专题07 三角函数（期末真题汇编，浙江专用）高一数学上学期

专题07 三角函数 7大高频考点概览 考点01任意角和弧度制 考点02 三角函数的概念 考点03 诱导公式 考点04 三角函数的图象与性质 考点05 三角恒等变换 考点06 函数 考点07 三角函数的应用 地 城 考点01 任意角和弧度制 一、单选题 1．（24-25高一上·浙江丽水·期末）一个扇形的弧长与面积的数值都是，则这个扇形的中心角大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用扇形的弧长和面积公式，即可求解. 【详解】设扇形的弧长、面积和中心角分别为，扇形的半径为， 因为，所以，由题有，解得， 故选：B. 2．（24-25高一上·浙江嘉兴·期末）是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【分析】根据象限角结合弧度制分析判断. 【详解】因为， 且， 所以是第三象限角，即是第三象限角． 故选：C. 3．（24-25高一上·浙江杭州·期末）二十四节气是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民智慧的结晶．从立春起的二十四节气依次是立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒．二十四节气的对应图如图所示，从2022年4月20日谷雨节气到2022年12月7日大雪节气圆上一点转过的弧所对圆心角的弧度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用弧度制的定义计算出每个节气所表示的弧度数，即可求解. 【详解】由题意，二十四节气将一个圆24等分，所以每相邻的两个节气对应的弧度数为， 则从谷雨到大雪，二十四节气圆盘需要逆时针旋转15个节气， 所以转过的弧所对的圆心角的弧度数为. 故选：C. 4．（24-25高一上·浙江温州·期末）一个周长是4，面积为1的扇形的半径为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】结合扇形周长、面积公式列方程即可得解. 【详解】由题意不妨设半径、弧长分别为， 所以，即，解得. 故选：A. 二、填空题 5．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知扇形弧长为，圆心角为，则该扇形面积为 . 【答案】/ 【分析】利用扇形弧长公式和面积公式即可求得结果. 【详解】由题意知，圆心角为，弧长为， 设扇形半径为，根据弧长公式得，得， 所以扇形的面积为. 故答案为：. 6．（24-25高一上·浙江金华·期末）已知扇形的半径为10，圆心角为弧度，则该扇形的面积为 . 【答案】 【分析】利用扇形面积公式计算可得结果. 【详解】根据扇形的面积公式可得. 故答案为： 7．（24-25高一上·浙江衢州·期末）玉璜，是一种佩戴饰物.在中国古代，玉璜与玉琮、玉璧、玉圭、玉璋、玉琥等总称为“六瑞”，被《周礼》 一书称为是“六器礼天地四方”的玉礼器，多作为宗教礼仪挂饰.现有一弧形玉璜呈扇环形，已知，弧长为，弧长为，此玉璜的面积为 . 【答案】 【分析】设弧对应的圆半径为R，圆心角为，易得，求得R，再利用扇形面积公式求解. 【详解】设弧对应的圆半径为R，圆心角为， 由题意得：， 解得， 所以玉璜的面积为， 故答案为：. 8．（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知扇形的周长为，圆心角为，则扇形的面积为 . 【答案】 【分析】设扇形半径为，由条件结合弧长公式求，再由扇形面积公式求结论. 【详解】设扇形半径为， 则，解得， 所以. 故答案为：. 9．（24-25高一上·浙江杭州·期末）折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1．其平面图如图2的扇形AOB，其中，，则扇面（曲边四边形ABDC）的面积是 .　 【答案】 【分析】根据给定条件，利用扇形面积公式直接计算即可. 【详解】依题意，扇面（曲边四边形ABDC）的面积是. 故答案为： 10．（24-25高一上·浙江嘉兴·期末）一个扇形的弧长和面积都是，则这个扇形的半径为 ． 【答案】 【分析】由扇形的面积公式求解即可. 【详解】设扇形的弧长为，半径为， 所以，，解得：. 故答案为：. 11．（24-25高一上·浙江宁波·期末）杭州第19届亚洲运动会于2023年9月23日至10月8日在中国浙江省杭州市举行，本届亚运会的会徽名为“潮涌”，主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成如图1所示，其中扇面造型突出反映了江南的人文意蕴.会徽的几何图形如图2所示，设弧的长度是，弧的长度是，几何图形的面积为，扇形的面积为.若，则 . 【答案】2 【分析】根据扇形的面积公式及求解即可. 【详解】设扇形的面积为，，则. 所以，即， 所以. 故答案为：2 12．（24-25高一上·浙江温州·期末）已知半径为的扇形，其圆心角为，则扇形的面积为 【答案】/ 【分析】直接利用扇形的面积公式求解即可． 【详解】因为半径的扇形的圆心角为，即圆心角， 所以面积． 故答案为：． 13．（24-25高一上·浙江台州·期末）角是第 象限角. 【答案】二 【分析】直接由象限角的概念得答案． 【详解】由象限角的定义可知，的角是第二象限角． 故答案为：二. 地 城 考点02 三角函数的概念 一、单选题 1．（24-25高一下·浙江杭州·期末）已知圆O是单位圆，点P在上，过点，的切线与OP于点T，S．设，定义：，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角形相似，即可求解. 【详解】由图象可知，， 则，即， 所以. 故选：D. 2．（24-25高一上·浙江·期末），则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用三角函数的基本关系式，求得的值，结合，即可求解. 【详解】由，可得，所以. 故选：B. 3．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知，则（    ） A． B．1 C．0 D． 【答案】C 【分析】将 两边平方，可得，计算进而可求解. 【详解】将 两边平方，得， 即，所以， 所以 故选：. 4．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知，则“”是“角为第一或第二象限角”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】先判断由“角为第一或第二象限角”能否推出“”，再判断“”能否推出“角为第一或第二象限角”. 【详解】根据任意角三角函数的定义，知道“角为第一或第二象限角”能推出“”； 但“”，根据任意角三角函数的定义， 此时角的终边可能在第一象限， 也可能在第二象限，还可能在轴非负半轴上.不能推出“角为第一或第二象限角”. 由充分必要条件的定义可知，“”是“角为第一或第二象限角”的必要不充分条件. 故选：B. 5．（24-25高一上·浙江·期末）已知，则的值（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】利用同角三角函数之间的基本关系将弦化切代入可得结果. 【详解】由可得， 将分式的分子和分母同时除以可得， . 故选：A 6．（24-25高一上·浙江·期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同角的三角函数关系求出，判断的范围，确定，结合齐次式法求值求出，即可求得答案. 【详解】因为，故， 即，得， 则，且， 所以， 所以，则， 故， 故选：B 7．（24-25高一上·浙江衢州·期末）我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形如图所示，记直角三角形较小的锐角为，大正方形的面积为，小正方形的面积为，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设大正方形的边长为，从而可得直角三角形的直角边，分别求出，再根据求得，在化弦为切即可得出答案. 【详解】设大正方形的边长为，则直角三角形的直角边分别为， 因为为直角三角形较小的锐角，所以， ， 则， 即， 所以，解得或（舍去）， 所以. 故选：C. 二、多选题 8．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】通过诱导公式化简可判断AB，通过齐次式法求值可判断C，将已知等式平方可判断D. 【详解】，故A错误，B正确； 若，则，故C正确； 若，两边取平方，整理得：，即， 即，故D正确； 故选：BCD. 9．（24-25高一下·浙江湖州·期末）给出下列四个选项中，其中正确的选项有（    ） A．若角的终边过点且，则 B．设角为锐角（单位为弧度），则 C．命题“，使得”的否定是：“，均有” D．若，，则“”是“”的充分不必要条件 【答案】ABD 【分析】对于A、B：根据三角函数的定义分析运算；对于C：根据特称命题的否定分析判断；对于D：根据与的推出关系判断. 【详解】对于选项A：由题意可得：，解得，故A正确； 对于选项B：设角的终边与单位圆的交点为，单位圆与x轴正方向的交线为A，作轴， 角为锐角，可知：等于的长，，则，故B正确； 对于选项C：“，使得”的否定是：“，均有”，故C错误； 对于选项D：由可得，故充分性成立， 若成立，则不一定成立，如，所以“”是“”的充分不必要条件，故D正确； 故选：ABD. 10．（24-25高一下·浙江衢州·期末）若，，则可以是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】AC 【分析】由条件，可知是第一象限角，据此得到范围，即可确定所在的象限. 【详解】因为，， 所以，故是第一象限角， 由， 得， 当为偶数时，是第一象限角， 当为奇数时，是第三象限角. 故选：AC. 三、填空题 11．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知点是角α的终边上一点，则 ． 【答案】/ 【分析】先求出的值，再根据三角函数的定义计算即得. 【详解】点即， 依题意，. 故答案为:. 12．（24-25高一下·浙江金华·期末）已知角的终边经过点，则 . 【答案】/ 【分析】由三角函数的定义求解即可； 【详解】由题意可得， 由三角函数的定义可得， 所以. 故答案为：. 13．（24-25高一下·浙江台州·期末）已知θ∈（，），若存在实数x，y同时满足=，+=，则tanθ的值为 ． 【答案】 【详解】试题分析：设==t，求出sinθ、cosθ的值，代入另一式化简，再由sin2θ+cos2θ=1，求出+=；利用tanθ==得出方程tan2θ+=，求出方程的解，再考虑θ∈（，），从而确定tanθ的值． 解：设==t， 则sinθ=ty，cosθ=tx， 所以+=可化为： +=①； 又sin2θ+cos2θ=t2x2+t2y2=1， 得t2=②； 把②代入①，化简得+=③； 又tanθ==， 所以③式化为tan2θ+=， 解得tan2θ=2或tan2θ=； 所以tanθ=±或tanθ=±； 又θ∈（，）， 所以tanθ＞1， 所以取tanθ=． 故答案为． 四、解答题 14．（24-25高一上·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，点在角的终边上. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角函数的定义即可求解； （2）分子、分母同时除以进行弦化切，代入即可求解. 【详解】（1）由题知：角的终边经过点， ∴由三角函数的定义可知. （2）由（1）可知：， . 15．（24-25高一下·浙江杭州·期末）已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合． (1)若角的终边所在的方程为，求的值； (2)若角，求的值； 【答案】(1)3； (2). 【分析】（1）在角的终边取一点，然后根据定义计算可得； （2）根据同角关系式结合条件可得，进而即得. 【详解】（1）在角的终边取一点，则， 由三角函数的定义知 ， ； （2）因为， 所以，即， 解得，因为， 所以，可得，， 所以， 所以，因为， 所以，， 所以. 地 城 考点03 诱导公式 一、单选题 1．（24-25高一下·浙江·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过对所求式子进行变形，利用已知条件得出答案即可. 【详解】，． 故选：. 2．（24-25高二上·浙江杭州·期末）若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据范围计算范围，再结合的正负性，得出，则可计算，最后利用诱导公式化简即可. 【详解】，则， 又，则， 故， . 故选：A 3．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角函数的诱导公式和同角三角函数关系可得. 【详解】因为，所以， 由平方关系可得， 所以. 故选：B 4．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知，为第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据诱导公式计算可得，结合同角的三角函数关系建立方程组，解之即可求解. 【详解】由，得， 是第二象限角， ，解得 故选：D 5．（24-25高一上·浙江嘉兴·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据诱导公式可得. 【详解】由可得， 对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：D 6．（24-25高一上·浙江宁波·期末）设A，B，C分别是的三个内角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形内角和及诱导公式可判断各选项. 【详解】A.，选项A错误. B.，选项B错误. C.，选项C正确. D. ，选项D错误. 故选：C. 7．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知函数是定义在上的偶函数，对任意，且，都有成立，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性和对称性判断函数在上的单调性，再结合单调性比较三个数的大小. 【详解】因为，， 所以， ， ， 又因为函数是定义在上的偶函数， 所以， 又因为对任意，且，都有成立， 所以函数在上单调递增， 又由上可知，， 所以. 故选：A 二、多选题 8．（24-25高一上·浙江杭州·期末）下列命题正确的是（    ） A．不存在函数、满足定义域相同，对应关系相同，但值域不同 B．命题“，”的否定是“， C．已知，是第一象限角，则“”是“”的充要条件 D．三个内角A，B，C满足 【答案】AD 【分析】对于A，利用相同函数定义即得；对于B，利用带量词的命题的否定要求即可判断；对于C，通过取反例即可排除；对于D，利用三角形内角和关系与诱导公式推理即得. 【详解】对于A，由函数的定义可知，当两个函数的定义域相同，对应关系相同， 则值域一定相同，故A正确； 对于B，命题"，"的否定是"，"，故B错误； 对于C，若取，，满足，是第一象限角，且，但，故C错误； 对于D，因为，所以， 所以，所以，故D正确. 故选：AD. 9．（24-25高一上·浙江温州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据诱导公式逐项分析即可得解. 【详解】由诱导公式知，，故A正确； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确. 故选：AD 三、解答题 10．（24-25高一上·浙江衢州·期末）在平面直角坐标系中，角是第二象限角，且终边与单位圆交于点. (1)求实数及的值； (2)求的值. 【答案】(1)；； (2). 【分析】（1）由题意列式即可求解m，再由正切函数定义即可得解； （2）由结合诱导公式和齐次式弦化切即可计算得解. 【详解】（1）由题意可得，所以. （2）由（1）得， 所以. 11．（24-25高一上·浙江宁波·期末）单位圆O与x轴正半轴的交点为A，点B，C在圆O上，且点B在第一象限，点C在第二象限． (1)如图，当的长为时，求线段BC与所围成的弓形（阴影部分）面积； (2)记，，当，点B的横坐标为时，求的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）设弧长及圆心角，应用扇形面积公式计算求解即可； （2）先由已知得进而得出，，最后应用诱导公式计算求解即可. 【详解】（1）设所对的圆心角为，弧长为l，弓形的面积为S． 因为，圆O的半径为，所以， ，，． （2）设，由题知， 于是，， ．即． 12．（24-25高一下·浙江杭州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】（1）根据对数及指数幂的运算法则求解； （2）利用诱导公式化简求解. 【详解】（1）原式 . （2）原式 . 13．（24-25高一下·浙江丽水·期末）已知，且是第一象限角. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先弦化切，再结合同角三角函数的基本关系式求得所求表达式的值. （2）先应用诱导公式，再弦化切，最后结合同角三角函数的基本关系式求得所求表达式的值. 【详解】（1） （2） 14．（24-25高一下·浙江衢州·期末）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点．（点不与原点重合） (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】(1)根据终边上一点结合任意角三角函数定义求解即可； (2)应用诱导公式先求出正弦值范围，再结合同角三角函数关系求余弦值范围，结合任意角的余弦公式求解即得. 【详解】（1）∵，∴ ∴或 （2）∵，∴ 又∵,∴,即得 ∴． 15．（24-25高一下·浙江杭州·期末）求解下列问题： (1)求值：； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数、根式、对数运算求得正确答案. （2）根据诱导公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案. 【详解】（1） ； （2） . 地 城 考点04 三角函数的图象与性质 一、单选题 1．（24-25高一下·浙江丽水·期末）已知函数，若方程在上恰有两个不同的实根，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正弦函数建立方程求解，按照大小顺序列举出方程的解，根据题意建立不等式，可得答案. 【详解】由，解得或， 化简可得或， 当时，；当时，；当时，； 当时，， 由题意可得，解得. 故选：A. 2．（24-25高一下·浙江温州·期末）已知函数的值域是，则m的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】对分段函数进行分析，分别求出两段的值域，再利用函数的值域为可求m的值. 【详解】，在单调递减，则值域为， 当时，，则函数的值域为， 又函数的值域是，所以， 当时代入上面值域，，不符合题意； 当时代入上面值域，，符合题意； 综上，. 故选：B. 3．（24-25高一下·浙江绍兴·期末）对于函数和有相同的（    ） A．单调区间 B．最小正周期 C．对称中心 D．最小正零点 【答案】D 【分析】根据正余弦函数的性质求出两个函数的单调区间、最小正周期、对称中心、最小正零点，即可得答案. 【详解】对于， 令，得，函数单调递增区间为， 令，得，函数单调递减区间为， 令，则，即对称中心为，最小正周期，最小正零点为； 对于的单调递减区间为，单调递增区间为， 对称中心为，最小正周期，最小正零点为； 故选：D 4．（24-25高一上·浙江温州·期末）已知，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦型函数的函数值，求出的表达式即可得解. 【详解】因为， 所以， 解得， 因为，所以的最小值为. 故选：C 5．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）若关于x的不等式在上恒成立，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法（令），将原不等式转化为在上恒成立，结合对勾函数的单调性即可求解. 【详解】令，则， 则原问题转化为不等式在上恒成立， 即不等式在上恒成立， 又， 所以在上恒成立， 设，则函数在上单调递增， 所以，得， 所以. 故选：B 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是将原问题转化为在上恒成立问题. 二、多选题 6．（24-25高一上·浙江杭州·期末）函数，下列四个选项正确的是（   ） A．是以为周期的函数 B．的图象关于直线对称 C．在区间，上单调递减 D．的值域为 【答案】BCD 【分析】根据已知解析式得，，特殊值法判断是否相等判断A；根据所得解析式判断关系判断B；根据正余弦函数的性质判断C、D. 【详解】由解析式得，，（注意函数是连续的）， 显然，显然不是的周期，A错； 当时，，。 所以，结合上述解析式知， 当时，，。 所以，结合上述解析式知， 所以的图象关于直线对称，B对； 由，， 又在上单调递减，C对； 当，时，， 当，时，， 所以的值域为，D对. 故选：BCD 三、填空题 7．（24-25高一上·浙江杭州·期末）若函数在区间上单调递减，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】分类讨论，根据正弦函数性质求单调区间，再根据集合包含关系列不等式，解得的取值范围. 【详解】设，， 当时，则 由已知， 且， 又，结合，，故， 当时，则 由已知， ， 又，结合，，故， 当时，， 综上可得的范围为 故答案为： 8．（24-25高一上·浙江衢州·期末）已知函数在上有4个不同零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分析可得，对函数在上的零点个数进行分类讨论，可得出函数在上的零点个数，综合可求得实数的取值范围. 【详解】因为函数在上至多两个零点，故， 且二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 对于二次函数，， 当时，即当时， 函数在上无零点， 此时，函数在上只有一个零点，不合乎题意； 当时，即当时，函数在上只有一个零点， 而函数在上只有一个零点，不合乎题意； 当时，即当时， 函数在上有两个零点， 则函数在上有两个零点，所以，，此时，不存在； 当时，即当时，函数在上只有一个零点， 则函数在上有三个零点，则，此时，. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤： （1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题； （2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式； （3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围． 9．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由基本不等式可知或，又因为正弦函数的值域所以，代入原式，计算得出，由此可得时有最小值. 【详解】当时，，当且仅当时取等号，故， 当时，， 当且仅当时取等号，故， 因为正弦函数的值域为，所以，即， 所以，当且仅当时成立， 将代入原方程：， 故，整理得， 当即时，有最小值. 故答案为：. 10．（24-25高一上·浙江杭州·期末）若函数满足且在区间上单调递减．则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由结合的取值范围可得出的值，分、、三种情况讨论，根据求出的取值范围，根据函数在区间上的单调性可得出区间之间的包含关系，可得出关于的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】因为且，所以，，则， 当时，，该函数在上不单调，不合乎题意； 当时，由可得， 因为函数在区间上单调递减， 所以，， 所以，，解得， 由可得，又由于，则，则， 因为，则，此时，； 当时，由可得， 由于内层函数在上单调递减，函数在区间上单调递减， 所以，函数在上单调递增， 则， 所以，，解得， 由得，由于，则， 由于，则，可得，此时，. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：三角函数图象与性质问题的求解思路： （1）将函数解析式变形为或的形式； （2）将看成一个整体； （3）借助正弦函数或余弦函数的图象和性质（如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等）解决相关问题. 11．（24-25高一上·浙江丽水·期末）已知函数，若对任意，都有，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】从函数的性质分析在区间上单调递增，且，故不等式可转化为，进而可得，当或时，显然成立，只需考虑在区间恒成立，两边同时平方，转化变元可得且恒成立或且恒成立，进而可得. 【详解】函数，在区间上单调递增， 函数，由， 得在上单调递增， 当时，在区间上单调递增， 故函数在区间上单调递增， 由题意可知， 故由得， 故可得在区间恒成立， 当，即或时，显然成立， 故只需在区间恒成立，其中 即，整理得， 故且恒成立或且恒成立， 因，故，， 故只需或， 故实数的取值范围是， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解不等式，考虑到利用函数的单调性和对称性，通过分析，函数在区间上单调递增，且，进而只需考虑在区间恒成立即可. 四、解答题 12．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数． (1)求图象的对称轴方程； (2)求在区间上的单调递增区间． 【答案】(1) (2)和和， 【分析】（1）代入正弦函数的对称轴公式，即可求解； （2）首先求的范围，再根据正弦函数的单调性，即可求解. 【详解】（1）函数，令， 得， 所以图象的对称轴方程为； （2）当，， 当，得，即在区间上函数单调递增， 当，得，即在区间上函数单调递减， 当，得，即在区间上函数单调递增， 当，得，即在区间上函数单调递减， 当，得，即在区间上函数单调递增， 所以函数在区间上的单调增区间是和和， 13．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数. (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)求函数在区间上的最小值和最大值. 【答案】(1)最小正周期为，单调递增区间为 (2)最小值为,最大值为 【分析】（1）根据三角函数周期公式求周期，根据余弦函数单调区间列不等式，可得结果； （2）先确定取值范围，再根据余弦函数性质求最值. 【详解】（1） 所以函数的最小正周期为， 由得 即函数的单调递增区间为； （2） 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因为 因此当时，取最小值，为， 当时，取最大值，为. 14．（24-25高一上·浙江衢州·期末）已知函数在区间上的值域为. (1)求函数的解析式； (2)若对任意，存在使得，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由结合正弦型函数的基本性质可求出函数的值域，进而可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出函数的解析式； （2）由题意可知，，求出在时的最小值，可得出，由此可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】（1）因为，则，则， 因为，则， 由题意可得，解得，因此，. （2）由题意可得， 因为，所以，，则，故， 因为，则， 由题意可得，即， 所以，，解得， 因此，的取值范围是. 15．（24-25高一上·浙江杭州·期末）设a为常数，函数. (1)当时，求的值域； (2)讨论在区间上的零点的个数； (3)设n为正整数，在区间上恰有2025个零点，求所有可能的正整数n的值. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)1350 【分析】（1）对函数化简得，然后利用换元法得到，，从而求解； （2）根据（1）中换元后得，且，然后分类讨论的情况，从而求解； （3）由（1）（2）知有两个零点，然后分类讨论的情况，根据有零点个，从而求解出的值. 【详解】（1）由题意，令，， 所以，，所以，，， 当时，，对称轴，所以，， ，所以， 故的值域为. （2）由（1）知，记的两零点为，， 当，即时，则，无零点； 当，即时，则，有个零点； 当，即时，则，有个零点； （3）由（1）（2）知，有两个零点，， 当，即时，得，在（为正整数），内零点个数为， 在内零点个数为，因为，所以； 当，即时，，在（为正整数）内零点个数为， 在内零点个数为，因为，所以； 当时，则，.，在和（为正整数）内零点个数均为，此时没有满足题意得n； 当时，则，，在（为正整数）内零点个数均为，此时没有满足题意得n； 当，则，，在和（为正整数）内零点个数均为，此时没有满足题意得n； 综上的所有可能值为1350. 【点睛】方法点睛：（2），（3）利用换元法后得且得存在两个零点，通过对的分类讨论确定每种情况下两零点的取值，然后由来确定在上的可能的值. 地 城 考点05 三角恒等变换 一、单选题 1．（24-25高一下·浙江温州·期末）计算：（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两角和的余弦公式求解即可. 【详解】由两角和的余弦公式得. 故选：D 2．（24-25高一下·浙江温州·期末）化简：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦的两角差公式和诱导公式化简可得. 【详解】由和差公式和诱导公式可得： . 故选：B 3．（24-25高一下·浙江·期末）已知角，满足，，则的值等于（   ） A．1 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】由切化弦，结合两角和差的正弦公式即可求解. 【详解】因为， 所以，即， 又， 两式联立可得：， 所以， 故选：A 4．（24-25高一下·浙江金华·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据降幂公式、诱导公式计算即可. 【详解】由，则. 故选：D. 5．（24-25高一下·浙江舟山·期末）已知函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角恒等变换化简得出，由求出的取值范围，根据正弦型函数的单调性可得出关于的不等式组，结合可求得的取值范围. 【详解】， 因为，当时，， 因为函数在上单调递减， 所以， 即，解得， 由可得，又因为，，故，则. 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 6．（24-25高一下·浙江金华·期末）已知函数，则在区间上的所有零点之和为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由二倍角余弦公式结合求解一元二次方程得到上的零点，再求和即可. 【详解】， 由，得或，即或或，， 所以函数在区间的零点是 ，它们的和为， 故选：D. 7．（24-25高一下·浙江·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，两边同乘以，利用三角恒等变换的公式，得到，进而得到，即可求解. 【详解】由， 两边同乘以，可得， 因为， 可得， 即， 即， 可得，即. 故选：A. 8．（24-25高一下·浙江台州·期末）在中，，且，则的值不可以是（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】由，结合题意可得，进而得到，又，令，可得，令，利用函数单调性求得的值域即可. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 所以 ， 因为，所以， 因为，所以， 所以， 令，因为，所以，所以， 则，所以， 令， 函数和在上都单调递增， 所以在上单调递减，故， 则. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：通过，求得，进而得到，是解决本题的关键. 二、填空题 9．（24-25高一下·浙江·期末）求值： . 【答案】/ 【分析】利用余弦二倍角公式即可求解. 【详解】. 故答案为： 10．（24-25高一下·浙江温州·期末）若 ，，则 【答案】2 【分析】由两角和的正切公式求解即可. 【详解】若 ，，则. 故答案为：2. 三、解答题 11．（24-25高一下·浙江丽水·期末）人脸识别技术在社会各行各业中的应用深刻改变着人们的生活.所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像、并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份.在人脸识别中，为了检测样本之间的相似度主要运用余弦距离进行测试.二维空间有两个点，，定义之间的余弦距离为，其中. (1)若，，求之间的余弦距离； (2)已知，，，，若，， ①求之间的余弦距离； ②求的值． 【答案】(1)； (2)①；②5 【分析】（1）根据新定义计算即可； （2）①由新定义及所给点的坐标得出，，再求出，即可得出之间的余弦距离； ②由，，展开化简可得解. 【详解】（1）由题意得， ∴之间余弦距离为； （2）①由题意得 ∵，∴，∴， ∵， ∴，∵，∴ ∴，之间的余弦距离为. ②由①可得，， ∴，∴ ∴ 12．（24-25高一上·浙江杭州·期末）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线．1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程，其中为参数．当时，就是双曲余弦函数，类似的，我们可以定义双曲正弦函数，它们与正、余弦函数有许多类似性质． (1)判断并证明双曲余弦函数的奇偶性和单调性； (2)（ⅰ）证明； （ⅱ）类比正弦函数和余弦函数的和（差）角公式，写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个类似结论并给出证明； (3)若函数在上最大值为0，求实数的值． 【答案】(1)偶函数，在上单调递减，在上单调递增 (2)（ⅰ）证明见解析； （ⅱ）结论：（结论不唯一），证明见解析 (3) 【分析】（1）根据奇偶性的定义判断双曲余弦函数的奇偶性；利用单调性的定义求出单调区间； （2）（ⅰ）根据给出条件，结合指数幂的运算化简即可求出结果； （ⅱ）写出一个结论，结合指数幂的运算化简即可证明； （3）先换元，再结合二次函数和复合函数单调性求出的取值范围. 【详解】（1）设，其定义域为，关于原点对称. 计算：， 因为，所以双曲余弦函数是偶函数. 设，计算的值： 因为指数函数在上单调递增，当时，，即. 当时，，则，即， 此时，即， 所以在上单调递减. 当时，，则，即， 此时，即， 所以在上单调递增. 综上所得，双曲余弦函数是偶函数，在上单调递减，在上单调递增. （2）（ⅰ） ， 所以. （ⅱ）结论：. 证明：右边 . 所以成立. （3）令， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以. 因为，， 所以. 那么函数. 因为函数在上单调递减， 要使在上最大值为，则在上有最小值. 函数的对称轴为. 当，即时，在上单调递增， 则． 由，解得. 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 则. 由，即，此方程无实数解. 综上，实数的值为. 【点睛】关键点睛：函数新定义问题，解题关键是读懂新定义，把新定义转化为已知函数的知识，再进行求解即可. 13．（24-25高一上·浙江丽水·期末）已知集合，，设函数. (1)当时，证明：函数是常数函数； (2)已知，写出所有使函数是常数函数的集合； (3)当为奇数时，写出函数是常数函数的一个充分条件，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)， (3)，理由见解析 【分析】（1）直接利用题设定义和平方关系，即可证明结果； （2）根据题设，利用倍角公式及余弦的差角公式得到，再利用平方关系可得间的关系，再结合题设条件，即可求解； （3）根据条件，利用倍角公式及平方关系，得到，，再分奇和偶讨论，结合题设条件，即可求解. 【详解】（1）当时，， 所以是常数函数. （2）设，不妨令， 则 . 若函数是常数函数，则， 则， 得，所以， 得或，，所以或，， 同理或，，或，， 则①，又， 所以集合有，，共2个. （3）不妨令， 因为 ， 若函数是常数函数，则， 两式平方相加得，所以， 得，，所以，， ①当为偶数时，可以拆分成组两项（，）的和， 每一组为定值时，也为定值， 所以函数是常数函数的一个充分条件可以是 ②当为奇数时，可以拆分成1组三项的和 与组两项（，）的和， 每一组为定值时，也为定值， 所以当为奇数时，函数是常数函数的一个充分条件可以是. 【点睛】方法点晴：“新定义问题”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算等，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 14．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数，若关于的方程在的定义域上有实数解，则称为函数的“平衡点”；若存在实数，使得对于定义域内的任意实数，均有成立，则称函数为“平衡函数”；有序数对称为函数的“平衡点对”． (1)若是“平衡函数”，求函数的“平衡点对”； (2)是否存在实数，使得为函数的“平衡点对”，若存在，求出的值；若不存在，则说明理由； (3)若函数的定义域为，存在实数，使得同时为该函数的“平衡点”与“平衡点”，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)存在，； (3) 【分析】（1）利用“平衡函数”的定义，结合函数式列出恒成立的等式求出“平衡点对”. （2）利用给定的“平衡点对”，结合定义列出恒等式，整理求解即得. （3）利用给定的“平衡点对”，结合定义分别求出，进而求出范围. 【详解】（1）由是“平衡函数”，得对任意，恒成立， 即对任意成立，因此， 所以函数的“平衡点对”为. （2）假定存在实数，使得为函数的“平衡点对”， 则对，恒成立， 即对，，因此，， 所以存在实数，使得为函数的“平衡点对”， . （3）存在实数，使得同时为该函数的“平衡点”与“平衡点”， 则，， 整理得，， 于是， 因此，由，得， 则，所以的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：利用新定义，根据新定义列出满足的恒等关系，根据等式恒成立求出参数满足关系，即可解决问题. 15．（24-25高一上·浙江宁波·期末）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数，类似的我们可以定义双曲正弦函数.它们与正，余弦函数有许多类似的性质. (1)已知，求； (2)类比正弦函数，余弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数（或双曲余弦函数）的一个正确的结论（即求或）并证明； (3)已知，对任意的和任意的，都有恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2)，，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据和的计算公式，结合指数运算法则求解即可. （2）类比正弦函数、余弦函数的二倍角公式，写出双曲正弦函数（或双曲余弦函数，证明即可． （3）设，则，时，，进而求的取值范围，化为，利用不等式的性质转化求解，即可求出的取值范围． 【详解】（1）因为，所以， 所以，即，所以， 所以，所以． （2）类比正弦函数、余弦函数的二倍角公式， 得双曲正弦函数（或双曲余弦函数； 证明如下：； ． （3）因为，设，则， 当时，，所以， 所以， 可化为， 由题意，只需，对任意恒成立即可， 即或，所以或恒成立； ，故在上的最小值是， 当且仅当即时取得最小值； 因为，所以由对勾函数性质知在上单调递减， 所以在上的最大值是7，当取得最大值； 所以的取值范围是． 【点睛】方法点睛：函数新定义问题，解题方法是抓住新定义，把新定义转化为已知函数的表达式，函数不等式恒成立问题，首先需要通过函数的单调性与奇偶性化简不等式，对于较复杂的不等式，需要用换元法等进行化简转化，如本题转化为一元二次不等式恒成立，其次一元二次不等式恒成立，常常需要分类讨论求相应二次函数的最值后求得参数范围． 地 城 考点06 函数 一、单选题 1．（24-25高一下·浙江宁波·期末）若对，不等式恒成立，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】根据正弦型函数的值域可得当时，，当时，，设，由的单调性及对称性可知，继而即可求解. 【详解】，所以，， 所以当， 即时，， 当，即时，， 所以当时，， 当时，， 设， 则在上单调递减，在上单调递增， 且的图象关于直线对称， 所以， 所以，即， 又，故. 所以. 故选：. 2．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知函数的部分图象如图所示，则将该函数图象向左平移个单位后得到的函数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据图象，得，再根据图象平移求解. 【详解】根据图象，，， 所以，则， 则将该函数图象向左平移个单位后得到的函数为. 故选：C 3．（24-25高一下·浙江丽水·期末）已知，现将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若存在，使得函数与图象的对称中心完全相同，则满足题意的的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同角关系式及倍角公式可得，由题意得需为奇函数，由余弦函数得奇偶性即可求解. 【详解】， ， 要使函数与图象的对称中心完全相同， 则需为奇函数， 所以，，即解得， 因为， 当时，，当时，， 所以满足题意的的个数为2个. 故选： 4．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（   ）    A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据函数图象求出相关参数得到解析式，再将自变量代入求函数值即可. 【详解】由题设且，则，故， 又，则， 所以， 则. 故选：B 5．（24-25高一上·浙江丽水·期末）函数在区间上的最大值与最小值之差的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令， ，可将问题转化为在区间上的最大值与最小值之差的范围，然后分别讨论在，，，四种范围下的最值情况，可得答案. 【详解】因，则， 令，则，又令， 则问题等价于求在区间上的最大值与最小值之差的范围. 下列提及的，均满足. 当， 则此时在上单调递增， 则， 因， 则在上单调递增，在上单调递减， 则此时， ； 即此时； 当， 则在上单调递增，在上单调递减. 则， 其中. 注意到， 则，则， 则此时； 当， 则此时在上单调递减， 则， 因， 在上单调递增，在上单调递减， 则此时， ； 即此时； 当， 则在上单调递减，在上单调递增. 则， 其中. 注意到， 则，则， 则此时； 注意到， 则当时，在区间上的最大值与最小值之差的范围为： ， 即在区间上的最大值与最小值之差的取值范围是：. 故选：D 【点睛】关键点睛：本题的关键在于分类讨论，分类讨论时为防止出错，应按照一定的顺序，此外因三角函数具有周期性，可先分析函数在一个周期内的最值情况，再推广到全体定义域内. 6．（24-25高一下·浙江宁波·期末）如图，直线与函数交点的横坐标分别为，，，若，，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】结合图象可知，，从而可解，进而求值. 【详解】由图象知图象的对称轴为直线， 即，可得， 又图象的对称中心为，即， 所以，可得， 解得，又，所以， 所以，则. 故选：A 7．（24-25高一下·浙江嘉兴·期末）先把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数图象的一条对称轴可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用辅助角公式化简整理函数，然后根据函数的变换得到函数，令，求得函数的对称轴. 【详解】由题意可得：， 经过题中的一系列变换得到， 令，，解得：，， 对各项验证可得：当时，. 故选：D. 二、多选题 8．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知的部分图象如图所示，则（   ）    A．的最小正周期为 B．的图像可由的图象向左平移个单位得到 C．的对称轴为 D．在区间上的最大值为 【答案】ABD 【分析】 由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式．再根据的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论． 【详解】 解：根据函数的部分图象，可得，. 再根据五点法作图可得，，因为，， 又最大值为，∴. 的最小正周期为，故A正确； 的图像可由的图象向左平移个单位得到，故B正确； 令，则，所以的对称轴为，故C不正确； 时，，在区间上单调递增，故当时，，故D正确， 故选：ABD． 9．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数，且，，则（    ） A．若，则对称轴方程为， B．若，则函数向左移动得到 C．函数周期为， D．若在区间上单调，则最大值为9 【答案】ACD 【分析】对于A，由已知求得，求出对称轴方程，即可判断；对于B，由已知求得，由平移变换得到，即可判断；对于C，由已知可得，求出周期，即可判断；对于D，由已知可得， 又，，验证可得的最大值，即可判断. 【详解】对于A，当时，， 由，，得， 解得， ， 令，得， 即，，故A正确； 对于B，当时，， 由，，得， 解得， ， 将向左平移，得，故B错误； 对于C，由，，得， 解得，，故C正确； 对于D，函数在区间上单调， 则，解得， 所以，即， 又，，则，， 检验：当时，，此时， 又由，即， 解得，， 所以， 此时函数在区间上不单调，不满足题意； 当时，，此时， 又由，即，解得，， 所以， 此时函数在区间上是单调函数，满足题意， 综上所述，的最大值为9，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛： D选项，得到后，由，，得，，再验证可得的最大值. 10．（24-25高一上·浙江杭州·期末）下列各组函数中，可以只通过图象平移变换从变为的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BCD 【分析】根据辅助角公式化简两函数解析式，即可利用函数图象平移求解B，根据对数的运算性质化简解析式，即可利用平移求解D，对于AC，根据平移的性质可判断. 【详解】对于A，无法通过平移由得到，故A错误， 对于B，，，故可以将的图象向右平移个单位得到的图象，故B正确， 对于C，要想由得到,只需向左平移个单位即可，故C正确， 对于D，，，故可将的图象向上平移1个单位得到的图象，故D正确， 故选：BCD. 三、解答题 11．（24-25高一下·浙江温州·期末）已知函数. (1)求的最小正周期和值域； (2)先将的图象向左平移个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，得到的图象，求的单调递增区间. 【答案】(1)； (2)和， 【分析】（1）先利用三角恒等变换公式化简函数解析式，再求函数的周期和值域，注意化简过程中药注意函数的定义域. （2）结合余弦函数单调区间的求法，注意函数的定义域，可求函数的单调增区间. 【详解】（1）因为.（） 所以的最小正周期为：； 值域：. （2）先向左平移个单位得到，再将横坐标缩小到原来的得到.（） 由或，. 得或，. 所以函数的单调递增区间为：和， 12．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数． (1)求函数的最小值，及取最小值时的的值； (2)将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，求函数的最小正周期和单调递减区间． 【答案】(1)当，时，取得最小值：. (2)最小正周期为：；单调递减区间为：， 【分析】（1）先根据三角函数的有关公式（诱导公式、和角公式、辅助角公式）把函数化成的形式，再求函数的最小值及对应的的值. （2）先根据三角函数的图象变换确定的解析式，再分析其性质即可. 【详解】（1）. 所以的最小值为， 此时：，，即，. （2）将图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图象，再将的图象向右平移个单位，得到. 由，得函数的最小正周期为. 由， 得，， 所以，. 所以函数的单调递减区间为：，. 13．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在区间上的最大值和最小值． (3)若函数在区间上有且仅有一个零点，求实数k的取值范围． 【答案】(1)； (2)的最小值、最大值分别为、1； (3). 【分析】（1）根据函数的图象及正弦型函数的性质求参数，即可得解析式； （2）由图象平移写出的解析式，结合正弦型函数的性质求区间最值； （3）问题化为在上只有一个解，由正弦型函数性质求的区间单调性及对应值域，即可得参数范围. 【详解】（1）由题设，则，故， 由，则，即， 又，则，故； （2）由题意， ，则，则； 所以的最小值、最大值分别为、1； （3），则， 由在上单调递增，对应值域为； 在上单调递减，对应值域为； 函数在区间上有且仅有一个零点， 即在上只有一个解，故. 14．（24-25高一上·浙江丽水·期末）已知函数的部分图象如图所示.    (1)求的解析式； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象. 当时，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据图象，利用的图象与性质，可得，再利用，即可求解； （2）根据条件得到，再利用的图象与性质，即可求解. 【详解】（1）由图可得， 函数的最小正周期为，又，则， 所以， 又因为，得， 因为，则，所以，解得， 所以. （2）将函数的图象向左平移个单位长度， 可得到函数， 再将所得图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象， 则. 当时，则，所以，则. 所以的值域为. 15．（24-25高一上·浙江温州·期末）已知函数. (1)求； (2)把图象上的所有的点向右平移个单位，得到函数的图象，求，的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）法1：将拆分化简得到最代入求解；法2：先代入计算，再应用两角和余弦公式计算； （2）通过平移得到新函数的方程，再结合正弦函数的性质得到值域. 【详解】（1）法1： 法2： （2），， ， . 16．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)用五点法作出在区间内的图象； (3)在中，若，求的最大值. 【答案】(1) (2)图象见解析 (3) 【分析】（1）根据诱导公式以及二倍角公式化简，即可利用整体法求解单调性， （2）根据五点作图法即可求解， （3）根据，利用和差角公式以及辅助角公式，结合三角函数的性质即可求解. 【详解】（1）由可得 ， 令,解得， 故单调递增区间为 （2） 0 0 1 0 0 故在区间内的图象如下所示： （3）由可得, 由于，则，故，故， 因此， 由于，则， 故当，即时，取最大值为. 地 城 考点07 三角函数的应用 一、单选题 1．（24-25高一下·浙江宁波·期末）据长期观察，某学校周边早上6时到晚上18时之间的车流量y（单位：量）与时间t（单位：）满足如下函数关系式：（为常数，）.已知早上8：30（即）时的车流量为500量，则下午15：30（即）时的车流量约为（    ）（参考数据：，） A．441量 B．159量 C．473量 D．127量 【答案】A 【分析】根据时的车流量为500求出，再求时的车流量可得答案. 【详解】由题意可得，可得， 解得，所以， 当时， （量）. 故选：A. 二、多选题 2．（24-25高一下·浙江湖州·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，现有一个筒车按逆时针方向匀速转动．每分钟转动5圈，如图，将该筒车抽象为圆，筒车上的盛水桶抽象为圆上的点，已知圆的半径为，圆心距离水面，且当圆上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间，点的高度随时间（单位秒）变化时满足函数模型，则下列说法正确的是（    ）    A．函数的初相为 B．1秒时，函数的相位为0 C．4秒后，点第一次到达最高点 D．7秒和15秒时，点高度相同 【答案】BC 【分析】由函数模型，求出、和、、，再判断选项中的命题是否正确． 【详解】由题意知，函数模型中，，， ，所以， 又，得，显然， 所以，即函数的初相为，故A错误； 因为，1秒时，， 所以函数的相位为，故B正确； 4秒时，， 点第一次到达最高点，故C正确； ，， 所以7秒和15秒时，点高度不相同，故D错误． 故选：BC． 三、填空题 3．（24-25高一上·浙江杭州·期末）如图，在扇形中，半径，圆心角，C为扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，则矩形的面积的最大值为 ．    【答案】/ 【分析】利用三角函数的定义表示出点，在直角三角形中表示出，进而得出矩形的面积表达式，从而得到最大值. 【详解】设点，由则， 所以矩形的面积 ， 由，，， ，当且仅当时取到最大值. 故矩形的面积的最大值为 故答案为： 4．（24-25高一下·浙江嘉兴·期末）海洋潮汐是在太阳和月球的引力作用下，形成的具有周期性海面上升和下降的现象．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，停靠码头；在落潮时离开港口，返回海洋．已知某港口某天的水深（单位：）与时间（单位：）之间满足关系式：，且当地潮汐变化的周期为．现有一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为，安全条例规定至少要有的安全间隙（船底与洋底的距离）．若该船计划在当天下午到达港口，并在港口停靠一段时间后于当天离开，则它最多可停留 h． 【答案】 【分析】根据函数周期性可得，令，结合正弦函数性质分析求解即可. 【详解】由题意可得：，则， 令，则， 可得，解得， 设该船到达港口时刻为，离开港口时刻为，可知， 则，即， 所以最多可停留时长为小时. 故答案为：. 5．（24-25高一下·浙江金华·期末）函数（为月份），近似表示某地每年各个月份从事旅游服务工作的人数，游客流量越大所需服务工作的人数越多，则可以推断，当 时，游客流量最大． 【答案】8 【分析】根据余弦函数性质求出函数的最大值及取最大值时的值，由此可得结论. 【详解】因为， 所以， 所以当，即时，取最大值， 所以时，取最大值， 又游客流量越大所需服务工作的人数越多， 所以时，游客流量最大． 6．（24-25高一下·浙江杭州·期末）如图，摩天轮的半径为，圆心距地面的高度为.已知摩天轮按逆时针方向匀速转动，每转动一圈.游客在摩天轮的舱位转到距离地面最近的位置进舱则游客进舱时他距离地面的高度为 . 【答案】 【分析】设在时，距离地面的高度为，其中，根据题中条件求出、的值，可得出关于的函数关系式，然后将代入函数解析式，即可得解. 【详解】因为摩天轮的半径为，圆心距地面的高度为， 设在时，距离地面的高度为，其中， 则，可得，则， 由摩天轮按逆时针方向匀速转动，每转动一圈，可得，所以， 即， 当时，可得，即， 因为，解得， 所以， 令，可得. 所以，游客进舱时他距离地面的高度为. 故答案为：. 四、解答题 7．（24-25高一上·浙江杭州·期末）某游乐场的摩天轮示意图如图，已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1~12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离h与时间t的函数关系基本符合正弦函数模型即（其中），现从图示位置，即1号座舱（可视为A点）位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t分钟．    (1)求旋转分钟后号座舱（点）离地面的距离； (2)求1号座舱（点）与地面的距离与时间的函数关系的解析式（写出定义域）； (3)在前24分钟内，求1号座舱（点）与地面的距离为17米时的值． 【答案】(1)米 (2) (3)或 【分析】（1）首先求出旋转的角度，再求出初始高度及旋转上升的高度，即可得解； （2）依题意设，即可得到，，再由周期求出，最后求出即可； （3）令，结合正弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）因为旋转一周所需时间分钟，所以旋转分钟转过的角度为， 号座舱（点）离地面的初始高度为米， 又摩天轮的半径为30米，所以逆时针旋转时上升的高度为米， 所以旋转分钟后号座舱（点）离地面的距离米； （2）依题意1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式为（其中）， 依题意可得，，则． 又，， 当时，，又，所以， 所以． （3）令，即，， ，， 或，解得或， 故或时，1号座舱与地面的距离为17米． 8．（24-25高一上·浙江杭州·期末）某游乐场的摩天轮示意图如图，已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟.在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离与时间的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置，即1号座舱（可视为点）位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为分钟. (1)求1号座舱（点）与地面的距离与时间的函数关系的解析式（写出定义域）； (2)在前24分钟内，求1号座舱（点）与地面的距离为17米时的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）依题意设，即可得到，，再由周期求出，最后求出即可； （2）令，结合正弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）设1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式为（， ）， 依题意可得，， ． 依题意，， 当时，，且位于递增区间，所以可取， ． （2）令，即，， ，， 或，解得或， 故或时，1号座舱与地面的距离为17米． 9．（24-25高一上·浙江杭州·期末）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，乘客坐在摩天轮的座舱（挂在轮边缘）里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.已知某摩天轮的半径为60米，其中心距离地面70米，开启后沿逆时针方向匀速旋转，乘客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30分钟． (1)设乘客P坐上摩天轮的座舱，开始转动t分钟后距离地面高度为h米，求在转动一周的过程中，h关于t的函数解析式； (2)摩天轮在转动一圈的过程中，乘客距离地面超过100米的时间有多长？ 【答案】(1) (2)10分钟 【分析】（1）画出简图建立数学模型，根据圆周运动的特点写出满足的函数关系式即可； （2）令，计算即可得. 【详解】（1）如图设座舱距离地面最近的位置为点，以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系. 设时，游客上座舱时位于点，以为终边的角为， 根据摩天轮转一周大约需要min，可知座舱转动的角速度约为， 由题意得，； （2）由（1）知，令, 则，故， 解得 所以在摩天轮转动的一圈内，有分钟游客距离地面的高度不小于100米． 10．（24-25高一上·浙江嘉兴·期末）2024年政府工作报告中提出，加快新质生产力，积极打造低空经济.某市积极响应国家号召，不断探索低空经济发展新模式，引进新型无人机开展物流运输.该市现有相距100km的A，B两集散点到海岸线为直线距离均为如图，计划在海岸线l上建造一个港口C，在A，B两集散点及港口C间开展无人机物流运输.由于该无人机最远运输距离为，需在A，B，C之间设置补能点无人机需经过补能点M更换电池，且，设    (1)当时，求无人机从A到C运输航程的值; (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】根据解三角形求出，故从A到C运输航程； 由已知，，，根据无人机的最远距离，列不等式求出，令，，因为，所以，求解即可. 【详解】（1）    当时，，作， 则，所以， 故从A到C运输航程； （2）由已知，， ，， 因为无人机最远运输距离为， 所以， 所以， ， 令，， 因为，所以， ， 当时，， 当时，， 故的范围是 11．（24-25高一下·浙江湖州·期末）2023年12月1日，“民族魂·中国梦——阳光下成长”2023年浙江省中小学生艺术节闭幕式暨颁奖晚会在湖州大剧院举行．为迎接艺术节闭幕式的到来，承办方计划将场地内一处扇形荒地进行改造．已知该扇形荒地的半径为20米，圆心角，承办方初步计划将其中的（如下左图，点位于弧上，，分别位于半径，）区域改造为花卉区，扇形荒地内其余区域改造为草坪区．    (1)承办方进一步计划将，设计为观光步道，其宽度忽略不计．若观光步道造价为元/米，请你设计观光步道的造价预算，确保观光步道最长时仍有资金保障； (2)因某种原因，承办方修改了最初的改造计划，将花卉区设计为矩形（如下右图，其中，位于半径上，位于半径上）．为美观起见，承办方最后决定将四边形设计为正方形．求此时花卉区的面积． 【答案】(1)元 (2) 【分析】（1）设，过点做的垂线，求得，，结合三角函数的性质，即可求解； （2）由，求得，得到，结合，即可求解. 【详解】（1）解：设，，过点做的垂线交于， 则，， 所以， 则 所以预算应该设定为元． （2）解：由题意得，， 因为，可得， 则，所以， 所以.    12．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知一个半径为米的水轮如图所示，水轮圆心距离水面米，且按顺时针方向匀速转动，每秒转动一圈.如果以水轮上点从水面浮现时（图中点位置）开始计时，记点距离水面的高度关于时间的函数解析式为. (1)在水轮转动的一周内，求点距离水面高度关于时间的函数解析式； (2)在水轮转动的一周内，求点在水面下方的时间段. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据函数的最大值和最小值可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，求出该函数的最小正周期，可得出的值，再由，结合的取值范围，可得出的值，由此可得出函数的解析式； （2）在时，解不等式即可得出结论. 【详解】（1）解：由题意知的最大值为，最小值为， 所以，，解得， 由题意可知，函数的最小正周期为， 则，所以. 当时，，即，可得， 又，所以，所以，. （2）解：令，得. 由，得，所以，解得， 即在水轮转动的一圈内，点在水面下方的时段是秒到秒. 13．（24-25高一下·浙江台州·期末）如图是一种升降装置结构图，支柱垂直水平地面，半径为1的圆形轨道固定在支柱上，轨道最低点，，.液压杆、，牵引杆、，水平横杆均可根据长度自由伸缩，且牵引杆、分别与液压杆、垂直.当液压杆、同步伸缩时，铰点在圆形轨道上滑动，铰点在支柱上滑动，水平横杆作升降运动（铰点指机械设备中铰链或者装置臂的连接位置，通常用一根销轴将相邻零件连接起来，使零件之间可围绕铰点转动）.    (1)设劣弧的长为，求水平横杆的长和离水平地面的高度（用表示）； (2)在升降过程中，求铰点距离的最大值. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）轨道圆心为，圆的半径为1，劣弧的长为时，有，由三角函数表示出和的长； （2）证明出，则，通过换元利用基本不等式求出最大值. 【详解】（1）记轨道圆心为，则， 设劣弧的长为，则， 得， .    （2）由已知，，，， 则，又，所以， 则， 令，有，. 则，， 因为，当且仅当时，取到等号， 所以铰点距离的最大值为. 【点睛】方法点睛： 求的最大值时，证明，由已知的和，有，通过换元，有，借助基本不等式可求最大值. 14．（24-25高一下·浙江杭州·期末）如图所示，有一条“”形河道，其中上方河道宽，右侧河道宽，河道均足够长.现过点修建一条栈道，开辟出直角三角形区域（图中）养殖观赏鱼，且.点在线段上，且.线段将养殖区域分为两部分，其中上方养殖金鱼，下方养殖锦鲤. (1)养殖区域面积最小时，求值，并求出最小面积； (2)若游客可以在栈道上投喂金鱼，在河岸与栈道上投喂锦鲤，且希望投喂锦鲤的道路长度不小于投喂金鱼的道路长度，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）求出养殖观赏鱼的面积，再由基本不等式求解； （2）由题意，则即可求解. 【详解】（1）过作，垂直于，，垂足分别为，， 则，，，， 养殖观赏鱼的面积， 由可得，则，当且仅当即时取等号，故时，最小. （2）由，可得， 则，，，由题意， 则， 则，结合，则. 15．（24-25高一下·浙江温州·期末）下表是地一天从时的  部分时刻与温度变化的关系的预报，现选用一个函数来近似描述温度与时刻的关系． 时刻/h 2 6 10 14 18 温度/℃ 20 10 20 30 20 (1)写出函数的解析式： (2)若另一个地区这一天的气温变化曲线也近似满足函数且气温变化也是从到，只不过最高气温都比地区早2个小时，求同一时刻，地与地的温差的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由表中数据发现温度跌宕起伏，且呈现一定规律（周期），由此联想到三角函数，由以及，即可求得，最后代入一个点即可得. （2）由题意可得，两函数作差，结合两角和的正弦以及辅助角公式即可得解. 【详解】（1）由题意不妨设， 可以发现周期，解得， 而，解得， 所以，即，不妨取， 所以函数的解析式为. （2）设地区的温度变化函数为， 令 ，其中，不妨设， 所以，等号成立当且仅当， 即， 所以只能取或满足地与地的温差的最大值为. 16．（24-25高一下·浙江宁波·期末）如图所示，镇海中学甬江校区学生生活区（如矩形所示），其中为生活区入口.已知有三条路，，，路上有一个观赏塘，其中，路上有一个风雨走廊的入口，其中.现要修建两条路，，修建，费用成本分别为，.设. (1)当，时，求张角的正切值； (2)当时，求当取多少时，修建，的总费用最少，并求出此的总费用. 【答案】(1)-3 (2)， 【分析】（1）设，求出，求出，根据三角函数诱导公式以及两角和的正切公式，即可求得答案； （2）当时，，从而求出的表达式，即可求得总费用的表达式，利用三角换元，结合函数的单调性，即可求解得答案. 【详解】（1）设为锐角，则; 设，则， 故 ； （2）当时，， 故， 设修建，的总费用为y，则， 设，则，则， 故， 由于在上单调递增，故，时取得等号， 故的最小值为， 此时，即， 故当时，修建，的总费用最少，最少为. 17．（24-25高一下·浙江宁波·期末）今年9月，象山将承办第19届杭州亚运会帆船与沙滩排球项目比赛，届时大量的游客来象打卡“北纬30度最美海岸线”.其中亚帆中心所在地——松兰山旅游度假区每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化.现假设该景区每年各个月份从事旅游服务工作的人数可近似地用函数来刻画.其中正整数表示月份且，例如时表示1月份，和是正整数，.统计发现，该景区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律： ①各年相同的月份从事旅游服务工作的人数基本相同； ②从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约160人； ③2月份从事旅游服务工作的人数约为40人，随后逐月递增直到8月份达到最多. (1)试根据已知信息，确定一个符合条件的的表达式； (2)一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数超过160人时，该地区就进入了一年中的旅游旺季，那么一年中的哪几个月是该地区的旅游旺季？请说明理由. 【答案】(1)， (2)第月是该地区的旅游旺季，理由见解析 【分析】（1）根据题意首先求出，再根据周期求出，最后根据求出，即可得到函数解析式； （2）令，结合余弦函数的性质计算可得，注意为正整数. 【详解】（1）因为和是正整数，由②可知，解得； 由③可得：，则，且，解得； 所以，又， 即，解得； 所以，. （2）令，则， 因为，则， 可得，解得， 且，则， 所以第月是该地区的旅游旺季. 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题07三角函数 ☆7大高频考点概览 考点01任意角和弧度制 考点02三角函数的概念 考点03诱导公式 考点04三角函数的图象与性质 考点05三角恒等变换 考点06函数f(x)=Asin(ox+p) 考点07三角函数的应用 目目 考点01 任意角和弧度制 一、 单选题 1.(24-25高一上·浙江丽水·期末)一个扇形的弧长与面积的数值都是刀，则这个扇形的中心角大小为() A.1 B.月 C.2 D.n 2(24-25高一上浙江嘉兴期末)-”是() A,第一象限角B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 3.(24-25高一上·浙江杭州期末)二十四节气是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民 族劳动人民智慧的结晶.从立春起的二十四节气依次是立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小 满、芒种、夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、 大寒.二十四节气的对应图如图所示，从2022年4月20日谷雨节气到2022年12月7日大雪节气圆上一 点转过的弧所对圆心角的弧度数为() 花夏小 商种至塞吾 西 春分 秋分 脖 的苦 六别 、茶餐尘会雪雪 A. 3π B.刀 4 c 4.(24-25高一上浙江温州期末)一个周长是4，面积为1的扇形的半径为() 1/24 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.1 B.2 C. D.2 二、填空题 5.(2425高一上浙江杭州期末)已知扇形弧长为行，圆心角为元，则该扇形面积为 6 6.(2425商一上渐江金华期未)已知扇形的半径为10，圆心角为：弧度，则该扇形的面积为。 7.(24-25高一上浙江衢州期末)玉璜，是一种佩戴饰物在中国古代，玉璜与玉琮、玉璧、玉圭、玉璋、 玉琥等总称为“六瑞”，被《周礼》 一书称为是“六器礼天地四方”的玉礼器，多作为宗教礼仪挂饰现有一弧形玉璜呈扇环形，己知AD=4,弧 AB长为2π，弧CD长为刀，此玉璜的面积为 8.(24-25高一上浙江宁波期末)己知扇形的周长为8，圆心角为6rad,则扇形的面积为 9.(24-25高一上·浙江杭州期末)折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇 面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形AOB,其中∠A0B=150°，OA=20C=6,则扇面（曲 边四边形ABDC)的面积是 图1 图2 10。(2425高一上浙江嘉兴期末)一个扇形的弧长和面积都是行，则这个扇形钓半径为 11.(24-25高一上·浙江宁波·期末)杭州第19届亚洲运动会于2023年9月23日至10月8日在中国浙江 省杭州市举行，本届亚运会的会微名为“潮涌”，主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及 象征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成如图1所示，其中扇面造型突出反映了江南的人文意蕴.会微的几 何图形如图2所示，设弧AD的长度是I,弧BC的长度是Z,几何图形ABCD的面积为S,扇形BOC的面 积为$若令=3，则 2/24 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 19th Asian Games Hangzhou 2022 图1 图2 12.(24-25高一上·浙江温州·期末)已知半径为1的扇形，其圆心角为60°，则扇形的面积为 13.（24-25高一上浙江台州期末)120°角是第 象限角 目目 考点02 三角函数的概念 一、单选题 1.(24-25高一下浙江杭州期末)已知圆O是单位圆，点P在AB上，过点A1,0),B(0,)的切线与OP 于点T,S.设∠AOP=x,定义：cotx= 1,则() tan x VA B A.cotx=OT B.cotx=PS C.cotx=0S D.cotx=BS 2.(2425高一上浙江期末)c0sa=行ae0,),则ana=（） 4 A B. 4 c号 D.3 4 3.(24-25高一上浙江杭州期末)已知sina+cosa=√2，则sina-cosa=() A.√2 B.1 C.0 D.- 2 4.(24-25高一上·浙江杭州期末)已知0eR,则sin0>0”是“角0为第一或第二象限角”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 5.(24-25高一上浙江期末)已知ama-3,则osa-2sin0的值() 3sina cosa 3/24 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A月 B.月 C.-2 D.2 6.(24-25高一上浙江期末)若sim6+cos0= (0<0<元，则tan0+2sin0cos6的值为() 5 A君 B.18 5 D号 7.（24-25高一上·浙江衢州期末)我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，它 是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形如图所示，记直角三角形较小的锐角为，大 方形的面积为S,小正方形的面积为S,若。中25，则S加a+cos的值为 2sina-cosa Q 5 A·2 B.19 c D. 二、多选题 2sin 2 +acos(π-a)sin(-a) 8.(24-25高一上·浙江杭州期末)已知f(a)=- 一，则下列说法正确的是() sin 3π +0 2 A.f(a)=-2sina cosa B.f(a)=2sina cosa c.若aaa=3,则fa)-号 D.若sna-cosa=5,则e)月 2 9.(24-25高一下·浙江湖州期末)给出下列四个选项中，其中正确的选项有() A.若角a的终边过点P-3,且0sa=号，则=4 B.设角a为锐角（单位为弧度），则a>sind C.命题“3xeR,使得x2+x-1<0”的否定是：“Hx∈R,均有x2+x-1>0” D.若x,yeR,则x>y>0是 < 二”的充分不必要条件 x y 10.(2425高一下浙江衢州期末)若sin xc0sx>0,sinx+cosx>0,则)可以是() A.第一象限角B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 4/24 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 三、填空题 1.(2425高一上浙江杭州期末)已知点Pcos2无，)是角a的终边上一点，则cosu=一 12.(24-25高一下·浙江金华期末)已知角O的终边经过点P(1,1),则sin0·cos0= 1B.2425育-下新江台州期未)已知e(5,),若有在实数，y月时辆足0s9sn日 4’2 sin20 cos20 5 x2 2(x2+y2), 则an的值为_一 四、解答题 14.（24-25高一上·浙江杭州期末)在平面直角坐标系xOy中，角的顶点与原点重合，始边与x轴非负 半轴重合， 43 点P\55 在角a的终边上 (I)求tana的值； (2②求na+2cosa的值 2sina -cosa 15.(24-25高一下·浙江杭州·期末)已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合. (1)若角a的终边所在的方程为y=-2x(x≤0)，求√5cosa-2tana的值； ,求tana的值； 1 (2)若角a∈(0，元)，sina+cosa= 目目 考点03 诱导公式 一、单选题 1. (24-25高一下·浙江·期末)若cos =() A. 3 C.-4 D. 4 5 3π2 2.(24-25高二上浙江杭州期末)若sin 8,且0<x<，则sim 5+x=() 8 A.⑤ 3 B.3 D.5 3 1 3.(24-25高一上浙江杭州期末)已知sin 且则sm+小) 6 A.3 B.22 D.-22 3 3 5/24 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.(2425高一上浙江杭州期末)已知an(π-)=3”X为第二象限角，则cosx=（） A.0 B.=V10 c.3v10 D.-3V10 10 10 10 10 5. (24-25高一上·浙江嘉兴·期末)已知cosa= 5 ,则() A.cos(π+a)=5 5 B.sin(-a)=25 5 C.cos 3π，）25 2 +0= 5 6.(24-25高一上浙江宁波期末)设A,B,C分别是ABC的三个内角，则() A+B A.cos(4+B)=cosC B.cos 、2 =cos C.sin(A+B)=sin C D.sin (A+B C =sin (2 2 7.(24-25高一下浙江宁波期末)已知函数y=∫(x)是定义在R上的偶函数，对任意x,x,∈[0，+0，且 x≠，都有)-f>0成立，若a=f1o31og),b= X1-x2 (mc=5则（氵 A.a<b<c B.b<a<c C.c<a<b D.a<c<b 二、多选题 8.(24-25高一上浙江杭州期末)下列命题正确的是() A.不存在函数∫(x)、gx)满足定义域相同，对应关系相同，但值域不同 B.命题“3xe0,+0）,lnx=x-1”的否定是“x生(0，+0)，lnx=x-1 C.已知a,B是第一象限角，则a>B”是“sino>sinβ”的充要条件 C D,4BC三个内角A,B,C满足cos十=si加) 2 9.(24-25高一上浙江温州期末)已知sina=-2,则（） A.sin(元+a)=2 B.sin(x-) 6/24 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 三、解答题 10.(24-25高一上·浙江衢州期末)在平面直角坐标系xOy中，角是第二象限角，且终边与单位圆交于 4 点Pm,5 (I)求实数m及tana的值： 3 cos(-a)+cos πa (2)求 的值 sinπ-o)+sin 2 + 11.(24-25高一上浙江宁波期末)单位圆O与x轴正半轴的交点为A,点B,C在圆O上，且点B在第 一象限，点C在第二象限。 (I)如图，当BC的长为时，求线段BC与BC所围成的写形（阴影部分）面积： 4 (2)记∠A0C=a, 当B01C0,点B的横坐标为亏时，求sina+cosa的值. 12.（24-25高一下浙江杭州·期末)计算： 0ug2+lg5-g+-3 (2)sin+co2 tan2024元-cos13 13.（2425高一下-浙江丽水期未)已知ama=行，且a是第一象限角 4 (求na-cose的值： sina +cosa 2求2sina·cos(π-a)-cos+a)的值 14.(24-25高一下·浙江衢州期末)已知角α的顶点与坐标原点0重合，始边与x轴的非负半轴重合，终 边过点Px,y).(点P不与原点O重合) (I)若y=3x,求sina的值； 7/24 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 +引求的取 X 15.(24-25高一下浙江杭州·期末)求解下列问题： ()求值：27+V-42+l1og,(4.2）: sin(π-a)+cosπ+a (2)已知tana=3,求 的值。 cos2π-a)-sin(-a) 目目 考点04 三角函数的图象与性质 一、单选题 1. 24-25高-下浙江丽水期末已知函数心)=sin(ox+马O>0,若方程d号在0，上恰有 两个不同的实根，则ω的取值范围为() n. a.(2 D.2 0.1'+2m,x<0 2.(24-25高一下·浙江温州期末)已知函数f(x)= 的值域是[-5，+o),则m的值为() m2sinx-1,x≥0 A.2 B.-2 C.-7 D.±2 3.(24-25高一下·浙江绍兴期末)对于函数f(x)=sin2x和g(x)=cosx有相同的() A.单调区间 B.最小正周期 C.对称中心 D.最小正零点 4.24,25高一上浙江温州期末)已知=mor+引o>0,f[)-0,则a的最小值为（) A, B. c. D.2 7 2 2 孤绍兴期末若关于x的不等式n-1)sin'x一msin 上恒成立，则 m的取值范围是() A.(1,+0) B.（2,+0 C.(2,4] D.[3,4 二、多选题 [sinx,sinx≤cosx 6.(24-25高一上浙江杭州期末)函数f(x)= ,下列四个选项正确的是（) cosx,sinx>cosx 8/24 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.f(x)是以刀为周期的函数 B.fx)的图象关于直线x=9”对称 4 2kx+，2k+元 √2 C.f(x)在区间 keZ上单调递减D.f(x)的值域为 4 2 三、填空题 7.(24-25高一上浙江杭州期末)若函数f(x)=sin x+牙}oeR在区间x上单调递减， 则o的取 值范围是一 [sinx,x≤0 8.(24-25高一上浙江衢州期未)已知函数()=-2x+2a+5,x>0在(a,+0)上有4个不同零点，则 实数a的取值范围是一 9.(24-25高一上浙江杭州期末)已知si(x+)=x+1-1,则的最小值为 10.（2425商一上浙江杭州期末)若函数国=血(@r+0eRl<满足10-9且右区间 (?,上单调递减。则0的取值范围是—一 11.(24-25高一上浙江丽水期末)已知函数fy=e-e+sin区x+1,若对任意x∈-2,2]，都有 fx-a+f(x2-x>2,则实数a的取值范围是 四、解答题 12.(24-25高一上浙江杭州期末)已知函数f(x)=si 2x+到 (1)求f(x)图象的对称轴方程； (2)求f(x)在区间[0,2π上的单调递增区间. 13.(2425高一上浙江杭州期术)已知函数)=V5c0s2x-引xeR (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间； 元元 (2)求函数f(x)在区间- 8'2 上的最小值和最大值 14.(2425高-上浙江衢州期未)已红函数（到=asm2x-}6a>0,6eR)在区间0上的值城为 [0,3. 9/24 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求函数f(x的解析式： (2)若对任意x∈0， 存在x2∈ 6 2m使得f(之f,求实数m的取值范围 15.(24-25高一上·浙江杭州期末)设a为常数，函数∫x)=2cos2x-asin x-1. (1)当a=1时，求f(x)的值域： (2)讨论f(x)在区间(0，π上的零点的个数； (3)设n为正整数，f(x)在区间(0，nπ)上恰有2025个零点，求所有可能的正整数n的值 考点05 三角恒等变换 、 单选题 1, (24-25高一下浙江温州期未)计算：c0s5孤=( 12 A.3+1 B.5-1 C. 6+V2 D.6-2 2 2 4 4 2.(24-25高一下·浙江温州·期末)化简：cos(a+β)sina-sin(a+)cosa=( ) A.sin B B.-sin B C.cosβ D.-cos B 3.(24-25高一下浙江期末)已知角a,B满足ana=2tanB,sin(a-B)=3,则sin(a+B)的值等于() A.1 B.-1 C.0 D.1 4(2425高-下渐缸金华期未)已知sma号则sme+引（) 9 5 D,0 5. (24-25高一下浙江舟山期末)已知函数f(x)=2sin0x-c0s0r+2 2sin'ox(o>0)在[牙，3江 4'8 上单调递减， 则⊙的取值范围是() A.(0,4 B [ c[ 6.(24-25高一下·浙江金华期末)已知函数fx)=c0s2x-c0sx,则f(x)在区间0,2π上的所有零点之和 为() A.刀 B.2π C.3π D.4n 7.（2425高-下浙江期末)若img-cos1a+2】-2sina+B),则() cosB sinB 10/24