3.3.2函数的奇偶性教学设计-2025-2026学年高一上学期北师大版（2021）中职数学基础模块 上册

附件 2: 2025年第二届“学科网杯”全国中小学课件大赛教学设计模板 教学设计 （注：标题采用四号宋体，正文采用五号宋体，1.5倍行距） 课程基本信息 课题 3.3.2 函数的奇偶性（第一课时） 课型 新授课 学科 数学 年级 高一 学段 中职 版本章节 北师大版 第三章 函数 教学目标 1.理解偶函数的概念，掌握其代数定义f(-x)= f(x)，能从图像和代数两个角度判断简单函数是否为偶函数。 2.通过观察、操作、归纳等过程，经历从具体到抽象、从形到数的概念形成过程，培养数形结合的思想。 3.感受数学中的对称美，激发学习兴趣，体会数学与生活的联系，增强学习数学的信心。 教学重难点 重点：偶函数的概念和图像特征(关于y轴对称)。 难点：从图像特征抽象出代数关系f(-x)= f(x)。 学情分析 在学习本节内容之前，学生已经掌握了函数的概念、函数的表示方法及函数的单调性等知识，具备了一定的函数学习基础，对“变量之间的依赖关系”有了初步的认识，对数形结合思想探究有初步的接触。 高一学生思维活跃，好奇心强，中职学生习惯于处理具体数字和直观图形，但将具体运算抽象为一般性的符号关系是他们的主要难点。形式化的数学语言对他们而言是陌生且困难的。教师应使学生感受数学的实际应用价值，激发学生的好奇心，因此在教学过程中可以充分利用多媒体展示函数图像，设计趣味性的课堂活动引导学生观察、分析，在学生遇到困难时，给予适当的引导和帮助。 教学准备 多媒体课件 教学过程 教学任务 教学内容 设计意图 创新设计 （含AI应用） 任务一： 情境导入，生活中的对称 1.全景故宫展示对称 通过观看不同的故宫建筑，引导学生观察其中存在的对称现象，如宫殿的布局、门窗的设计等。 2.提出问题：在生活中，你还见过哪些具有对称特征的物体或现象，这些对称现象在生活中起到了什么作用呢？学生自由发言，分享自己的生活经验。 预设学情： （1）结构稳定：桥梁、塔楼等对称结构能均匀分散压力，增强承重能力（如赵州桥、埃非尔铁塔）。 （2）人体工学：剪刀、餐具、自行车等工具的对称设计符合人体双手或双腿的协调使用，提升操作便利性。 （3）交通工具：汽车、飞机等交通工具的对称外形减少空气阻力，提升行驶稳定性。 3.揭示主题：在数学中也有类似的对称现象，今天我们来一起探索函数中的对称美。 通过VR技术让学生身临其境地感受对称之美，使学生感受对称在生活中的作用，提升学习内驱力，进而引出数学的函数中也有类似的对称，自然地过渡到本节课的主题。 以超链接的形式在课件中插入故宫全景互动场景，让学生360度观察对称建筑结构，增强沉浸式体验。 任务二： 探究新知，函数中的对称 1.对称函数 教师：在之前的学习中，都学过哪些对称的函数？ 学生活动：举例：函数f(x)=|x|，函数g(x)=x2，函数h(x)=cos x。 插入智能体，学生可向智能体教师询问。 2.画出函数f(x)=|x|与函数g(x)=x2的图像。 列表： x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … f(x)=|x| … 3 2 1 0 1 2 3 … 描点连线： 列表： x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … g(x)=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 … 描点连线： 询问学生学过的对称函数，引导学生回忆旧知，发挥学生的主体作用，通过列举具体函数为后续探究偶函数概念做铺垫。让学生画出函数图像，从形的角度直观感受函数的对称特征，培养学生的动手操作能力和观察能力。 插入AI智能体，辅助学生 完成回忆学过的对称函数。 任务三： 抽象概括，偶函数的概念 3.抽象概念 教师活动：引导学生观察函数f(x)=|x|与函数g(x)=x2的图像，并思考两个函数的相同点。 学生活动：观察函数f(x)=|x|与函数g(x)=x2的图像发现： （1）两个函数的定义域都是(﹣∞，+∞)； （2）两个函数都关于y轴对称。 教师活动：针对第二个相同点，引导学生深入探究。观察表格，从表格中的数据进一步验证函数图像关于y轴对称这一特征，并用数量关系表示。 学生活动：观察表格，探究函数的数量关系。 对于函数f(x)=|x|，有 x=-3，f(-3)=3 x=3，f(3)=3 x=-2，f(-2)=2 x=2，f(2)=2 x=-1，f(-1)=1 x=1，f(1)=1 结论：对任意x∈(﹣∞，+∞)，f(-x)=|﹣x|=|x|=f(x)，即f(-x)=f(x)。 对于函数g(x)=x2，有 x=-3，g(-3)=9 x=3，g(3)=9 x=-2，g(-2)=4 x=2，g(2)=4 x=-1，g(-1)=1 x=1，g(1)=1 结论：对任意x∈(﹣∞，+∞)，g(-x)=(-x)2=x2=g(x)，即g(-x)=g(x)。 归纳：这两个函数的图像都关于y轴对称；当自变量取定义域中任意一对相反数时，对应的函数值都相等，这种函数就是偶函数。 教师活动：引导学生根据实例由特殊到一般的抽象出偶函数的概念。 偶函数的概念：一般的，设函数f(x)的定义域为D，如果对于任意x∈D，都有-x∈D，且f(-x)=f(x)，那么，函数f(x)就叫做偶函数。如图所示，偶函数的图像关于y轴对称。 教师引导学生通过具体函数实例的探究，让学生经历从特殊到一般的认知过程，深刻理解偶函数的概念本质。 任务四： 分辨探究，偶函数的判定 4.概念内化 提出问题：如何判断一个函数是否为偶函数呢？ （1）图像法 教师活动：利用几何画板展示三类偶函数，使学生直观感受偶函数图像关于y轴对称的特性，即翻折后图像完全重合。同时，在几何画板中动态展示自变量x取定义域内任意一对相反数时，对应的函数值始终相等。 例1 根据下列函数的图像，判断哪些函数是偶函数。 ① ② ③ ④ 解：图①和图④的函数图像关于y轴对称，图②和图③的函数图像不关于y轴对称。根据偶函数的图像具有关于y轴对称的特点，图①和图④的函数是偶函数，图②和图③的函数不是偶函数。 图像法：观察图像是否关于y轴对称。 例2 已知函数f(-x)=|x|+1图像在y轴右边的部分如图所示，试画出这个函数图像在y轴左边的部分。 学情预设：学生直接画出关于y轴对称的左半部分的图像。 教师活动：引导学生回忆偶函数的概念，提示学生应当注意定义域的范围，规范作图步骤。 解：函数f(-x)=|x|+1的定义域是(﹣∞，+∞)，因为它是偶函数，所以根据其图像关于y轴对称的特点，即可画出这个函数在x∈(﹣∞，0)上的图像. 如图所示，在y轴右边的图像上取两点A和B，分别画出它们关于y轴对称的点A′和B′,然后连线A'B'，就得到这个函数的图像在y轴左边的部分。 （2）定义法 在利用定义法判断后，通过超链接的性质插入图形计算器，使学生手动输入函数式，直观的感受偶函数的对称。 例3 判断下列函数是不是偶函数。 (1)f(x)=3x2+1；(2)f(x)=x2+x；(3)f(x)=5x+2 教师活动：引导学生根据偶函数的定义判断，并示例(1)。 学生活动：仔细观看教师解题步骤，类比解答(2)(3)问。 解：(1)函数f(x)=3x²+1的定义域是R，对任意z∈R，都有-x∈R，而 f(-x)=3(-x)²+1=3x²+1=f(x)， 所以，函数f(x)=3x²+1是偶函数。 要点：第一步：看定义域是否关于原点对称；第二步：计算 f(-x)；第三步：判断f(-x)与f(x)是否相等后得结论。 (2)函数f(x)=x²+x的定义域是R，对任意x∈R，都有-x∈R，而 f(-x)=(-x)²+(-x)=x²-x≠f(x)， 所以，函数f(x)=x²+x不是偶函数。 (3)函数f(x)=5x+2的定义域是R，对任意x∈R，都有一x∈R，而 f(-x)=5(-x)+2=-5x+2≠f(x)， 所以，函数f(x)=5x+2不是偶函数。 小结：判断一个函数是否为偶函数的方法 1.图像法：看图像是否关于y轴对称 2.定义法：（分为三步） （一看）第一步：求函数定义域，看定义域是否关于原点对称； （二算）第二步：计算 f(-x)； （三判断）第三步：判断f(-x)与f(x)是否相等后得出结论. 利用几何画板展示多个偶函数，直观呈现偶函数图像关于y轴对称的特性，帮助学生形成直观认知。在讲解定义法时，详细阐述每一步的判断依据和计算过程，通过具体例题引导学生逐步掌握定义法，强化学生对偶函数定义的理解与应用。同时，利用图形计算器等AI工具，让学生手动输入函数式，通过直观操作感受偶函数的对称特性，增强学习的趣味性与互动性。 1.几何画板动态展示偶函数的翻折过程； 2.学生利用图形计算器生成函数图像，发挥学生主体地位，增强课堂交互性。 任务五： 拓展延伸，偶函数的运算 教师：通过以上学习，我们掌握了偶函数的概念，以及两种方法判断一个函数是否为偶函数。那么你知道是谁首先提出了这个概念吗？让我们一起来看看吧！ 数字人欧拉：大家好，我是欧拉，一名瑞士数学家，我在提交给圣彼得堡科学院的旨在解决“反弹道问题”的一篇论文中，首次提出了偶函数的概念。若用-x代替x，函数保持不变，则称这样的函数为偶函数，那你知道当两个偶函数在进行四则运算后，会变成什么函数吗？接下来请大家继续探究！ 教师活动：引导学生利用定义进行探究。 （1）偶函数加偶函数 假设函数f(x) 和g(x) 都是偶函数，那么它们的和 h(x)=f(x)+g(x)也是偶函数。这是因为： h(−x)=f(−x)+g(−x)=f(x)+g(x)=h(x) （2）偶函数减偶函数 假设函数f(x) 和g(x) 都是偶函数，那么它们的差 h(x)=f(x)-g(x)也是偶函数。这是因为： h(−x)=f(−x)-g(−x)=f(x)-g(x)=h(x) （2）偶函数乘偶函数 假设函数f(x) 和g(x) 都是偶函数，那么它们的积 h(x)=f(x)g(x)也是偶函数。这是因为： h(−x)=f(−x)g(−x)=f(x)g(x)=h(x) （2）偶函数除偶函数 假设函数f(x) 和g(x) 都是偶函数，那么它们的商 h(x)=也是偶函数。这是因为： h(−x)===h(x) 结论：两个偶函数经过四则运算后的函数仍是偶函数。 通过数字人欧拉的生动引入，让学生了解偶函数概念的历史渊源，激发学生进一步探索偶函数运算性质的兴趣。教师引导学生利用偶函数的定义探究两个偶函数进行四则运算后的结果，培养了学生的逻辑推理能力和自主探究能力。 AI生成数字人欧拉，促进学生数学史的了解，起到拓展与衔接的作用。 作业设计 1.火眼金睛，“偶函数”身份辨别。 （1）f(x)=1−2x；（2）f(x)=x2+1；（3）f(x)=|x|+x；（4）f(x)= 2.函数f(x)=x2-3的图像在y轴左边的部分如图所示，请你画出这个函数图像在y轴右边的部分。 3.有一位同学声称：“如果一个函数的图像关于y轴对称，那么它一定在整个定义域上都是单调的。”这个说法是正确的吗？请举出一个偶函数的例子作为证据，来支持或反驳他的观点，并阐述你的理由。 板书设计/课堂小结 1.偶函数的概念：一般的，设函数f(x)的定义域为D，如果对于任意x∈D，都有-x∈D，且f(-x)=f(x)，那么，函数f(x)就叫做偶函数。 2.偶函数的判定方法 （1）图像法：图像是否关于y轴对称。 （2）定义法：一看，二算，三判断。 3.偶函数的运算：两个偶函数经过四则运算后的函数仍是偶函数。 教学反思 本节课通过丰富的多媒体教学手段和互动式教学方法，成功引导学生从生活实例中的对称美过渡到数学函数中的对称性，进而深入探究偶函数的概念、判定方法及四则运算。 在教学过程中，利用VR技术让学生身临其境地感受对称之美，增强了学生的沉浸式体验，有效激发了学生的学习兴趣和内驱力。在探究新知环节，通过引导学生列举学过的对称函数、画出函数图像、观察表格数据等操作，培养了学生的动手操作能力和观察能力，同时利用AI智能体辅助学生完成学习任务，提高了课堂效率。在抽象概括偶函数概念的过程中，引导学生由特殊到一般深刻理解了偶函数的本质特征。在分辨探究偶函数的判定方法时，通过图像法和定义法的详细讲解与例题演示，使学生掌握了判断偶函数的有效方法。在拓展延伸环节，通过数字人欧拉的引入，让学生了解了偶函数历史渊源，激发了学生进一步探索偶函数四则运算的兴趣。 整体教学效果较佳，后续教学中应加强针对性训练，通过更多典型例题和练习，帮助学生巩固所学知识，提高运用定义法判断偶函数的能力。 学科网（北京）股份有限公司 $