专题4 曲线运动（专题突破练）-【第一梯队】2026年高考物理二轮专项突破教用word

专题四　曲线运动 题型方法 题型12　关联速度模型 高考真题 1.(2025黑吉辽蒙,6,4分)如图,趣味运动会的“聚力建高塔”活动中,两长度相等的细绳一端系在同一塔块上,两名同学分别握住绳的另一端,保持手在同一水平面以相同速率v相向运动。为使塔块沿竖直方向匀速下落,则v (　B　) A.一直减小　　　　　　　　 B.一直增大 C.先减小后增大　　　　　　　　 D.先增大后减小 2.(2022湖北,16,16分)打桩机是基建常用工具。某种简易打桩机模型如图所示,重物A、B和C通过不可伸长的轻质长绳跨过两个光滑的等高小定滑轮连接,C与滑轮等高(图中实线位置)时,C到两定滑轮的距离均为L。重物A和B的质量均为m,系统可以在如图虚线位置保持静止,此时连接C的绳与水平方向的夹角为60°。某次打桩时,用外力将C拉到图中实线位置,然后由静止释放。设C的下落速度为时,与正下方质量为2m的静止桩D正碰,碰撞时间极短,碰撞后C的速度为零,D竖直向下运动 距离后静止(不考虑C、D再次相碰)。重力加速度为g,A、B、C、D均可视为质点。 (1)求C的质量; (2)若D在运动过程中受到的阻力F可视为恒力,求F的大小; (3)撤掉桩D,将C再次拉到图中实线位置,然后由静止释放,求A、B、C的总动能最大时C的动能。 答案　(1)m　(2)mg　(3)2(2-)mgL 解析　(1)系统在图中虚线位置能保持静止,以C为研究对象,由平衡条件可得mCg=2mg sin 60° 解得mC=m。 (2)设碰撞后D的速度为v,由于碰撞时间极短,C、D构成的系统动量守恒,mCvC=2mv 在D运动过程中由动能定理有 -(F-2mg)×=0-×2mv2 将vC=代入可得F=mg (3)由对称性可知A、B的速度大小时刻相等,设C由实线位置静止释放,下降h高度时,C的速度为v1,A、B的速度大小均为v2 此时Ek总=mCgh-2mg×(-L) 求导可知,当Ek总'=mg-mg×(L2+h2×2h=0,即h=L时,Ek总有最大值,=mgL 此时,v2=v1×= Ek总max=mC+×2m×==mgL EkC=×mC=(4-2)mgL。 易错警示　关联速度的理解 将C的速度沿绳和垂直于绳的方向进行分解,可得v2=v∥=v1 cos α,由几何关系可得cos α=,联立可得v2=v1×。 高考模拟 (2025福建百校联考)(多选)如图所示,半径为R、圆心为O的半圆轨道竖直固定在水平面上,质量为2m的小球P通过轻质细线跨过两定滑轮A、B后与质量为m的物体Q相连接,左侧的滑轮A刚好位于O点正上方,且O到滑轮A的距离为R,M点为轨道上一点,∠MON=60°,N点为轨道的最低点,现将小球P从轨道左侧的最高点由静止释放,整个运动过程中物体Q不会与滑轮发生碰撞。重力加速度为g,小球P可视为质点,两定滑轮的大小不计,一切摩擦阻力均可忽略。则下列说法正确的是 (　BD　) A.小球P由释放到N点的过程,物体Q始终超重 B.到M点时小球P的速度大小为 C.到M点时物体Q的速度大小为 D.到N点时小球P的加速度大小为g 题型13　抛体运动模型 高考真题 1.(2024江西,8,6分)(多选)一条河流某处存在高度差,小鱼从低处向上跃出水面,冲到高处。如图所示,以小鱼跃出水面处为坐标原点,x轴沿水平方向,建立坐标系,小鱼的初速度为v0,末速度v沿x轴正方向。在此过程中,小鱼可视为质点且只受重力作用。关于小鱼的水平位置x、竖直位置y、水平方向分速度vx和竖直方向分速度vy与时间t的关系,下列图像可能正确的是 (　AD　) 　　　 2.(2025湖北,6,4分)某网球运动员两次击球时,击球点离网的水平距离均为L,离地高度分别为、L,网球离开球拍瞬间的速度大小相等,方向分别斜向上、斜向下,且与水平方向夹角均为θ。击球后网球均刚好直接掠过球网,运动轨迹平面与球网垂直,忽略空气阻力,tan θ的值为 (　C　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 3.(2022广东,6,4分)如图所示,在竖直平面内,截面为三角形的小积木悬挂在离地足够高处,一玩具枪的枪口与小积木上P点等高且相距为L。当玩具子弹以水平速度v从枪口向P点射出时,小积木恰好由静止释放,子弹从射出至击中积木所用时间为t。不计空气阻力。下列关于子弹的说法正确的是 (　B　) A.将击中P点,t大于 B.将击中P点,t等于 C.将击中P点上方,t大于 D.将击中P点下方,t等于 4.(2023湖南,2,4分)如图(a),我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图(b)所示,其轨迹在同一竖直平面内,抛出点均为O,且轨迹交于P点,抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为v1和v2,其中v1方向水平,v2方向斜向上,忽略空气阻力,关于两谷粒在空中的运动,下列说法正确的是 (　B　) 　 A.谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度 B.谷粒2在最高点的速度小于v1 C.两谷粒从O到P的运动时间相等 D.两谷粒从O到P的平均速度相等 5.(2022山东,11,4分)(多选)如图所示,某同学将离地1.25 m的网球以13 m/s的速度斜向上击出,击球点到竖直墙壁的距离4.8 m。当网球竖直分速度为零时,击中墙壁上离地高度为8.45 m的P点。网球与墙壁碰撞后,垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75倍,平行墙面的速度分量不变。重力加速度g取10 m/s2,网球碰墙后的速度大小v和着地点到墙壁的距离d分别为 (　BD　) A.v=5 m/s　　　　　　　　B.v=3 m/s C.d=3.6 m　　　　　　　　D.d=3.9 m 6.(2024山东,12,4分)(多选)如图所示,工程队向峡谷对岸平台抛射重物,初速度v0大小为20 m/s,与水平方向的夹角为30°,抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°,重力加速度大小取10 m/s2,忽略空气阻力。重物在此运动过程中,下列说法正确的是 (　BD　) A.运动时间为2 s B.落地速度与水平方向夹角为60° C.重物离PQ连线的最远距离为10 m D.轨迹最高点与落点的高度差为45 m 7.(2023湖北,14,15分)如图为某游戏装置原理示意图。水平桌面上固定一半圆形竖直挡板,其半径为2R、内表面光滑,挡板的两端A、B在桌面边缘,B与半径为R的固定光滑圆弧轨道在同一竖直平面内,过C点的轨道半径与竖直方向的夹角为60°。小物块以某一水平初速度由A点切入挡板内侧,从B点飞出桌面后,在C点沿圆弧切线方向进入轨道内侧,并恰好能到达轨道的最高点D。小物块与桌面之间的动摩擦因数为,重力加速度大小为g,忽略空气阻力,小物块可视为质点。求 (1)小物块到达D点的速度大小; (2)B和D两点的高度差; (3)小物块在A点的初速度大小。 答案　(1)　(2)0　(3) 解析　(1)设物块质量为m,物块恰好能通过最高点D,可知其所受重力提供向心力,在D点对物块根据牛顿第二定律有mg=m,可得vD=。 (2)由题意可知C、D之间的高度差 hCD=R+R cos 60°=R 对物块由C到D根据动能定理有 -mghCD=m-m 解得vC=2 物块从B到C做平抛运动,过C点时有 vC水平=vC cos 60°=vB,解得vB= 由动能定理有mghBD=m-m 解得hBD=0。 (3)物块从A到B由动能定理得 -μmgs=m-m 其中s=×2π×2R 解得vA=。 高考模拟 1.(2025八省联考·云南)如图所示,“套圈”活动中,某同学将相同套圈分两次从同一位置水平抛出,分别套中Ⅰ、Ⅱ号物品。若套圈可近似视为质点,不计空气阻力,则 (　D　) A.套中Ⅰ号物品,套圈被抛出的速度较大 B.套中Ⅰ号物品,重力对套圈做功较小 C.套中Ⅱ号物品,套圈飞行时间较长 D.套中Ⅱ号物品,套圈动能变化量较小 2.(2025河南郑州一模)如图,某学校为响应郑州“无废城市”建设,以游戏“抛射入洞”引导学生将空饮料瓶作为可回收垃圾放入对应回收箱中。已知某次学生水平抛射时,抛出点离地1.80 m,距回收箱的水平距离为1.80 m。回收箱洞口离地1.35 m。不计空气阻力,试估算饮料瓶出手时速度的大小 (　D　) A.2 m/s　　　　B.3 m/s　　　　C.4 m/s　　　　D.6 m/s 3.(2025江西部分学校一模)如图所示将一个小球先后两次从A点斜向右上方抛出,第一次垂直打在竖直墙面上的B点,第一次抛出的初速度大小为v01,小球打在B点的速度大小为v1,小球从A点运动到B点的时间为t1,克服重力做功的平均功率为P1;第二次垂直打在竖直墙面上的C点,第二次抛出的初速度大小为v02,小球打在C点的速度大小为v2,小球从A点运动到C点的时间为t2,克服重力做功的平均功率为P2。则下列关系正确的是 (　A　) A.t1<t2　　　　B.v1<v2　　　　C.v01<v02　　　　D.P1>P2 4.(2025江苏南通一模)炮弹的速度越大,受到的空气阻力越大,一炮弹从水平面A处射出,落到B点,其弹道曲线如图所示。炮弹从A运动到B的过程中 (　A　) A.水平方向的分速度一直减小 B.上升的时间大于下降的时间 C.在最高点时的速度最小 D.在最高点时的加速度最小 5.(2025河南信阳二模)标准篮球场的三分线为一个半径为6.25 m的半圆弧线,圆心在篮筐的中心垂直线与地面的交点处,篮筐相对地面的高度为3.05 m。一个篮球运动员从三分线上的两不同位置竖直跳起斜向上投出篮球,篮球都恰好进入篮筐,两次篮球投掷点与篮筐的高度都相同,不计篮球运动过程中受到的空气阻力,下列说法正确的是 (　D　) A.同一次投篮过程篮球进入篮筐时的速度与抛出时的速度相同 B.篮球抛出时的速度与水平方向夹角越大,则抛出时的速度越大 C.篮球抛出时的速度与水平方向夹角越大,在篮球进入篮筐前运动时间越长 D.篮球抛出速度大小相同时,抛出时与水平方向的夹角可以不同 6.(2025河南郑州三模)如图甲,某景观喷泉正以喷头为中心,在同一竖直面内向各个方向以相同大小的初速度将水喷出,落到水平湖面上,空气阻力忽略不计。以喷头为坐标原点O,水平方向为x轴,竖直方向为y轴建立坐标系,如图乙所示。已知图乙中实线为部分水流的轨迹,虚线为水流的包络线(与所有水流的轨迹均相切的曲线),虚线的方程为y=-x2+ (m)。取重力加速度g=10 m/s2,则 (　D　) 　 A.水被喷出时速度大小为3 m/s B.水被喷出后在空中运动的最长时间为0.3 s C.水流的最大水平位移为0.45 m D.水平位移最大的水流在空中的时间为 s 7.(2025安徽马鞍山一模)如图所示,将一篮球(可视为质点)从水平地面上方B点以v0=10 m/s的速度斜向上抛出,抛出时速度方向与水平方向成θ=37°角,篮球恰好垂直击中竖直篮板上A点,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,重力加速度g取10 m/s2,已知A点距离水平地面的高度为3.2 m,不计空气阻力。求: (1)A、B两点间的水平距离; (2)B点距离水平地面的高度。 答案　(1)4.8 m　(2)1.4 m 解析　(1)篮球做斜抛运动,运动至A处时速度沿水平方向,即竖直分速度减为0,则竖直方向有v0 sin θ=gt,可得t=0.6 s 水平方向有xAB=v0 cos θ·t,解得xAB=4.8 m。 (2)篮球在空中运动的过程,竖直方向有yAB=v0 sin θ·t,解得yAB=1.8 m B点距离水平地面的高度h=3.2 m-yAB=1.4 m。 8.(人教版必修二P20,T7改编)如图所示,质量m=60 kg的跳台滑雪运动员从跳台A处沿水平方向飞出,在斜坡(近似看成斜面)B处着陆,A、B间的距离L=40 m,斜坡与水平方向的夹角θ=30°,不计空气阻力,重力加速度g取10 m/s2。求: (1)运动员由A处运动到B处的时间t; (2)运动员在飞行过程中,离斜坡最远的距离d及此时重力的瞬时功率P。 答案　(1)2 s　(2) m　6 000 W 解析　(1)运动员在空中做平抛运动, 竖直方向有L sin 30°=gt2,解得t=2 s。 (2)(关键点拨:当运动员的速度方向与斜坡平行时,运动员离斜坡最远) 运动员由A处运动到B处的过程,水平方向有 L cos 30°=v0t,解得v0=10 m/s 运动员离斜坡最远时速度平行于斜坡,有 tan 30°==,解得t'=1 s 由几何关系得运动员离斜坡最远的距离为 d= sin 30°= m 此时重力的瞬时功率P=mgvy=mgv0 tan 30°=6 000 W。 一题多解　沿斜坡和垂直斜坡建立坐标系 (2)运动员由A处运动到离斜坡最远时,到斜坡的距离最大为d=v0 sin 30°·-g cos 30°·= m 此时运动员的速度为 vx=v0 cos 30°+g sin 30°·=20 m/s 重力的瞬时功率P=mgvx sin 30°=6 000 W。 题型14　圆周运动模型 高考真题 1.(2025山东,4,3分)某同学用不可伸长的细线系一个质量为0.1 kg的发光小球,让小球在竖直面内绕一固定点做半径为0.6 m的圆周运动。在小球经过最低点附近时拍摄了一张照片,曝光时间为 s。由于小球运动,在照片上留下了一条长度约为半径的圆弧形径迹。根据以上数据估算小球在最低点时细线的拉力大小为 (　C　) A.11 N　　　　B.9 N　　　　C.7 N　　　　D.5 N 2.(2022山东,8,3分)无人配送小车某次性能测试路径如图所示,半径为3 m的半圆弧BC与长8 m的直线路径AB相切于B点,与半径为4 m的半圆弧CD相切于C点。小车以最大速度从A点驶入路径,到适当位置调整速率运动到B点,然后保持速率不变依次经过BC和CD。为保证安全,小车速率最大为4 m/s,在ABC段的加速度最大为2 m/s2,CD段的加速度最大为1 m/s2。小车视为质点,小车从A到D所需最短时间t及在AB段做匀速直线运动的最长距离l为 (　B　) A.t= s,l=8 m B.t= s,l=5 m C.t= s,l=5.5 m D.t= s,l=5.5 m 3.(2024江苏,11,4分)如图所示,轻绳的一端拴一个蜂鸣器,另一端穿过竖直管握在手中。蜂鸣器在水平面a内做匀速圆周运动。缓慢下拉绳子,使蜂鸣器升高到水平面b内继续做匀速圆周运动。不计空气阻力和摩擦力,与升高前相比,蜂鸣器 (　C　) A.角速度不变　　　　　　　　B.线速度减小 C.向心加速度增大　　　　　　　　D.所受拉力大小不变 4.(2024全国甲,17,6分)如图,一光滑大圆环固定在竖直平面内,质量为m的小环套在大圆环上,小环从静止开始由大圆环顶端经Q点自由下滑至其底部,Q为竖直线与大圆环的切点。则小环下滑过程中对大圆环的作用力大小 (　C　) A.在Q点最大　　　　　　　　B.在Q点最小 C.先减小后增大　　　　　　　　D.先增大后减小 5.(2024广东,5,4分)如图所示,在细绳的拉动下,半径为r的卷轴可绕其固定的中心点O在水平面内转动。卷轴上沿半径方向固定着长度为l的细管,管底在O点。细管内有一根原长为、劲度系数为k的轻质弹簧,弹簧底端固定在管底,顶端连接质量为m、可视为质点的插销。当以速度v匀速拉动细绳时,插销做匀速圆周运动。若v过大,插销会卡进固定的端盖,使卷轴转动停止。忽略摩擦力,弹簧在弹性限度内。要使卷轴转动不停止,v的最大值为 (　A　) A.r　　　　B.l　　　　C.r　　　　D.l 6.(2025安徽,14,14分)如图,M、N为固定在竖直平面内同一高度的两根细钉,间距L=0.5 m。一根长为3L的轻绳一端系在M上,另一端竖直悬挂质量m=0.1 kg的小球,小球与水平地面接触但无压力。t=0时,小球以水平向右的初速度v0=10 m/s开始在竖直平面内做圆周运动。小球牵引着绳子绕过N、M,运动到M正下方与M相距L的位置时,绳子刚好被拉断,小球开始做平抛运动。小球可视为质点,绳子不可伸长,不计空气阻力,重力加速度g取10 m/s2。 (1)求绳子被拉断时小球的速度大小,及绳子所受的最大拉力大小; (2)求小球做平抛运动时抛出点到落地点的水平距离; (3)若在t=0时,只改变小球的初速度大小,使小球能通过N的正上方且绳子不松弛,求初速度的最小值。 答案　(1)4 m/s　17 N　(2)4 m (3)2 m/s 解题导引　解答本题应注意以下关键点: (1)根据动能定理,计算小球通过M正下方与M相距L位置时的速度大小; (2)根据牛顿运动定律,计算绳子所受的最大拉力大小; (3)根据平抛运动规律,计算抛出点到落地点的水平距离; (4)根据动能定理和牛顿运动定律,计算小球初速度的最小值。 解析　(1)小球运动到M正下方与M相距L的位置时,绳子刚好被拉断,以小球作为研究对象,根据动能定理有-mg·2L=mv2-m 解得v=4 m/s 设绳子所受的最大拉力为Fm,根据牛顿第三定律可知小球所受的拉力Fm'=Fm,根据牛顿第二定律得Fm'-mg=m 解得Fm=17 N (2)小球做平抛运动时,水平方向有x=vt 竖直方向有2L=gt2 解得x=4 m (3)设小球的初速度最小值为v1,小球能通过N的正上方时速度的最小值为v2。 在最高点有mg=m 根据动能定理有-mg·5L=m-m 解得v1=2 m/s 7.(2023福建,15,12分)一种离心测速器的简化工作原理如图所示。细杆的一端固定在竖直转轴OO'上的O点,并可随轴一起转动。杆上套有一轻质弹簧,弹簧一端固定于O点,另一端与套在杆上的圆环相连。当测速器稳定工作时,圆环将相对细杆静止,通过圆环的位置可以确定细杆匀速转动的角速度。已知细杆长度l=0.2 m,杆与竖直转轴的夹角α始终为60°,弹簧原长x0=0.1 m,弹簧劲度系数k=100 N/m,圆环质量m=1 kg;弹簧始终在弹性限度内,重力加速度大小取10 m/s2,摩擦力可忽略不计。 (1)若细杆和圆环处于静止状态,求圆环到O点的距离; (2)求弹簧处于原长时,细杆匀速转动的角速度大小; (3)求圆环处于细杆末端P时,细杆匀速转动的角速度大小。 答案　(1)0.05 m　(2) rad/s　(3)10 rad/s 解析　(1)细杆和圆环处于平衡状态,对圆环受力分析如图甲所示,得T0=mg cos α=5 N 根据胡克定律F=kΔx得Δx0==0.05 m 弹簧弹力方向沿杆向上,故弹簧处于压缩状态,弹簧此时的长度即圆环到O点的距离x1=x0-Δx0=0.05 m。 (2)若弹簧处于原长,则圆环仅受重力和支持力,其合力使圆环在水平面内做匀速圆周运动。根据牛顿第二定律得=mr,由几何关系得圆环此时转动的半径r=x0 sin α,联立并代入数据解得ω0= rad/s。 (3)圆环处于细杆末端P时,弹簧伸长量Δx'=l-x0,根据胡克定律得弹簧弹力T=k(l-x0)=10 N 对圆环受力分析如图乙所示,对各力正交分解, 竖直方向受力平衡,有mg+T cos α=N sin α, 水平方向合力提供向心力,则有 T sin α+N cos α=mω2r' 由几何关系得r'=l sin α 联立并代入数据解得ω=10 rad/s。 高考模拟 1.(2025河南郑州一模)在空间站中,航天员长期处于失重状态。为缓解这种状态带来的不适,科学家设想建造一种环形空间站,如图所示。圆环绕中心匀速旋转,航天员站在旋转舱内的侧壁上,可以受到与他站在地球表面时相同大小的支持力。根据以上描述,航天员在旋转舱内站立的位置可能为 (　C　) A.甲　　　　B.乙　　　　C.丙　　　　D.丁 2.(2025辽宁期末联考)铁路弯道处,内、外轨组成的斜面与水平地面夹角为θ,当火车以某一速度v通过该弯道时,内、外轨恰好不受侧压力作用,重力加速度为g,则下列说法正确的是 (　B　) A.转弯半径R= B.当火车质量改变时,v不改变 C.若火车速度小于v,外轨将受到侧压力作用,其方向平行轨道平面向内 D.若火车速度大于v,内轨将受到侧压力作用,其方向平行轨道平面向内 3.(2025安徽六安期末)在足够大转盘上放置两个质量分别为0.2 kg和0.4 kg的小物块a和b(均可视为质点)。b放置在转盘中心,a、b之间用原长l=0.3 m、劲度系数k=10 N/m的轻质弹簧拴接,此时弹簧处于原长。已知a、b与转盘间的动摩擦因数均为μ=0.5,重力加速度g=10 m/s2,弹簧始终处于弹性限度内。假设物块所受最大静摩擦力等于滑动摩擦力。为保证b不滑动,则转盘匀速转动时角速度ω的最大值为 (　A　) A. rad/s　　　　　　　　B.10 rad/s C.5 rad/s　　　　　　　　D. rad/s 4.(2025山西太原期末)如图所示,完全相同且长为L的两根轻杆,一端用光滑铰链连接质量为m的小球,另一端用光滑铰链分别连接等高且间距为L的固定点A、B,小球恰好可在竖直平面内绕AB中点O做圆周运动。重力加速度为g,不考虑空气阻力,下列说法正确的是 (　D　) A.小球在最低点处,杆上的弹力大小为5mg B.小球在最高点处,杆上的弹力大小为0 C.小球从最低点到最高点的过程中,杆上的弹力做功mgL D.使A、B缓慢等距靠近O点的过程中,若小球机械能保持不变,小球在最低点处,杆上的弹力越来越小 5.(2025湖南长沙市一模)如图,在竖直平面内,轻杆一端通过转轴连接在O点,另一端固定一质量为m的小球。小球从A点由静止开始摆下,先后经过B、C两点,A、C点分别位于O点的正上方和正下方,B点与O点等高,不考虑摩擦及空气阻力,重力加速度为g,下列说法正确的是 (　C　) A.小球在B点受到的合力大小为2mg B.小球在C点受到的合力大小为2mg C.从A点到C点的过程,杆对小球的弹力最大值为5mg D.从A点到C点的过程,杆对小球的弹力最小值为4mg 6.(2025八省联考·江西)如图所示,A、B两个相同的小球分别用长为10L、5L的细绳悬挂在同一竖直线的两点,现使两球在水平面内做圆周运动,且角速度均缓慢增大,当两球刚好运动到相同高度时,A、B两球运动半径分别为6L、4L,两球离地高度为6L。O点为两悬挂点在地面的投影,两小球均可视为质点,则下列说法正确的是 (　C　) A.两根细绳分别对A球和B球的拉力相同 B.A球和B球的周期相等 C.若同时剪断两根细绳,A、B两球同时落地 D.剪断两根细绳,A球和B球的落地点到O点的距离相等 7.(人教版必修二P41,T7改编)如图所示,半径为R的半球形陶罐和陶罐内的物块(视为质点)绕竖直轴OO'从静止开始缓慢加速转动,当达到某一角速度时,物块受到的摩擦力减为零,此时物块和陶罐球心O点的连线与OO'之间的夹角为θ,此后保持该角速度做匀速圆周运动,重力加速度大小为g,下列说法正确的是 (　C　) A.物块匀速转动的周期为 B.物块匀速转动的线速度大小为 C.物块匀速转动的角速度大小为 D.若继续增大转动的速度,物块有下滑的趋势 8.(2025八省联考·陕晋青宁)图(a)是某小河的航拍照片,河道弯曲形成的原因之一可解释为:河道弯曲处的内侧与外侧河堤均受到流水重力产生的压强,外侧河堤还受到流水冲击产生的压强。小河某弯道处可视为半径为R的圆弧的一部分,如图(b)所示,假设河床水平,河水密度为ρ,河道在整个弯道处宽度d和水深h均保持不变,水的流动速度v大小恒定,d≪R,忽略流水内部的相互作用力。取弯道某处一垂直于流速的观测截面,在一极短时间Δt内,求:(R、ρ、d、h、v、Δt均为已知量) 　 (1)通过观测截面的流水质量Δm; (2)流水速度改变量Δv的大小; (3)外侧河堤受到的流水冲击产生的压强p。 答案　(1)ρdhvΔt　(2)Δt　(3) 解析　(1)由题可知,在极短时间Δt内流水经过的距离Δl=vΔt, 流水的横截面积S=dh, 根据ρ=可得流水的质量Δm=ρΔV=ρSΔl=ρdhvΔt。 (2)在极短的时间Δt内,水做匀速圆周运动,根据匀速圆周运动的规律可知,其加速度a=,又a=, 联立解得Δv=Δt。 (3)根据牛顿第二定律可得F=Δm, 结合(1)(2)的分析,解得F=, 根据牛顿第三定律可得这部分水流对外侧河堤的冲击力大小F'=F, 这部分水流对外侧河堤的作用面积S'=hΔl=vhΔt, 故外侧河堤受到的流水冲击产生的压强p==。 实验聚焦 实验5　探究平抛运动的特点 1.(2023北京,16,10分)用频闪照相记录平抛小球在不同时刻的位置,探究平抛运动的特点。 　 (1)关于实验,下列做法正确的是　ABD　(选填选项前的字母)。  A.选择体积小、质量大的小球 B.借助重垂线确定竖直方向 C.先抛出小球,再打开频闪仪 D.水平抛出小球 (2)图1所示的实验中,A球沿水平方向抛出,同时B球自由落下,借助频闪仪拍摄上述运动过程。图2为某次实验的频闪照片。在误差允许范围内,根据任意时刻A、B两球的高度相同,可判断A球竖直方向做　自由落体　运动;根据　相等时间内A球水平分位移相等　,可判断A球水平方向做匀速直线运动。  (3)某同学使小球从高度为0.8 m的桌面水平飞出,用频闪照相拍摄小球的平抛运动(每秒频闪25次),最多可以得到小球在空中运动的　11　个位置。  (4)某同学实验时忘了标记重垂线方向。为解决此问题,他在频闪照片中,以某位置为坐标原点,沿任意两个相互垂直的方向作为x轴和y轴正方向,建立直角坐标系xOy,并测量出另外两个位置的坐标值(x1,y1)、(x2,y2),如图3所示。根据平抛运动规律,利用运动的合成与分解的方法,可得重垂线方向与y轴间夹角的正切值为 　。  解析　(1)选择体积小、质量大的小球,这样可以减小空气阻力的影响,A正确;该实验应借助重垂线确定竖直方向,B正确;应先打开频闪仪,再抛出小球,C错误;实验中应使小球做平抛运动,所以要水平抛出小球,D正确。 (2)在误差允许范围内,根据任意时刻A、B两球的高度相同,可判断A球竖直方向做自由落体运动;根据相等时间内A球水平分位移相等可判断A球水平方向做匀速直线运动。 (3)小球从高度为0.8 m的桌面水平飞出,则根据h=gt2可求得小球的运动时间t≈0.404 s,每秒频闪25次,则每0.404 s可照相11次,最多可以得到小球在空中运动的11个位置。 (4)分析可知,小球在x轴方向和y轴方向均做匀变速直线运动,则相邻相等时间内的位移差相等,即Δx=aT2,则x方向有(x2-x1)-x1=axT2,y方向有(y2-y1)-y1=ayT2,重垂线方向与y轴夹角的正切值tan θ=,联立解得tan θ=。 2.[2023浙江6月,16Ⅰ(1)]在“探究平抛运动的特点”实验中 　　 ①用图1装置进行探究,下列说法正确的是　B　。  A.只能探究平抛运动水平分运动的特点 B.需改变小锤击打的力度,多次重复实验 C.能同时探究平抛运动水平、竖直分运动的特点 ②用图2装置进行实验,下列说法正确的是　C　。  A.斜槽轨道M必须光滑且其末端水平 B.上下调节挡板N时必须每次等间距移动 C.小钢球从斜槽M上同一位置静止滚下 ③用图3装置进行实验,竖直挡板上附有复写纸和白纸,可以记下钢球撞击挡板时的点迹。实验时竖直挡板初始位置紧靠斜槽末端,钢球从斜槽上P点静止滚下,撞击挡板留下点迹0,将挡板依次水平向右移动x,重复实验,挡板上留下点迹1、2、3、4。以点迹0为坐标原点,竖直向下建立坐标轴y,各点迹坐标值分别为y1、y2、y3、y4。重力加速度为g,测得钢球直径为d,则钢球平抛初速度v0为　D　。  A.　　　　　　　B. C.　　　　　　　D. 解析　①题图1装置只能用于探究平抛运动竖直分运动的特点,B正确。 ②用题图2装置进行实验时,斜槽末端必须水平,但轨道不必光滑,A错误;调节水平挡板N时,不需要等间距移动,只要能把小球的轨迹记录下来即可,B错误;为了保证小球平抛初速度相同,小球必须从M上同一位置静止滚下,C正确。 ③小球在竖直方向做自由落体运动,计算水平位移时,需要考虑小球半径的影响,根据y1=gt2、x-=v0t可知v0=,同理可得v0==,A、C错误,D正确;由y1=gt2、x-=v0t、y2=gt'2、2x-=v0t'联立可得v0=,B错误。 注意事项 (1)背板必须处于竖直面内;斜槽末端必须水平。 (2)选用质量大、体积小、表面光滑的钢球,可以减小运动过程中空气阻力的影响。 (3)钢球每次必须从斜槽上同一位置由静止释放,释放的位置高度要适中,使钢球做平抛运动的轨迹由坐标纸的左上角一直到右下角为宜。 (4)坐标原点不是斜槽末端的端点,应是钢球离开斜槽末端时球心在背板上的投影点;点迹要用平滑的曲线连接(不能用折线)。 3.[2022海南,14(2),6分]某学习小组探究平抛运动的特点。 　 ①采用如图甲所示装置探究平抛运动竖直分运动的特点。用小锤击打弹性金属片后,A球沿水平方向抛出,做平抛运动;同时B球被释放,自由下落,做自由落体运动。实验发现两球同时落地。分别改变小球距地面的高度和小锤击打的力度,多次重复实验,发现两球仍同时落地。根据该实验现象,可以得到的实验结论是　做平抛运动的物体,在竖直方向上做自由落体运动　。  ②探究平抛运动水平分运动的特点时,得到小球平抛运动的轨迹如图乙所示,其中O为抛出点,a、b、c是轨迹上选取的三个点,O与a、a与b、b与c之间的竖直距离分别为h、3h、5h,则小球从O到a、a到b、b到c的运动时间　相等　(填“相等”或“不相等”);又测得O与a、a与b、b与c之间的水平距离相等,均为x,则可分析得出平抛运动在水平方向的分运动是匀速直线运动,小球平抛运动的初速度为　x　(用h、x和重力加速度g表示)。  解析　①经过多次实验发现两个小球总是同时落地,共同点就是竖直方向的运动形式一致,即做平抛运动的物体,在竖直方向上做自由落体运动。 ②小球在竖直方向做自由落体运动,且O到a、a到b、b到c三个过程中,相邻两个过程在竖直方向上运动的距离之差均为2h,由公式Δx=aT2可知,三个过程的运动时间相等;设经过相邻两点时间间隔为t,则x=vt,在竖直方向上有2h=gt2,解得t=,所以v=x。 4.(2022福建,11,5分)某实验小组利用图(a)所示装置验证小球平抛运动的特点。实验时,先将斜槽固定在贴有复写纸和白纸的木板边缘,调节槽口水平并使木板竖直;把小球放在槽口处,用铅笔记下小球在槽口时球心在木板上的水平投影点O,建立xOy坐标系。然后从斜槽上固定的位置释放小球,小球落到挡板上并在白纸上留下印迹。上下调节挡板进行多次实验。实验结束后,测量各印迹中心点O1、O2、O3…的坐标,并填入表格中,计算对应的x2值。 O1 O2 O3 O4 O5 O6 y/cm 2.95 6.52 9.27 13.20 16.61 19.90 x/cm 5.95 8.81 10.74 12.49 14.05 15.28 x2/cm2 35.4 77.6 115.3 156.0 197.4 233.5 (1)根据表中数据,在图(b)给出的坐标纸上补上O4数据点,并绘制“y-x2”图线。 (2)由y-x2图线可知,小球下落的高度y,与水平距离的平方x2成　线性　(填“线性”或“非线性”)关系,由此判断小球下落的轨迹是抛物线。  (3)由y-x2图线求得斜率k,小球平抛运动的初速度表达式为v0= 　(用斜率k和重力加速度g表示)。  (4)该实验得到的y-x2图线常不经过原点,可能的原因是　水平射出点未与O点重合　。  答案　(1)见解析 解析　(1)根据题表数据在坐标纸上描出O4数据点,并绘制“y-x2”图线如图所示。 (2)由y-x2图线为一条倾斜的直线可知,小球下落的高度y与水平距离的二次方x2成线性关系。 (3)小球做平抛运动,水平方向有x=v0t,竖直方向有y=gt2,联立可得y=g=x2,可知y-x2图线的斜率为 k=,解得小球平抛运动的初速度表达式为v0=。 (4)y-x2图线是一条直线,但常不经过原点,这是因为小球的水平射出点未与坐标原点O重合,位于坐标原点O上方(或下方),导致实验中所测得的y值偏小(或偏大)。 实验6　探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系 1.[2023浙江1月,16Ⅰ(2)]“探究向心力大小的表达式”实验装置如图所示。 ①采用的实验方法是　A　;  A.控制变量法 B.等效法 C.模拟法 ②在小球质量和转动半径相同的情况下,逐渐加速转动手柄到一定速度后保持匀速转动。此时左右标尺露出的红白相间等分标记的比值等于两小球的　角速度平方　之比(填“线速度大小”“角速度平方”或“周期平方”);在加速转动手柄过程中,左右标尺露出红白相间等分标记的比值　不变　(填“不变”“变大”或“变小”)。  解析　①本实验是为了探究向心力与影响它的多个因素的关系,故采用控制变量法。 ②根据向心力Fn=mrω2可知,当m、r一定时,标尺露出的等分标记的比值即向心力之比,等于角速度平方之比,且加速转动过程比值保持不变。 方法提炼　控制变量法探究 (1)使两小球的质量、转动的半径相同,探究向心力的大小跟转动的角速度的定量关系。 (2)使两小球的质量、转动的角速度相同,探究向心力的大小跟转动半径的定量关系。 (3)使两小球的转动半径、转动的角速度相同,探究向心力的大小跟质量的定量关系。 2.[2024海南,14(1),6分]水平圆盘上紧贴边缘放置一密度均匀的小圆柱体,如图(a)所示,图(b)为俯视图,测得圆盘直径D=42.02 cm,小圆柱体质量m=30.0 g,圆盘绕过盘心O的竖直轴匀速转动,转动时小圆柱体相对圆盘静止。 为了研究小圆柱体做匀速圆周运动时所需要的向心力情况,某同学设计了如下实验步骤: ①用秒表测圆盘转动10周所用的时间t=62.8 s,则圆盘转动的角速度ω=　1　rad/s(π取3.14)。  ②用游标卡尺测量小圆柱体不同位置的横截面直径,某次测量的示数如图(c)所示,该读数d=　16.2　mm,多次测量后,得到平均值恰好与d相等。  ③写出小圆柱体所需向心力表达式F= mω2(D-　　d)　(用D、m、ω、d表示),其大小为　6.1×10-3　N(保留2位有效数字)。  解析　①圆盘转动的周期T==6.28 s,则角速度ω==1 rad/s。 ②根据游标卡尺读数规则有d=16 mm+2×0.1 mm=16.2 mm。 ③由圆周运动向心力表达式有F=mω2×,代入数据解得F≈6.1×10-3 N。 培优提升 提分策略 曲线运动通常会和牛顿运动定律、能量守恒、动量守恒等知识点结合考查,要求考生有较强的综合分析能力,能够分步骤处理问题。备考建议在强化基础上注重非典型轨迹建模(如抛物线、椭圆、螺旋线等轨迹的实际应用)、动态过程分析(如绳子断裂、脱离轨道、摩擦力突变等)及多过程衔接(如抛体运动与圆周运动及碰撞结合),关注情境创新题、学科交叉融合及实验探究。 1.(明晰规律·变力作用下的曲线运动)(2024安徽,9,5分)(多选)一倾角为30°足够大的光滑斜面固定于水平地面上,在斜面上建立Oxy直角坐标系,如图(1)所示。从t=0开始,将一可视为质点的物块从O点由静止释放,同时对物块施加沿x轴正方向的力F1和F2,其大小与时间t的关系如图(2)所示。已知物块的质量为1.2 kg,重力加速度g取10 m/s2,不计空气阻力。则 (　BD　) 　　 A.物块始终做匀变速曲线运动 B.t=1 s时,物块的y坐标值为2.5 m C.t=1 s时,物块的加速度大小为5 m/s2 D.t=2 s时,物块的速度大小为10 m/s 2.(突破情境·多过程与临界问题)(2025广东肇庆鼎湖一模)(多选)风洞实验通过产生人工控制的气流模拟飞行器在气流中的运动过程。如图所示为某次实验示意图,固定在竖直面内的光滑圆弧轨道ACD与粗糙水平面平滑相切于A点,O为圆弧轨道的圆心。将质量为m的滑块(可视为质点)从水平地面上的E点由静止释放,整个装置处在水平向右的风场中,滑块始终受到恒定风力作用。已知圆弧轨道的半径为R,滑块与水平地面间的动摩擦因数μ=0.25,且滑块恰好能在圆弧轨道上的B点处保持静止,OB与竖直方向的夹角θ=37°,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,重力加速度g=10 m/s2。A、E两点间的距离为l,下列说法正确的是 (　BC　) A.滑块受到的风力大小为mg B.若滑块能通过圆弧轨道的最高点C,则l≥5R C.当l≥R时,滑块运动到D点之前一定不会脱离圆弧轨道 D.当l<5R时,滑块运动到D点之前一定会脱离圆弧轨道 3.(综合运用·图像分析与功能关系)(2025内蒙古赤峰期末)2024年,在巴黎奥运会郑钦文斩获中国在奥运会上首枚网球女单金牌。若在比赛过程中运动员从某一高度将质量为m的网球击出,网球击出后在空中飞行的速率v随时间t的变化关系如图所示,t2时刻网球落到对方的场地上。以地面为零势能面,网球可视为质点,不计空气阻力,重力加速度大小为g。下列说法正确的是 (　A　) A.击球点到地面的高度为 B.击球点到落地点间的水平距离为v0t2 C.网球在被球拍击中时的重力势能为 D.网球在空中飞行的最大重力势能为 4.(突破情境·单过程多阶段)(2025云南曲靖一模)曲靖市第七届中小学生运动会暨2024年曲靖市第八届校园体育联赛小学生排球联赛在陆良县举行。如图所示,某同学在网前扣球时,将质量为m的排球(可视为质点)从离地高度为h的空中某点以初速度v0水平扣出,经过M点时,速度方向与竖直方向夹角为θ1;经过N点时,速度方向与竖直方向夹角为θ2。已知θ1>θ2,球网的位置在M、N之间,高度为H,重力加速度为g,不计空气阻力。下列说法正确的是 (　B　) A.扣球时排球到球网的水平距离可以为2v0 B.排球从M点运动到N点的过程中所用时间为 C.M点到N点的竖直高度为- D.排球从扣球点到M点的动量变化率小于从M点到N点的动量变化率 5.(突破情境·多过程与极值问题)(2023江苏,15,12分)如图所示,滑雪道AB由坡道和水平道组成,且平滑连接,坡道倾角均为45°。平台BC与缓冲坡CD相连。若滑雪者从P点由静止开始下滑,恰好到达B点。滑雪者现从A点由静止开始下滑,从B点飞出。已知A、P间的距离为d,滑雪者与滑道间的动摩擦因数均为μ,重力加速度为g,不计空气阻力。 (1)求滑雪者运动到P点的时间t; (2)求滑雪者从B点飞出的速度大小v; (3)若滑雪者能着陆在缓冲坡CD上,求平台BC的最大长度L。 答案　(1)　(2) (3)(1-μ)d 解析　(1)设滑雪者质量为m,对滑雪者在AP段进行受力分析,由牛顿第二定律得 mg sin 45°-μmg cos 45°=ma ① 解得a=(1-μ)g ② 由运动学分析有d=at2 ③ vP=at ④ 联立②③得t= ⑤ (2)由④式可知,vP= ⑥ 滑雪者从P点静止开始下滑到B点,由动能定理有 WGPB+WfPB=0 ⑦ 对滑雪者从A点静止开始下滑的过程中的P→B段分析有 WGPB+WfPB=mv2-m ⑧ 联立⑥⑦⑧得v=vP= ⑨ (3)滑雪者从B点飞出刚好落在C点时,BC长度L最大,从B到C为抛体运动,设空中运动时间为t' 竖直方向vy=v sin 45°=g× ⑩ 水平方向L=vxt'=v cos 45°·t' 11 联立⑨⑩11得L=(1-μ)d 可知,若滑雪者能着陆在缓冲坡CD上,平台BC的最大长度为(1-μ)d。 第 15 页 共 15 页 $