5.1.3基本计数原理的简单应用（教学课件）数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦分类加法与分步乘法计数原理的简单应用，课堂导入先系统复习两个原理，再通过“问题链”引导学生分析典例（如1 - 200中被5整除的数、线路选择问题），搭建从原理理解到实际应用的学习支架，帮助学生衔接旧知与新知。 其亮点在于以真实情境问题（如程序模块命名、志愿者分组售卖）驱动教学，引导学生用数学眼光观察现实世界中的数量关系，通过“明确事件—分类/分步分析—规范计算”的流程培养数学思维中的推理意识与逻辑分析能力。练习涵盖基础、综合、创新题，小结强调“分类不重漏、分步需完整”的方法，助力学生提升问题解决能力，也为教师提供系统教学流程与多样化例题资源。

1.3基本计数原理的简单应用 第5章 计数原理 北师大版选择性必修第一册·高二 完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，……在第类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？ 共有 N = m1+m2+ ... +mn 种不同方法 完成一件事需要n个步骤，做第1步有种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法，……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？ 共有 N = m1×m2× ... ×mn 种不同方法 复习回顾 典例分析 例1.在1，2，3，…，200中，能够被5整除的数共有多少个？ 思考 ①能够被5整除的数的特征是什么？ 末位数字是0或5 确定自然数1~200中末位是0或5的数的个数 分末位是0和末位是5两类进行计数 ②该问题中需要完成的“一件事”是什么？ ③如何完成“这件事”？ 例1.在1，2，3，…，200中，能够被5整除的数共有多少个？ 典例分析 解：能够被5整除的数，末位数字是0或5，因此，我们把1，2，3.…，200中能够被5整除的数分成2类来计数： 第1类，末位数字是0的数，共有20个； 第2类，末位数字是5的数，共有20个. 根据分类加法计数原理，在1，2，3.…，200中，能够被5整除的数共有个． 合作探究 例2.如图，从村到村的道路有3条，从村到村的道路有2条，从村到村的道路有3条．李明要从村先到村，再经过村，最后到村，共有多少条线路可以选择？ 两个原理在解决问题时的有何不同？ 从村经过村到达村 2+2+2=2×3=6 从村到达村 6+6+6=6×3=18 第一步，从A村到达B村， 第二步，从B村到达C村， 第三步，从C村到达D村， 有3条路可选择； 有2条路可选择； 有3条路可选择． 两个计数原理本质一致 乘法原理是加法原理的简化 应用两种原理解题时要注意： （1）分清要完成的事情是什么？ （2）分清完成该事情是分类完成还是分步完成？ “类”间互相独立，“步”间互相联系； （3）有无特殊条件的限制； （4）检验是否有重漏. 以上例题，再次从分类加法计数原理的角度理解分步乘法计数原理。分步乘法计数原理的本质实际上是分类加法计数，事实上，可以把第一步的种不同的方法看成有类，只不过每一类的方法数是相同的，因此可以运用乘法表示加法。下面的例题就是对分类加法计数原理和分步乘法计数原理的直接应用。 例3.有一项活动，需在3名教师、8名男学生和5名女学生中选人参加. （1）若只需1名参加，共有多少种选法？ （2）若需教师、男学生、女学生各1名参加，共有多少种选法？ 解（1）只要选出1名就可以完成这件事，而选出的1名有3种不同类型，即教师、男学生或女学生，因此要分3类相加： 第1类，选出的是教师，有3种选法； 第2类，选出的是男学生，有8种选法； 第3类，选出的是女学生，有5种选法； 根据分类加法计数原理，共有种选法. 例3.有一项活动，需在3名教师、8名男学生和5名女学生中选人参加. （1）若只需1名参加，共有多少种选法？ （2）若需教师、男学生、女学生各1名参加，共有多少种选法？ （2）完成这件事，需要分别选出1名教师、1名男学生和1名女学生，可以先选教师，再选男学生，最后选女学生，因此要分3步相乘： 第1步，选1名教师，有3种选法； 第2步，选1名男学生，有8种选法； 第3步，选1名女学生，有5种选法. 根据分步乘法计数原理，共有种选法. 分类计数原理加法与分步乘法计数原理的异同： 相同点 回答的都是有关做一件事的不同方法总数的问题 不同点 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用任何一种方法都可以做完这件事； 针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事． 课堂练习 方法一：被5除余2的正整数的个位是2或7. 当满足条件的数是一位数时，满足条件的个数有2个； 当满足条件的数是两位数时，满足条件的个数有9×2＝18个； 当满足条件的数是三位数时，满足条件的个数有4×10×2＝80个. 所以满足条件的数共有100个. 方法二：被5除余2的数可以表示为为整数). 由解得 满足条件的值有100个， 所以满足条件的数共有100个. 练习1.在1，2，……500中，被5除余2的数共有多少个? 练习2.有10本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的英语书，从中取出数学书、语文书、英语书各1本，共有多少种取法？ 解：第一步，取出1本数学书，共有10种取法， 第二步，取出1本语文书，共有9种取法， 第三步，取出1本英语书，共有8种取法， 根据分步乘法计数原理，共有种取法． 练习3.某外语组有9人,每人至少会英语和日语中的一门,其中7人会英语,3人会日语,从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教,有多少种不同的选法? 解：由题意知，有1人既会英语又会日语，记为甲，6人只会英语，2人只会日语. 根据会英语的人中是否含甲，分两类. 第一类：不含甲，从只会英语的6人中选1人有6种选法，从会日语的3人中选1人有3种选法. 此时共有6×3=18(种)选法. 第二类：含甲，从只会日语的2人中选1人有2种选法,此时有1×2=2(种)选法. 所以由分类加法计数原理知，共有18+2=20(种)选法. (乘法原理) 解（方法二）：设既会英语又会日语的人为甲，则甲有入选和不入选两类情形，入选后又分两种情况：(1)教英语，(2)教日语. 第二类：甲不入选. 可分两步：第一步，从只会英语的6人中选1人有6种选法； 第二步，从只会日语的2人中选1人有2种选法.由分步乘法计数原理，有62=12(种)不同的选法. 综上，共有812=20(种)不同的选法. 第一类：甲入选. (1)甲教英语再从只会日语的2人中选1人，由分步乘法计数原理，有12=2(种)选法； (2)甲教日语再从只会英语的6人中选1人，由分步乘法计数原理，有16=6(种)选法. 故甲入选的不同选法共有26=8(种). 问题分析 具体问题 要做一件什么事情 给一个程序模块命名 怎么去做这件事情 先选字母做首字符，再选一个数字做中字符，最后选一个数字做尾字符 每步能否独立完成 不能，表达“或”和“且”的关系 判断问题类型 分类问题和分步问题综合 选择什么计数原理计数 分类加法原理和分步乘法原理综合运用 练习4.给程序模块命名，需要用3个字符,其中首字符要求用字母A~G或U~Z，后两个字符要求用数字1~9，最多可以给多少个程序模块命名？ 第一步，选首字符不同选法的种数为26-13=13. 第二步，选中间字符不同选法的种数为9. 由分步乘法计数原理，不同名称的个数是13×9×9=1053. 第三步，选尾字符不同选法的种数为9. 解：由于首字符要求用字母A~G或U~Z，在26个字母中不满足要求字母为H~T，字母或H~T中共有13个字符，则满足要求的字符有26-13=13个，根据题意，可分三个步骤完成； 思考：你还能给出不同的解法吗？ 练习4.给程序模块命名，需要用3个字符,其中首字符要求用字母A~G或U~Z，后两个字符要求用数字1~9，最多可以给多少个程序模块命名？ 方法二：由于首字符要求用字母A~G或U~Z，则可以按照首字符从字母A~G中选和从字母U~Z中选，先分成两类；根据题意，每类中可分三个步骤完成； 第一类，选首字符从字母A~G中选，有7种选法；后两个字符从1~9中选，因为数字可以重复，所以不同选法的种数都为9.共有7×9×9=567种选法. 第二类，选首字符从字母U~Z选，有6种选法；后两个字符从1~9中选，因为数字可以重复，所以不同选法的种数都为9.共有6×9×9=486种选法. 由分类加法计数原理，不同名称的个数是576+486=1053. 练习4.给程序模块命名，需要用3个字符,其中首字符要求用字母A~G或U~Z，后两个字符要求用数字1~9，最多可以给多少个程序模块命名？ 练习5.某校文创社团近期设计了两款明信片文创作品“油池春军”和“府学春雨”，借此 展示该校文化底蕴和春天美景，一经推出，广受欢迎．为了支持慈善事业，校志愿者社团 派出李明和张伟等5人帮助文创社团公益售卖两款明信片，5人分为两组，每组售卖同一款 明信片．若李明和张伟必须售卖同一款明信片，且每款明信片至少由2名志愿者售卖，则不 同的售卖方案的种数为( ) [解析] ①将5人分为3，2的两组，要求李明和张伟在同一组，若李明和张伟两人一组，则有 1种分组方法，若李明和张伟和其他1人组成1组，则有3种分组方法，则共有 （种） ②将分好的2组安排售卖两款明信片，有 （种）不同的售卖方案.故选. 练习6（多选题）.下列说法正确的是( ) A.由数字1，2，3，4能够组成24个没有重复数字的三位数 B.由数字1，2，3，4能够组成16个没有重复数字的三位偶数 C.由数字1，2，3，4能够组成64个三位密码 D.由数字1，2，3，4能够组成28个比320大的三位数 [解析] 由1，2，3，4能够组成没有重复数字的三位数的个数为 ，故正确； 若三位数是偶数，则个位可以是2或4，则共有 （个）没有重复数字的三位偶 数，故错误； 由数字1，2，3，4能够组成三位密码的个数为 ，故正确； 若百位是4，则有（个）比320大的三位数，若百位是3，则有 （个）; 比320大的三位数，则比320大的三位数有（个），故D正确.故选 . 这节课学习了哪些知识？ 分类加法计数原理 分步乘法计数原理的简单应用 课堂小结 计算前 仔细分析 (1)明确要完成的“一件事”是什么； (2)明确需要分类还是分步． 计算中 分类要做到“不重不漏”——分类后再分别对每一类进行计数（可能需要分步），最后用分类加法计数原理求和，得到总数． 分步要做到“步骤完整”——完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立.分步后再计算每一步的方法数（可能需要分类），最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数． 感谢聆听! $