专题10 勾股定理（期末真题汇编35题，上海专用）八年级数学上学期新教材沪教版五四制

专题10 勾股定理 4大高频考点概览 考点01 用勾股定理解三角形 考点02 已知两点坐标秋两点距离 考点03 勾股定理的逆定理 考点04 勾股定理的应用 地 城 考点01 用勾股定理解三角形 一、填空题 1．(24-25八上·上海建平实验中学·期末)如图，中，，，，，点D在边上，将沿直线翻折，使点C落在点处，连接，直线与边的延长线相交于点F，如果，那么线段的长为 ． 2．(24-25八上·上海实验西校·期末)定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”．如图，在中，于点E，，，，点D是边上的“好点”，则线段的长为 ． 3．(24-25八上·上海实验西校·期末)如图，在中，，，D是边的中点，交于点E．那么 ． 4．(24-25八上·上海建平中学西校·期末)如图，在长方形中，，，点E在边上，联结．将矩形沿所在直线翻折，点D的对应点为P，联结．如果，那么的长度是 ． 5．(24-25八上·上海华育中学·期末)如果一个三角形一边上的高等于这边的一半，我们称这样的三角形为“和谐三角形”．已知斜边为5的是“和谐三角形”，那么这个三角形的面积是 ． 二、解答题 1．(24-25八上·上海建平实验中学·期末)如图，中，，，．求的面积． 2．(24-25八上·上海黄浦区·期末)如图，已知线段， (1)求作等腰三角形，使其底边长为，底边上的高长为；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并写出结论． (2)如果，求等腰三角形的腰长． 3．(24-25八上·上海黄浦区·期末)如图，直角三角形中，为上一点，作，垂足为，同时恰好垂直平分． (1)求证：平分； (2)如果是中点，，求长度． 地 城 考点02 已知两点坐标秋两点距离 一、填空题 1．(24-25八上·上海徐汇区第四中学·期末)已知，，则两点间的距离为 ． 2．已知直角坐标平面上点和点，则的长为 ． 3．(24-25八上·上海奉贤区·期末)已知在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上且，则点的坐标为 ． 4．(24-25八上·上海崇明区（五四制）·期末)已知平面直角坐标系内两点和，则 ． 5．(24-25八上·上海普陀区·期末)已知点的坐标为，点的坐标为，那么 ． 6．(24-25八上·上海华东政法大学附属中学·期末)若点在轴上，点坐标是，且则点的坐标是 ． 7．(24-25八上·上海杨浦区·期末)在平面直角坐标系中，已知、，则 ． 8．(24-25八上·上海民办扬波中学·期末)已知直角坐标平面内三点和，，那么是 三角形． 地 城 考点03 勾股定理的逆定理 一、单选题 1．(24-25八上·上海浦东新区进才中学北校·期末)下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25八上·上海上外附中·期末)下列条件中，能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．，， 3．(24-25八上·上海黄浦区·期末)如图，中，是边上的中线，是的角平分线，下列结论错误的是（   ） A． B．点到的距离等于线段的长度 C．点在线段的垂直平分线上 D． 4．(24-25八上·上海实验西校·期末)用下列几组边长构成的三角形中哪一组不是直角三角形（   ） A．8，15，17 B．，， C．，2， D．1，2， 5．(24-25八上·上海建平中学西校·期末)下列命题中，逆命题不正确的是（  ） A．两直线平行，内错角相等 B．全等三角形对应角相等 C．直角三角形的两个锐角互余 D．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 二、填空题 1．(23-24八上·上海田家炳中学·期末)已知三角形的三边长为1、2、，则它的最小角为 度． 2．(24-25八上·上海普陀区·期末)已知的三边长分别为3、4、5，则最长边上的中线长为 ． 三、解答题 1．(24-25八上·上海松江区·期末)如图，在中，的垂直平分线分别交于点，连结． (1)如果 ，求证：； (2)如果，平分求的长． 2．(24-25八上·上海普陀区·期末)如图，已知的三边满足，，，其中都是正整数，且．是过点的一条直线，过点作直线的垂线，垂足为点，是线段上一点，且． (1)求证：； (2)取边的中点，求证：． 3．(23-24八上·上海松江区·期末)已知：如图，在中，，，点是边中点，延长至点，使得．连接，当时，求的度数． 4．(24-25八上·上海闵行区·期末)如图：已知，在四边形中，于点，，，，，求四边形的面积． 地 城 考点04 勾股定理的应用 一、填空题 1．(24-25八上·上海崇明区（五四制）·期末)如图，一透明圆柱状玻璃杯，从内部测得底面半径为，高为，今有一根长的吸管任意放入杯中，若不计吸管粗细，则吸管露在杯口外的长度最少为 ． 2．(24-25八上·上海市北初级中学·期末)如图，一根木杆在离地面的处折断，木杆顶端落在离木杆底端的处．则木杆折断之前的长度为 ． 3．(24-25八上·上海青浦区·期末)《九章算术》是我国古代重要的数学著作之一，其中记载了一道“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？译为：如图中，，与的和为10尺，为3尺，求的长， 尺． 4．(23-24八上·上海普陀区·期末)小明求代数式的最小值时，采用如下方法：如图，在同一直角坐标平面内，设为轴上的一个动点，选取点和，根据两点的距离公式得，，通过构造，将求代数式的最小值转化为求的最小值，由此小明求出的最小值等于 ． 5．(23-24八上·上海田家炳中学·期末)一架长的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底（如图），如果梯子的顶端沿墙下滑，那么梯子底端将向左滑动 米．    6．(24-25八上·上海市西中学·期末)如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞 m． 二、解答题 1．(24-25八上·上海世外附中·期末)学过《勾股定理》后，李老师和“几何小分队”的队员们到操场上测量旗杆AB高度，得到如下信息：①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图1）；②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为9米（如图2）．根据以上信息，求旗杆的高度．    2．(23-24八上·上海杨浦区·期末)如图，走廊上有一梯子以的倾斜角斜靠在墙上，墙与地面垂直，梯子影响了行人的行走，工人将梯子梛动位置，使其倾斜角变为．如果梯子的长为4米，那么行走的通道拓宽了多少米？（结果保留根号） 2 / 29 1 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 勾股定理 4大高频考点概览 考点01 用勾股定理解三角形 考点02 已知两点坐标秋两点距离 考点03 勾股定理的逆定理 考点04 勾股定理的应用 地 城 考点01 用勾股定理解三角形 一、填空题 1．(24-25八上·上海建平实验中学·期末)如图，中，，，，，点D在边上，将沿直线翻折，使点C落在点处，连接，直线与边的延长线相交于点F，如果，那么线段的长为 ． 【答案】 【分析】设，则，，由折叠可得，进而可得，则，，由直角三角形的两个锐角互余可得，由三角形外角的性质可得，进而可得，由等角对等边可得，由含度角的直角三角形可得，由勾股定理可得，即，解得或（不符合题意，故舍去），则，，由线段的和差关系可得，，由此即可求出的长． 【详解】解：如图， 设，则，， 由折叠可得：， ， ， ， 又， ， ， ， ， 在中，，， ， 由勾股定理可得：， 即：， 解得：或（不符合题意，故舍去）， ， ， 又， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了折叠问题，含度角的直角三角形，勾股定理，直角三角形的两个锐角互余，三角形外角的性质，等角对等边，直接开平方法解一元二次方程，线段的和与差等知识点，由折叠及角的和差关系得出、由含度角的直角三角形的性质及勾股定理得出是解题的关键． 2．(24-25八上·上海实验西校·期末)定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”．如图，在中，于点E，，，，点D是边上的“好点”，则线段的长为 ． 【答案】或5 【分析】本题考查了等腰三角形的判定、勾股定理、一元二次方程的应用等知识，正确理解“好点”的定义是解题关键．先求出，设，则，，再分三种情况：①点在上；②点与点重合，③点在上，利用勾股定理求出的值，再根据“好点”的定义求出的值，两者建立方程，解方程即可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴，， ①如图，当点在上时，则， ∴， 在中，， ∵点是边上的“好点”， ∴， ∴， 解得或（不符合题设，舍去）， ∴此时； ②如图，当点与点重合时，则， ∴，， ∴，这与点是边上的“好点”矛盾，则的情形不存在； ③如图，当点在上时，则， ∴， 在中，， ∵点是边上的“好点”， ∴， ∴， 解得或（不符合题设，舍去）， ∴此时； 综上，线段的长为或5， 故答案为：或5． 3．(24-25八上·上海实验西校·期末)如图，在中，，，D是边的中点，交于点E．那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，等边对等角，三角形外角的性质，含30度角的直角三角形的性质，根据题意可得垂直平分，则，根据等边对等角和三角形外角的性质得到，再用分别表示出，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵D是边的中点，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．(24-25八上·上海建平中学西校·期末)如图，在长方形中，，，点E在边上，联结．将矩形沿所在直线翻折，点D的对应点为P，联结．如果，那么的长度是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查折叠的性质及含30度直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质及含30度直角三角形的性质是解题的关键．由题意作图，过点P作于点M，延长，交于点N，根据长方形的性质和折叠性质推导出，进而根据含30度直角三角形的性质和勾股定理可进行求解． 【详解】解：如图，过点P作于点M，延长，交于点N，则， 在长方形中，，，， ∴， 由折叠的性质可知：，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 5．(24-25八上·上海华育中学·期末)如果一个三角形一边上的高等于这边的一半，我们称这样的三角形为“和谐三角形”．已知斜边为5的是“和谐三角形”，那么这个三角形的面积是 ． 【答案】或5 【分析】本题考查了“和谐三角形”，勾股定理，三角形的面积，正确理解“和谐三角形”进行分类讨论是解题的关键．分两种情况讨论：当斜边上的高等于斜边的一半时，根据直角三角形的面积公式计算即可；当一条直角边等于另一条直角边的一半时，设长直角边为x，则短直角边为，由勾股定理求出x的值，即可求出面积． 【详解】解：当斜边上的高等于斜边的一半时， 这个三角形的面积是； 当一条直角边等于另一条直角边的一半时， 设长直角边为x，则短直角边为， 由勾股定理得， 解得， 所以这个三角形的面积是， 综上，这个三角形的面积是或5， 故答案为：或5． 二、解答题 1．(24-25八上·上海建平实验中学·期末)如图，中，，，．求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理以及三角形面积，熟练掌握勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点作于点，设，则，在和中，由勾股定理得出方程，解得，则，再由勾股定理求出的长，然后由三角形面积公式列式计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 则， 设，则， 在和中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， ， ， 即的面积为． 2．(24-25八上·上海黄浦区·期末)如图，已知线段， (1)求作等腰三角形，使其底边长为，底边上的高长为；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并写出结论． (2)如果，求等腰三角形的腰长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查等腰三角形的定义、基本作图、勾股定理等知识 （1）作线段长为,作线段的垂直平分线，垂足为D,并截取，连接即可； （2）由题意得到，，利用勾股定理即可求出答案． 【详解】（1）解：如图，三角形即为所求， （2）∵垂直平分 ∴， ∵ ∴， 即等腰三角形的腰长为 3．(24-25八上·上海黄浦区·期末)如图，直角三角形中，为上一点，作，垂足为，同时恰好垂直平分． (1)求证：平分； (2)如果是中点，，求长度． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】此题考查了勾股定理、全等三角形判定和性质、直角三角形的性质等知识． （1）证明，则，即可得到结论； （2）由全等得到，利用勾股定理求出解得，则，设，则，则，得到，解方程即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∵恰好垂直平分． ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）∵ ∴， ∵， ∴， ∵F是的中点， ∴， 又， ∴， ∴， 解得， ∴ 设， 则， ∵， ∴， ∴， 解得 即长度为1． 地 城 考点02 已知两点坐标秋两点距离 一、填空题 1．(24-25八上·上海徐汇区第四中学·期末)已知，，则两点间的距离为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了两点间的距离公式．熟记公式是解题的关键，比较简单． 根据两点间的距离公式进行解答即可． 【详解】解：， 故答案是：5． 2．已知直角坐标平面上点和点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面内两点间距离公式，熟练掌握平面直角坐标系中两点间距离公式，是解题的关键．根据点和点，结合平面内两点间距离公式进行求解即可． 【详解】解：∵直角坐标平面上点和点， ∴． 故答案为：． 3．(24-25八上·上海奉贤区·期末)已知在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上且，则点的坐标为 ． 【答案】， 【分析】此题考查了勾股定理，坐标系中两点之间的距离， 设，根据题意得到，进而求解即可． 【详解】∵点在轴上 ∴设 ∵点的坐标为， ∴ ∴ ∴ ∴点的坐标为，． 故答案为：，． 4．(24-25八上·上海崇明区（五四制）·期末)已知平面直角坐标系内两点和，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角坐标系内点的坐标，两点的间的距离公式，熟记两点间的距离公式是解题的关键．利用两点间的距离公式求解即可． 【详解】解：和， ， 故答案为：5． 5．(24-25八上·上海普陀区·期末)已知点的坐标为，点的坐标为，那么 ． 【答案】5 【分析】本题考查了勾股定理和两点间的距离公式，正确列式计算是解题的关键，根据勾股定理和两点间的距离公式列式计算即可． 【详解】解：点的坐标为，点的坐标为， ， 故答案为：5． 6．(24-25八上·上海华东政法大学附属中学·期末)若点在轴上，点坐标是，且则点的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了两点距离计算公式，设出点P的坐标，根据两点距离计算公式建立方程求解即可． 【详解】解：设点P的坐标为， ∵点坐标是，且， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或， 故答案为：或． 7．(24-25八上·上海杨浦区·期末)在平面直角坐标系中，已知、，则 ． 【答案】 【分析】本题考查求两点间的距离，作轴，轴，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图作轴，轴，则：， ∵、， ∴， ∴； 故答案为：． 8．(24-25八上·上海民办扬波中学·期末)已知直角坐标平面内三点和，，那么是 三角形． 【答案】等边 【分析】本题考查两点间的距离公式，等边三角形的判定，掌握两点间的距离公式是解题的关键． 由题意根据两点间的距离公式可得的长度，即可对的形状进行判断． 【详解】解：∵，，， ∴， ， ， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：等边． 地 城 考点03 勾股定理的逆定理 一、单选题 1．(24-25八上·上海浦东新区进才中学北校·期末)下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． 利用勾股定理的逆定理，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：∵， ∴三角形不是直角三角形，故A选项不符合题意； ∵， ∴三角形不是直角三角形，故B选项不符合题意； ∵， ∴三角形不是直角三角形，故C选项不符合题意； ∵， ∴三角形是直角三角形，故D选项符合题意； 故选：D． 2．(24-25八上·上海上外附中·期末)下列条件中，能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．，， 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的判定，掌握直角三角形的性质，勾股定理逆定理的运用是解题的关键． 根据直角三角形的性质，勾股定理逆定理的运用进行判定即可． 【详解】解：A、设， ∵， ∴，能判定是直角三角形，符合题意； B、∵， ∴，不能判定是直角三角形，不符合题意； C、，不能判定是直角三角形，不符合题意； D、∵，即， ∴不能判定是直角三角形，不符合题意； 故选：A ． 3．(24-25八上·上海黄浦区·期末)如图，中，是边上的中线，是的角平分线，下列结论错误的是（   ） A． B．点到的距离等于线段的长度 C．点在线段的垂直平分线上 D． 【答案】A 【分析】证明是直角三角形，，过点E作于点H，得到，即可判断选项B正确；由是边上的中线得到，则点在线段的垂直平分线上，即可判断选项C正确；由，得到，即可判断选项D正确；如果，则，证明，则，得到是等边三角形，则，与已知矛盾，即可判断A错误． 【详解】解：∵中， ∴， ∴是直角三角形，， 过点E作于点H， ∵是的角平分线，， ∴， ∴点到的距离等于线段的长度， 故选项B正确； ∵是边上的中线， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， 故选项C正确； ∵， ∴， 故选项D正确； 如果，则，如图， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，与已知矛盾， ∴错误， 故选项A错误， 故选：A 【点睛】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的性质、垂直平分线的判定等知识，熟练掌握直角三角形的性质和勾股定理是解题的关键． 4．(24-25八上·上海实验西校·期末)用下列几组边长构成的三角形中哪一组不是直角三角形（   ） A．8，15，17 B．，， C．，2， D．1，2， 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A、∵， ∴三边长为8，15，17的三角形可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵， ∴三边长为，，的三角形可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； C、∵， ∴三边长为，2，的三角形不可以组成直角三角形，故此选项符合题意； D、∵， ∴三边长为1，2，的三角形可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：C． 5．(24-25八上·上海建平中学西校·期末)下列命题中，逆命题不正确的是（  ） A．两直线平行，内错角相等 B．全等三角形对应角相等 C．直角三角形的两个锐角互余 D．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 【答案】B 【分析】本题考查写一个命题的逆命题的方法及平行线的判定，全等三角形的判定，直角三角形的判定，勾股定理的逆定理，注意要分清命题的条件与结论，难度适中．首先写出各个命题的逆命题，然后根据相关知识进行判断即可． 【详解】解：A、逆命题是：内错角相等，两直线平行，正确，故本选项不符合题意； B、逆命题是：如果两个三角形对应角相等，那么它们全等三角形，错误，故此选项符合题意； C、逆命题是：如果一个三角形两个锐角互余，那么这个三角形为直角三角形，正确，故本选项不符合题意； D、逆命题是：如果一个三角形有两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形，正确，故本选项不符合题意． 故选：B． 二、填空题 1．(23-24八上·上海田家炳中学·期末)已知三角形的三边长为1、2、，则它的最小角为 度． 【答案】30 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，再证明得到，则可证明是等边三角形，得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，中，，点D是延长线上一点，且， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴三角形的三边长为1、2、，则它的最小角为30度， 故答案为：30． 2．(24-25八上·上海普陀区·期末)已知的三边长分别为3、4、5，则最长边上的中线长为 ． 【答案】 【分析】根据已知数据利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：∵的三边长分别为3、4、5，， ∴是直角三角形， ∴最长边上的中线长为斜边的一半，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，判断是直角三角形是解题的关键． 三、解答题 1．(24-25八上·上海松江区·期末)如图，在中，的垂直平分线分别交于点，连结． (1)如果 ，求证：； (2)如果，平分求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）先根据垂直平分线的性质，再根据勾股逆定理的判定即可解决问题； （2）先根据垂直平分线的性质得到再根据角平分线的定义可得进而求出再根据直角三角形中角所对的边式斜边的一半即可求解； 【详解】（1）证明：∵是的垂直平分线， ， ∴， 在中，，， ∴， ∴； （2）解：∵是的垂直平分线， ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，角平分线的定义等知识点，解决此题的关键是合理熟练的运用这些知识点。 2．(24-25八上·上海普陀区·期末)如图，已知的三边满足，，，其中都是正整数，且．是过点的一条直线，过点作直线的垂线，垂足为点，是线段上一点，且． (1)求证：； (2)取边的中点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查勾股定理逆定理，斜边上的中线，全等三角形的判定和性质： （1）勾股定理逆定理，结合完全平方公式进行判定即可； （2）延长交于点G，证明，，得到，根据斜边上的中线等于斜边的一半即可得证． 【详解】（1）证明：， ． （勾股定理的逆定理）； （2）证明：延长交于点G， ，， ． 又， ． ， ． ． ． ． 又，， ． ． 又， （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）． 3．(23-24八上·上海松江区·期末)已知：如图，在中，，，点是边中点，延长至点，使得．连接，当时，求的度数． 【答案】 【分析】根据题意可得是直角三角形，，在中，由勾股定理可得，在中，可得，则是等边三角形，所以，由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：在中，，，点是边中点， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵，即， ∴是直角三角形，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查的直角三角形斜边中线等于斜边的一半，勾股定理及其逆定理的运用，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握勾股定理及其逆定理，证明是等边三角形是解题的关键． 4．(24-25八上·上海闵行区·期末)如图：已知，在四边形中，于点，，，，，求四边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及勾股定理逆定理是解题的关键．先利用勾股定理求出，再利用勾股定理逆定理判断为直角三角形，且，再分别求和的面积即可． 【详解】解：∵，，， ∴在中，， ∵，， ∴，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴， ， ∴四边形的面积． 地 城 考点04 勾股定理的应用 一、填空题 1．(24-25八上·上海崇明区（五四制）·期末)如图，一透明圆柱状玻璃杯，从内部测得底面半径为，高为，今有一根长的吸管任意放入杯中，若不计吸管粗细，则吸管露在杯口外的长度最少为 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．吸管露出杯口外的长度最少，即在杯内最长，可用勾股定理解答． 【详解】解：如图所示：是直角三角形， ∵底面半径为半径为，高为， ， 由勾股定理得：， ∴吸管露在杯口外的长度最少为：， 答：吸管露在杯口外的长度最少2厘米， 故答案为：2． ． 2．(24-25八上·上海市北初级中学·期末)如图，一根木杆在离地面的处折断，木杆顶端落在离木杆底端的处．则木杆折断之前的长度为 ． 【答案】/米 【分析】此题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力． 由于木杆离地面部分、折断部分及地面正好构成直角三角形，利用勾股定理求出折断部分的长，进而可得出结论． 【详解】解：∵木杆离地面部分、折断部分及地面正好构成直角三角形， 在中，， ， ， 答：木杆折断之前的高度为． 故答案为：． 3．(24-25八上·上海青浦区·期末)《九章算术》是我国古代重要的数学著作之一，其中记载了一道“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？译为：如图中，，与的和为10尺，为3尺，求的长， 尺． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设尺，则尺，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：设尺，则尺， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴尺， 故答案为：． 4．(23-24八上·上海普陀区·期末)小明求代数式的最小值时，采用如下方法：如图，在同一直角坐标平面内，设为轴上的一个动点，选取点和，根据两点的距离公式得，，通过构造，将求代数式的最小值转化为求的最小值，由此小明求出的最小值等于 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了利用轴对称求最值问题以及两点之间距离公式，根据原式表示的几何意义是是点M到点的距离之和的最小值，利用轴对称作出图形求出的长即可，正确转化代数式为两点之间距离问题是解题关键． 【详解】如图所示，根据原式表示的几何意义是点M到点的距离之和的最小值，可作B点关于x轴的对称点，连接，此时的长即为所求代数式的最小值， ∵， ∴， ∵ ∴ ， ∴的最小值等于5 ， 故答案为：5． 5．(23-24八上·上海田家炳中学·期末)一架长的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底（如图），如果梯子的顶端沿墙下滑，那么梯子底端将向左滑动 米．    【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，在中，由勾股定理得，则，则在中，由勾股定理得，则，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， 在中，由勾股定理得， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴梯子底端将向左滑动米， 故答案为：． 6．(24-25八上·上海市西中学·期末)如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞 m． 【答案】10 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】两棵树的高度差为8m-2m=6m，间距为8m 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离m． 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解． 二、解答题 1．(24-25八上·上海世外附中·期末)学过《勾股定理》后，李老师和“几何小分队”的队员们到操场上测量旗杆AB高度，得到如下信息：①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图1）；②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为9米（如图2）．根据以上信息，求旗杆的高度．    【答案】旗杆的高度为13米． 【分析】设，在中根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设，根据题意得： 在中，， 即：， 解得：． 答：旗杆的高度为13米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的相关知识并在直角三角形中正确运用是解题的关键． 2．(23-24八上·上海杨浦区·期末)如图，走廊上有一梯子以的倾斜角斜靠在墙上，墙与地面垂直，梯子影响了行人的行走，工人将梯子梛动位置，使其倾斜角变为．如果梯子的长为4米，那么行走的通道拓宽了多少米？（结果保留根号） 【答案】行走的通道拓宽了米 【分析】此题主要考查勾股定理解三角形，在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方；也考查了含30度角直角三角形的性质，在直角三角形中，30度角所对的直角边长度为斜边的一半；根据勾股定理分别求出两次梯子距墙根的距离，求差得解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ 则． 答：行走的通道拓宽了米． 2 / 29 1 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $