第七单元：数学广角——植树问题（复习课件）数学人教版五年级上册

该小学数学五年级上册人教版第七单元“数学广角——植树问题”复习课件，以不封闭路线（含两端都栽、两端都不栽、一端栽一端不栽）和封闭路线的植树问题为核心，通过单元知识框架图系统分类，各知识点均涵盖数量关系、逆向推导公式及场景特征，构建“概念-公式-应用”的逻辑脉络，帮助学生建立完整知识网络。 其亮点在于聚焦核心素养培养，采用“知识点梳理-重难点题型精讲-变式巩固练习”三阶复习模式。如结合河道栽树、楼梯台阶等生活场景引导学生用数学眼光观察问题，分层设计基础与拓展练习（如变式练习中从单一路线到两旁栽树）培养数学思维，实际应用拓展（锯木头、敲钟问题）强化模型意识与应用意识。既助力学生巩固知识，又为教师提供系统教学资源，提升复习针对性与效率。

单元复习课件 小学数学·五年级上册·人教版 第七单元： 数学广角——植树问题 单元知识框架 01 知识点梳理 02 重难点题型精讲 03 变式巩固练习 04 单元知识框架 植树问题 不封闭路线上的植树问题 两端都栽的植树问题 两端都不栽的植树问题 一端栽树，另一端不栽树的植树问题 封闭路线上的植树问题 单元知识框架 知识点1： 两端都栽的植树问题 1 两端都栽的植树问题 1、数量关系： 棵数=间隔数+ 1（因为两端都栽时，棵数比间隔数多1）； 2、逆向推导： 间隔数=棵数- 1； 总长度=（棵数- 1）×间距； 间距=总长度÷（棵数- 1）。 知识点梳理 【名师点拨】 （1）场景判断：题目需明确“两端都栽”（如“道路两端各栽一棵”“从头到尾栽”）。 （2）总长度的定义：总长度是“从第一棵树到最后一棵树的距离”，不包含两端延伸部分。 知识点梳理 【典型例题1】在一条笔直河道的两旁共栽杨树50棵，每边栽的杨树一样多，如果每相邻两棵杨树之间栽2棵垂柳，一共要栽多少棵垂柳？ 【分析】先求出河道一边栽杨树的数量，由于首尾都栽树，所以相邻杨树之间的间隔数等于树的数量减1，每相邻两棵杨树之间栽2棵垂柳，两边都有栽，所以栽垂柳的数量等于间隔数乘2再乘2。 重难点题型精讲 【典型例题1】在一条笔直河道的两旁共栽杨树50棵，每边栽的杨树一样多，如果每相邻两棵杨树之间栽2棵垂柳，一共要栽多少棵垂柳？ 【详解】50÷2－1 ＝25－1 ＝24（个） 24×2×2＝96（棵） 答：一共要栽96棵垂柳。 重难点题型精讲 【典型例题2】一幢楼房共有216级台阶，从一楼到三楼共有36级台阶，这幢楼房的最高楼是（ ）楼。 A．12 B．18 C．13 从一楼到三楼有2层台阶，一楼到三楼的台阶级数除以2，可以算出平均每层有台阶（36÷2）级。这幢楼房的台阶级数除以平均每层台阶级数，可以算出有多少层台阶，再加上1，即可算出这幢楼房的最高楼是是几楼。 重难点题型精讲 【典型例题2】一幢楼房共有216级台阶，从一楼到三楼共有36级台阶，这幢楼房的最高楼是（ ）楼。 A．12 B．18 C．13 216÷（36÷2）＋1 ＝216÷18＋1 ＝12＋1 ＝13（楼） C 重难点题型精讲 【练习1】河堤一边栽了25棵柳树，如果每2棵柳树中间栽一棵桂花树，一共要栽（ ）棵桂花树。 24 每两棵柳树之间有一棵桂花树，也就是在25棵树之间找出有几个间隔，根据间隔＝树的棵树－1。 25－1＝24（棵） 则一共要栽24棵桂花树。 变式巩固练习 【练习2】工人叔叔沿着一条街道的两边安装路灯，每隔50米安一盏（两端都要安装），共安装了80盏，这条街道长（ ）米。 1950 两端都栽的植树问题，棵树＝间隔数＋1；沿着一条街道的两边安装路灯，每隔50米安一盏，一共安装了80盏，则一边安装80÷2＝40（盏），两端都安装，那么间隔数就是40一1＝39（个），间隔距离是50米，所以这条街道长39×50＝1950（米。 变式巩固练习 知识点2： 两端都不栽的植树问题 2 两端都不栽的植树问题 1、数量关系： 棵数=间隔数- 1（因为两端不栽时，棵数比间隔数少1）； （2）逆向推导： 间隔数=棵数+1； 总长 =（棵数+1）×间距； 间距=总长度÷（棵数+1）。 【名师点拨】场景特征：题目通常含“两端有障碍”（如“两栋楼之间”“围墙内侧”“不栽到头”）。 知识点梳理 【典型例题1】在相距600m的两栋楼之间安装电线杆，每隔50m安装1根，一共需要安装多少根电线杆？ 【分析】因为电线杆是安装在两栋楼之间，所以两端不需要安装电线杆。我们先通过总距离除间隔距离，算出间隔的数量。但要注意，电线杆的数量比间隔数少1，因为两端不需要安装，所以只需要用间隔数减去1，就能得到电线杆的实际数量。 重难点题型精讲 【典型例题1】在相距600m的两栋楼之间安装电线杆，每隔50m安装1根，一共需要安装多少根电线杆？ 【详解】600÷50－1 ＝12－1 ＝11（根） 答：一共需要安装11根电线杆。 重难点题型精讲 【典型例题2】一根木料长24米，把它锯成3米长的几段，每锯一段用4分钟。锯完这根木料共用了多少分钟？ 【分析】由题意可知，一根木料长24米，把它锯成一段为3米长木棒，则共可以锯成24÷3＝8段，根据锯的次数＝段数－1，据此求出需要锯的次数，再用锯一段的时间乘锯的次数即可求解。 重难点题型精讲 【典型例题2】一根木料长24米，把它锯成3米长的几段，每锯一段用4分钟。锯完这根木料共用了多少分钟？ 【详解】（24÷3－1）×4 ＝（8－1）×4 ＝7×4 ＝28（分钟） 答：锯完这根木料共用了28分钟。 重难点题型精讲 【练习1】王奶奶从1楼走回家（4楼）用了3.9分钟，按照这样的速度，王奶奶从家出来去7楼的李奶奶家串门，需要用（ ）分钟。 3.9 从一楼走到三楼用了3.9分钟是指走了4－1＝3个楼层用了3.9分钟，她从4楼走到7楼知道是走了7－4＝3个楼层间隔，所以王奶奶从家出来去7楼的李奶奶家串门，也需要用3.9分钟。 变式巩固练习 【练习2】同学们布置会场，先挂了8个红灯笼，挂成一排，再在每2个红灯笼中间挂2个黄灯笼，一共要挂（ ）个黄灯笼。 A．14 B．12 C．16 D．15 A 8个红灯笼之间有（8－1）个间隔，每个间隔挂2个黄灯笼，求一共要挂多少个黄灯笼，用每个间隔挂的黄灯笼个数乘间隔数即可解答。 （8－1）×2 ＝7×2 ＝14（个） 变式巩固练习 知识点3： 一端栽、一端不栽的植树问题 3 一端栽、一端不栽的植树问题 1、数量关系： 棵数=间隔数（因为一端栽、一端不栽时，棵数与间隔数完全对应）； （2）逆向推导： 总长度=棵数×间距； 间距=总长度÷棵数； 棵数=总长度÷间距。 【名师点拨】场景关键词：题目含“一端栽、一端不栽”“一端靠围墙”“一端留白”等表述，可直接判断为该类型。 知识点梳理 【典型例题1】一辆公交车从起点到终点一共要行24km，如果每隔3km停靠一次（起点不算），那么到终点一共要停靠（ ）次。 A．7 B．8 C．9 D．10 此题相当于植树问题中的一端栽，一端不栽，起点相当于不栽的一端，停靠的次数相当于植树棵数，根据一端栽，一端不栽，“棵数＝间隔数”，据此用起点到终点的距离除以间距即可解答。 24÷3＝8（次）， 那么到终点一共要停靠8次。 B 重难点题型精讲 【典型例题2】有一幢10层的大楼，由于停电电梯停开。某人从1层走到3层需要30秒，照这样计算，他从3层走到10层需要多少秒？ 【分析】“从第1层走到第3层”，实际上是爬了2层楼梯，共需要30秒，所以爬一层楼梯需要（30÷2）秒，从3层走到10层又需要爬7层楼梯，用每上一层楼梯的时间乘楼梯层数即可。 重难点题型精讲 【典型例题2】有一幢10层的大楼，由于停电电梯停开。某人从1层走到3层需要30秒，照这样计算，他从3层走到10层需要多少秒？ 【详解】30÷（3－1） ＝30÷2 ＝15（秒） 10－3＝7（层） 15×7＝105（秒） 答：他从3层走到10层需要105秒。 重难点题型精讲 【练习1】一辆客车从起点到终点一共要行36千米，如果每隔3千米停靠一次（起点不算），那么到终点一共停靠（ ）次。 12 因为起点不算，本题属于“只栽一端”的植树问题。停靠的次数＝段数，即36千米里面有几个3千米，就停靠几次。 36÷3＝12（次），那么到终点一共停靠12次。 变式巩固练习 【练习2】一条路长1000米，在路的一旁安装路灯，每隔20米安装一盏（一端安另一端不安），一共需要准备多少盏路灯？ 【分析】根据植树问题的解题方法，一端植一端不植，棵数＝段数，路的长度÷间距＝路灯数量，据此列式解答。 【详解】1000÷20＝50（盏） 答：一共需要准备50盏路灯。 变式巩固练习 知识点4： 封闭路线的植树问题 4 封闭路线的植树问题 1、定义：指在圆形、正方形、长方形、环形等“无端点、首尾相连”的路线上植树（或摆放物体），本质与“一端栽、一端不栽”一致（因为首尾相连，相当于“栽”的端点与“不栽”的端点重合）。 2、数量关系： 棵数=间隔数（与一端栽、一端不栽完全相同）； 知识点梳理 3、逆向推导： 总长度（周长）=棵数×间距； 间距=总长度（周长）÷棵数； 棵数=总长度（周长）÷间距。 4、常见封闭路线的周长计算： 圆形周长：C=πd（d为直径）或 C = 2πr（r为半径）； 正方形周长：C= 4×边长； 长方形周长：C= 2×(长+宽)。 知识点梳理 【名师点拨】 （1）区分封闭与直线型：封闭路线无端点，不能用“两端都栽”的公式。 （2）场景拓展：除植树外，插彩旗、摆花盆、围圆形场地等封闭路线的“间隔问题”，均适用该规律。 （3）封闭路线的关键是“首尾相连”，无论形状如何（三角形、多边形），只要无端点，就遵循“棵数=间隔数”。 知识点梳理 【典型例题1】一块圆形草坪的周长是36m，每隔3m摆1盆花，一共需要摆（ ）盆花。 A．10 B．11 C．12 D．13 此题可以看作在封闭图形中植树，树的棵数＝间隔数。 36÷3＝12（盆） 则一共需要摆12盆花。 C 变式巩固练习 【典型例题2】同学们在操场上围成一个正方形玩游戏，每边有28个同学（四个顶点处各有一个同学）。一共有（ ）个同学在玩游戏。 根据题意，正方形的每边上有28个同学，根据每边的人数×边数－顶点数＝总人数，即可求出在玩游戏的总人数。 28×4-4 ＝114-4 ＝108（个） 108 变式巩固练习 【练习1】一个湖的周长1600米，沿湖周围每隔8米安装一盛灯，一共要安装（ ）盏灯。 200 根据封闭图形里植树，棵数＝段数，湖的周长÷间距＝灯的总盏数。 1600÷8＝200（盏） 一共要安装200盏灯。 变式巩固练习 【练习2】中央公园有一块边长为30米的正方形草坪，现要在草坪四周种树，四个角都要种，每相邻两棵树间隔5米，一共要种（ ）棵树。 A．22 B．23 C．24 D．25 C 根据封闭图形植树问题可知“间隔数＝棵数”，先求出正方形草坪的周长，然后用周长除以相邻两棵树的间隔距离，就能得到种树的数量。 30×4＝120（米） 120÷5＝24（棵） 变式巩固练习 1、锯木头问题：锯的次数=段数- 1（本质是“两端都不栽”，锯的次数对应“棵数”，段数对应 “间隔数”）； 2、爬楼梯问题：爬的层数=楼层数- 1（对应“两端都栽”，楼层数对应“棵数”，层数对应“间隔数”）； 3、插彩旗、摆花盆：与植树规律完全一致（彩旗/花盆数=棵数，间距不变）； 4、敲钟问题：间隔数=敲钟次数- 1（对应“两端都栽”）。 5 植树问题的实际应用拓展 知识点梳理 【名师点拨】 （1）锯木头问题的关键：锯的次数≠段数，如将木头锯成5段，需锯4次，不能用段数当作次数。 （2）爬楼梯的楼层计算：从第m楼到第n楼（n＞m），爬的层数=n - m，不是n。 （3）敲钟问题的间隔时间：间隔时间×（敲钟次数- 1）= 总时间。 知识点梳理 启发思维 快乐学习 $