专题07 新定义（期末真题汇编，北京专用）九年级数学上学期北京版

专题07 新定义 1大高频考点概览 考点01 新定义 地 城 考点01 新定义 一、解答题 1．(24-25九上·北京顺义区·期末)在平面直角坐标系中，对于点和点给出如下定义：将点先关于直线翻折，再向上（时）或向下（时）平移个单位，得到的点叫做关于点的“关联点” (1)①点，，点关于点A的“关联点”的坐标是______； ②若点关于点的“关联点”的坐标是，则点的坐标是______； (2)直线分别与轴，轴相交于点，，是线段上的点． ①点，若直线上存在着点关于点的“关联点”，直接写出的取值范围； ②点是以为圆心，1为半径的圆上的点，点关于点的所有“关联点”组成图形．若图形与坐标轴有公共点，直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)①；②或 【分析】本题主要考查了坐标与图形-轴对称和平移变换、一次函数的性质、解一元一次不等式，理解题中新定义，正确求出变换后的点的坐标是解答的关键． （1）①根据题中定义，先确定翻折后的横坐标，再确定平移后的纵坐标即可； ②根据定义求解即可； （2）①先求出点，，设点，根据题中定义得到点关于点的“关联点”的坐标为，由点在直线上得到，利用一次函数性质求解即可； ②设点，点为圆上任意一点，则，，，，，根据题中定义得到点关于点的“关联点”的坐标为，分图形G与x轴有公共点和图形G与轴有公共点，则两种情况求解即可． 【详解】（1）解：①∵点，，点关于点A的“关联点”， ∴点关于直线翻折，横坐标变为，纵坐标不变，即， 再向上平移1个单位，横坐标不变，纵坐标变为， ∴点关于点A的“关联点”的坐标是； 故答案为: ； ②∵点关于直线翻折后的横坐标为4，纵坐标不变为，再向上平移1个单位长度后坐标为， 所以点C的坐标为； 故答案为：； （2）解：①对于，当时，，当时，由得， ∴直线与x轴交点，与y轴的交点为． 设点， ∵， ∴点P关于直线翻折后横坐标为，纵坐标为，再向上或向下平移个单位后，得到点关于点的“关联点”的坐标为， ∵点在直线上， ∴，即， ∵是线段上的点， ∴， ∴； ②设点，点为圆上任意一点， 则，，，， ∴， 点关于直线翻折后横坐标为，纵坐标为，再向上平移个单位，得到点关于点的“关联点”的坐标为，这些点组成图形． 若图形G与x轴有公共点，则有解，即， 因为，所以，解得， 又，所以； 若图形G与轴有公共点，则有解，，因为，所以，又，所以． 综上所述，或． 2．(24-25九上·北京房山区·期末)记二次函数和的图像分别为抛物线G和．给出如下定义：若抛物线的顶点在抛物线G上，则称是G的伴随抛物线． (1)若抛物线和抛物线都是抛物线的伴随抛物线，则 ， ； (2)设函数的图像为抛物线．若函数的图像为抛物线，且始终是的伴随抛物线， ①求p，q的值； ②若抛物线与x轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】题目主要考查二次函数的综合应用及新定义理解，熟练掌握二次函数的性质结合图像求解是解题关键． （1）根据题意确定点在的伴随抛物线上，代入求解即可； （2）①根据题意确定顶点坐标为：，然后代入解析式得出，即可求解； ②根据题意得出顶点坐标在图像上滑动，然后分情况分析即可得出结果． 【详解】（1）解：二次函数和都是抛物线的伴随抛物线， ∴点在的伴随抛物线上， 代入得：， 解得：， 故答案为：； （2）解：①， ∴顶点坐标为：， ∵函数的图像为抛物线，且始终是的伴随抛物线， ， 整理得：， ． ②∵与轴有两个不同的交点， 由①得：函数的图像为抛物线，且始终是的伴随抛物线， ∴顶点坐标在图像上滑动，顶点为， 当时， 解得：， 抛物线与x轴交两个点， ∵顶点坐标为：， 故当时，的顶点在轴上方，则与轴没有交点， 当时，抛物线与轴有两个交点，， 当时，∵的顶点也在上， ∴． 综上所述，或． 3．(24-25九上·北京昌平区·期末)在平面直角坐标系中，的半径为，对于平面上的点和给出如下定义：若在上能找到一点，使得（为常数），且，则称点是关于点的关联点． (1)已知点． 点中，是关于点关联点的是______； 若点是关于点的关联点，则的取值范围是______； (2)点是直线上一点，点是关于点的关联点，若存在点在直线上，求点横坐标的取值范围． 【答案】(1)和；，； (2)或． 【分析】本题考查了坐标与图形，勾股定理，一元二次方程，圆的基本性质，正确理解题意，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据“关联点”的定义逐一判断即可； 由点是关于点的关联点，即，且，则关于点的关联点在以与为圆心，半径为的圆上，从而求出范围； （）先任取一点，作等腰与等腰，由定义可得点在以为圆心，半径为的上，或以为圆心，半径为的上，若存在点在直线上，则或，从而求出范围； 【详解】（1）解：∵，， ∴，，， 设上的点，则， ∵点是上的点，的半径为1， ∴， 根据新定义知：当时，则， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， 化简整理，得， ， ∴方程无解， ∴点不是关于点关联点； 根据新定义知：当时，则， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， 化简整理，得， 解得：，， ∴或， ∴点是关于点关联点； 同理点是关于点关联点； 故答案为：关于点关联点的是点、点点； ∵点是关于点的关联点，即，且， ∴将绕点顺时针旋转，并延长使得，同理将绕点逆时针旋转，并延长使得， 则关于点的关联点在以与为圆心，半径为的圆上， 如图， ∴或； （2）解：∵点是直线上一点， ∴先任取一点， ∵点是关于点的关联点， ∴，且， ∴作等腰与等腰， ∵点是关于点的关联点， ∴点在以为圆心，半径为的上，或以为圆心，半径为的上， 如图， 若存在点在直线上，则或， 解得或， 即或． 4．(24-25九上·北京门头沟区·期末)如图1，平面中的线段和直线外一点P，对于P，A，B三点确定的圆，如果所对的弧为优弧，我们就称点P为线段的“优关联点”． (1)如图2，已知点，． ① 在点，，中，是线段的“优关联点”的是 ； ② 如果直线上存在线段的“优关联点”，直接写出b的取值范围． (2)如图 3，已知点，，，，，如果在边上存在线段的“优关联点”，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)①② (2)， 【分析】（1）根据定义得出所对的弧为优弧，，进而得出结果； （2）以为直径作，求出直线与相切时的b的值，进而得出结果； （3）求出以为直径的与相切时a的值，与相切时a的值，进一步得出结果． 【详解】（1）解：①如图1， 所对的弧为优弧， ， ，，， 是线段的“优关联点”， 故答案为：； ②如图2， 以为直径作， 当切于点A或点B时，设其分别交y轴于点D，交x轴于E， 则直线， ∵直线，当时，； 当时，； ∴直线与x轴所成的锐角是， ∴， ∴， ∴直线交y轴于点， 可得， ， ， 同理得出：， ， 此时直线与y轴交于， ； （2）解：如图3， 当以为直径的与直线相切于点A或点B时， 连接， 则， 当在左侧时（除去A点），， ， ， ， 当在的右侧时（除去切点）， 此时：， ， 如图4， 当与相切时，或， 此时或， ， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，直线和圆的位置关系等知识，解决问题的关键是将题意转化为直线和圆的位置关系． 5．(24-25九上·北京密云区·期末)在平面直角坐标系中，半径长为1，为的一条弦，若，则称点P为的弦的度相关点． (1)如图，直线与交于A，B两点，在点，，中，是弦的相关点的有 ． (2)已知的弦的长为，点P是弦的相关点，T是中点，则面积的最大值为，当面积取得最大值时长为 ． (3)已知点Q是直线上的一个动点，且存在的弦，，点Q为的弦的相关点，直接写出点Q横坐标t的取值范围． 【答案】(1)和 (2) (3)或 【分析】（1）根据题意可判断出仅和在上，再由圆周角定理推论可得，从而可判断和是弦的相关点； （2）如图2所示，为弦中点，当时，最大，由垂径定理可知，，得到为等边三角形，，进而面积的最大值为； （3）由题知为的直径，由题意及定弦定角原理，先判断出当两点在轴上固定不变时，点在分别以为圆心，为半径的，弦所对的优弧上运动（不含两点），如图3所示．再判断得出当旋转起来后，点在以原点为圆心，以为半径的圆上运动，综合可得点的运动区域为以原点为圆心，1和为半径的两个一小一大的圆所形成的圆环区域（不含内圆边界），又点必须在直线上运动，从而可得到点的横坐标的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴点和在上， ∵为直径， 由圆周角定理推论可得， ∴和是弦的相关点， 故答案为：和． （2）解：如图2所示，为弦中点， ∵弦的长为，点是弦的相关点， 故点在弦所对优弧上， 当时，最大，由垂径定理可知，， ∴为等边三角形，，， ∴面积的最大值为． 故答案为：． （3）解：∵半径长为1，故直径为2， ∵的弦，故为的直径． 由于点为的弦的相关点，及定弦定角原理， 则， 则当两点在轴上固定不变时，点在分别以为圆心，为半径的，弦所对的优弧上运动（不含两点），如图3所示： 此时； 当旋转起来后，点在以原点为圆心，以为半径的圆上运动， 此圆交直线于和两点， 由题意可设点， 则由勾股定理可得，解得：（舍去正值）， 则， 同理可得的横坐标为， 综上，点的运动区域为以原点为圆心，1和为半径的两个一小一大的圆所形成的圆环区域（不含内圆边界）， 又∵点必须在直线上运动， 综上可得点横坐标的取值范围为或． 【点睛】本题以是一道圆的新定义综合题，主要考查了圆周角定理及其推论，垂径定理，等边三角形的判定及性质，勾股定理，一次函数，定弦定角，（3）问难度较大，根据定弦定角找出点的运动轨迹是解题关键． 6．(24-25九上·北京燕山·期末)在平面直角坐标系xOy中，点M在x轴上，以点M为圆心的圆与x轴交于两点，对于点P和，给出如下定义：若抛物线经过A，B两点且顶点为P，则称点P为的“图象关联点”． (1)已知，在点E，F，G，H中，的“图象关联点”是 ； (2)已知点P为的“图象关联点”，且， ①判断与的位置关系，并证明； ②直接写出抛物线的顶点坐标． (3)已知，当的“图象关联点”P在外且在四边形内运动时，直接写出抛物线中a的取值范围． 【答案】(1)H (2)①与相切．证明见解析析；②抛物线的顶点坐标是或 (3) 【分析】本题考查了二次函数的综合、切线的证明、解直角三角形等知识，解题关键是熟练运用二次函数的性质和切线判定定理进行求解与证明． （1）根据抛物线的对称性求出顶点横坐标，然后判断即可； （2）连接，过点M作于N，证明即可得到结论，由题意可得，，求出，即可得到顶点坐标； （3）求出点Р纵坐标为或2时的函数解析式，再判断a的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点且顶点为P， 则顶点P的横坐标为， ∵在点E，F，G，H中，的横坐标为， ∴在点E，F，G，H中，的“图象关联点”是H； 故答案为：H； （2）①与的位置关系是：相切.   ∵为的直径， ∴为的中点. ∵， . ∴. 连接， ∵P为的“图象关联点”， ∴点P为抛物线的顶点. ∴ 点P在抛物线的对称轴上. ∴是的垂直平分线. ∴ 过点M作于N. ∵ ∴ ∴与相切 ②当抛物线开口向上时， ∵与相切 ∴， ∵，， ∴， ∴ 即点P的坐标为， 同理可得，当抛物线开口向下时，点P的坐标为， ∴抛物线的顶点坐标为或； （3）由（1）可知，顶点P的横坐标为，由（2）可知的半径为1.5， 已知，，当的“图象关联点”Р在外且在四边形内时， 顶点P的纵坐标范围是大于1.5且小于2， 当抛物线顶点坐标为时，设抛物线解析式为，把代入得，，解得，； 当抛物线顶点坐标为时，设抛物线解析式为，把代入得，，解得，； ∴a的取值范围． 7．(24-25九上·北京通州区·期末)在平面直角坐标系中，的半径是3．对于点P和，给出如下定义：过点C的直线与交于不同的点M，N，如果点P为线段的中点，我们把这样的点P叫做关于的“弦中点”． (1)如图1，已知点； ①点，，中是关于的“弦中点”的是______； ②若一次函数的图象上只存在一个关于的“弦中点”，求b的值； (2)如图2，若，一次函数的图象上存在关于的“弦中点”，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)①，；②或 (2) 【分析】（1）①作直线，根据垂径定理可知，则可得点在以为圆心，1为半径的圆上，再结合所给的点进行判断即可； ②由①可知，点在以为圆心，1为半径的圆上，设圆心，由题意可知直线与圆相切，过点作垂直直线交于点，先证明，根据相似三角形的性质即可求解； （2）由（1）可知，点在以为直径的圆弧上，由题意可得直线与圆弧相交或相切，分两种情况求出的值，即可得的取值范围． 【详解】（1）解：①作直线， ∵点是弦的中点， ， ， ∴点在以为直径的圆上， ， ∴点在以为圆心，1为半径的圆上， ∵点在该圆上， ∴点是关于的“弦中点”， 故答案为：； ②由①可知，点在以为圆心，1为半径的圆上，设圆心， ∵直线上只存在一个关于的“弦中点”， ∴直线与圆相切， 过点作垂直直线交于点， 当直线与轴交于正半轴时， ∵直线与轴交于点，与轴交于点， ， ， ， ， ， 解得：或（舍去）， 当直线与轴交于负半轴时，同理可得， 综上所述，的值为或； （2）解： 由（1）可知，点在以为直径的圆弧上， ∵直线上存在关于的“弦中点”， ∴直线与圆相切或相交， 过点作垂直直线交于点，当直线经过点时，m取得最大值， ∵直线与轴交于点，与轴交于点， ， ， ， ∴圆的半径为3， ，， ， ， ； 当直线经过点时，m取得最小值， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 过点作 ， ∴， ∴， 将代入得：， 解得：． ∴的取值范围． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的性质，解直角三角形，勾股定理等，熟练掌握垂径定理，直线与圆相切的性质，弄清定义，确定点的运动轨迹是解题的关键． 8．(24-25九上·北京石景山区·期末)在平面直角坐标系中，的半径为．对于点和的弦给出如下定义：若弦上存在点P，使得，且，则称点是弦的“倍及点”． (1)如图，点，． ①在点中，弦AB的“倍及点”是 ； ②若点是弦的“倍及点”，则的最大值为 ； (2)弦，直线与轴，轴分别交于点，．若线段上存在点，使得点是弦的“倍及点”．请直接写出的取值范围． 【答案】(1)①，      ② (2)或 【分析】本题考查了垂径定理、圆的切线的性质、一次函数综合、勾股定理、矩形的性质，熟练掌握上述知识点并能分类讨论对应情况是解题的关键． （1）①根据“倍及点”的定义验证即可； ②根据题意作出两个正方形，在满足条件的点中找到离原点最远的点； （2）分两种情况讨论，作出对应矩形，可证明满足条件的点的轨迹为一个圆，找出直线的临界位置，即可求出的最值． 【详解】（1）①由题意知，， 设交轴于点，连接，可知， ，， 且，， 则有，， ∴、是弦的“倍及点”． ②如图：以为边分别向左和向右作正方形和正方形，可知正方形边长为， 由题意知，线段和线段上的所有点均为弦的“倍及点”， 其中点和点距离点最远，且， ∴的最大值为． （2）①当线段在如下图所示位置时， 以为边向上作矩形，其中， 连接、， ∵，，， 易得且，为等边三角形， 同理， ∴点、的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 线段上的所有点均为弦的“倍及点”， 当直线与该圆相切时，有最大值， 设该切线与圆相切于点，与轴交于， 则有，， ∴， ∴； ②当线段在如下图所示位置时， 同理可得点、的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 线段上的所有点均为弦的“倍及点”， 过点作延长线于点，则有 ，， 又∵， ∴， 当直线与该圆相切时，有最大值， 设该切线与圆相切于点，与轴交于， 则有，， ∴， ∴； 当线段与轴垂直于点时，为临界位置， 直线经过点时，有最小值， 此时， ∴； 则有：； 综上所述，或． 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 新定义 1大高频考点概览 考点01 新定义 地 城 考点01 新定义 一、解答题 1．(24-25九上·北京顺义区·期末)在平面直角坐标系中，对于点和点给出如下定义：将点先关于直线翻折，再向上（时）或向下（时）平移个单位，得到的点叫做关于点的“关联点” (1)①点，，点关于点A的“关联点”的坐标是______； ②若点关于点的“关联点”的坐标是，则点的坐标是______； (2)直线分别与轴，轴相交于点，，是线段上的点． ①点，若直线上存在着点关于点的“关联点”，直接写出的取值范围； ②点是以为圆心，1为半径的圆上的点，点关于点的所有“关联点”组成图形．若图形与坐标轴有公共点，直接写出点的横坐标的取值范围． 2．(24-25九上·北京房山区·期末)记二次函数和的图像分别为抛物线G和．给出如下定义：若抛物线的顶点在抛物线G上，则称是G的伴随抛物线． (1)若抛物线和抛物线都是抛物线的伴随抛物线，则 ， ； (2)设函数的图像为抛物线．若函数的图像为抛物线，且始终是的伴随抛物线， ①求p，q的值； ②若抛物线与x轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围． 3．(24-25九上·北京昌平区·期末)在平面直角坐标系中，的半径为，对于平面上的点和给出如下定义：若在上能找到一点，使得（为常数），且，则称点是关于点的关联点． (1)已知点． 点中，是关于点关联点的是______； 若点是关于点的关联点，则的取值范围是______； (2)点是直线上一点，点是关于点的关联点，若存在点在直线上，求点横坐标的取值范围． 4．(24-25九上·北京门头沟区·期末)如图1，平面中的线段和直线外一点P，对于P，A，B三点确定的圆，如果所对的弧为优弧，我们就称点P为线段的“优关联点”． (1)如图2，已知点，． ① 在点，，中，是线段的“优关联点”的是 ； ② 如果直线上存在线段的“优关联点”，直接写出b的取值范围． (2)如图 3，已知点，，，，，如果在边上存在线段的“优关联点”，直接写出a的取值范围． 5．(24-25九上·北京密云区·期末)在平面直角坐标系中，半径长为1，为的一条弦，若，则称点P为的弦的度相关点． (1)如图，直线与交于A，B两点，在点，，中，是弦的相关点的有 ． (2)已知的弦的长为，点P是弦的相关点，T是中点，则面积的最大值为，当面积取得最大值时长为 ． (3)已知点Q是直线上的一个动点，且存在的弦，，点Q为的弦的相关点，直接写出点Q横坐标t的取值范围． 6．(24-25九上·北京燕山·期末)在平面直角坐标系xOy中，点M在x轴上，以点M为圆心的圆与x轴交于两点，对于点P和，给出如下定义：若抛物线经过A，B两点且顶点为P，则称点P为的“图象关联点”． (1)已知，在点E，F，G，H中，的“图象关联点”是 ； (2)已知点P为的“图象关联点”，且， ①判断与的位置关系，并证明； ②直接写出抛物线的顶点坐标． (3)已知，当的“图象关联点”P在外且在四边形内运动时，直接写出抛物线中a的取值范围． 7．(24-25九上·北京通州区·期末)在平面直角坐标系中，的半径是3．对于点P和，给出如下定义：过点C的直线与交于不同的点M，N，如果点P为线段的中点，我们把这样的点P叫做关于的“弦中点”． (1)如图1，已知点； ①点，，中是关于的“弦中点”的是______； ②若一次函数的图象上只存在一个关于的“弦中点”，求b的值； (2)如图2，若，一次函数的图象上存在关于的“弦中点”，直接写出m的取值范围． 8．(24-25九上·北京石景山区·期末)在平面直角坐标系中，的半径为．对于点和的弦给出如下定义：若弦上存在点P，使得，且，则称点是弦的“倍及点”． (1)如图，点，． ①在点中，弦AB的“倍及点”是 ； ②若点是弦的“倍及点”，则的最大值为 ； (2)弦，直线与轴，轴分别交于点，．若线段上存在点，使得点是弦的“倍及点”．请直接写出的取值范围． 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $