第三章圆锥曲线的方程章末综合检测-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第三章圆锥曲线的方程章末综合检测卷 （2025-2026学年第一学期高二数学选择性必修第一册第三章（2019）人教A版） 一、单选题 1．已知为抛物线的焦点，点在上，且，则点到轴的距离为（    ） A．3 B． C．4 D．5 2．（2025·全国一卷·高考）若双曲线C的虚轴长为实轴长的倍，则C的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 3．若椭圆的两个焦点分别为和，且椭圆过点，则椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线 段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 5．（2025·全国二卷·高考）设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B，若直线BF的方程为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．已知双曲线C：的渐近线方程为，点在C上，则C的焦距为（    ） A． B． C． D． 7．已知椭圆的左、右两个焦点为，，若椭圆上存在两点、关于原点对称，且满足，，则椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 8．已知椭圆：的左焦点为，不经过且斜率为的直线交于，两点.当的周长最大时，（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．关于双曲线的以下论述中，正确的是（   ） A．焦点在y轴上 B．虚轴长为16 C．渐近线方程为 D．离心率为 10．已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于两点，则（    ） A．抛物线C的准线方程为 B．若，则 C．的最大值为16 D．为钝角 11．设为椭圆的左，右焦点，为椭圆上一点且在第一象限.若的面积为，则下列说法正确的是（    ） A．的周长为 B．以为直径的圆经过点 C．点的坐标为 D．直线的斜率为 三、填空题 12．（2024·上海·高考）已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为 ． 13．（2024·江苏·高考）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ． 14．椭圆左右焦点为，，椭圆上点满足， . 四、解答题 15．求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，，； (2)焦点在轴上，，的双曲线的标准方程； (3)经过点的抛物线的标准方程. 16．已知为坐标原点，过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点（点在第一象限）． (1)若，，求的值； (2)设点为抛物线准线与轴交点，求． 17．已知双曲线的左、右焦点分别为． (1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； (2)若，点在双曲线右支上，且，求的面积． 18．（2025·全国二卷·高考）已知椭圆的离心率为，长轴长为4． (1)求C的方程； (2)过点的直线l与C交于两点，为坐标原点，若的面积为，求． 19．（2025·全国一卷·高考）设椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，． (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足． （i）设，求点的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，是椭圆上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值． 解析 一、单选题 1．已知为抛物线的焦点，点在上，且，则点到轴的距离为（    ） A．3 B． C．4 D．5 答案：A 分析：由已知求得抛物线的焦点，再设，由抛物线的性质求得可得答案. 解析：因为为抛物线的焦点，所以， 设，因为，则，故到轴的距离为3. 故选：A． 2．（2025·全国一卷·高考）若双曲线C的虚轴长为实轴长的倍，则C的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 答案：D 分析：由题可知双曲线中的关系，结合和离心率公式求解 解析：设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为，由题知，， 于是，则，即. 故选：D 3．若椭圆的两个焦点分别为和，且椭圆过点，则椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 答案：B 分析：由题意可设椭圆方程为，且，利用椭圆定义及两点间的距离公式求得，结合隐含条件求得，则可求出椭圆方程． 解析：法1：由焦点坐标知焦点在轴上，且，设椭圆的标准方程为． 根据椭圆定义知，故，． 因此所求椭圆方程为． 故选：B. 法2：由焦点坐标知焦点在轴上，且，设椭圆的标准方程为． 直接代入， 因为椭圆过点， 所以，解得，所以所求椭圆方程为．:故选： 4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线 段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 答案：A 分析：设点，由题意，根据中点的坐标表示可得，代入圆的方程即可求解. 解析：设点，则，因为为的中点，所以，即， 又在圆上，所以，即， 即点的轨迹方程为.故选：A 5．（2025·全国二卷·高考）设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B，若直线BF的方程为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 答案：C 分析：先由直线求出焦点和即抛物线的方程，进而依次得抛物线的准线方程和点B，从而可依次求出和，再由焦半径公式即可得解. 解析：对，令，则， 所以，即抛物线，故抛物线的准线方程为， 故，则，代入抛物线得. 所以. 故选：C 6．已知双曲线C：的渐近线方程为，点在C上，则C的焦距为（    ） A． B． C． D． 答案：D 分析：由双曲线渐近线方程得，再把点代入双曲线方程求出的值，最后根据双曲线的性质求出焦距. 解析：双曲线C：的渐近线方程为，则有，即， 双曲线方程可表示为， 点在C上，有，解得，即，得， 双曲线中为半焦距，则有，得， 所以双曲线C的焦距为. 故选：D 7．已知椭圆的左、右两个焦点为，，若椭圆上存在两点、关于原点对称，且满足，，则椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 答案：C 分析：由题意可得四边形是平行四边形，进而可求得，利用向量的数量积为，又由基本不等式可得，可得为等边三角形，进而可求离心率. 解析：连接，，因为点、关于原点对称，所以四边形是平行四边形， 所以，又因为，所以， 所以， 因为，所以，所以， 又，所以， 当且仅当时取等号，又 所以为等边三角形，所以，所以椭圆的离以率为. 故选：C. 8．已知椭圆：的左焦点为，不经过且斜率为的直线交于，两点.当的周长最大时，（    ） A． B． C． D． 答案：C 分析：根据椭圆的定义证明当直线过点时，的周长最大，联立方程组求直线与椭圆的交点横坐标，根据弦长公式求结论. 解析：椭圆的左焦点的坐标为，则椭圆的右焦点的坐标为， 由椭圆的定义可得，， 所以的周长为， 又，所以，当且仅当在线段上时取等号， 所以当直线过点时，的周长最大， 又直线的斜率为，所以直线的方程为， 联立，消可得，所以或， 所以， 所以当的周长最大时，， 故选：C.    二、多选题 9．关于双曲线的以下论述中，正确的是（   ） A．焦点在y轴上 B．虚轴长为16 C．渐近线方程为 D．离心率为 答案：ACD 分析：由有，逐项验证即可求解. 解析：由有，所以双曲线的焦点在轴上，故A正确； 由，所以虚轴长为，故B错误； 由得，故C正确；由，所以，即， 所以，故D正确. 故选：ACD. 10．已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于两点，则（    ） A．抛物线C的准线方程为 B．若，则 C．的最大值为16 D．为钝角 答案：BD 分析：求抛物线准线方程判断A；利用抛物线定义求解判断B；设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理及由数量积的坐标表示求解判断CD. 解析：如图： 对于A，抛物线的焦点，准线方程为，A错误； 对于B，，而，则，B正确； 显然直线不垂直于，设其方程为，由消去得， 则，，， 对于C，， 当且仅当时取等号，C错误； 对于D，，则为钝角，D正确. 故选：BD 11．设为椭圆的左，右焦点，为椭圆上一点且在第一象限.若的面积为，则下列说法正确的是（    ） A．的周长为 B．以为直径的圆经过点 C．点的坐标为 D．直线的斜率为 答案：ACD 分析：先将椭圆方程转化为标准方程，求出的值，再根据椭圆定义、三角形面积公式、圆的标准方程、直线斜率公式逐一分析选项即可. 解析：已知椭圆的方程为，两边同时除以2可得， 由此，，，，，，，； 对于A，根据椭圆的定义，椭圆上任意一点到两焦点距离之和等于， 因此的周长为，选项A正确； 对于B，设点的坐标为， 则， 将代入椭圆方程得，，，， 解得或（舍），因此点的坐标为， 两点的中点为原点，可得以为直径的圆的方程为， 将的坐标代入圆的方程的左边得， 因此以为直径的圆不经过点，选项B错误； 对于C，由选项B的分析过程可得点的坐标为，选项C正确； 对于D，点的坐标为，点的坐标为， 则直线的斜率为，选项D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（2024·上海·高考）已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为 ． 答案： 分析：根据抛物线的定义知，将其再代入抛物线方程即可. 解析：由知抛物线的准线方程为，设点，由题意得，解得， 代入抛物线方程，得，解得， 则点到轴的距离为．故答案为：． 13．（2024·江苏·高考）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ． 答案： 分析：由题意画出双曲线大致图象，求出，结合双曲线第一定义求出，即可得到的值，从而求出离心率. 解析：由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入 得，即，故，， 又，得，解得，代入得， 故，即，所以. 故答案为： 14．椭圆左右焦点为，，椭圆上点满足， . 答案： 分析：由椭圆方程可得，再由椭圆的定义及条件求出，可得，即可得解. 解析：由椭圆可知，， 所以，， 又，， 解得， 所以， 所以，即，故答案为： 四、解答题 15．求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，，； (2)焦点在轴上，，的双曲线的标准方程； (3)经过点的抛物线的标准方程. 分析：（1）根据题意求出的值，结合椭圆的焦点位置可得出椭圆的标准方程； （2）根据双曲线的焦点位置可直接得出双曲线的标准方程； （3）对抛物线的焦点位置进行分类讨论，设出抛物线的标准方程，将点的坐标代入抛物线的标准方程，求出参数的值，即可得出抛物线的标准方程. 解析：（1）由题意可得，解得， 又因为椭圆的焦点在轴上，因此，所求椭圆的标准方程为. （2）焦点在轴上，，的双曲线的标准方程为. （3）若抛物线的焦点在轴上，设抛物线的标准方程为， 将点的坐标代入抛物线方程可得，解得， 此时，抛物线的标准方程为； 若抛物线的焦点在轴上，设抛物线的标准方程为， 将点的坐标代入抛物线的标准方程为，解得， 此时，抛物线的标准方程为. 综上所述，所求抛物线的标准方程为或. 16．已知为坐标原点，过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点（点在第一象限）． (1)若，，求的值； (2)设点为抛物线准线与轴交点，求． 分析：（1）根据题意设点，直线，联立解出，再利用抛物线的定义，即可求解. （2）根据题意设点，直线，表示出后，利用韦达定理进行化简，即可求解. 解析：（1）因为点在第一象限，，则， 焦点，准线，， 所以设点，直线， 联立，得，解得，， 由，得. （2）因为点在第一象限，则，焦点，点， 设点，直线， 联立，得， 所以，， 则 ， 综上，的值为0. 17．已知双曲线的左、右焦点分别为． (1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； (2)若，点在双曲线右支上，且，求的面积． 分析：（1）求出椭圆的焦点坐标，再利用待定法求出双曲线方程. （2）利用双曲线定义，结合余弦定理、三角形面积公式求解. 解析：（1）椭圆的焦点为和， 依题意，，解得，所以双曲线的标准方程为. （2）设，，则由双曲线的定义得， 在中，， 则，所以的面积. 18．（2025·全国二卷·高考）已知椭圆的离心率为，长轴长为4． (1)求C的方程； (2)过点的直线l与C交于两点，为坐标原点，若的面积为，求． 分析：（1）根据长轴长和离心率求出基本量后可得椭圆方程； （2）设出直线方程并联立椭圆方程后结合韦达定理用参数表示面积后可求的值，从而可求弦长. 解析：（1）因为长轴长为4，故，而离心率为，故， 故，故椭圆方程为：. （2） 由题设直线的斜率不为0，故设直线，， 由可得， 故即， 且， 故， 解得， 故. 19．（2025·全国一卷·高考）设椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，． (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足． （i）设，求点的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，是椭圆上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值． 分析：（1）根据题意列出的关系式,解方程求出,即可得到椭圆的标准方程； （2）(ⅰ)设,根据斜率相等以及题目条件列式,化简即可求出或者利用数乘向量求出； (ⅱ) 根据斜率关系可得到点的轨迹为圆（除去两点），再根据点与圆的最值求法结合三角换元或者直接运算即可解出. 解析：（1）由题可知,，所以， 解得， 故椭圆C的标准方程为； （2）(ⅰ)设，易知， 设，则， 所以，， 故点的坐标为. (ⅱ)因为,,由,可得 ,化简得,即, 所以点在以为圆心,为半径的圆上（除去两个点）, 为到圆心的距离加上半径, 设，则， ，当且仅当时取等号, 故. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $