精品解析：吉林省长春市十一高中2025-2026学年高一上学期第二学程考试数学试题

长春市十一高中2025-2026学年度高一上学期第二学程考试 数学试题 第Ⅰ卷（共58分） 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定为（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称命题的否定，将任意改为存在，并否定原结论，即可得. 【详解】由全称命题的否定为特称命题，则原命题的否定为. 故选：B 2. 已知全集，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用列举法表示集合，再利用补集的意义求解. 【详解】依题意，，而全集， 所以. 故选：A 3. 已知函数则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】求分段函数的函数值，将自变量代入相应的函数解析式可得结果. 【详解】， 故选：C 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数奇偶性、定义域、正负性，结合指数函数的单调性进行判断即可. 【详解】由，解得，所以函数的定义域为，显然关于原点对称， 因为，所以是偶函数， 函数图象关于轴对称，故排除选项AC， 当时，，则，排除选项B. 故选：D 5. 已知正数、满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数运算可得出，然后将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为正数、满足，即，可得， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：B. 6. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复合函数单调性即可求得的取值范围. 【详解】函数在区间上单调递增， 所以在区间上单调递增, 所以对称轴，解得 , 当时，，解得 所以的取值范围是. 故选：C 7. 下列函数中，既是减函数，又是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性即可排除AC,根据基本函数的单调性，结合复合函数的单调性即可求解BD. 【详解】对于A, 的定义域为，且,故为偶函数，A错误， 对于B，的定义域为，关于原点对称，且，故为奇函数，且，故不是减函数，故B错误， 对于C, 的定义域为,则故为偶函数，C错误， 对于D, 的定义域为，，故为奇函数，且函数为单调递增函数，则单调递减函数，故为单调递减函数，D正确， 故选：D 8. 已知函数.若，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，分析函数的奇偶性与单调性，将所求不等式变形为，可得出，分、、三种情况讨论，在第一种情况下，直接验证即可，在第二、三种情况下，求出函数的最小值，可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】令， 对任意的，， 故对任意的，，故函数的定义域为， 因为 ，所以，，函数为奇函数， 令，则函数在上为增函数， 函数为增函数，所以，函数在上为增函数， 由，可得， 所以，， 所以，，即， 令， 当时，则有，显然成立； 当时，则， 所以，函数在、上单调递减，在上单调递增， 又因为函数在上连续，所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，，所以，，解得，此时，； 当时，则， 所以，函数在上单调递减，在、上单调递增， 又因为函数在上连续，所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，，所以，，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是： （1）把不等式转化为； （2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，某学生用二分法求方程的近似解（精确度为），列出了它的对应值表如下： 0 1 2 3 若依据此表格中的数据，则得到符合要求的方程的近似解可以为（ ） A. 1.31 B. 1.38 C. 1.43 D. 1.44 【答案】BC 【解析】 【分析】f(x)在R上是增函数，根据零点存在性定理进行判断零点所在的区间﹒ 【详解】与都是上的单调递增函数， 是上的单调递增函数， 在上至多有一个零点， 由表格中的数据可知： ， 在上有唯一零点，零点所在的区间为， 即方程有且仅有一个解，且在区间内， ， 内的任意一个数都可以作为方程的近似解， ， 符合要求的方程的近似解可以是和1.43﹒ 故选：BC﹒ 10. 下列命题中，正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】举例说明判断A；利用不等式的性质判断B；作差判断CD. 【详解】对于A，取，满足，而，A错误； 对于B，由，得，则，B正确； 对于C，由，，得，C正确； 对于D，由，得 ，D正确. 故选：BCD 11. 《九章算术》中有“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步．问：勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3，设D为斜边的中点，作直角三角形的内接正方形对角线，过点A作于点F，则下列推理不正确的是（ ） A. 由图1和图2面积相等得 B. 由可得 C. 由可得 D. 由可得 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据图1和图2面积相等，可用表示，判断A的真假；把、用表示出来，判断B的真假；把、用表示出来，判断C的真假；把、用表示出来，判断D的真假. 【详解】对于A，由图1和图2面积相等得，所以，故A错误； 对于B，因为，所以，所以，，， 因为，所以，整理得，故B错误； 对于C，因为D为斜边BC的中点，所以， 因为，所以，整理得，故C正确； 对于D，因为，所以，整理得，故D错误. 故选：ABD 【点睛】方法点睛：采用数形结合，分别表示出相应线段，结合图形中线段长度关系，逐一分析各选项，即可得到答案. 第II卷（共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知, 则的解析式为_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用换元法设t2（t≥2），则t﹣2，代入求出即可． 【详解】设t2（t≥2），则t﹣2，即x＝（t﹣2）2， ∴f（t）＝（t﹣2）2+4（t﹣2）＝t2﹣4， ∴f（x）＝x2﹣4（x≥2）． 【点睛】本题考查了求函数的解析式问题，换元法是常用方法之一，是基础题． 13. 设函数的最大值为，最小值为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，由奇偶性定义可知为奇函数，知，由此可求得结果. 【详解】 令，则， ∴为上的奇函数， ，即， 所以. 故答案：. 14. 已知正实数满足，则__________． 【答案】4 【解析】 【分析】设，从而可得，利用换元法进行求解，设，得出方程求解即可，利用指数式与对数式的互化进行求解． 【详解】解：设， 则，，， ， ， ， 设，则， 解得：（舍去）， ， 故答案为：4． 四､解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知全集，集合，，. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式得，再由补集与交集的概念求解， （2）转化为集合间的关系，分类讨论求解． 【小问1详解】 ∵或， ∴， ∴. 【小问2详解】 ∵， ∴， ①当时，满足，即，解得. ②当时，因为，所以 ，即， 综上，实数的取值范围为. 16. 已知幂函数为偶函数． （1）求的解析式； （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1）（2）或 【解析】 【分析】(1)根据幂函数的定义求出m的值,再根据偶函数的定义写出f(x)的解析式； (2)把不等式化为(2a+1)4＞16,求出解集即可． 【详解】(1) 幂函数为偶函数, ∴,解得或； 当时, 不符合题意,舍去； 当时, 满足题意； ∴； (2)由(1)知,不等式化为, 解得或, 即或, ∴实数a的取值范围是或． 【点睛】本题考查了幂函数的定义与应用问题,是基础题． 17. 已知函数为奇函数． （1）求的值； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）已知，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）在上单调递减，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性求出参数即可； （2）根据定义法证明函数的单调性即可； （3）由奇偶性及单调性脱去“”建立不等式求解即可. 【小问1详解】 函数的定义域为， 为奇函数，，即，经检验符合题意； 【小问2详解】 由（1）得， 设任意，且， 则， ，，， ，， ，， 在上单调递减； 【小问3详解】 ，， 是奇函数，， 由（2）知在上单调递减， ，， 故的取值范围为. 18. 某科研部门有甲乙两个小微研发项目，据前期市场调查，项目甲研发期望收益（单位：万元）与研发投入资金x（单位：万元）的关系为，项目乙研发期望收益（单位：万元）与研发投入资金x（单位：万元）的关系为，，且． （1）求实数a，b，c的值； （2）已知科研部门计划将27万元资金全部投资甲乙两个研发项目，试问如何分配研发资金，使得投资期望收益最大？并求出最大期望利润． 【答案】（1） （2）项目甲投入3万元，项目乙投资24万元时，科研部门获得最大利润30万元 【解析】 【分析】（1）由结合解析式可得答案； （2）设项目甲研发投入资金为万元，则项目乙投入万元，投资收益为，由题可得 表达式，后由对数运算结合基本不等式可得答案. 【小问1详解】 由， 可得，解得 故； 【小问2详解】 设项目甲研发投入资金为万元，则项目乙投入万元，投资收益为， 则 ，其中. 则 . 由基本不等式可得， 当且仅当时等号成立. 所以， 所以， 当且仅当时等号成立. 所以项目甲投入3万元，项目乙投资24万元时，科研部门获得最大利润30万元． 19. 定义：若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都有唯一的使成立，则称该函数为“伴随函数”. （1）若函数，判断函数是否为“伴随函数”，并说明理由； （2）若函数在定义域上为“伴随函数”，求的值； （3）已知函数在上为“伴随函数”，若，，恒有，求的取值范围. 【答案】（1）函数不是伴随函数，理由见详解 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据伴随函数的定义分析函数的性质进行判断即可； （2）先根据伴随函数的定义得到，再结合指数函数的性质求出与的关系，进而确定定义域上的特点，从而求出的值； （3）先根据伴随函数的定义求出的值，再将不等式进行转化，结合均值不等式求函数的最值来确定的取值范围. 【小问1详解】 函数，其定义域为， 令，即，解得或， 当时，，若，则，此方程无解，不满足伴随函数的定义， 函数不是伴随函数. 【小问2详解】 令，则在定义域上单调递增，又在定义域上单调递增， 根据复合函数的单调性法则，可知函数在定义域上单调递增， 又函数在定义域上为“伴随函数”， 存在，使得成立， 若，则； 根据题意，存在，使得成立， 若，则，矛盾， 故，， 的值为. 【小问3详解】 若，则当时，，此时不存在，使得， 则函数不是伴随函数，， 在上单调递增，则， 由伴随函数的定义可得， ，，即， 当时，，则， 当且仅当，即时，等号成立， ，，恒有， ，即在上有解， 令，则，则， 令，则函数在上单调递增，，则， 因此的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市十一高中2025-2026学年度高一上学期第二学程考试 数学试题 第Ⅰ卷（共58分） 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 2. 已知全集，则（ ） A. B. C. D. 3 已知函数则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 5 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C D. 5. 已知正数、满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数在区间上单调递增，则实数取值范围是（　　） A. B. C. D. 7. 下列函数中，既是减函数，又是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数.若，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，某学生用二分法求方程近似解（精确度为），列出了它的对应值表如下： 0 1 2 3 若依据此表格中的数据，则得到符合要求的方程的近似解可以为（ ） A. 1.31 B. 1.38 C. 1.43 D. 1.44 10. 下列命题中，正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 11. 《九章算术》中有“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步．问：勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3，设D为斜边的中点，作直角三角形的内接正方形对角线，过点A作于点F，则下列推理不正确的是（ ） A. 由图1和图2面积相等得 B. 由可得 C. 由可得 D. 由可得 第II卷（共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知, 则的解析式为_________. 13. 设函数的最大值为，最小值为，则__________. 14. 已知正实数满足，则__________． 四､解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知全集，集合，，. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知幂函数为偶函数． （1）求的解析式； （2）若，求实数a的取值范围． 17. 已知函数为奇函数． （1）求的值； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）已知，求实数的取值范围． 18. 某科研部门有甲乙两个小微研发项目，据前期市场调查，项目甲研发期望收益（单位：万元）与研发投入资金x（单位：万元）关系为，项目乙研发期望收益（单位：万元）与研发投入资金x（单位：万元）的关系为，，且． （1）求实数a，b，c的值； （2）已知科研部门计划将27万元资金全部投资甲乙两个研发项目，试问如何分配研发资金，使得投资期望收益最大？并求出最大期望利润． 19. 定义：若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都有唯一的使成立，则称该函数为“伴随函数”. （1）若函数，判断函数是否为“伴随函数”，并说明理由； （2）若函数在定义域上为“伴随函数”，求的值； （3）已知函数在上为“伴随函数”，若，，恒有，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $