专题02 三角形（期末真题汇编，北京专用）九年级数学上学期北京版

专题02 三角形 1大高频考点概览 考点01 三角形 地 城 考点01 三角形 一、单选题 1．(24-25九上·北京平谷区·期末)如图，等边中，点D是边上一点（不与点B、点C重合），连接，以为边作等边．给出如下三个结论：①；②；③．上述结论一定正确的是（　　）    A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题 2．(24-25九上·北京昌平区·期末)如图，在中，，，，则的长为 ． 三、解答题 3．(24-25九上·北京密云区·期末)如图，在下面正方形网格中小正方形的边长为，，，都是格点（小正方形的顶点），将绕点顺时针旋转得到，点，点的对应点分别为，． (1)补全图形； (2)求长； (3) ． 4．(24-25九上·北京密云区·期末)如图，在中，，，，将绕点C逆时针旋转得到，使点A的对应点D落在边上，点B的对应点为E，求线段，的长．    5．(24-25九上·北京密云区·期末)已知中，，，点D在射线上（不与B，C重合），过点D作交直线于点E，连接，． (1)如图1，，设，求，长（用含m的代数式表示）． (2)如图2，点D在延长线上，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 6．(24-25九上·北京顺义区·期末)如图，在中，点在边上，作点关于的对称点，连接交于点，连接，作（点在右侧），且，连接，，，交于点． (1)①依题意补全图形； ②若，用含有的式子表示的度数； (2)用等式表示线段与的数量关系，并证明． 7．(24-25九上·北京房山区·期末)如图，在等边△中，点是边上一点（点不与，重合），连接，点关于直线的对称点为点，连接交于点．在上取一点，使，延长交于点． (1)若，求的度数（用含α的代数式表示）； (2)用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 8．(24-25九上·北京平谷区·期末)中，，，点是边中点，点是边上一点（不与点、点重合），连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接、． (1)如图1，若，点刚好落在边上，，则______， ______； (2)判断、和的数量关系，从图2、图3中任选一种情况进行证明． 9．(24-25九上·北京房山区·期末)如图，在等边中，点是边上一点（点不与，重合），连接，点关于直线的对称点为点，连接交于点，在上取一点，使，延长交于点． (1)若，求的度数（用含的代数式表示）； (2)用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 10．(24-25九上·北京燕山·期末)是等边三角形，点是射线边上一点（不与重合），，，连接． (1)如图1，点是线段上一点（不与，重合） ①判断与的位置关系，并证明； ②过点作，垂足为．直接写出，与之间的数量关系． (2)如图2，点是线段延长线上一点，过点作，垂足为．用等式，与之间的数量关系，并证明． 11．(24-25九上·北京石景山区·期末)如图，等边中，D是边上一点，且，点D关于直线的对称点为E，连接，，在直线上取一点F，使得，直线与直线交于点G． (1)若，求的度数（用含的代数式表示）； (2)用等式表示线段与的数量关系，并证明． 12．(24-25九上·北京门头沟区·期末)已知，如图，是等边三角形． (1)如图1，将线段绕点A逆时针旋转，得到，连接，的平分线交于点E，连接． ① 依题意补全图1； ② 求的度数； ③ 求证：； (2)如图2，将线段绕点A顺时针旋转，得到，连接，的平分线交的延长线于点E，连接，直接用等式表示线段间的数量关系．（不用证明） 13．(24-25九上·北京通州区·期末)在中，，于点M，D是线段上的动点（不与点B，C，M重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段． (1)如图1，如果点E在线段上，求证：； (2)如图2，如果D在线段上，在射线上存在点F满足，连接求证：． 14．(24-25九上·北京昌平区·期末)已知，在中，，点分别是的中点，点是线段上的动点，连接，点关于的对称点是． (1)如图1，若，且点恰好在线段上，求； (2)①如图2，当时，依题意补全图形； ②连接，恰好，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02三角形 ☆1大高频考点概览 考点01三角形 目目 考点01 三角形 一、单选题 1.(24-25九上北京平谷区·期末)如图，等边ABC中，点D是BC边上一点（不与点B、点C重合），连接 AD,以4D为边作等边△AD.给出如下三个结论：①8E=DC:②：D8E0a4DC:@ 3<S4DE<1.上 述结论一定正确的是() D A.① B.①③ C.②③ D.①②③ 【答案】B 【分析】根据ABC、△AED是等边三角形，得出∠EAD=LBAC=LC=LADE=60°， AE=AD=DE,AB=AC=BC,证明△EAB≌△DAC,根据全等三角形的性质即可判断①；根据当 △ADCADBE时，∠BED=∠C=60°，但是∠BED是变化的，得出△ADC,aDBE不一定相似，即可判断②； 表折题意科出当点D.C重合时、 S迎最大，此时氵@=1，当AD上BC时， SABC S△4D最小，证明 S△ABC △AED∽△ABC,根据相似三角形的性质得出 ,4,结合点D是BC边上一点（不与点B、点C重合， S皿=3， 即可判断③： 【详解】解：：ABC、△AED是等边三角形， ∠EAD=LBAC=LC=LADE=60°，AE=AD=DE,AB=AC=BC, ∠EAB=∠DAC=60°-∠BAD, :AE=AD,∠EAB=∠DAC,AB=AC, 1/31 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :△EAB≌△DAC(SAS), BE=DC,故①正确： :∠EDB=∠CAD=120°-LADC 故当△ADCn△DBE时，LBED=∠C=60°， :∠BED是变化的， :aADC,aDBE不一定相似，故②错误： 当点D,C重合时， SD最大，此时 SAABC S.AED=1, 当AD⊥BC时， S△MD最小， SABC 此时BD=CD=)BC,4D=V5BD-5 BC, 2 LEAD=ZBAC, AE AD AB AC ∴.△AED△ABC, SAED三 3 AC =4 :点D是BC边上一点（不与点B、点C重合）， 3sSDE<1,故③正确： :.4S.A8C 故选：B. 【点晴】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，解直 角三角形等知识点，解题的关键是掌握以上知识点， 二、填空题 2.(24-25九上北京昌平区期末)如图，在ABC中，∠A=45°，∠B=60°，AC=3V2,则AB的长为 A450 60>B 【答案】3+5/N5+3 2/31 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，过C作CD⊥AB于点 D,则∠ACD=∠A=45°，∠BCD=30°，故AD=CD,BD=号BC,然后由勾股定理和线段和差即可求解， 掌握知识点的应用是解题的关键 【详解】解：如图，过C作CD⊥AB于点D, 4450 ∠ADC=∠BDC=90°， :∠A=45°，∠B=60°， ∠ACD=∠A=45°，∠BCD=30°， :AD=CD,BD=IBC, 2 :由勾股定理得：AD2+CD2=AC2, :AC=3V2, AD2+AD2=(32, .AD CD =3, 由勾股定理得：BD2+CD2=BC2, BD2+32=(2BD)2, BD=5, AB=AD+BD=3+3, 故答案为：3+√5 三、解答题 3.(24-25九上北京密云区期末)如图，在下面正方形网格中小正方形的边长为1，A,B,O都是格点（小 正方形的顶点)，将△AB0绕点O顺时针旋转90°得到△AB,O,点A,点B的对应点分别为A,B. 3/31 学科网 www zxxk com 让教与学更高效 B (1)补全图形： (2)求BA长； (3)∠BA0+∠AB,0=_°. 【答案】(1)见解析 (2)25 (3)45 【分析】本题考查作旋转图形、勾股定理与网格问题， (1)根据旋转的性质作图即可. (2)利用勾股定理计算即可. (3)在线段B,O的延长线上取点C,根据网格的特点可得∠B,A0+∠AB,O=∠AOC=45°，即可求解， 【详解】(1)解：如图，△AB,O即为所求 B B (2)解：B4=V22+4=2V5 (3)在线段B,O的延长线上取点C, 由图可得，∠A0C=45°， ∠B,A0+∠AB,0=∠AOC=45°. 故答案为：45. 4.(24-25九上北京密云区期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4,将ABC绕点C 逆时针旋转得到△DEC，,使点A的对应点D落在BC边上，点B的对应点为E,求线段BD,DE的长. 4131 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 【答案】BD=1;DE=5 【分析】根据旋转的性质可得△ABC兰△DEC,继而即可求解， 【详解】解：由旋转可得，△ABC兰△DEC, .AB=DE,AC=DC, :AC=3, DC=3, :BC=4, BD=1, 在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AB=√AC2+BC2=5, DE=5. 【点睛】本题考查旋转的性质和全等三角形的性质，解题的关键是熟练掌握并运用旋转的性质。 5.(24-25九上北京密云区期末)已知ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点D在射线CB上（不与B,C 重合)，过点D作DE⊥BC交直线AB于点E,连接AD,EC, B B 图1 图2 (I)如图1，DC=3BD,设BD=m,求EC,AD长（用含m的代数式表示）. (2)如图2，点D在CB延长线上，用等式表示线段EC与AD的数量关系，并证明. 【答案】(1)EC,AD长分别为10m,V5m (2)EC=√2AD,证明见解答 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质，勾股定得等知识，正确地作出辅助线是解题的关键。 (1)作AF⊥BC于点F,因为AB=AC,∠BAC=90°，所以AF=BF=CF,∠B=∠ACB=45°，因为 5/31 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 DE⊥BC交AB于点E,所以∠BDE=∠CDE=90°，则LDEB=∠B=45°，所以ED=BD,由 DC=3BD,BD=m,得DC=3m,ED=m,则BC=4m,所以AF=BF=2m,DF=m,求得 EC=VED2+DC2=√10m,AD=√AF2+DF2=√5m; (2)作AH⊥BC于点H,则AH=BH=CH,∠DEB=∠DBE=∠ABC=∠45°，所以ED=BD,设 ED=BD=n,AH=BH=CH=x,则CD=2x+n,DH=x+n,求得 EC=VCD2+ED2=V2×V2x2+2xn+n2,AD=√DH2+AH2=√2x2+2xn+n2，则EC=V2AD. 【详解】(1)解：如图1，作AF⊥BC于点F,则∠AFB=90°， .AB=AC,∠BAC=90°， 图1 EAF=BF=CFBC,∠B=∠ACB=45 :DE⊥BC交AB于点E, ∠BDE=∠CDE=90°， .∠DEB=∠B=45°， :ED=BD, DC=3BD,BD=m, .DC=3m,ED =m, .BC BD DC=m +3m=4m, :AF=BF=1BC=2m,DF=BF-BD=2m-m=m, 2 :EC=VED2+DC2=m2+(3m)=10m,AD=AF2+DF2=(2m)+m2=5m, :EC,AD长分别为V10m,5m。 (2)解：EC=√2AD, 证明：如图2，作AH⊥BC于点H, 6/31 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图2 则∠AHD=90,AH=BH=CH=BC,∠ABC=∠ACB=45°， 2 :DE⊥BC交AB的延长线于点E, ∠CDE=90°， :∠DEB=∠DBE=∠ABC=∠45°， .ED BD, ED=BD=n,AH=BH=CH=x, 则CD=2x+n,DH=x+n, EC=VCD2+ED2=(2x+n)2+n2=x2x2+2xn+n2, AD=DH2+AH2=x+n)2+x2=2x2+2xn+n2, EC x2x+2xn+n=, AD 2x2+2xn+n2 :.EC=2AD 6.(24-25九上北京顺义区期末)如图，在ABC中，点D在AC边上，作点D关于AB的对称点D,连接 DD'交AB于点E,连接BD,作BF⊥BD(点F在BC右侧)，且BF=BD,连接BD',DF,D'F,DF 交AB于点G. B D' E (I)①依题意补全图形： ②若LABD=a,用含有C的式子表示∠BFD'的度数： (②)用等式表示线段BE与GF的数量关系，并证明. 【答案】(1)①见解析；②∠BFD'=45°-Q 7131 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (②GF=V2BE(或BE=V2 G即或E-巨) 2 GF 2 【分析】(1)①正确画图即可； ②根据轴对称的性质和等腰三角形的性质即可解答； (2)如图2，过点F作FH⊥AB于H,证明aDBF,aD'EG,aGHF是等腰直角三角形，证明 △BDE≌aFBH(AAS),根据全等三角形的性质和等腰直角三角形中斜边是直角边的√2倍即可解答. 【详解】(1)解：①如图1所示， D G E A D C 图1 ②：点D关于AB的对称点D, BD=BD,∠ABD=∠D'BE=, :BF⊥BD, .∠DBF=90°， ∠D'BF=90°+2a, BD=BF, .BD'=BF, ∠BFD=∠BDF=1800-90+2a=45-a: (2)解：GF=√2BE,证明如下： 如图2，过点F作FH⊥AB于H, B D G 10 E A C 图2 BD=BF,∠DBF=90°， 8/31 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :△DBF是等腰直角三角形， ∠BFD=∠BDF=45°， 由②知：∠BFD'=45°-a, ∠DFD'=a=∠ABD, :∠B0G=∠D0F, ∠BG0=∠BDF=45°=∠EGD', :点D关于AB的对称点D, DE=D'E,AB⊥DD', ∠DEB=∠BHF=90°， ∠EDB+LDBE=90°， ∠DBF=90°， ∠DBE+∠HBF=90°， .∠EDB=∠HBF, BD=BF, :△BDE≌△FBH(AAS, .BH DE D'E,BE FH, :∠D'EG=90°，∠EGD'=45°， ∴△D'EG是等腰直角三角形， .EG=D'E =ED =BH, .EG+BG=BH+BG, 即BE=GH, :∠BGF=45°，∠H=90°， ∴.△GHF是等腰直角三角形， ∴GF=√2GH, :GF=2BE. 【点晴】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，三角形的内角和 定理，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质，正确作辅助线解决问题是解题的关键。 7.(24-25九上北京房山区期末)如图，在等边△ABC中，点D是BC边上一点（点D不与B,C重合） BD<CD,连接AD,点D关于直线AB的对称点为点E,连接DE交AB于点N,在AD上取一点F,使 9/31 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠EFD=∠BAC,延长EF交AC于点G. B D (1)若∠BAD=a,求∠AGE的度数（用含a的代数式表示）： (2)用等式表示线段CG与DE之间的数量关系，并证明. 【答案】(1)∠AGE=60°+Q ②cG-25DE,证明见解折 【分析】(1)由三角形内角和定理及外角定理结合∠EFD=∠BAC即可求解： (2)在CG上截取CM=BD,连接BM,BE,BM交AD于点H,连接BE,AE,再证明四边形EBMG是 平行四边形，可得CG=2BD,记AB与DE的交点为点N,则由轴对称可知：DE⊥AB,NE=ND,再 解Rt△BND即可. 【详解】(1)解：如图1， :△ABC是等边三角形， B D ∠BAC=60 :∠EFD=∠BAC, LEFD=60°， :∠EFD=∠1+LBAD=∠I+a, :∠1=60°-a, :∠AGE+∠1+∠BAC=I80°， LAGE=180°-60°-∠1=120°-∠1， :LAGE=120°-(60°-a)=60°+a; (2)cG=25DE.理由如下： 3 如图2中，在CG上截取CM=BD,连接BM,BE,AE,BM交AD于点H, 10/31