表展示 4、评价小结（1分） 垂直平分线的判定 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 如果：______________________________ 有一个点到线段的两个端点的距离相等 这个点在这条线段的垂直平分线上． 那么：______________________________ 几何语言： ∵ PA=PB, ∴ P在AB的中垂线上 合作探究（9分钟） 内容： 自己写出已知、求证，然后 证明垂直平分线的判定定理 学习要求： 1.独立完成 2. 组内交流 3、代表展示 4、评价小结 P A B 跟踪练习：如图，AB=AC，MB=MC.直线AM是线段BC的垂直平分线吗？为什么？ A M C B 再读一读P61最下面的自然段，然后思考：课本上的这句话应该怎么理解？ “线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点距离相等的所有点的集合” A B 课堂小结 这节课你有什么收获？ 当堂检测 1、∵ ， ∴AB＝AC（ _______________________ _____________ ） 2、∵ _______________________ ， ∴ A在线段BC的中垂线上（ _____________________ _______ ） AD为BC的中垂线 AB＝AC 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 B C A D 3、如图， NM是线段AB的中垂线, 下列说法正确的有： 。 ①AB⊥MN,②AD=DB， ③MN⊥AB， ④MD=DN，⑤AB是MN的垂直平分线 A B M N D ①②③ 4、下列说法中，正确的个数有（　　） ①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA=EB，PA=PB； ②若PA=PB，EA=EB，则直线PE垂直平分线段AB； ③若PA=PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点； ④若EA=EB，则过点E的直线垂直平分线段AB． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 C 当堂检测 温馨提示：自己画图 课后作业 B本 必做：P62 练习1 P66 第9题 选做：P65 第6题 $ 由一个平面图形得到它的轴对称的图形叫做轴对称变换。 轴对称变换 轴对称变换不会改变图形的 和 ，只会改变图形 。 大小 位置 形状 复习检测（+1） 【问题】在坐标系中你会画已知点的对称点吗？你有什么经验呢？ 情境导入（1分钟） www.czsx.com.cn 13.2（2） （坐标系中） 作轴对称图形 乐天溪初中数学组 学习目标 1、会在坐标系中通过画对称点并顺次连线的方式画轴对称图形。 2、能归纳出: 关于x（或y）轴的对称点的坐标特征。 学习课本69面的内容， 并完成当中出现的问题。 学习活动1 学习要求： 1.独立自学 2. 组内交流 3、4号展示 4、评价小结（2分） 1.请说出A、B、C三点分别到x轴和y轴的距离。 2.请画出A、B、C三点分别关于x轴和y轴的对称点。 3号、2号展示 +2 合作探究 内容： 1.关于x轴对称的两个点的坐标特征？ 2.关于y轴对称的两个点的坐标特征？ 学习要求： 1.独立思考 2. 组内交流 3、1号展示 4、评价小结（1-2分） 归纳小结展示 点（x，y)关于x轴对称的点的坐标为（x，-y） 点（x，y)关于y轴对称的点的坐标为（-x，y） 学习内容： 自学P70例题2，并完成其中提出的问题。 学习活动2 学习要求： 1.独立自学 2. 组内交流 3、代表展示 4、评价小结（2分） 请画出四边形ABCD关于x轴的对称图形 演排 +1分 课堂小结 谈收获、体会、困惑。 当堂检测 课后习题1、2、3 （直接做书上） 要求 1、独立完成。 （5分钟） 2、小组内互相检查 3、再集体订正 课后作业 P71 复习巩固 1（书上） 2、3、4（B本） $ 1. 任意一对对称点的连线段与对称轴的关系是什么？ 2.如何过一点作已知直线的垂线？ 复习检测（+2） 13.2（1）画轴对称图形 13.2（1）画轴对称图形 乐天溪初中数学组 P 【问题】在一 张半透明的纸的左边画一只右手印，如何由右手印得到相应的左手手印? 【思考回答】 1、左手印和右手印有什么关系？ 2、对称轴是哪条直线?如何确定对称轴？ 3、图中的对应点连线段PP’与对称轴有什么关系？ P’ M N 情境导入（1分钟） www.czsx.com.cn 学习目标（默读） 1、会通过画对称点并顺次连线的方式画轴对称图形。 2、能理解：几何图形都可以看做是由点组成的，画出关键点即可连接出完整图形。 学习内容： 画对称点的方法 学习活动1 学习要求： 1.独立自学 2. 组内交流 3、代表展示 4、评价小结（1分） 已知对称轴 l 和一个点A，你能作出点A关于l 的对称点 A´吗？ 过点A作对称轴 l的垂线，垂足为O; (2) 在垂线上截取 O A´= OA . 点 A´就是点A关于直线 l的对应点. A l 作法: 如图， 思 ? 考 O ) A’ 自我尝试 如果有一个图形和一条直线，如何作出与这 个图形关于这条直线对称的图形呢？ 思考：如何画线段AB关于 直线l 的对称线段A′B′? A B A’ B’ 作法： 1、过点A作直线l的垂线，垂足为点O，在垂线上截OA’=OA，点A’就是点A关于直线l的对称点； 2、类似地，作出点B关于直线l的对称点B’； 3、连接A’B’. ∴ 线段A’B’即为所求。 学习要求： 1. 组内交流 2、代表展示 3、评价小结 （1分） 抢答：如图，已知△ABC和直线l，作出与△ABC关于直线l对称的图形。+1 B A C l ∴△A’B’C’即为所求。 A’ B’ C’ O 例1拓展：如图，已知△ABC和直线l，作出与△ABC关于直线l对称的图形。 B A C l B’ C’ B A C A’ B’ ∴△AB’C’即为所求。 作法： 1、分别作出点B、C关于直线l的对称点B’、C’； 2、连接AB’、B’C’、C’A。 l 作法： 1、分别作出点A、B关于直线l的对称点A’、B’； 2、连接A’B’、B’C、CA’。 ∴△A’B’C即为所求。 作已知图形关于已知直线对称的图形的一般步聚: 1、找点 2、画点 3、连线 （确定图形中的一些特殊点）； （画出特殊点关于已知直线的对称点）； （连接对称点）。 B A C A’ B’ l 课堂小结 影子或虚像问题 小强从镜子中看到的电子表的读数如下图 ，则电子表的实际读数是________。 : 拓展提高： 【当堂检测】 课后作业 下列各图中，画△ＡˊＢˊＣˊ，使△ＡˊＢˊＣˊ 与△ＡＢＣ关于直线ＭＮ成轴对称图形。（不要求尺规） A B C Ｍ Ｎ A B C Ｍ Ｎ A B C Ｍ Ｎ （1） （2） （3） 拓展提高---如果我们把台球桌做成等边三角形的形状，那么从AC中点D处发出的球，能否依次经BC、AB两条边反射回到D处？如果你认为不能，请说明理由；如果你认为能，请作出球运动的路线。 A B C D $课堂引入 仔细观察下列图片，思考这些图片有什么样的特点. 轴对称（一） 学习目标：（默读） 1.能从现实生活的自然风光、建筑装饰、艺术作品中识别出轴对称现象，并能在图形中指出对称轴、对称点。 2.能说明“轴对称图形”与“两个图形成轴对称”这两个概念的区别和联系。 3.理解垂直平分线的定义。 要仔细观察哦！ 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，这时，我们也说这个图形关于这条直线对称（或成轴对称） 。 3号举手抢答：+1 谁能说一说什么是轴对称图形？什么是对称轴？ 下面这些图形是不是轴对称图形？为什么？ 是 是 是 不是 4号举手抢答：+1 这些是轴对称图形吗？哪些图形有多条对称轴？ 正方形、长方形、等腰三角形、等腰梯形和圆都是轴对称图形。 2号举手抢答：+1 A′ A B C B′ C′ 观察:下面的每对图形有什么共同特点? 把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫做对称点。 A′ A B C B′ C′ 什么叫做：两个图形成轴对称？ 1号回答 下列给出的每幅图形中的两个图案是轴对称吗？如果是，试着找出它们的对称轴，并找出一对对称点。 喜喜 FF F F (A) (D) (C) (B) 举手抢答 +1 你知道轴对称图形 和 两个图形成轴对称有什么区别和联系吗？两者可以如何相互转化？ 发现: 可以把一个轴对称图形沿对称轴分成成轴对称的两个图形，也可以把成轴对称的两个图形看成是一个轴对称图形。 合作探究1 都是沿一条直线折叠后能够互相重合 轴对称图形是一个图形。 两个图形成轴对称是两个图形之间的关系。 联系： 区别： 1.独立看书思考 2.小组合作交流 3.代表展示评价 追踪问题： +1 成轴对称的两个图形全等吗？全等的两个图形一定是轴对称吗？为什么？ 结论：成轴对称的两个图形一定全等，而全等的两个图形不一定是轴对称。 比划一下：下列图形有几条对称轴？+2 在艺术字中,有些汉字是轴对称的，你能猜一猜下列是哪些字的一半吗？ 猜字游戏 ：4号回答 +2 比比谁快：一辆汽车的车牌在水中的倒影如图所示，你能确定该车车牌的号码吗？（上台写正确+1） 想一想：0-9十个数字中，哪些是轴对称图形？（抢答+1） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 想一想：下列英文字母中，哪些是轴对称图形？抢答+1 A C D E F G H I J L M N O P Q R S T U V W X Y Z 合作探究2 内容： 1、垂直平分线的概念； 2、拓展延伸——两个对称点组成的线段与对称轴的关系。 要求 1、独立完成 2、小组交流 3、展示评价 垂直平分线定义 +1 经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。（又叫中垂线） A D C M B 其中，MA=MB, CD⊥AB于M 对称点与对称轴的关系 +1 对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 A C B A’ B’ C’ M N P 轴对称图形的对称轴如何确定？ 任何一对对应点所连线段的垂直平分线 1．理解轴对称图形，两个图形关于某直线对称的概念； 2.了解轴对称图形的对称轴，两个图形关于某直线对称的对称轴、对应点； 3．了解轴对称图形和两个图形关于某直线对称的区别和联系. 4.知道了垂直平分线的概念，及在轴对称图形中如何确定对称轴。 本节课你有什么收获？ 《委加·派尔》 1969 法国著名画家 V·瓦萨雷利 拓展图片欣赏 吉祥物 脸谱艺术 剪纸艺术 剪纸艺术 服饰文化 实物图案 国旗欣赏 几何图案 交通标志 车标设计 花边艺术 中外建筑 $13.3.2（1）等边三角形 习题课` 乐中数学组 学习目标：（默读） 能灵活运用等边三角的形的性质及两个判定解决较复杂问题。 回顾旧知 1.等边三角形的性质是什么？+1 2.等边三角形的判定方法有哪些？+1 等边三角形 A B C 例题精讲 如图,在等边△ABC中,点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F。 （1）试说明AD=CE （2）求∠DFC的度数。 独立作业（当堂收） 完成《高效课堂》P56 拓展延伸 3、4、5、6、7 $ A B 3.下图中从底角A到顶角B的最短路线是什么？ 复习检测（+2） B A 1.两点的所有连线中，___________. 线段最短 2.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， ___________. 垂线段最短 A B 八年级 上册 13.4 课题学习 最短路径问题 乐天溪初中数学组 学习目标（默读） 会利用轴对称把两条折线段之和最短转化为两点之间线段最短。体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想． 学习活动1 A . .B l 要在直线l上找一点P，使从A到B的路线PA+PB最短，怎么设计路线？为什么？ （在课本P85的图13.4-3中画一画） 1.独立思考2.小组交流3.展示评价 +1 学习内容： 课本P85 -- P86 问题1 自学时，围绕这几个问题找出答案： 1.点B'和点B有什么关系？ 2.直线l和线段BB'有什么关系？ 3.BC=B'C吗？为什么？ 4.问题把求AC+BC的最小值转化 成了求那两条线段和的最小值？ 5.从点A到点B'怎么走最近？ 学习活动 2 （10分钟左右） 学习要求： 1.独立思考 2.小组交流 3.酌情评价 B · l A · B′ C C′ 作法：（两步走） （1）作点B 关于直线l 的对称点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交于点C． 点C 即为所求． 破解问题 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ B · l A · B′ C 证明：如图，在直线l 上任取一点C′ （与点C 不重合），连接AC′，BC′，B′C′． 由轴对称的性质知， BC =B′C，BC′=B′C′． ∴　AC +BC = AC +B′C = AB′， AC′+BC′= AC′+B′C′． 　合作探究： 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ B · l A · B′ C C′ 在△AB′C′中， AB′＜AC′+B′C′， ∴　AC +BC＜AC′+BC′． 即　AC +BC 最短． 学习要求： 1.独立思考 2.小组交流 3.酌情评价 课堂小结 1.解决饮马问题的基本步骤？ （1）确定对称轴（动点所在的直线） （2）找对称点（3）连接线段 2.我们把“折线段之和最短”的问题转化为 “ ”问题。 两点之间，线段最短 《高效课堂》P60 当堂演练 1、2、5（必做） 3、4（选做） 当堂检测 如图，∠AOB内有一定点P，尝试在OA边上找一点M，在OB边找一点N，使△PMN的周长最短． .P A B O 课外作业 $复习引入 1.线段公理： 两点之间，线段最短. 2.垂线段性质： 垂线段最短. A B 最短 路径 问题 B A l 独立思考 举手回答 3.垂直平分线的性质？+1 4.平移的性质？ +1 第十三章 轴对称 13.4 课题学习 造桥选址问题 学习目标：（默读） 能够借助平移将“折线段之和最短”问题转化成为“两点之间，线段最短”问题。 问题2 （造桥选址问题）如图，A和B两地在同一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN．桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.） 思考： 你能把这个问题转化 为数学问题吗？ 1.要求A到B的路径AMNB最短就是求哪三条线段的和的最小值？ 2.这三条线段中，哪一条的长度是一定的？所以求这三条线段和的最小值就是哪两条线段和的最小值？ 3.此时能否直接连接AB？如果直接连接AB与直线a和直线b的交点满足题意吗？ 4.我们能不能把这里的两条直线变成一条直线，从而转化为前一次课所学的知识？ 探究合作： a B A b M N 学习要求： 1.独立思考 2.小组交流 3.评价 +4 分析： l A B C a B A b M N A' 如左图，如果将点A沿与河岸垂直的方向平移到点A′，使AA′等于河宽，则AA′=MN，AM=A′N，问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N+NB最小？ 参考右图，利用“两点之间，线段最短”可以解决. 如图，沿垂直于河岸的方向平移A到A′，使AA′等于河宽，连接A′B交河岸于点N，在点N处造桥MN，此时路径AM+MN+BN最短. a B A b M N A' 解： 另任意造桥M′N′， 连接AM′、BN′、A′N′. 由平移性质可知， AM＝A′N，AM′＝A′N′， AA′＝MN＝M′ N′. ∴AM+MN+BN＝AA′+A′B， AM′+M′N′+BN′＝AA′+A′N′+BN′. 在△A′N′B中，由线段公理知A′N′+BN′ ＞A′B， ∴AM′ +M′N′ +BN′ ＞ AM+MN+BN. 证明： a B A b M N A' N′ M′ 问题2 归纳 抽象为数学问题 用旧知解决新知 联想旧知 解决实 际问题 l A B C 小结归纳 l A B C l A B C B′ 转化 轴对称 变换 平移 变换 两点之间，线段最短. 如图，A为马厩，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到马厩. 请你帮他确定这一天的最短路线. 草 地 小 河 A 当堂检测 已知：如图，在l1、l2之间有一点A. 求作：分别在l1、l2上确定一点M、N，使AM+MN+NA最小. l1 l2 A M N l1 l2 如图，作点A关于l1和l2的对称点A1、A2， 连接A1A2，交l1于M点，交l2于N点. 连接AM和AN，则AM+MN+NA最小. 因此，那天这样走路线最短. M N A1 A A2 课堂小结 A B 线段公理： 两点之间，线段最短. 最短 路径 问题 垂线段性质： 垂线段最短. B A l 课后作业 $八年级 上册 13.3.2(1) 等边三角形 　1．探索等边三角形的性质和判定． 　2．能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证明． 学习重点： 探索等边三角形的性质与判定． 学习目标（默读） 1、等边三角形的概念是什么？ 2、对比等腰三角形有何区别与联系？ 学习活动1 三条边都相等的三角形是等边三角形．　　 等边三角形 A B C 联系：等边三角形是特殊的等腰三角形； 区别：等边三角形有三条相等的边，而等腰三角形只有两 条相等的边. A B C 　　 相等 每个角都等于60° 　　结合等腰三角形的性质，你能填出等边三角形对应 的结论吗？ 图形 边 角 轴对称图形 等腰 三角形 两边相等 （定义） 两底角相等 （等边对等角） 是（三线合一） 一条对称轴 等边 三角形 三边相等 （定义） 是（三线合一） 三条对称轴 等边三角形 A B C 　思考　将等腰三角形的性质用于等边三角形，你能得到关于角和对称性的什么结论？ 学习活动2 　　对“等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°”这一结论进行证明. 学习要求： 1、独立自学 2、组内交流 3、演排 4、评价小结 A B C 符号语言： ∵　△ABC 是等边三角形， ∴　∠A =∠B =∠C =60°． 合作探究 证明等边三角形的两个判定定理。 学习要求： 1、独立自学 2、组内交流 3、演排 4、评价小结 C A B 已知：在△ABC 中， ∠A=∠B=∠C． 求证：△ABC是等边三角形． 已知：在△ABC 中， AC =BC且∠A =60°． 求证：△ABC是等边三角形． C A B 符号语言：+1分 在△ABC 中， ∵　∠A=∠B =∠C ， ∴　△ABC 是等边三角形． 等边三角形的判定定理1： 　　三个角都相等的三角形是等边三角形． 规范符号语言 （齐读） 等边三角形的判定定理2： 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 符号语言：+1分 在△ABC 中， ∵　AB=AC，∠A =60°， ∴　△ABC 是等边三角形． A B C 等边三角形 等腰三角形 一般三角形 老师点拨： （1）本节课学习了等边三角形的性质和判定； （2）等边三角形与等腰三角形相比有哪些特殊的性质？ （3）共有几种判定等边三角形的方法？ 课堂小结 从边的角度：等边三角形的定义； 从角的角度：等边三角形的两条判定定理． 三个角都相等的三角形是等边三角形． 有一个角为60°的等腰三角形． （独立思考 - 举手回答 - 评价） 　　例1　如图，△ABC 是等边三角形，DE∥BC, 分 别交AB，AC 于点D，E．求证：△ADE 是等边三角形. 自学课本例1并思考：本题还有其他证法吗？ A B C D E 　　证明：∵　△ABC 是等边三角形， ∴　∠A =∠ABC =∠ACB =60°． ∵　DE∥BC， ∴　∠ABC =∠ADE， ∠ACB =∠AED. ∴　∠A =∠ADE =∠AED. ∴　△ADE 是等边三角形. 变式训练 —— 比比谁快 　　变式1　若点D、E 在边AB、AC 的延长线上，且 DE∥BC，结论还成立吗？ A D E B C 变式训练 —— 比比谁快 　　变式2　若点D、E 在边AB、AC 的反向延长线上， 且DE∥BC，结论依然成立吗？ 　　证明： ∵　△ABC 是等边三角形， ∴　∠BAC =∠B =∠C =60°． ∵　DE∥BC， ∴　∠B =∠D，∠C =∠E． ∴　∠EAD =∠D =∠E． ∴　△ADE 是等边三角形． A D E B C 课堂作业 教科书习题13.3第12、14题； $13.1.1 等腰三角形 第一课时 （习题课） 乐中 数学组 学习目标：（默读） 能熟练应用等腰三角形的两个性质解决实际问题 复习 回顾 等腰三角形性质1： 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”） 等腰三角形性质2： 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上 的高相互重合（简写成“三线合一”） A B C ∵AB=AC ∴∠B=∠C 几何语言 等边对等角： Ｄ “三线合一”： 填空：在△ABC中， 当AB=AC时， (1) ∵AD⊥BC，∴∠_____ = ∠_____，____= ____. (2) ∵AD是中线， ∴____⊥____ ，∠_____ =∠_____. (3) ∵AD是角平分线， ∴____ ⊥____ ，_____ =_____. BAD CAD CAD BD CD AD BC BD BAD BC AD CD 1.独立思考 2.举手回答 3.展示评价 如图，在△ABC中 ，AB=AC， 点D在AC上，且BD=BC=AD，求 △ABC各角的度数. A B C D 例题 1 例题 2 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则这个等腰三角形的顶角为多少？ 独立作业（当堂收） 完成《高效课堂》P51-52 当堂演练及拓展延伸 课外作业：（A本） 课本P81-82第1题、第4题、第7题。 $复习检测（3分钟） 1、我们学习了等腰三角形的哪两条性质？内容分别是？ 2、“三线合一”的格式怎么写？ A B C Ｄ 13.3 等腰三角形 （第2课时） 情境导入 如何判定一个三角形是等腰三角形呢？除了定义方法以外还有其他的方法吗？ 1．探索等腰三角形判定定理． 2．理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明． 3．了解等腰三角形的尺规作图. 学习重点： 理解和运用等腰三角形的判定定理. 学习目标（默读） 学习内容： 1、等腰三角形的性质定理1的 条件和结论分别是什么吗？ 学习活动1 学习要求： 1、独立思考 2、举手回答 性质定理的条件是：一个三角形中有两条边相等． 结论：这两条边所对的角相等． 2、回顾思考　性质定理1证明方法是什么？ 　　作顶角的平分线或底边上的高或底边的中线，将一个三角形的问题转化为两个全等三角形来证明两个角相等． A B C Ｄ 　　条件： 一个三角形有两个角相等． 　　结论： 这两个角所对的边相等． 若将等腰三角形性质定理1：“一个三角形中有两条边相等，这两条边所对的角相等” 中的条件和结论交换一下应该怎么说？ A B C 探索等腰三角形的判定定理 证明：过A 点作AE⊥BC，垂足为E. A B C E 已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠C. 求证：AB=AC． 1.独立完成 2.小组交流 3.演排 探索等腰三角形的判定定理 　　等腰三角形的判定方法： 　　如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对 的边也相等（简写成“等角对等边”）． A B C 符号语言： ∵　在△ABC 中，∠B =∠C， ∴　AB =AC． 自学例2 （完成书中填空） 已知：∠CAE 是△ABC 的外角，∠1 =∠2，AD∥BC． 求证：AB =AC. A B C D E 1 2 证明：∵　AD∥BC ， ∴　∠1 =∠B （ 　　 ）， ∠2 =∠C （ 　　）． 已知：∠CAE 是△ABC 的外角，∠1 =∠2，AD∥BC． 求证：AB =AC. 两直线平行，同位角相等 两直线平行，内错角相等 A B C D E 1 2 ∵　∠1 =∠2， ∴　∠B =∠C． ∴　AB =AC （ 　）． 等边对等角 学习内容： 1、知道底边和高，用尺规作图的方法画等腰三角形。 2、探索作图依据。 学习活动2 要求： 1、独立自学 2、组内交流 3、代表展示 A B C D 共有3个等腰三角形． （证明略）　　 巩固练习 　如图，∠A =36°，∠DBC =36°，∠C = 72°，图中一共有几个等腰三角形？找出其中的一个 等腰三角形给予证明． 学习要求： 1、独立思考 2、举手回答 3、展示评价 （1）本节课学习了哪些内容？ （2）等腰三角形的判定方法有哪几种？ （3）结合本节课的学习，谈谈等腰三角形性质和判 定的区别和联系． 课堂小结 当堂检测 　如图，把一张长方形的纸沿着对角线折叠， 重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？ 课后作业 P79练习第3、4题 注意：第3题要自己画图并写出已知、求证及证明过程。 $