培优3 不等式中的切线放缩（专题突破练）-【第一梯队】2026年高考数学二轮专项突破教用word

培优3　不等式中的切线放缩 1.(2025天津红桥一模)已知函数f(x)=ln(x+1),g(x)=ax2+x. (1)求曲线f(x)在点(1, f(1))处的切线方程; (2)当x>-1时, f(x)≤g(x),求实数a的取值范围; (3)已知n∈N*,证明:sin +sin +…+sin <ln 2. 解析　(1)因为f'(x)=, 所以曲线f(x)在点(1, f(1))处的切线斜率为k=f'(1)=, 又f(1)=ln 2, 所以曲线f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y-ln 2=(x-1),即x-2y+2ln 2-1=0. (2)设h(x)=ln(x+1)-x, 则h'(x)=-1=-, 所以当x>0时,h'(x)<0,h(x)单调递减, 当-1<x<0时,h'(x)>0,h(x)单调递增, 则h(x)≤h(0)=0,所以ln(x+1)≤x, 当a≥0时,ln(1+x)≤x≤ax2+x,即f(x)≤g(x), 当a<0时,取x0=->0,g(x)=ax2+x=x(ax+1)的一个零点为x0=-, 由于ln(x0+1)>ln 1=0, 而a+x0=0, 则ln(1+x0)>a+x0, 即f(x0)>g(x0),不符合题意. 综上所述,实数a的取值范围是[0,+∞). (3)证明:当a=0时,由(2)得ln(1+x)≤x,则ln x≤x-1,所以ln ≤-1, 即-ln x≤-1,则ln x≥1-, 令=1-,得x=,所以ln ≥,即ln t-ln(t-1)≥(t>1), 即≤ln(n+k)-ln(n+k-1),k∈{1,2,3,…,n}, 令φ(x)=x-sin x(x>0),则φ'(x)=1-cos x≥0, 且φ'(x)不恒为零, 所以φ(x)在(0,+∞)上单调递增, 即φ(x)>φ(0)=0,则sin x<x(x>0), 所以sin <≤ln(n+k)-ln(n+k-1),即sin +sin +…+sin <[ln(n+1)-ln n]+[ln(n+2)-ln(n+1)]+…+[ln(2n)-ln(2n-1)]=ln(2n)-ln n=ln 2,n∈N*. 2.(2025湘豫名校联考第二次模拟)已知函数f(x)=ex-ax-3(a∈R). (1)当x≥0时,若不等式f(x)≥-2恒成立,求a的取值范围. (2)若f(x)有两个零点x1,x2,且x1<x2. (i)求a的取值范围; (ii)证明:3+>3a. 解析　(1)f(x)≥-2(x≥0)恒成立,即f(x)-+2≥0(x≥0)恒成立.设p(x)=f(x)-+2=ex-1-ax-(x≥0), 则p'(x)=ex-a-x(x≥0), 令q(x)=p'(x),则q'(x)=ex-1≥0, 所以p'(x)在[0,+∞)上单调递增, 从而p'(x)≥p'(0)=1-a. ①当1-a≥0,即a≤1时,p'(x)≥0,则p(x)在[0,+∞)上单调递增,从而p(x)≥p(0)=0,符合题意; ②当1-a<0,即a>1时,p'(0)<0,则一定存在x0,使得当0<x<x0时,p'(x)<0,则p(x)在(0,x0)上单调递减, 从而p(x)<p(0)=0,不符合题意. 综上所述,a的取值范围为(-∞,1]. (2)(i)由题意知, f(x)的定义域为R, f'(x)=ex-a.当a≤0时, f'(x)>0, 所以f(x)在R上单调递增,从而f(x)在R上至多有一个零点,所以a>0, 令f'(x)=0,得x=ln a.当x<ln a时, f'(x)<0, f(x)在(-∞,ln a)上单调递减; 当x>ln a时, f'(x)>0, f(x)在(ln a,+∞)上单调递增,所以x=ln a是f(x)的极小值点,也是最小值点, 即f(x)min=f(ln a)=a-3-aln a. 令g(a)=a-3-aln a(a>0), 则g'(a)=-ln a.所以当0<a<1时,g'(a)>0,g(a)在(0,1)上单调递增; 当a>1时,g'(a)<0,g(a)在(1,+∞)上单调递减,所以a=1是g(a)的极大值点,也是最大值点, 即g(a)max=g(1)=-2<0,从而f(ln a)<0. 一方面,由(1)可知,取a=1,当x≥0时,ex≥1+x+≥1+x,即ex≥1+x, 即x≥ln(1+x),易知当x>-1时,x≥ln(1+x)也成立. 所以当x>0时,x-1≥ln x,所以ln ≤-1,即ln x≥1-, 从而ln a≥1->-,因为f=-a·-3=>0, 所以f(x)在内有一个零点x1. 另一方面,由(1)知,ex≥1+x+(x≥0). 又ln a<a<2a+3(ln a≤a-1<a<2a+3), 所以f(2a+3)=e2a+3-a(2a+3)-3>1+(2a+3)+-a(2a+3)-3=5a+>0, 所以f(x)在区间(ln a,2a+3)内有一个零点x2. 综上所述,a的取值范围是(0,+∞). (ii)证明:由f(x1)=f(x2)=0, 得=ax1+3,=ax2+3, 所以-=a(x2-x1),即a=, 要证3+>3a成立, 只需证3+>, 即证>,即证>, 令x2-x1=t(t>0), 则>,即证tet+3t>3et-3, 即证+3>0(*),设h(t)=+3(t>0), 则h'(t)=≥0,所以h(t)在区间(0,+∞)上单调递增, 所以h(t)>h(0)=0,即(*)式成立. 所以不等式3+>3a成立. 第 15 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $