3.2.2 双曲线的简单几何性质（十四大题型）专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.2.2 双曲线的简单几何性质 题型一 求双曲线的焦点坐标 1．双曲线的焦点为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化双曲线的方程为，结合双曲线的几何性质，即可求解. 【详解】由双曲线，可化为，可得，， 则，所以焦点为. 故选：B. 2．以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】确定双曲线的焦点和顶点坐标，即可求解 【详解】由，可得焦点坐标为，顶点坐标为 设椭圆的方程为， 由题意可知： ， 所以， 所以椭圆的标准方程为， 故答案为： 3．已知双曲线Γ：的左、右焦点分别为，，O为坐标原点. (1)求，的坐标及双曲线Γ的渐近线方程； (2)是否存在过点的直线l与Γ的左、右两支分别交于A，B两点，使得.若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)，， (2)存在， 【分析】（1）结合双曲线焦点、渐近线的定义即可求解； （2）假设存在直线l，由得，取的中点，则，进而得；又利用得，于是联立方程组可得的坐标，从而得到直线的斜率并得出直线的方程. 【详解】（1）由双曲线Γ的方程得，，得， 则，即. 故，，渐近线方程为. （2）存在过点的直线l与Γ的左、右两支分别交于A，B两点，使得. 易知直线l不与x轴重合.（当直线l与x轴重合时，A，B为双曲线的左右顶点，，，不满足题意） 设，，AB的中点. 由得为等腰三角形， 则，， 即，， 即，.① 因为点A，B在Γ上，所以 ②－③得，即， 则，即， 所以.④ 联立①④，消去得， 解得或（舍）， 当时，，所以， 由得， 所以直线的方程为. 题型二 求双曲线的焦距 4．双曲线的焦距为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线方程直接可得双曲线的基本量值可得答案. 【详解】由双曲线的方程得，，所以， 所以焦距为. 故选：B. 5．已知双曲线的焦距为，则该双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 【分析】根据焦距及方程求得，然后代入焦点在y轴上的双曲线渐近线方程求解即可 【详解】由题意可知，又，所以， 又双曲线的焦点在轴上，所以渐近线方程为. 故答案为： 6．已知双曲线：，点，点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、，点在线段上，且与端点、不重合. (1)求双曲线的焦距和离心率； (2)当为中点时，的面积为7，求直线的斜率； (3)设直线、、分别与轴交于点、、，若为的中点，证明：点在一条定直线上，并求出该定直线的方程. 【答案】(1)焦距4，离心率2 (2) (3)证明见解析，在定直线上 【分析】（1）根据双曲线方程求出，即可得解； （2）先设出直线方程，联立双曲线方程，利用中点坐标公式和三角形面积公式求解直线斜率； （3）通过设点坐标，利用直线方程求出与轴交点坐标，再根据中点关系证明点在定直线上. 【详解】（1）由双曲线方程得，，， 所以焦距，离心率； （2）若直线的斜率不存在，则直线与双曲线右支只有一个交点，不符合题意， 故直线的斜率存在，设直线的方程为， 与联立得. 设，， 由题意，得， 解得， 因为为中点，所以， 由，得， 又，解得， 所以直线的斜率为； （3）直线的方程为，令，得， 同理可得，，， 由为中点，可得， 即， 所以， 即， 所以在定直线上. 题型三 判断两个双曲线共焦点 7．已知双曲线与，下列说法正确的是（　　） A．两个双曲线有公共顶点 B．两个双曲线有公共焦点 C．两个双曲线有公共渐近线 D．两个双曲线的离心率相等 【答案】C 【分析】根据双曲线方程可得答案. 【详解】双曲线的焦点和顶点都在x轴上， 而双曲线的焦点和顶点都在y轴上，故A、B错误； 双曲线的渐近线方程为， 双曲线的渐近线方程为，故C正确； 双曲线的离心率， 而双曲线的离心率，故D错误. 故选：C. 8．双曲线：与双曲线：的（    ） A．实轴长相等 B．焦点坐标相同 C．焦距相等 D．离心率相等 【答案】C 【分析】根据两双曲线的方程，分别求得实半轴，虚半轴，进而求得实轴长，焦点位置，焦距，离心率，即可做出判定. 【详解】设双曲线的实半轴，虚半轴，半焦距分别为. 由双曲线的方程可得：,. 双曲线的实轴长分别是,,与参数t和m有关，所以实轴长不一定相等，故A错误； 因为双曲线的焦点在x轴上，双曲线的焦点在y轴上，所以焦点坐标不同，故B错误； 因为，∴∴，即两个双曲线的焦距相等，故C正确； 因为离心率，，，不一定相等，故离心率不一定相等，故D错误. 故选：C. 9．双曲线=1与有相同的（   ） A．实轴 B．焦点 C．渐近线 D．以上都不对 【答案】C 【分析】根据双曲线的几何性质即可得到答案. 【详解】当时，容易判断与的实轴和焦点均不同，即A,B错误. 下面判断渐近线. 易知，现在仅讨论时的情况，其它情况同理. 的渐近线为：， 若，则，则渐近线方程为：， 若，则，则渐近线方程为：. 于是，C正确，同时D错误. 故选：C. 题型四 求共焦点的双曲线方程 10．已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】双曲线的焦点与椭圆的焦点相同,得到c相等，构造方程求出即可. 【详解】由椭圆的标准方程为，可得，即， 因为双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，所以双曲线中，半焦距， 又因为双曲线满足，即， 又由，即，解得，可得， 所以双曲线的方程为. 故选：D. 11．与双曲线：有相同焦点，且过点的双曲线的标准方程为 . 【答案】 【分析】设双曲线方程为，将点代入求出的值，从而可得双曲线方程. 【详解】由题意可设双曲线方程为，又经过点， 所以，即，解得或(舍)， 所以双曲线的标准方程为， 故答案为：. 12．已知双曲线的实轴长为4，且与双曲线有公共的焦点. (1)求双曲线的方程； (2)已知，是双曲线上的任意一点，求的最小值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据题意设双曲线，由双曲线的性质即可求解； （2）设出坐标，根据双曲线的性质得出的范围，利用两点间距离公式求解. 【详解】（1）由双曲线的焦点在轴，坐标为，， 所以可设双曲线的方程为， 由已知，所以， 又因为双曲线与双曲线有公共的焦点，所以， 解得， 所以双曲线的方程为； （2） 由，可得或， 设，因为是双曲线上的任意一点， 所以，则或， ， 因为或， 所以当时，有最小值. 题型五 双曲线中x、y的取值范围 13．设一组曲线，若存在两条曲线，其交点与，满足，则满足条件的所有有序数对的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】由，所以点在以为直径的圆上可得， 联立曲线方程，解出交点坐标关系，代入得，由正整数条件找出解的个数即可. 【详解】由题意，曲线的方程分别为、， 故，且，且，且. 联立方程组解得 由且，得， 又因为，所以点在以为直径的圆上，故， 所以， 解得，所以有序数对可以为： ，共6个． 故选：D． 14．若，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】先由题给条件求得，进而化简为，进而求得其最小值. 【详解】由，可得， 则 ， 又，则，则的最小值为4 故答案为：4 15．曲线且 (1)若曲线表示双曲线，求的取值范围； (2)当，点在曲线上，且点在第一象限，，求点的横坐标. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用双曲线方程的特征，列式求解即得. （2）把代入，设出点的坐标，利用给定条件建立方程组求解. 【详解】（1）由曲线表示双曲线，得，解得， 所以的取值范围是. （2）当时，双曲线：，设点， 由，且，得， 则，整理得，又， 联立消去得，解得， 所以点的横坐标为. 题型六 根据双曲线中x、y的范围求范围或最值 16．已知双曲线的离心率为，点在上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用离心率得出的等量关系，结合点在双曲线上，消元化简计算即可. 【详解】由题意可知，所以， 又在双曲线上，即，则， 所以① 易知，即， 结合二次函数的性质可知①式的取值范围为. 故选：A 17．已知双曲线，点、是右支上任意两点，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设，则，数形结合分析得，即可得. 【详解】设，则，则或为锐角，如下图， 设点为双曲线的渐近线在第一象限内的一点， 设点为双曲线的渐近线在第四象限内的一点， 由题意知，，则，解得. 故答案为： 18．已知向量，，点，.直线，的方向向量分别为，，其中，记动点的轨迹为 (1)求的方程； (2)已知，求的取值范围 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用向量的坐标运算，来求动点的轨迹； （2）利用两点间的距离公式，消元后求值域即可. 【详解】（1）设，则，， 由题意，，， 所以由直线，的方向向量分别为，， 即有：,, 所以有：，， 消去得点的轨迹方程：， 整理得：； （2）由题意， 由，所以. 题型七 判断点和双曲线的位置关系 19．若实轴长为2的双曲线上恰有4个不同的点满足，其中，，则双曲线C的虚轴长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点，由结合两点间的距离公式得出点的轨迹方程，将问题转化为双曲线与点的轨迹有个公共点，并将双曲线的方程与动点的轨迹方程联立，由得出的取值范围，可得出答案． 【详解】依题意可得，设，则由， 得，整理得. 由得， 依题意可知，解得， 则双曲线C的虚轴长. 20．若双曲线 与圆 交于 四点，且这四个点恰为正方形的四个顶点，则 . 【答案】 【分析】设，则，代入双曲线方程可得，从而可得答案. 【详解】双曲线 与圆 交于 四点， 且这四个点恰为正方形的四个顶点， 设，则， 所以，解得， 所以，即, 故答案为：. 21．已知，分别为双曲线：的左、右焦点，是上一点，线段与交于点. (1)证明：； (2)若的面积为8，求直线的斜率. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题意在双曲线左支上，在右支上，设且得中点为，代入双曲线判断与双曲线的位置关系，即可证结论； （2）令得，设联立双曲线，应用韦达定理，结合已知求，即可得直线斜率. 【详解】（1）由题意在双曲线左支上，在右支上，令且， 而，则线段中点为，又，则， 所以，则中点在双曲线上或外部， 即，仅当重合时等号成立，故. （2）若，则， 令，，联立双曲线， 则，而，则，， 所以，故，可得（负值舍）， 所以，故直线斜率为. 题型八 双曲线的对称性 22．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C:-=1（a>0， b>0）的左焦点为F，点M，N在双曲线C上.若四边形OFMN为菱形，则双曲线C的离心率为（　　） A．2 B． C． D．+1 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义（或方程）及对称性，结合菱形的性质，可得关系，进而得到双曲线的离心率. 【详解】如图，因为四边形OFMN为菱形，所以, 记双曲线的焦距为，右焦点为,则,且根据双曲线的对称性，点的横坐标为, 所以，所以,所以点的纵坐标为, 所以点在双曲线上，代入双曲线方程，得, 整理得：， 联立, 得：,化简得： 两边同除以,得：,解得：,. 因为双曲线的离心率大于1，所以. 方法二：如图，因为四边形OFMN为菱形，所以, 记双曲线的焦距为，右焦点为,则,根据双曲线的对称性，点的横坐标为, 所以，所以,所以点的纵坐标为, 所以,以, 由双曲线的定义，知,所以, 所以,双曲线C的离心率为. 故选：D. 23．已知双曲线：的左、右焦点为 ，点 在双曲线 的右支上，点 关于原点的对称点为 ，则 【答案】6 【分析】根据双曲线的定义和对称性，可列式求值. 【详解】如图： 对双曲线：，可得. 因为点、关于原点对称，根据双曲线的对称性可得. 所以， 根据双曲线的定义，. 故答案为：6 24．已知双曲线的左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点. (1)若离心率，求的值. (2)若为等腰三角形时，且点在第二象限，求点的坐标； (3)连接并延长，交双曲线于点，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据离心率以及双曲线方程计算可得； （2）由为等腰三角形对底边进行分类讨论，求出点的轨迹并与双曲线联立即可解得的坐标； （3）设点，根据双曲线对称性可得，对直线斜率分类讨论并与双曲线联立，由数量积的坐标表示可得，即求出结果. 【详解】（1）由题意得，则； 因此. （2）当时，双曲线，其中， 如下图所示： 因为为等腰三角形，则 当以为底时，显然点在直线上，这与点在第二象限矛盾，故舍去； 当以为底时，， 设，则点的轨迹是以为圆心，半径为3的圆， 其方程为； 联立，解得或或； 因为点在第二象限，显然不合题意，舍去； 当以为底时，， 设，其中，则点的轨迹是以为圆心，半径为3的圆， 其方程为； 则有解得. 综上所述：点的坐标为. （3）由题知， 当直线的斜率为0时，此时，不合题意，则， 则设直线， 设点，根据延长线交双曲线于点， 根据双曲线对称性知， 联立有，可得， 显然二次项系数， 其中， ①，②， 可得， 则，因为在直线上， 则， 即， 将①②代入有， 即， 所以，代入到，得. 且，解得，则， 因此. 所以的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用双曲线对称性，对直线斜率分类讨论并与双曲线联立，根据韦达定理以及向量数量积的坐标表示求出，再解不等式即求出结果. 题型九 求双曲线的顶点坐标 25．双曲线的顶点坐标为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据双曲线的几何性质即可求解. 【详解】由双曲线方程可知双曲线焦点在轴上，，所以双曲线的顶点坐标为，. 故选：B. 26．已知双曲线C：的左、右顶点分别为，，点P在C上，且，则P到x轴的距离为 ． 【答案】3 【分析】根据双曲线C的，得左、右顶点、的坐标，设点P的坐标，列方程组求解即可. 【详解】由双曲线C的方程：，得，所以. 设点，则，化简得：， 即，解得：（增根已舍去），所以. 所以P到x轴的距离为. 故答案为：.    27．设，是双曲线与x轴的左右两个交点，是双曲线上垂直于x轴的弦的端点，直线与交点为点. (1)求点轨迹方程. (2)过点的直线l交曲线Γ于两点，其中点在轴上方.设直线的斜率为，直线的斜率为，探究是否为定值，若为定值，求出定值；若不是定值，说明理由. 【答案】(1) (2)是定值，. 【分析】（1）设，，根据题意易得，，进而得到，由在双曲线上可得，进而求解即可； （2）设直线的方程为，联立直线与曲线Γ的方程，根据韦达定理可得，即，进而求解即可. 【详解】（1）设，，由题意可得， 共线，故，① 又共线，故，② 由①②两式相乘，得，（*） 因在双曲线上，则，即， 将其代入（*）式，得，即， 即的轨迹方程为.    （2）由题意可设直线的方程为， 联立，得. 设，则，即， 则 ，为定值.    题型十 求双曲线的实轴、虚轴 28．双曲线的实轴长为，焦距为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的方程求出，从而由求出，进而可求出实轴长与焦距之差. 【详解】由知双曲线的焦点在轴上，且. ∴，， 所以，，. 故选：C. 29．若双曲线的离心率为2，虚轴长为6，则该双曲线的实轴长为 . 【答案】 【分析】根据双曲线基本量的关系求解即可. 【详解】依题意可得，解得，则 所以该双曲线的实轴长为． 故答案为：. 30．已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于6. (1)求双曲线的标准方程； (2)求双曲线的顶点，实轴长，虚轴长，焦距，渐近线方程、离心率. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用给定条件结合双曲线中基本量的性质得到基本量的值，再写出方程即可. （2）利用双曲线的性质求解目标元素即可. 【详解】（1）因为双曲线的两个焦点在轴上， 所以设双曲线方程为， 因为双曲线的两个焦点分别为，， 所以，由题意得双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于6， 故，由双曲线的定义得，解得， 得到，故双曲线的标准方程为. （2）对于双曲线，其实轴长为，虚轴长为， 焦距为，离心率为, 渐近线方程为，顶点为. 题型十一 根据顶点坐标、实轴、虚轴求双曲线的标准方程 31．设双曲线的焦距为，若双曲线的焦距与实轴长的和为16，且，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据题意列出关于的方程组求解即可. 【详解】由题意知，整理得，解得. 故选：B 32．若双曲线的实轴长为4，则 ． 【答案】2或 【分析】分类讨论确定双曲线的焦点位置，根据双曲线的定义与性质计算即可． 【详解】当，即时， 双曲线的焦点在轴上，则，得， 当，即时， 双曲线的焦点在轴上，则，解得， 所以或． 故答案为：2或. 33．已知A，B是双曲线的左、右顶点，，点在C上． (1)求C的方程． (2)M是C左支上一点（异于点A），设直线交直线于点P，连接，直线与C的另一个交点为N，设直线，的斜率分别为，． （ⅰ）证明：为定值． （ii）证明：直线恒过定点． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）由得，由点在C上求得，即可得到方程； （2）（ⅰ）设，，利用斜率公式证明； （ii）设直线MN的方程为，与双曲线方程联立，结合韦达定理与（ⅰ）中结论，可求出，进而可得结论． 【详解】（1）因为，所以，则双曲线， 又点在C上，所以，解得， 所以C的方程为． （2）（ⅰ）易知，，设，， 则，，即， 而， 所以， 又，所以， 故，为定值． （ii）设直线的方程为，，，， 由，得， 所以． 由（ⅰ）可知，， 即， 即， 化简得，解得， 所以直线的方程为， 因此直线经过定点． 题型十二 根据顶点或实虚轴关系求参数 34．已知双曲线的实轴长为8，过的焦点且垂直于实轴的弦长为6，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的性质，列方程组，即可求解. 【详解】不妨设双曲线的标准方程为，由题意，得， 解得，所以的半焦距，所以的离心率. 故选：D 35．在平面直角坐标系中，已知双曲线的左､右顶点分别为、，点在双曲线上且位于第一象限，若且，则的值是 . 【答案】 【分析】设，则，由得出，再由正弦定理有，即可得出. 【详解】如图所示，设，则， 设，则，即， 由双曲线方程可得， 所以， 又，， 则，解得，则， 在中，由正弦定理得， 可得. 故答案为：. 36．已知双曲线（，）的左顶点为，过点的动直线l交C于P，Q两点（均不与A重合），当l与x轴垂直时，. (1)求C的方程； (2)若直线AP和AQ分别与直线交于点M和N，证明：为定值. 【答案】(1) (2)为定值63，证明过程见解析 【分析】（1）由题意得，并代入求出，根据求出，得到答案； （2）直线l的方程，联立双曲线方程，得到两根之和，两根之积，得到直线，求出，同理得到，结合平面向量数量积公式，代入两根之和，两根之积得到. 【详解】（1）由题意得，故， 令得，解得， 由于，故，解得， 所以C的方程为； （2）直线l交C于P，Q两点（均不与A重合），故直线l的斜率不为0， 设直线l方程为，联立得， 设，则且， 解得， ， 直线，令得， 同理可得，故， 则 .   为定值. 【点睛】定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 题型十三 等轴双曲线 37．已知等轴双曲线的实轴长为，左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的两条渐近线从左到右依次交于，两点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出双曲线的半焦距，再求出渐近线，即可推导出是等腰直角三角形，再由锐角三角函数计算可得. 【详解】因为等轴双曲线的实轴长为， 则双曲线的半焦距， 所以双曲线方程为，则渐近线方程为， 则，所以， 由，即为的中点，又为的中点， 所以，则，， 所以为等腰直角三角形，所以. 故选：C 38．过点的直线与圆相切于点，与曲线交于点R.若的中点为，则 . 【答案】 【分析】设为上的任意一点，将点绕原点逆时针旋转到，根据旋转关系，可得点的轨迹为等轴双曲线，从而得到曲线也是等轴双曲线，由双曲线的性质结合几何关系即可求解. 【详解】设为上的点，将点绕原点逆时针旋转到， 则，由于，则， 化简可得：，则点的轨迹为等轴双曲线，其焦点为，，且； 所以曲线也是等轴双曲线，其焦点为，，故点到焦点距离之差为常数.即，如图所示. 因为点分别是和的中点，故， 而，由于， 所以. 故答案为： 39．已知等轴双曲线的对称中心均为坐标原点，焦点分别在轴和轴上，且焦距均为4．设两点分别在上，满足直线的斜率之积为1，点为上异于的另一点，过分别作平行于的直线，交于两点． (1)求双曲线的方程； (2)证明：； (3)设，，证明：为定值． 【答案】(1)的方程为，的方程为 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）设，，由焦距为4即可求出； （2）设点，，由直线的斜率之积为1以及点在双曲线上即可求证； （3）由题意，设点，，， 得，点在双曲线上，代入方程即可求解. 【详解】（1）设，， 因此，所以， 的方程分别为，； （2）设点，， 因此，，且，， 所以， 因此，，， 所以； （3）由题意，设点，，， 因此， 又，从而， 整理得， 由（2）可知，因此为定值． 题型十四 已知方程求双曲线的渐近线 40．双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化双曲线方程为标准方程即可求解. 【详解】由题意得， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：D 41．已知O为坐标原点，双曲线C：的上焦点为F，下顶点为A，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若，则C的渐近线方程为 . 【答案】 【分析】应用点到直线的距离得，结合的关系得，在中应用余弦定理得，进而有，即得渐近线斜率，根据双曲线参数关系求渐近线方程. 【详解】由题意，，双曲线的渐近线为，如图，    设点在上，则，故， 所以，则， 故， 所以，故， 所以C的渐近线方程为 故答案为： 42．已知双曲线的离心率为，且焦点到渐近线的距离为2. (1)求双曲线的方程； (2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设右焦点为，一条渐近线的方程为，根据题意可得，再根据离心率及的关系可求得，，进而求解即可； （2）分直线的斜率不存在、存在两种情况讨论求证即可. 【详解】（1）设右焦点为，一条渐近线的方程为，即， 所以右焦点到该渐近线的距离为， 因为，，所以，， 所以双曲线的方程为. （2）证明：当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 而两条渐近线方程为， 不妨设与的交点为，与的交点为， 则或， 则； 当直线的斜率存在时，不妨设直线，且， 由，得， 由，得. 由，得. 不妨设与的交点为，则. 同理可得，所以. 因为原点到直线的距离，所以， 因为，所以，则. 综上所述，故的面积是定值，定值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.2 双曲线的简单几何性质 题型一 求双曲线的焦点坐标 1．双曲线的焦点为（   ） A． B． C． D． 2．以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆的标准方程为 . 3．已知双曲线Γ：的左、右焦点分别为，，O为坐标原点. (1)求，的坐标及双曲线Γ的渐近线方程； (2)是否存在过点的直线l与Γ的左、右两支分别交于A，B两点，使得.若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由. 题型二 求双曲线的焦距 4．双曲线的焦距为（    ） A． B． C． D． 5．已知双曲线的焦距为，则该双曲线的渐近线方程为 . 6．已知双曲线：，点，点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、，点在线段上，且与端点、不重合. (1)求双曲线的焦距和离心率； (2)当为中点时，的面积为7，求直线的斜率； (3)设直线、、分别与轴交于点、、，若为的中点，证明：点在一条定直线上，并求出该定直线的方程. 题型三 判断两个双曲线共焦点 7．已知双曲线与，下列说法正确的是（　　） A．两个双曲线有公共顶点 B．两个双曲线有公共焦点 C．两个双曲线有公共渐近线 D．两个双曲线的离心率相等 8．双曲线：与双曲线：的（    ） A．实轴长相等 B．焦点坐标相同 C．焦距相等 D．离心率相等 9．双曲线=1与有相同的（   ） A．实轴 B．焦点 C．渐近线 D．以上都不对 题型四 求共焦点的双曲线方程 10．已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 11．与双曲线：有相同焦点，且过点的双曲线的标准方程为 . 12．已知双曲线的实轴长为4，且与双曲线有公共的焦点. (1)求双曲线的方程； (2)已知，是双曲线上的任意一点，求的最小值． 题型五 双曲线中x、y的取值范围 13．设一组曲线，若存在两条曲线，其交点与，满足，则满足条件的所有有序数对的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 14．若，则的最小值为 ． 15．曲线且 (1)若曲线表示双曲线，求的取值范围； (2)当，点在曲线上，且点在第一象限，，求点的横坐标. 题型六 根据双曲线中x、y的范围求范围或最值 16．已知双曲线的离心率为，点在上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．已知双曲线，点、是右支上任意两点，且，则的取值范围是 ． 18．已知向量，，点，.直线，的方向向量分别为，，其中，记动点的轨迹为 (1)求的方程； (2)已知，求的取值范围 题型七 判断点和双曲线的位置关系 19．若实轴长为2的双曲线上恰有4个不同的点满足，其中，，则双曲线C的虚轴长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 20．若双曲线 与圆 交于 四点，且这四个点恰为正方形的四个顶点，则 . 21．已知，分别为双曲线：的左、右焦点，是上一点，线段与交于点. (1)证明：； (2)若的面积为8，求直线的斜率. 题型八 双曲线的对称性 22．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C:-=1（a>0， b>0）的左焦点为F，点M，N在双曲线C上.若四边形OFMN为菱形，则双曲线C的离心率为（　　） A．2 B． C． D．+1 23．已知双曲线：的左、右焦点为 ，点 在双曲线 的右支上，点 关于原点的对称点为 ，则 24．已知双曲线的左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点. (1)若离心率，求的值. (2)若为等腰三角形时，且点在第二象限，求点的坐标； (3)连接并延长，交双曲线于点，若，求的取值范围. 题型九 求双曲线的顶点坐标 25．双曲线的顶点坐标为（   ） A．， B．， C．， D．， 26．已知双曲线C：的左、右顶点分别为，，点P在C上，且，则P到x轴的距离为 ． 27．设，是双曲线与x轴的左右两个交点，是双曲线上垂直于x轴的弦的端点，直线与交点为点. (1)求点轨迹方程. (2)过点的直线l交曲线Γ于两点，其中点在轴上方.设直线的斜率为，直线的斜率为，探究是否为定值，若为定值，求出定值；若不是定值，说明理由. 题型十 求双曲线的实轴、虚轴 28．双曲线的实轴长为，焦距为，则（    ） A．1 B． C． D． 29．若双曲线的离心率为2，虚轴长为6，则该双曲线的实轴长为 . 30．已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于6. (1)求双曲线的标准方程； (2)求双曲线的顶点，实轴长，虚轴长，焦距，渐近线方程、离心率. 题型十一 根据顶点坐标、实轴、虚轴求双曲线的标准方程 31．设双曲线的焦距为，若双曲线的焦距与实轴长的和为16，且，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 32．若双曲线的实轴长为4，则 ． 33．已知A，B是双曲线的左、右顶点，，点在C上． (1)求C的方程． (2)M是C左支上一点（异于点A），设直线交直线于点P，连接，直线与C的另一个交点为N，设直线，的斜率分别为，． （ⅰ）证明：为定值． （ii）证明：直线恒过定点． 题型十二 根据顶点或实虚轴关系求参数 34．已知双曲线的实轴长为8，过的焦点且垂直于实轴的弦长为6，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 35．在平面直角坐标系中，已知双曲线的左､右顶点分别为、，点在双曲线上且位于第一象限，若且，则的值是 . 36．已知双曲线（，）的左顶点为，过点的动直线l交C于P，Q两点（均不与A重合），当l与x轴垂直时，. (1)求C的方程； (2)若直线AP和AQ分别与直线交于点M和N，证明：为定值. 题型十三 等轴双曲线 37．已知等轴双曲线的实轴长为，左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的两条渐近线从左到右依次交于，两点，且，则（   ） A． B． C． D． 38．过点的直线与圆相切于点，与曲线交于点R.若的中点为，则 . 39．已知等轴双曲线的对称中心均为坐标原点，焦点分别在轴和轴上，且焦距均为4．设两点分别在上，满足直线的斜率之积为1，点为上异于的另一点，过分别作平行于的直线，交于两点． (1)求双曲线的方程； (2)证明：； (3)设，，证明：为定值． 题型十四 已知方程求双曲线的渐近线 40．双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 41．已知O为坐标原点，双曲线C：的上焦点为F，下顶点为A，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若，则C的渐近线方程为 . 42．已知双曲线的离心率为，且焦点到渐近线的距离为2. (1)求双曲线的方程； (2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $