精品解析：河南省信阳市平桥区2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

九年级数学期中质量调研试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若方程是关于的一元二次方程，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 不存在 3. 下列正多边形中，绕其中心旋转后，能和自身重合的是（ ） A. 正三角形 B. 正方形 C. 正六边形 D. 正八边形 4. 对于抛物线，下列判断不正确的是（ ） A. 抛物线的顶点坐标为 B. 把抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线 C. 若点，在抛物上，则 D. 当时，y随x的增大而增大 5. 如图，是直径，点和点是上的两点且位于直径的两侧，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，直角坐标系的原点为，半径为5，点，则（ ） A. 在内 B. 在上 C. 在外 D. 无法确定 7. 电影《哪吒2》于2025年1月29日上映，第一天票房约5亿，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天票房约6亿，若把增长率记作，则方程可以列为（ ） A. B. C. D. 8. 若，则抛物线必过点（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在等腰中，，点是中点，将绕点旋转后得到，那么下列结论正确的是（　　） ​ A. B. C. D. 10. 如图，将沿弦翻折过圆心，交弦于，若，，则为（ ） A. B. C. D. 2 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 请写出一个以轴为对称轴的二次函数解析式________． 12. 两边、的长是关于的方程的两个实数根．当为________时，四边形是菱形． 13. 已知二次函数图象都在x轴的上方，则实数k的取值范围是______． 14. 市民广场有一个直径16 m圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头（喷水头高度忽略不计），各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物OA的顶端A处汇合，水柱离中心3 m处达最高5 m，如图所示建立直角坐标系．王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8 m的他站立时必须在离水池中心O______m以内． 15. 将含角的直角三角板，直尺和量角器如图摆放（无重叠部分），其中三角板斜边与直尺边无缝隙，三角板的顶点落在直尺点处，为量角器与直尺的接触点，为量角器与三角板的接触点，若在直尺上，点处刻度为6，点处刻度为8，则该量角器的半径为________．     三．解答题（共8大题，共75分） 16. 计算：用适当的方法解方程： （1）； （2）； 17. 如图，矩形草地中，，，草地内铺了一条长和宽分别相等的直角折线甬路，使剩余草地总面积（两部分阴影之和）为．其中点为边中点，（，），现有一辆宽度为的新能源垃圾清扫车，是否能够顺利行驶进入甬路？ 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，请解答下列问题： （1）画出关于原点成中心对称的； （2）画出绕原点O顺时针旋转的， （3）直接写出外接圆圆心的坐标________． 19. 如图，是的外接圆，是的直径，． （1）求证：是的切线； （2）若，垂足为交于点F；求证：是等腰三角形． 20. 已知二次函数（为常数）． （1）若该二次函数的图象与轴有两个公共点，求的取值范围； （2）若该二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，求一元二次方程的解； （3）在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最小值为，求值． 21. 2020年是脱贫攻坚的收官之年，老李在驻村干部的帮助下，利用网络平台进行“直播带货”．销售一批成本为每件30元的商品，按单价不低于成本价，且不高于50元销售，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示． 销售单价x（元） 30 40 45 销售数量y（件） 100 80 70 （1）求该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）销售单价定为多少元时，每天的销售利润为800元？ （3）销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元？ 22. 如图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分．在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡的底部（原点处），石块从投石机竖直方向上的点处被投出，在斜坡上的点处建有垂直于水平面的城墙．已知石块的运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是，，，，． （1）求抛物线的表达式； （2）通过计算说明石块能否飞越城墙． 23. “不倒翁”是我国一种古老的儿童玩具，一经触动就会左右摇摆．某款“不倒翁”的纵截面（沿顶端以垂直于水平面方向截取所得的截面）如图1，它由半圆和等边三角形组成，直径，半圆的中点为点，为桌面，半圆与相切于点，拨动“不倒翁”后它在桌面上做无滑动的滚动． （1）如图1，若，则的长为________（结果保留根号）； （2）如图2，连接，向右拨动“不倒翁”使， ①猜想与位置关系并证明； ②求出点到的距离（结果保留根号）； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学期中质量调研试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 故选：C． 【点睛】本题考查的是中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 2. 若方程是关于的一元二次方程，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 不存在 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根据一元二次方程的定义求参数，根据一元二次方程的定义得到，且，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，且， 解得； 故选B． 3. 下列正多边形中，绕其中心旋转后，能和自身重合的是（ ） A. 正三角形 B. 正方形 C. 正六边形 D. 正八边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正多边形的中心角，旋转的性质，旋转对称图形的性质；正多边形各边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角，正多边形的中心角都相等，正多边形的中心角的度数就是要旋转与自身重合所至少要旋转的度数，据此解答即可. 【详解】解：正n边形的中心角，正n边形绕其中心至少旋转能与自身重合 A、正三角形的中心角为，绕其中心旋转后，能与自身重合，故A不符合题意； B、正方形的中心角为，绕其中心旋转后，能与自身重合，故B不符合题意； C、正六边形的中心角为，绕其中心旋转后，能与自身重合，故C不符合题意； D、正八边形的中心角为，绕其中心旋转后，能与自身重合，故D符合题意； 故选：D. 4. 对于抛物线，下列判断不正确的是（ ） A. 抛物线的顶点坐标为 B. 把抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线 C. 若点，在抛物上，则 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次函数的性质以及平移的规律判断即可．本题考查二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握平移的规律． 【详解】解：∵， 抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 故A选项是正确的； 时，随的增大而减小， 则当时，y随x的增大而增大， ∴当时，y随x的增大而增大， 故D选项是正确的； 由平移规律可知，将抛物线右平移1个单位，再向上平移2个单位， 则得到的抛物线解析式为， 即． 故B选项是正确的； ∵点，在抛物上，且， ∴比靠近对称轴， ∵抛物线开口向上， ∴， 故C选项是错误的； 故选：C． 5. 如图，是的直径，点和点是上的两点且位于直径的两侧，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直径所对的圆周角为90度，同弧所对的圆周角相等，三角形的内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先根据直径所对的圆周角为90度，可判断，再根据同弧所对的圆周角相等，可得，然后根据三角形的内角和即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ． 故选：B． 6. 已知，直角坐标系原点为，半径为5，点，则（ ） A. 内 B. 在上 C. 在外 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，先根据勾股定理求出的长，再与的半径为5相比较即可，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键． 【详解】解：∵的坐标是， ∴， ∵半径为5， ∴点在外， 故选：． 7. 电影《哪吒2》于2025年1月29日上映，第一天票房约5亿，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天票房约6亿，若把增长率记作，则方程可以列为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用-增长率问题，申清题意、弄清原始量与变化量之间的关系是解题的关键． 根据题意，第一天票房为5亿，之后每天以增长率x增长，第三天票房为6亿．据此列出一元二次方程即可． 【详解】解：第一天票房为5亿，第二天票房为第一次增长后的结果，即亿；第三天票房在第二天基础上再次增长，即亿． 根据题意，第三天票房为6亿，故可得方程． 故选B． 8. 若，则抛物线必过点（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数图象经过的定点，当时，，即可求解；会求二次函数经过的点的坐标是解题的关键． 【详解】解：当时， ， ， ， 过顶点， 故选：D． 9. 如图，在等腰中，，点是中点，将绕点旋转后得到，那么下列结论正确的是（　　） ​ A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质、等腰三角形三线合一的性质，根据等腰三角形三线合一可得到，再利用旋转的性质证明，从而得，所以，根据等腰三角形的性质即可得证． 【详解】解：是等腰三角形，点是的中点 是等腰的中线， 由旋转可得， 是等腰三角形，， ，故选项D正确； ，故选项A错误， 由于不能得到，故选项B错误． 且是等腰三角形． ，故选项C错误． 故选：D． 10. 如图，将沿弦翻折过圆心，交弦于，若，，则为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】过点O作半径于点F，过点B作半径于点E，连接，，，，先根据轴对称的性质及圆周角定理证明是等边三角形，再设，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：过点O作半径于点F，过点B作半径于点E，连接，，，， 将沿弦翻折过圆心， ， ∴， ， ， ， ， ， 和所对的圆周角均为， ， ， 是等边三角形， ，， 设， ， ， ， 在中，，， ， 解得，， ， ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理等知识，添加辅助线，合理运用圆周角定理和勾股定理等知识解题是关键． 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 请写出一个以轴为对称轴的二次函数解析式________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数对称轴的判断方法是解题的关键．以y轴为对称轴，即对称轴为直线，根据二次函数性质，当一次项系数时，对称轴为y轴． 【详解】解：二次函数的标准形式为 ，其对称轴为直线 ， ∵以y轴为对称轴， ∴对称轴为直线， ∴， ∴二次函数解析式应满足，如 （其中）， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 的两边、的长是关于的方程的两个实数根．当为________时，四边形是菱形． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系和平行四边形和菱形的性质．先根据菱形的性质得到，则根据根的判别式的意义得到，然后解关于m的方程即可解题． 详解】解：由题可得：， 则方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 13. 已知二次函数的图象都在x轴的上方，则实数k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次函数与一元二次方程判别式的关系，解题的关键是熟练掌握根据题意得出． 【详解】解：∵二次函数中，图象的开口向上， 又∵二次函数的图象都在x轴的上方， ∴抛物线的图象与轴没有交点， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 市民广场有一个直径16 m的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头（喷水头高度忽略不计），各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物OA的顶端A处汇合，水柱离中心3 m处达最高5 m，如图所示建立直角坐标系．王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8 m的他站立时必须在离水池中心O______m以内． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意可得第一象限内抛物线的最高点为，且经过，用待定系数法可求出，当时，即可求解；能从实际意义中找出顶点坐标，会用待定系数法求出解析式，理解不被淋湿的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意得 第一象限内抛物线的最高点为，且经过， 可设， ， 解得：， ， 当时， ， 解得：，（舍去）， 当时， ， 第二象限的抛物线同理可求， 不被淋湿， 他站立时必须在离水池中心O以内； 故答案：． 15. 将含角的直角三角板，直尺和量角器如图摆放（无重叠部分），其中三角板斜边与直尺边无缝隙，三角板的顶点落在直尺点处，为量角器与直尺的接触点，为量角器与三角板的接触点，若在直尺上，点处刻度为6，点处刻度为8，则该量角器的半径为________．     【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理的应用．掌握切线的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 理解图示，确定切线，判定，求出即可得到结果． 【详解】解：连接，，，直尺刻度起点为D．     由条件可知是半圆O的切线，即， ． 为量角器与直尺的接触点， 是半圆O的切线，即． ，． ． 在和中 ． ，． 由条件可知． 三角板的顶点落在直尺A点处， ． ． ， ． ． ． 该量角器的半径长为． 三．解答题（共8大题，共75分） 16. 计算：用适当的方法解方程： （1）； （2）； 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）利用配方法解方程即可； （2）将方程化为一般式，再利用因式分解法进行求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 解得，； 【小问2详解】 ， ， ， ， 解得，． 17. 如图，矩形草地中，，，草地内铺了一条长和宽分别相等的直角折线甬路，使剩余草地总面积（两部分阴影之和）为．其中点为边中点，（，），现有一辆宽度为的新能源垃圾清扫车，是否能够顺利行驶进入甬路？ 【答案】能够顺利行驶进入甬路 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用． 设甬路的宽为 ，先得出，即，再据题意列一元二次方程，解方程求出甬路的宽，与车宽比较即可． 【详解】解：设甬路的宽为 ， ∵矩形中，，， ∴四边形是正方形， ∵点为边中点， ， ∴， ∴，即， 即据题意列方程，得：． 整理，得． 解得 ，（不合题意，舍去）． 即甬路的宽为， ， 即能够顺利行驶进入甬路． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，请解答下列问题： （1）画出关于原点成中心对称的； （2）画出绕原点O顺时针旋转的， （3）直接写出外接圆圆心的坐标________． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了画关于原点对称的图形、画旋转图形，外接圆的圆心，画出正确的图是解决本题的关键． （1）根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数找到、、对应点的位置，再顺次连接即可； （2）先找到、、对应点的位置，再顺次连接即可； （3）先作出边的垂直平分线，两直线的交点即为外接圆圆心，然后写出坐标即可． 【小问1详解】 解：如下图为所求： 【小问2详解】 解：如下图即为所求： 【小问3详解】 解：如下图点即为所求，其坐标为， 故答案为：． 19. 如图，是的外接圆，是的直径，． （1）求证：是的切线； （2）若，垂足为交于点F；求证：是等腰三角形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）连接，由是的直径得到，进一步得到，再根据已知条件，且即可证明进而求解； （2）证明，再由，得到，进而得到，得到，进而得到为等腰三角形． 【详解】（1）证明：连接， ， ， 为圆直径， ， ， 又， ， ， 又点在圆上， 是的切线； （2）证明：， ， ， ， ， 又， ， 是等腰三角形． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定定理，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定等，熟练掌握性质或定理是解决此类题的关键． 20. 已知二次函数（为常数）． （1）若该二次函数的图象与轴有两个公共点，求的取值范围； （2）若该二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，求一元二次方程的解； （3）在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最小值为，求值． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据二次函数与轴的交点问题可进行求解； （2）先求出二次函数的图象对称轴为直线，根据对称轴找出另一个解即可； （3）由函数解析式可得抛物线的对称轴为直线，开口向下，然后根据开口向下，离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越大，即可判断当时，，然后代入即可求解． 【小问1详解】 解：二次函数的图象与轴有两个公共点， ，即， ； 【小问2详解】 解：， 二次函数的图象对称轴为直线， 关于直线的对称点为， 一元二次方程的解为，； 【小问3详解】 解：二次函数的图象对称轴为直线，抛物线开口向下，且， 当时，二次函数取最小值， ， ， 的值为12． 21. 2020年是脱贫攻坚的收官之年，老李在驻村干部的帮助下，利用网络平台进行“直播带货”．销售一批成本为每件30元的商品，按单价不低于成本价，且不高于50元销售，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示． 销售单价x（元） 30 40 45 销售数量y（件） 100 80 70 （1）求该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）销售单价定为多少元时，每天的销售利润为800元？ （3）销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）销售单价定为40元时，每天的销售利润为800元 （3）销售单价定为50元时，销售该商品每天获得的利润最大，最大利润是1200元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一元二次方程在销售问题中的应用． （1）设该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式为，用待定系数法求解即可； （2）根据每件的利润乘以销售量等于利润800元，列出方程并求解，再结合单价不低于成本价，且不高于50元销售，可得符合题意的答案； （3）根据每件的利润乘以销售量等于利润得出关于的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质及自变量的取值范围可得答案． 【小问1详解】 解：设该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式为， 将点、代入一次函数关系式得： ， 解得：， 函数关系式为； 【小问2详解】 解：由题意得：， 整理得：， 解得：，． 单价不低于成本价，且不高于50元销售， 不符合题意，舍去． 答：销售单价定为40元时，每天的销售利润为800元； 【小问3详解】 解：由题意得： ， ，故当时，随的增大而增大，而， 当时，有最大值，此时，， 答：销售单价定为50元时，销售该商品每天获得的利润最大，最大利润是1200元． 22. 如图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分．在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡的底部（原点处），石块从投石机竖直方向上的点处被投出，在斜坡上的点处建有垂直于水平面的城墙．已知石块的运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是，，，，． （1）求抛物线的表达式； （2）通过计算说明石块能否飞越城墙． 【答案】（1） （2）石块能飞越城墙 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，求出二次函数解析式是解题的关键． （1）根据顶点坐标设出顶点式，将C点坐标代入求解； （2）计算出时对应的y值，得出当到达城墙时，石块的高度，与比较大小即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点坐标是， ∴设抛物线的表达式为：， 将点代入得：， ∴． ∴石块运动轨迹所在抛物线的表达式为：． 【小问2详解】 解：当时，， 当到城墙时，石块高度为，， ， 石块能飞越城墙． 23. “不倒翁”是我国一种古老的儿童玩具，一经触动就会左右摇摆．某款“不倒翁”的纵截面（沿顶端以垂直于水平面方向截取所得的截面）如图1，它由半圆和等边三角形组成，直径，半圆的中点为点，为桌面，半圆与相切于点，拨动“不倒翁”后它在桌面上做无滑动的滚动． （1）如图1，若，则的长为________（结果保留根号）； （2）如图2，连接，向右拨动“不倒翁”使， ①猜想与的位置关系并证明； ②求出点到的距离（结果保留根号）； 【答案】（1）； （2）①，证明见解析；②点到的距离为． 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、解直角三角形、切线的性质等知识点，正确作出辅助线成为解题的关键． （1）根据题意得当时，三点在一条直线上，则，得出，最后根据即可解答； （2）①根据半圆与相切于点，得出，再根据半圆的中点为点，得出，从而得出，根据为等边三角形，得出，证明，即可证出． ②过点作于点于点，则，根据勾股定理求出，则，通过证明四边形为矩形，即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得：当时，三点一条直线上， ∵直径， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①． ∵半圆与相切于点， ， ∵半圆的中点为点， ， ∵， ， ∵为等边三角形， ， ， ， ． ②过点作于点于点，如图， ， ， ， ， ∵， ∴四边形为矩形， ∴． ∴点到桌面的距离为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $