培优8 爪型三角形问题（专题突破练）-【第一梯队】2026年高考数学二轮专项突破教用word

培优8　爪型三角形问题 1.(2025西南名校联盟联考)已知△ABC的周长为6,BC=2,∠ACB的平分线交AB于D,BD=CD,则cos B= (　C　) A.　　B.　　C.　　D. 2.(2025湖北十堰一诊)在△ABC中,∠ACB=,D为AB上一点,CD⊥AC,AD=2DB=2,则△ABC的面积为 (　B　) A.　　B.　　C.　　D. 3.(2025湖北武汉四调)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且C=,c=6,△ABC的面积为,D为边AB上一点,CD是∠ACB的平分线,则CD= (　B　) A.　　B.1　　C.　　D. 4.(2025重庆名校联盟第一次联考)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若(c-a)·sin A=csin C-bsin∠ABC,b=3,则AC边上中线长度的最大值为 (　C　) A.　　B.　　C.　　D. 5.(多选)(2025河北石家庄二模)点M在△ABC所在平面内,下列说法正确的是 (　ABD　) A.若·<0,则△ABC为钝角三角形 B.若++=0,则M为△ABC的重心 C.若=+,则= D.若△ABC是边长为2的正三角形,M为AB的中点,点E在线段BC上运动,则·的取值范围为 6.(多选)(2025河北秦皇岛一模)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其中b=3,且b(sin A-cos C)=(c-a)cos B,AC边的中点为M,则　 (　ABD　) A.B= B.S△ABC的最大值为 C.a+b+c的最小值为3+2 D.BM的最小值为 7.(2025山东潍坊诊断性调研监测)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(b+c)·sin B=(a+c)(sin A-sin C). (1)求A; (2)若∠BAC的平分线AD与BC交于点D,且b=2,AD=1.求△ABC的面积. 解析　(1)因为(b+c)sin B=(a+c)(sin A-sin C), 所以由正弦定理得(b+c)b=(a+c)(a-c),整理得b2+c2-a2=-bc,所以cos A===-, 因为A∈(0,π),所以A=. (2)因为∠BAC的平分线为AD, 所以∠BAD=∠CAD=. 因为S△ABC=S△ACD+S△ABD, 所以bc·sin =b·AD·sin +c·AD·sin , 因为b=2,AD=1,所以×2c×=×2×1×+c×1×,解得c=2, 所以S△ABC=bcsin∠BAC=×2×2×=. 8. (2025河南郑州二模)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 已知b(cos A+sin A)=a+c. (1)求B. (2)若a=2,c=5,AC,AB边上的中线BE,CF相交于点M. ①求BE; ②求cos∠EMF. 解析　(1)由题意及正弦定理得sin B·(cos A+sin A)=sin A+sin C, ∴sin Bcos A+sin Bsin A=sin A+sin(A+B), ∴sin Bsin A=sin A+sin Acos B, ∵sin A≠0,∴sin B=1+cos B,∴sin=. ∵-<B-<,∴B-=,即B=. (2)①∵=(+),∴||== =. ②在△BCF中,由余弦定理得CF2=BC2+BF2-2BC·BFcos∠FBC=,则CF=. 解法一:由题知M是△ABC的重心, ∴CM=CF=,BM=BE=, 在△BMC中,由余弦定理的推论得cos∠BMC==,即cos∠EMF=. 解法二:∵=-, ∴·=·-=||2-·-||2=3. ∴cos∠EMF=cos<,>==. 第 15 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $