精品解析：河北省石家庄市正定县2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

正定县2025～2026学年度第一学期期中教学质量检测 九年级数学试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，然后根据特殊角的三角函数值，直接计算的值，熟练掌握等特殊角的三角函数值有助于快速解题． 【详解】解：． 故选：B． 2. 已知一元二次方程，则它的一次项系数为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，形如，且a，b，c为常数，分别称为二次项系数，一次项系数，常数项．据此即可求解． 【详解】解：一元二次方程，则它的一次项系数为， 故选：B． 3. 如图，书写汉语拼音的四线格是由等距离的四条平行横线组成的，同一条直线上的三个点，，都在横线上，若线段，则线段的长是（ ） A. B. C. 3 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据了平行线分线段成比例定理可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点A作最下面那条网格线的垂线，垂足为H，设与从下往上数的第二条网格线交于E， 四线格是由等距离的四条平行横线组成的， ． ， ， 故选：C． 4. 某校七年级共320名学生参加数学测试，随机抽取50名学生的成绩进行统计，其中15名学生成绩达到优秀，估计该校七年级学生在这次数学测试中达到优秀的人数大约有（　　） A. 50人 B. 64人 C. 90人 D. 96人 【答案】D 【解析】 【详解】随机抽取了50名学生的成绩进行统计，共有15名学生成绩达到优秀， ∴样本优秀率为：15÷50=30%， 又∵某校七年级共320名学生参加数学测试， ∴该校七年级学生在这次数学测试中达到优秀的人数为：320×30%=96人． 故选D. 5. 若将一元二次方程化成的形式，则的值分别是（ ） A. 4，25 B. ，25 C. ，5 D. ，73 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查配方法，掌握配方法是加上一次项系数一半的平方是解题的关键． 使用配方法将方程化为完全平方形式即可求解． 【详解】∵ ， 移项得：， 配方：两边加16（一次项系数8的一半的平方），得， 即， ∴ , ． 故选：A． 6. 如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质与判定，当时，可证明，由平行线的性质得到，，则可证明，据此可判断A、B；由平行线的性质可得，则，同理可判断C；D中条件结合已给条件不能证明． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故A不符合题意； B、∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故B不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故C不符合题意； D、根据结合已知条件不能证明，故D符合题意； 故选：D． 7. 求一组数据方差的算式为：．由算式提供的信息，下列说法错误的是（ ） A. 的值是5 B. 该组数据的平均数是7 C. 该组数据的众数是6 D. 若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是方差的计算，众数的含义，平均数的含义，根据方差公式及数据特征，逐一分析选项的正误． 【详解】解：选项A、算式中平方差项数为5，对应数据个数，正确． 选项B、平均数，正确． 选项C、数据中6和8均出现2次，次数最多，故众数为6和8，而非仅6，错误． 选项D、加入两个7后，数据更集中，方差由减小为，正确． 综上，错误的说法是C． 故选C 8. 如图，在菱形中，点E 在边上，射线交的延长线于点F，若，，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．由菱形的性质得，，可证明，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∵点F在直线上， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 9. 如图是某商场到地下停车场的手扶电梯示意图，其中、分别表示地下停车场、商场电梯口处地面的水平线，，的长约是，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先过点作的延长线于点，结合，得，又因为，则，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：过点作的延长线于点，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的长约是， ∴， 即乘电梯从点B到点C上升的高度h是， 故选：A． 10. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，点的坐标；将方程化为标准形式后，利用根与系数的关系求出两根之和与积，再根据点的坐标判断所在象限． 【详解】解：原方程 展开并整理为标准形式： 其中 ，，． ∴，． ∴点即 的横、纵坐标均为负数，故位于平面直角坐标系的第三象限． 故选：C． 11. 如图是一块三角形钢材，其中边，高，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上，则这个正方形零件的边长是（ ） A. 4 B. 4.8 C. 5.2 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质，根据正方形的性质设，平行于，进而得到，证明得到比例，代入求解． 【详解】四边形是正方形， 设，平行于， 在中，边，高， ， ， 根据平行线间的距离处处相等得：， ， 平行于， ， ， ， 解得， ， 即这个正方形零件的边长是． 故选：B． 12. 如图，在等边中，点E，F在边上，，是边上的高，若，，则( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，解直角三角形，根据等边三角形的性质证明，再利用锐角三角函数求出，进而可以解决问题．解决本题的关键是掌握等边三角形的性质． 【详解】解：在等边中，是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 某公司决定招聘一名广告策划人员，某应聘者三项素质测试的成绩如下表： 测试项目 创新能力 综合知识 语言表达 测试成绩/分 将创新能力，综合知识和语言表达三项测试成绩按的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是_____分． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数，根据该应聘者的总成绩创新能力所占的比值综合知识所占的比值语言表达所占的比值即可求得，解题的关键是掌握加权平均数的计算方法． 【详解】解：根据题意，该应聘者的总成绩是：（分）， 故答案为：． 14. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程的定义和根的判别式，解一元一次不等式，根据方程有实数根需满足判别式大于等于0，且二次项系数不为0，由此求解的取值范围． 【详解】解：∵方程有实数根， ∴，且， ，， ． 故答案为：． 15. 已知：如图，在中，，，，则的长为______． 【答案】22 【解析】 【分析】本题考查了三角函数的定义，正弦，正切，构造辅助线是解题的关键．过点作于点，根据正弦，正切的定义及勾股定理求出即可求解． 【详解】解：过点作于点， 在中，，，， ，即， ， 在中，，， ， ， ． 故答案为：22． 16. 如图，在四边形中，，，，，，是线段上的一点，若图中阴影部分的两个三角形相似，则的值为______． 【答案】3或4或 【解析】 【分析】分△ABP∽△PCD、△ABP∽△DCP两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，代入已知数据计算即可． 【详解】解：设BP＝x，则PC＝7−x， 当△ABP∽△PCD时，，即， 解得，x1＝3，x2＝4， 当△ABP∽△DCP时，，即， 解得，x＝， 综上所述，图中两个阴影部分的两个三角形相似，则PB的值为3或4或， 故答案为：3或4或． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键． 三、解答题（本大题共6小题，共52分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 习题课上，数学老师展示嘉嘉和淇淇解同一道题的错误解答过程： 嘉嘉：解方程 解：方程两边同时除以得 第一步 第二步 第三步 淇淇：解方程 解：移项： 第一步 分解因式 第二步 即或 第三步 所以 第四步 （1）分别写出嘉嘉和淇淇的解答过程从第几步开始出现错误的； （2）请给出这道题的正确解答过程． 【答案】（1）嘉嘉是第一步；淇淇是第二步 （2） 解：移项：， 分解因式， 即或， 所以，． 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据解一元二次方程的计算的步骤检查即可； （2）根据因式分解法解答即可． 【小问1详解】 解：嘉嘉是第一步；淇淇是第二步； 【小问2详解】 略 18. 某工厂生产，，，四种产品．为提升产品的竞争力，该工厂计划对部分种类的产品优化生产流程，降低成本；对其他种类的产品增加研发投入，提升品质．经研究，该工厂做出了甲、乙两种调整方案，这两种方案将对四种产品的成本产生不同的影响．下面是该工厂这四种产品的部分信息：a．调整前，各产品年产量的不完整的条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）．b．各产品单件成本的核算情况统计表及说明．说明：对于统计表中的数据，方案甲的平均数与调整前的相同，方案乙的中位数与调整前的相同．根据以上信息，解答下列问题： 产品 数据 类别 调整前单价成本（元/件） 调整后单价成本（元/件） 方案甲 方案乙 （1）求调整前产品的年产量； （2）直接写出，的值； （3）若调整后这四种产品的年产量均与调整前的相同，请通过计算说明甲、乙两种方案哪种总成本较低． 【答案】（1）万件 （2）， （3）甲种方案总成本较低 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，求平均数与中位数，从统计图表中获取信息是解题的关键； （1）先求得总产量，然后求得的年产量，最后求得产品的年产量； （2）根据方案甲的平均数与调整前的相同，方案乙的中位数与调整前的相同，即可求解； （3）分别计算甲、乙两种方案的成本，比较大小，即可求解． 【小问1详解】 万件， 产品的年产量为：万件， ∴调整前产品的年产量为：万件 【小问2详解】 ∵方案甲的平均数与调整前的相同， ∴ 解得：， ∵方案乙的中位数与调整前的相同，调整前，中位数为 调整后为， ∴ 【小问3详解】 解：方案甲的总成本为：（万元） 方案乙的总成本为：（万元） ∴甲种方案总成本较低 19. 如图，在中，，，点P、D分别是、边上的点，且．     （1）求证：； （2）当时，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 在与中， ， ∴∽． （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是本题的关键． （1）根据等腰三角形的性质可得，再结合，可得，即可求证； （2）根据相似三角形的性质解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴． ∵∽， ∴，即， ∴． 20. 某校为检测师生体温，在校门口安装了某型号的测温门，如图为该“测温门”的截面示意图．身高米的嘉嘉做了如下实验：当他在地面M处时“测温门”开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为；当他在地面N处时，“测温门”停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为．如果测得嘉嘉的有效测温区间的长度是米，那么测温门顶部A处距地面的高度约为多少米？（注：额头到地面的距离以身高计，计算结果精确到，，） 【答案】测温门顶部A处距地面的高度约为米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，延长交于点E，设为x米，在中，，在中，，然后根据，列出方程，即可得出答案． 【详解】解：延长交于点E，设为x米，由题意可知，，， 在中，， ∴米． 在中，， ∴米． ∵， ∴， ， ∴， ∴米． 答：测温门顶部A处距地面的高度约为米． 21. 正定县某水果批发店销售一种水果的成本价是6元/千克，在销售中发现，当这种水果的价格定为10元/千克时，每天可以卖出160千克，在此基础上，这种水果的单价每提高1元/千克，该水果店每天就会少卖出20千克，设这种水果的单价为x元． （1）请用含x的代数式表示：每千克水果的利润 元，每天的销售量是 千克． （2）若该水果店一天销售这种水果所获得的利润是700元，为了让利于顾客，单价应定为多少元？ 【答案】（1）； （2）单价应定为11元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． （1）根据每千克利润等于每千克售价减去每千克进价，可标出每千克利润；然后根据“水果的单价每提高1元/千克．该水果店每天就会少卖出20千克”，列出式子，即可得出结论； （2）根据总利润每千克利润销量，列出方程并解答． 【小问1详解】 解：水果的成本价是6元/千克，这种水果的单价为x元， 每千克水果的利润为元， 这种水果的单价每提高1元/千克，该水果店每天就会少卖出20千克， 每天的销售量是（千克）， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：根据题意，得， 整理得，解得：，， ∵为了让利于顾客，则价格应选低价， ∴． 答：单价应定为11元． 22. 如图，在中，，，．动点P从点C出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点A匀速运动．过点P作的垂线交射线于点M，当点M不和点B重合时，作点M关于的对称点N．设点P的运动时间为t秒． （1） ； （2）求的长；（用含t的代数式表示） （3）取的中点Q，连结、，当点M在边上，且时，求的长． 【答案】（1） （2）当时，，当时， （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，平行线分线段成比例定理，勾股定理，解一元一次方程等知识，熟练掌握其性质并能灵活运用参数构建方程是解决此题的关键． 先解求出，再利用勾股定理求解即可； 如图，过点B作交于点D，分两种情形：当时，当时，分别求解即可； 由平行线分线段成比例定理证明，由此构建方程，可得结论． 【小问1详解】 解：在中，， ∵ ∴, ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，过点B作交于点D， ，，，， ， ， ∵点从点出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点匀速运动， ∴点从点出发运动到点的时间，到达点用时， ∵， ， 当时，， 当时，； 【小问3详解】 解：如图，此时， 当时,， , , ,解得, 此时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 正定县2025～2026学年度第一学期期中教学质量检测 九年级数学试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知一元二次方程，则它的一次项系数为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 如图，书写汉语拼音的四线格是由等距离的四条平行横线组成的，同一条直线上的三个点，，都在横线上，若线段，则线段的长是（ ） A. B. C. 3 D. 6 4. 某校七年级共320名学生参加数学测试，随机抽取50名学生的成绩进行统计，其中15名学生成绩达到优秀，估计该校七年级学生在这次数学测试中达到优秀的人数大约有（　　） A. 50人 B. 64人 C. 90人 D. 96人 5. 若将一元二次方程化成的形式，则的值分别是（ ） A. 4，25 B. ，25 C. ，5 D. ，73 6. 如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（ ） A. B. C. D. 7. 求一组数据方差的算式为：．由算式提供的信息，下列说法错误的是（ ） A. 的值是5 B. 该组数据的平均数是7 C. 该组数据的众数是6 D. 若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小 8. 如图，在菱形中，点E 在边上，射线交的延长线于点F，若，，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 2 9. 如图是某商场到地下停车场的手扶电梯示意图，其中、分别表示地下停车场、商场电梯口处地面的水平线，，的长约是，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（ ） A. B. C. D. 10. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 11. 如图是一块三角形钢材，其中边，高，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上，则这个正方形零件的边长是（ ） A. 4 B. 4.8 C. 5.2 D. 6 12. 如图，在等边中，点E，F在边上，，是边上的高，若，，则( ) A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 某公司决定招聘一名广告策划人员，某应聘者三项素质测试的成绩如下表： 测试项目 创新能力 综合知识 语言表达 测试成绩/分 将创新能力，综合知识和语言表达三项测试成绩按的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是_____分． 14. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是______． 15. 已知：如图，在中，，，，则的长为______． 16. 如图，在四边形中，，，，，，是线段上的一点，若图中阴影部分的两个三角形相似，则的值为______． 三、解答题（本大题共6小题，共52分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 习题课上，数学老师展示嘉嘉和淇淇解同一道题的错误解答过程： 嘉嘉：解方程 解：方程两边同时除以得 第一步 第二步 第三步 淇淇：解方程 解：移项： 第一步 分解因式 第二步 即或 第三步 所以 第四步 （1）分别写出嘉嘉和淇淇的解答过程从第几步开始出现错误的； （2）请给出这道题的正确解答过程． 18. 某工厂生产，，，四种产品．为提升产品的竞争力，该工厂计划对部分种类的产品优化生产流程，降低成本；对其他种类的产品增加研发投入，提升品质．经研究，该工厂做出了甲、乙两种调整方案，这两种方案将对四种产品的成本产生不同的影响．下面是该工厂这四种产品的部分信息：a．调整前，各产品年产量的不完整的条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）．b．各产品单件成本的核算情况统计表及说明．说明：对于统计表中的数据，方案甲的平均数与调整前的相同，方案乙的中位数与调整前的相同．根据以上信息，解答下列问题： 产品 数据 类别 调整前单价成本（元/件） 调整后单价成本（元/件） 方案甲 方案乙 （1）求调整前产品的年产量； （2）直接写出，的值； （3）若调整后这四种产品的年产量均与调整前的相同，请通过计算说明甲、乙两种方案哪种总成本较低． 19. 如图，在中，，，点P、D分别是、边上的点，且．     （1）求证：； （2）当时，求的长． 20. 某校为检测师生体温，在校门口安装了某型号的测温门，如图为该“测温门”的截面示意图．身高米的嘉嘉做了如下实验：当他在地面M处时“测温门”开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为；当他在地面N处时，“测温门”停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为．如果测得嘉嘉的有效测温区间的长度是米，那么测温门顶部A处距地面的高度约为多少米？（注：额头到地面的距离以身高计，计算结果精确到，，） 21. 正定县某水果批发店销售一种水果的成本价是6元/千克，在销售中发现，当这种水果的价格定为10元/千克时，每天可以卖出160千克，在此基础上，这种水果的单价每提高1元/千克，该水果店每天就会少卖出20千克，设这种水果的单价为x元． （1）请用含x的代数式表示：每千克水果的利润 元，每天的销售量是 千克． （2）若该水果店一天销售这种水果所获得的利润是700元，为了让利于顾客，单价应定为多少元？ 22. 如图，在中，，，．动点P从点C出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点A匀速运动．过点P作的垂线交射线于点M，当点M不和点B重合时，作点M关于的对称点N．设点P的运动时间为t秒． （1） ； （2）求的长；（用含t的代数式表示） （3）取的中点Q，连结、，当点M在边上，且时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $