培优1 三次函数的性质研究（专题突破练）-【第一梯队】2026年高考数学二轮专项突破教用word

培优1　三次函数的性质研究 1.(多选)(2025浙江天域全国名校协作体联考)已知函数f(x)=ax3-3x2-1,则下列命题中正确的是 (　ACD　) A.-1是f(x)的极大值 B.当-1<a<0时, f(a-1)>f(a) C.当a>2时, f(x)有且仅有一个零点x0,且x0<2 D.若f(x)存在极小值点x1,且f(x1)=f(x2),其中x1≠x2,则x1+2x2=0 2.(多选)(2025江西南昌二模)已知f(x)=x3+ax2+bx-2.不等式f(x)<2的解集为{x|x<1且x≠-2},则下列说法中正确的是 (　BCD　) A.函数f(x)的极大值点为1 B.函数f(x)图象的对称中心为(-1,0) C.过点(-1,0)可作一条直线与曲线y=f(x)相切 D.当-2<x<-时, f(2x+1)>-2 3.(多选)(2025河北石家庄质量检测(二))函数f(x)=(x+1)(x2-x+a)(a∈R),则下列说法正确的是 (　BD　) A.当a=-2时, f(x)的极小值为0 B.若f(x)有3个零点x1,x2,x3,则x1+x2+x3=0 C.若g(x)=f(x)+a,则g(x)为奇函数 D.当-2<a<0时, f(x)在区间(-∞,-1)上单调递增 4.(多选)(2025江苏苏锡常镇调研)已知函数f(x)=x3-x2+1,其导函数为f'(x),则 (　BC　) A.直线y=-2x是曲线y=f(x)的切线 B. f(x)有三个零点 C. f'(2-x)=f'(x) D.若f(x)在区间(a,a+4)上有最大值,则a的取值范围为(-4,0) 5.(2025广东汕头一模)已知曲线y=x3-3x2+6x+2在点P处的切线与在点Q处的切线平行,若点P的纵坐标为1,则点Q的纵坐标为　11　.  6.(2025山东潍坊、东营一模)已知函数f(x)=x(x+c)2在x=1处有极大值. (1)求实数c的值; (2)若函数g(x)=f(x)+a有三个不同的零点,求实数a的取值范围. 解析　(1)由f(x)=x(x+c)2, 得f'(x)=(x+c)(3x+c), 由函数f(x)=x(x+c)2在x=1处有极大值,得f'(1)=0,解得c=-1或c=-3, 当c=-1时, f'(x)=(x-1)(3x-1), 易知当<x<1时, f'(x)<0;当x>1时, f'(x)>0, 则此时函数f(x)在x=1处取得极小值,不符合题意,舍去; 当c=-3时, f'(x)=(x-3)(3x-3), 易知当x<1时, f'(x)>0;当1<x<3时, f'(x)<0, 则此时函数f(x)在x=1处取得极大值,符合题意. 综上所述,c=-3. (2)由(1)可得f(x)=x(x-3)2, 求导得f'(x)=3(x-1)(x-3), 令f'(x)=0,解得x=1或x=3,当x变化时, f'(x), f(x)的变化情况如表, x (-∞,1) 1 (1,3) 3 (3,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以函数f(x)的极大值为f(1)=4,极小值为f(3)=0, 函数g(x)=f(x)+a存在三个零点,等价于函数f(x)图象与直线y=-a有三个交点. f(x)的图象如图, 由图可得0<-a<4,即-4<a<0. 故实数a的取值范围是(-4,0). 7.(2025福建福州模拟)已知函数f(x)=x3-3x2-x+3. (1)求f; (2)若曲线y=f(x)+aln x在区间(3,4)上存在两条相互垂直的切线,求a的取值范围; (3)设y轴右侧有一点M,若过点M恰好能作曲线y=f(x)的3条切线,求点M的集合. 解析　(1)因为f(x)=x3-3x2-x+3, 所以f(2-x)=(2-x)3-3(2-x)2-(2-x)+3=-x3+3x2+x-3, 所以f(x)+f(2-x)=x3-3x2-x+3-x3+3x2+3-3=0, 所以f(x)的图象关于点(1,0)对称, 则f(1+x)+f(1-x)=0, 则f=7f(1)=0. (2)y=x3-3x2-x+3+aln x, 令g(x)=x3-3x2-x+3+aln x, 则g'(x)=3x2-6x-1+, 设这两条相互垂直的切线与曲线y=f(x)+aln x相切的切点分别为(x1,g(x1)),(x2,g(x2)),则g'(x1)·g'(x2)=-1, 当a≥0时,g'(x)>0在区间(3,4)上恒成立,不符合题意,所以a<0, 此时g'(x)在区间(3,4)上单调递增, 则 解得a∈(-58-2,-58+2). (3)由f(x)=x3-3x2-x+3, 得f'(x)=3x2-6x-1, 则在点(t, f(t))处的切线方程为y=(3t2-6t-1)(x-t)+t3-3t2-t+3, 设过点M(u,v)(u>0)恰好能作曲线y=f(x)的3条切线, 则关于t的方程v=(3t2-6t-1)(u-t)+t3-3t2-t+3有三个不同的解, 即关于t的方程v=-2t3+(3+3u)t2-6ut+3-u有三个不同的解, 令F(t)=-2t3+(3+3u)t2-6ut+3-u, 所以等价于直线y=v与曲线y=F(t)恰有三个不同的交点, 对F(t)求导得F'(t)=-6t2+6(1+u)t-6u=-6(t-1)·(t-u), 当u>1时,F(t),F'(t)随t的变化情况如表: t (-∞, 1) 1 (1,u) u (u, +∞) F'(t) - 0 + 0 - F(t) ↘ 极小 值4- 4u ↗ 极大值u3- 3u2-u+3 ↘ 故4-4u<v<u3-3u2-u+3. 当u=1时,F'(t)=-6(t-1)2≤0,F(t)单调递减,不符合题意; 当0<u<1时,F(t),F'(t)随t的变化情况如表: t (-∞, u) u (u,1) 1 (1, +∞) F'(t) - 0 + 0 - F(t) ↘ 极小值u3- 3u2-u+3 ↗ 极大 值4- 4u ↘ 故u3-3u2-u+3<v<4-4u. 综上所述,点M的集合为 (x,y)或. 第 15 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $