6.3 反比例函数与相似专项训练2025－2026学年北师大版数学九年级上册

北师大版第6章 反比例函数 6.3反比例函数与相似问题专项训练（中等难度）答案 类型一、 利用线段比构建AX相似 1．如图，点A在反比例的数（其中k>0）图象上，以点A为圆心，OA长为半径画弧交x轴正半轴于点B．其中OA=，OB=4． (1) 求k的值； (2) 过点B作BC⊥OB交反比例函数的图象于点C．连接OC交AB于点D．求的值． 【答案】(1)k=8； (2)=． 【分析】（1）作AF⊥x轴于F，交OC于E，利用等腰三角形的性质可得A的坐标，从而得出k的值； （2）证明△AED∽△BCD，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：作AF⊥x轴于F，交OC于E， ∵OA=AB， ∴OF=BF=OB＝2， ∴AF==4， ∴A（2，4）， ∴k=xy=2×4=8； （2）解：∵点A，C在反比例函数y=（其中k＞0）图象上， ∴OF•AF=OB•BC， ∵OF=BO， ∴AF=2BC， ∵∠EFO=∠CBO=90°，∠EOF=∠COB， ∴△OEF∽△OCB， ∴， ∴EF=BC， ∴AE=AF-EF=2BC-BC=BC， 又∵AF∥CB， ∴∠AED=∠BCD， ∴△AED∽△BCD， ∴， ∴=． 2.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象相交于A（n，4），B（2，2）两点． （1）求反比例函数及一次函数表达式； （2）若点P是直线AB左侧x轴上一点，若△ABP面积为1，求P点的坐标； （3）过点A作直线AC，与第三象限的反比例函数图象交于另一点C，连接BC，当线段AC被y轴分成长度比为1：2的两部分时，求BC的长． 【答案】(1)， (2) (3)的长为或 【分析】（1）将点坐标代入反比例函数解析式，可求解，再利用待定系数法求解； （2）设，根据建立等式求解； （3）分两种情况讨论，由相似三角形的性质和勾股定理可求解． 【详解】（1）解：反比例函数的图象过点， ， ， 反比例函数， 又图象过点， ， 解得：； ， 将，代入：中： 得：， 解得：， ； （2）解：设，如下图： 当时，， 解得：， ， ， ， 解得：， ； （3）解：如图，过点作轴于，过点作轴于， ， ， ， 当时，则， 点， ， 当时，则， 点，， ， 综上所述：的长为或； 3．在平面直角坐标系中，反比例函数图象在第一象限内的两个动点（点在点左侧），直线交轴于点． 　　　　 (1)如图1，若，直线的解析式为，求的面积； (2)直线与反比例函数图象的另一个交点为，连接交轴于点． ①如图2，若，点的横坐标为1，求的长； ②如图3，点关于直线的对称点为，过点的直线与直线垂直，若，且直线与轴交于点，求点的横坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）先由直线解析式求出点C坐标，进而得到的长度，再通过联立直线和反比例解析式求出点A坐标，最后由求出答案； （2）①通过作辅助线得到及，结合建立关于的方程求出即可；②先设A点坐标为，B点坐标为，然后根据题意求出直线及的解析式，得出，进而根据直角三角形的性质证得，得到到，再根据轴对称和直角三角形的性质得出．点和点D关于对称，过点作轴于点W，连接，设交y轴于点S，证明，再证明，得到，即，即可解答． 【详解】（1）解：对于直线，令，则， 解得：， ∴点C坐标为，则， 联立， 解得或． ∴， ∴； （2）解：①过点A、B、D向x轴作垂线，垂足分别为P、Q、H， 由题意得：点A和点D关于原点O对称， ∴． 根据作图可得． 由平行线分线段成比例得：，， ∵， ∴， ∴， 根据反比例函数的性质，，则． ∴， ∴． ②过点B作x轴的垂线，再过点A、D作直线的垂线，垂足分别为G、H，连接．直线和分别与y轴交于P，Q，直线l与x轴交于点K，设直线与直线交点为， 设点坐标为，B点坐标为，则点D坐标为， ∴点G坐标为，点H坐标为， 设直线的解析式为，则，解得：， ∴直线的解析式为：； 设直线的解析式为，则，解得：， ∴直线的解析式为； 设直线的解析式为，则，解得：， 直线解析式为； ∴， ∴， ∴， 又∵O是的中点， ∴， ∴，即点T是的中点， ∵，则， ∴是直角三角形，且为斜边， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 将代入，则， ∴， 将代入，则， ∴， ∵． ∴点B在线段的中垂线上，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 又∵，，点关于直线的对称点为， ∴， ∴点和点D关于对称， 过点作轴于点W，连接，设交y轴于点S， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 把点及代入解析式得：， 整理得：，则． 故点A的横坐标为． 4．如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（1，2），B（﹣2，n）两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式，并在网格中画出一次函数和反比例函数的图象； （2）若点P在线段AB上，且S△AOP：S△BOP＝1：4，求点P的坐标． 【答案】(1)y＝x＋1；；图象见解析 (2)−2＜x＜0或x＞1 (3)(，) 【分析】（1）把A的坐标代入即可求得k2，得到反比例函数的解析式，再把B（−2，n）代入反比例函数的解析式即可求得n的值，然后根据待定系数法即可求得一次函数的解析式； （2）根据图象即可求得； （3）设P（x，x＋1），利用三角形面积公式得到AP：PB＝1：4，即PB＝4PA，根据两点间的距离公式得到(x＋2)2＋(x＋1＋1)2＝16[(x−1)2＋(x＋1−2)2]，然后解方程求出x即可得到P点坐标． 【详解】（1）∵反比例函数经过A（1，2）， ∴k2＝1×2＝2， ∴反比例函数解析式为， ∵B（−2，n）在反比例函数的图象上， ∴， ∴B（−2，−1）， ∵直线经过A（1，2），B（−2，−1）， ∴，解得， ∴一次函数的解析式为y＝x＋1； 在网格中画出一次函数和反比例函数的图象，如图所示， （2）观察图象，的x的取值范围是−2＜x＜0或x＞1； （3）设P（x，x＋1）， ∵S△AOP：S△BOP＝1：4， ∴AP：PB＝1：4， 即PB＝4PA， ∴(x＋2)2＋(x＋1＋1)2＝16[(x−1)2＋(x＋1−2)2]， 解得，（舍去）， ∴， ∴P点坐标为(，)． 类型二、已知线段比利用AX相似设参求K 1．如图，在中，，点A在x轴的负半轴上，点B在第二象限，反比例函数的图像经过OB上一点D，与AB相交于点C，若，的面积为，则k的值是（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】如图，过D作DE⊥x轴于点E，则由已知条件可以得到关于k的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图，过D作DE⊥x轴于点E， ∴△ODE∽△OBA， ∴，， ∴，即， ∴，即， ∴， 由已知可得：， ∴，即， ∴， 解之可得：k= -3， 故选B． 2．如图，已知，中，点A在第一象限内，点B在x轴正半轴上，，，反比例函数的图象经过的中点，则k的值为（    ） A．18 B．12 C．9 D．6 【答案】A 【分析】过点作轴于，轴于，交于，证，则四边形的面积即矩形的面积，等于，利用求其面积即可． 【详解】解：过点作轴于，轴于，交于． ， ， ， ， 四边形的面积为． ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ． 在与中， ， ． 矩形的面积四边形的面积， 即． 故选：A． 3．如图，双曲线（）经过斜边的中点D，与直角边交于点C，过点D作于点E，连接，若的面积是6，则k的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由题可得△OED∽△OAB，由反比例函数表达式可表示S△AOC=S△DOE=，由相似的性质可得S△AOB=4S△DOE=2k，由S△AOB-S△AOC=S△OBC=6，即可求解； 【详解】解：∵Rt△OAB中，∠OAB=90°， ∴DE∥AB， ∵D为Rt△OAB斜边OB的中点D， ∴DE为Rt△OAB的中位线， ∵， ∴ ∵ ∴△OED∽△OAB， ∴． ∵双曲线的解析式是， ∴S△AOC=S△DOE=， ∴S△AOB=4S△DOE=2k，由S△AOB-S△AOC=S△OBC=6，得2k-=6，解得k=4， 故选：B． 4．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在y轴的正半轴上，反比例函数的图象分别交于中点D，交于点E，且，连接，，若，则k的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查平行四边形性质，三角形中位线，相似三角形判定与性质．连接，延长交x轴于H，过E作轴于G，轴于F，可求，设，可求，由，可求，由，可证，可求，，求出，据此求解即可． 【详解】解：连接，延长交x轴于H，过E作轴于G，轴于F， ∴， ∴， ∵点D为中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设， ，，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 连接并延长，交的延长线于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴， ， ， 点E在反比例函数图象上，， 解得， 故答案为：． 5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝15，直线AB经过原点O，点C在y轴上，AC交x轴于点D，CD：AD＝5：3，若反比例函数经过A，B两点，则k的值为（　　） A．﹣24 B．﹣27 C．﹣30 D．﹣18 【答案】B 【分析】过点A作AE⊥x轴于点E，可证得△COD∽△AED，从而得到，再由直角三角形的性质可得OA=COAB，从而得到AE，再由勾股定理可得OE=6，可得到点A的坐标，即可求解． 【详解】解：过点A作AE⊥x轴于点E， ∵∠ODC＝∠EDA，∠COD＝∠AED＝90°， ∴△COD∽△AED， ∴， ∵A、B关于原点对称， ∴OA＝OB， ∵△ABC为直角三角形， ∴OA=COAB15， ∴AE， ∴OE6， ∴A（6，）， ∵反比例函数y经过点A， ∴k＝6×（）＝﹣27． 故选：B． 6．如图，在△ABC中，，点A在反比例函数的图象上，点B，C在x轴上，延长AC交y轴于点D，连接BD，若△BCD的面积等于2，则k的值为______． 【答案】 【分析】设，表示出点、点，过点作轴交于点，证明出，再结合的面积求出的值． 【详解】解：设，则， ， ，， 过点作轴于点，则， ，， ， ， ，点在反比例函数图象上， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 7．如图，平行四边形ABCD的BC边过原点O，顶点D在x轴上，反比例函数的图象过AD边上的A，E两点，已知平行四边形ABCD的面积为8，，则k的值为______． 【答案】2 【分析】根据反比例函数图象上点的特征，利用平行线分线段成比例，及三角形的面积列出方程求解． 【详解】解：过点A作AF⊥x轴于点F，过点E作EH⊥x轴于点H， 则AFEH， 则：，△DEH∽△DAF， ∴， 设A（x，y），则E（3x，y）， 则AF＝y，OF＝x，OH＝3x，EH＝y， ∴FH＝2x，DH＝x，OD＝4x， ∵平行四边形ABCD的面积为8m，则△AOD的面积是4， 则△ODE的面积是， ∴×y×4x＝， ∴xy＝2， ∴k＝xy＝2． 故答案为：2． 类型三 K型相似相关 1．如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，，若点A在反比例函数的图象上，则经过点B的反比例函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作轴于D，轴于C，利用含30度的直角三角形三边的关系得到，再证明得，利用反比例函数k的几何意义得到和，进而利用三角形的面积公式得到，然后求出k得到经过点B的反比例函数解析式． 【详解】解：作轴于D，轴于C，如图， ∵，， ∴， ∴． ∵点A在反比例函数的图象上， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 即， ∴． ∵， ∴， ∴经过点B的反比例函数解析式为． 故选：C． 2．如图，在平面直角坐标系中，矩形与反比例函数的图象交于D，E两点，矩形的顶点A，C在坐标轴上，，，若点D的坐标为，则下列结论：①；②；③；④点E的坐标为中，所有正确的序号有（    ） A．①③ B．③④ C．②④ D．②③ 【答案】D 【分析】先根据题意求得OA=5AD=2， OD=，再根据条件，求出DE，然后再证明 △OAD~△DBE，可得，进而求得BD、BE，然后求出OC、EC，最后逐项排查即可． 【详解】∵四边形OABC为矩形，D（2，5）， ∴OA=5，AD=2， OD=， 又∵， ∴DE =， ∵∠ODE＝90°， ∴∠ODA+∠BDE=90° ， 又∵∠ODA+∠AOD=90° ， ∴∠BDE=∠AOD， ∵∠OAD=∠DBE＝90°， ∴ △OAD~△DBE， ∴， 即， ∴BD=，BE=， ∴OC=AD+BD=2+=，EC=BC-BE=5-=， ∴， 故①错误； ， 故②正确； ， 故③正确； CO=，EC=，则点E的坐标为：， 故④错误， 故选：D． 3如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，若，则k的值为 ． 【答案】 【分析】过点A作轴于点G，过点B作轴于点H，利用三角形相似的判定和性质，反比例函数k的几何意义解答即可． 本题考查了反比例函数的几何意义，三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：过点A作轴于点G，过点B作轴于点H， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ， 解得（舍去）， 故答案为：． 4．如图，已知矩形OABC中，OA＝6，AB＝8，双曲线（k＞0）与矩形两边AB，BC分别交于点D，E，且BD＝2AD． (1) 求k的值和点E的坐标； (2) 点P是线段OC上的一个动点，是否存在点P，使∠APE＝90°？若存在，求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)k=16；E（8，2）； (2)存在要求的点P，点P的坐标为（2，0）或（6，0）． 【分析】（1）由矩形OABC中，AB=4，BD=2AD，可得3AD=4，即可求得AD的长，然后求得点D的坐标，即可求得k的值，继而求得点E的坐标； （2）首先假设存在要求的点P坐标为（m，0），OP=m，CP=8-m，由∠APE=90°，易证得△AOP∽△PCE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得m的值，继而求得此时点P的坐标． 【详解】（1）解：∵AB=8，BD=2AD， ∴AB=AD+BD=AD+2AD=3AD=8， ∴AD=， 又∵OA=6， ∴D（，6）， ∵点D在双曲线y=上， ∴k=×6=16； ∵四边形OABC为矩形， ∴AB=OC=8， ∴点E的横坐标为8． 把x=8代入y=中，得y=2， ∴E（8，2）； （2）解：假设存在要求的点P坐标为（m，0），OP=m，CP=8-m． ∵∠APE=90°， ∴∠APO+∠EPC=90°， 又∵∠APO+∠OAP=90°， ∴∠EPC=∠OAP， 又∵∠AOP=∠PCE=90°， ∴△AOP∽△PCE， ∴， ∴， 解得：m=2或m=6， 经检验，m=2或m=6都是原方程的解，且符合题意， ∴存在要求的点P，点P的坐标为（2，0）或（6，0）． 类型四、 相似存在性问题 1． 在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（0，2），B（1，0），点P是反比例函数y＝图象上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为点Q．若以点O，P，Q为顶点的三角形与△OAB相似，则相应的点P共有 _____个． 【答案】4 【分析】设P（t，），由于∠PQO＝∠AOB，则根据相似三角形的判定方法，当时，△OPQ∽△BAO，当时，△OPQ∽△ABO，然后分别解方程求出t，从而可判断点P的个数． 【详解】解：∵A（0，2），B（1，0）， ∴OA＝2，OB＝1， 设P（t，）， ∵PQ⊥x轴， ∴∠PQO＝90°， ∵∠PQO＝∠AOB， ∴当时，△OPQ∽△BAO， 即， 则2t＝， 解得t1＝﹣，t2＝， 此时P点坐标为（﹣，）或（，﹣）； 当时，△OPQ∽△ABO， 即，则t＝， 解得t1＝﹣，t2＝， 此时P点坐标为（，﹣）或（﹣，）， ∴以点O，P，Q为顶点的三角形与△OAB相似，相应的点P共有4个． 故答案为：4． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处． (1)求直线的函数解析式； (2)在直线上是否存在一点P，使得与相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2)存在，点P坐标为或或或 【详解】（1）当时，，当时，， ∴， ∴， 由折叠得，， ∴， ∴， 设直线的表达式为， 把，代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为； （2）存在，点P坐标为或或或； ∵点P在直线上， ∴设， ∴， 由折叠得 ∴①若，则， 即， 解得， ∴， 解得 或 ， ∴点P的坐标为或； ②若， 同理可得或；， 综上所述，点P坐标为或或或； 3．在平面直角坐标系中，已知直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线过点B交x轴于点C． (1)求直线的关系式； (2)若点P是直线上一动点，，求点P的坐标； (3)若点E是第一象限内一动点，以点C、A、E为顶点的三角形与相似时（与为对应边），请求出符合条件的点E的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）先求出点B的坐标，然后用待定系数法求解即可， （2）先求出，设，然后分当点P在点C的上方时和当点P在点C的下方时两种情况求解； （3）利用勾股定理求出， 设，则，，然后分当时和当时两种情况列式求解即可． 【详解】（1）解：∵对于，当时，， ∴， 把代入，得， ∴， （2）当时，，∴， ∴， ∵对于，当时，，∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 设， 当点P在点C的上方时， 则， ∴， ∴， 解得， ∴． 当点P在点C的下方时， 则， ∴， ∴， 解得， ∴． 综上可知，点P的坐标为或； （3）∵， ∴ ∴， 设，则，， 如图，当时， ， ， 解得（舍去）， ∴． 如图，当时， ， ， 解得（舍去）， ∴． 综上可知，点E的坐标为或． 4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于两点，交轴于点，与轴交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)在轴上存在一点，使与相似，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵中，时，，时，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵与相似，， ∴， ∴， ∴， ∴； 或， ∴， ∴， ∴； ∴点的坐标或． 5．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（2，3），双曲线y＝﹣（x＞0）的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE (1) 求△BDE的面积 (2) 若点F是OC边上一点，且△FBC∽△DEB，求点F坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用D点为BC的中点得到D（1，3），再利用待定系数法确定反比例函数解析式为y＝，接着利用E点的横坐标为2得到E（2，），然后根据三角形面积公式求解； （2）根据相似三角形的性质，利用相似比可求出CF，然后计算出OF的长，从而得到点F坐标． 【详解】（1）点为的中点，， ， 把代入得， 反比例函数解析式为， ，  点的横坐标为， 当时，，即， 的面积； （2）∽， ，即，解得， ， 点坐标为． 类型五、与位似相关 1．如图所示，一次函数与反比例函数的图象相交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)点是第三象限内一点，的面积为24，求点的坐标； (3)在（2）的条作下，平面直角坐标系中，正方形与正方形是位似图形，点的对应点为，点的对应点在的图象上，求位似中心的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3)当时，位似中心的坐标为；当时，位似中心的坐标为 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的问题，待定系数法求函数解析式，三角形的面积，以及位似中心等知识点； （1）先把代入反比例函数中求出m，再把代入求出a，最后把A，B代入一次函数求出即可； （2）根据面积公式列出方程求解即可； （3）过点作轴的垂线，垂足为，过点作的垂线，交与点，可得即可得出D的坐标，即可得出结论； 【详解】（1）解：点是反比例函数与一次函数的交点， ，， 反比例函数的表达式为， 将点代入反比例函数， ， 点的坐标为， 将代入一次函数中， ， ， 一次函数的函数表达式为； （2）点的坐标为，点的坐标为， 轴， ， ， ，则点的坐标为； （3）在正方形中，， 过点作轴的垂线，垂足为， 过点作的垂线，交与点， ∴，， ∴ ， 点， 如图，当正方形和正方形是位似图形时， 点的对应点为，点的对应点在的图象上， 不妨设点的对应点为，点的对应点为，则， 设 ， ， ， ∴ 设直线表达式为 ∵过点， ， 解得：， ， 与相交与点， ，解得：或， 或 设的解析式为： 当时，将，代入得 解得： ∴ ∵由位似中心为对应点连线的交点， 当时，， ∴与的交点为 ∴当时，位似中心的坐标为， 当时，将，代入得 解得： ∴ ∵由位似中心为对应点连线的交点， 当时，， ∴与的交点为 当时，位似中心的坐标为． 综上：当时，位似中心的坐标为；当时，位似中心的坐标为 2．（2023·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象的一个交点为，过点B作AB的垂线l．    (1)求点A的坐标及反比例函数的表达式； (2)若点C在直线l上，且的面积为5，求点C的坐标； (3)P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画，使它与位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值． 【答案】(1)点A的坐标为； (2)点C的坐标为或 (3) 【分析】（1）利用直线解析式可的点C的坐标，将点代入可得a的值，再将点代入反比例函数解析式可得k的值，从而得解； （2）设直线l于y轴交于点M，由点B的坐标和直线l是的垂线先求出点M的坐标，再用待定系数法求直线l的解析式，C点坐标为，根据(分别代表点B与点C的横坐标)可得点C的横坐标，从而得解； （3） 位似图形的对应点与位似中心三点共线可知点B的对应点也在直线l上，不妨设为点E，则点A的对应点是点D，直线l与双曲线的解析式联立方程组得到，由得到，继而得到直线与直线的解析式中的一次项系数相等，设直线的解析式是：，将代入求得的解析式是：，再将直线与双曲线的解析式联立求得，再用待定系数法求出的解析式是，利用直线的解析式与直线l的解析式联立求得点P的坐标为，再用两点间的距离公式得到，从而求得． 【详解】（1）解：令，则 点A的坐标为，     将点代入得： 解得：          将点代入得 解得： 反比例函数的表达式为； （2）解：设直线l于y轴交于点M，直线与x轴交于点N 令解得： ， ， 又， ， 又直线l是AB的垂线即，， ，      设直线l得解析式是：， 将点，点代入得： 解得： 直线l的解析式是：， 设点C的坐标是 解得：或6，         当时，； 当时，， 点C的坐标为或． （3）解：∵位似图形的对应点与位似中心三点共线， ∴点B的对应点也在直线l上，不妨设为点E，则点A的对应点是点D， ∴点E是直线l与双曲线的另一个交点， 将直线l与双曲线的解析式联立得： 解得：或 ∴ 画出图形如下：    又∵ ∴ ∴ ∴直线与直线的解析式中的一次项系数相等， 设直线的解析式是： 将点代入得： 解得： ∴直线的解析式是： ∵点D也在双曲线上， ∴点D是直线与双曲线的另一个交点， 将直线与双曲线的解析式联立得： 解得：或 ∴ 设直线的解析式是： 将点，代入得： 解得： ∴直线的解析式是：， 又将直线的解析式与直线l的解析式联立得： 解得： ∴点P的坐标为 ∴ ∴． 1．如图，在中，，点C为边AB上一点，且．如果函数的图象经过点B和点C，那么点C的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由∠BOA=45°可知B（a，a），代入反比例函数解析式求得B（3，3），进而通过证得△ABD∽△ACE求得CE=1，根据反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出C点的坐标． 【详解】解：作BD⊥OA，CE⊥OA， ∵∠BOA=45°， ∴BD=OD， 设B（a，a）， ∴a=， ∴a=3或a=-3（舍去）， ∴BD=OD=3， B（3，3）， ∵BC=2AC． ∴AB=3AC， ∵BD⊥OA，CE⊥OA， ∴BD∥CE， ∴△ABD∽△ACE ∵， ∴=3， ∴CE=1， ∵图象经过点C， ∴1=， ∴x=9， C（9，1）， 故选：D． 2．如图，过原点O的直线与反比例函数y1＝（x＞0）和y2＝（x＞0）的图象分别交于点A1，A2，若，则＝_____． 【答案】 【分析】利用k的几何意义和相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：分别过作， 则： ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 3．如图，平面直角坐标系第一象限内任意点A，轴交于点，连结，函数（）的图象经过边的中点C，交于点D，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作轴于，根据平行线分线段成比例定理得出，从而得出，，设，则，从而得到，，，即可求得． 【详解】解：作轴于， ∵轴交于点B， ∴， ∴△OCE∽△OAB， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴，， 设，则， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 4．如图，Rt△OAB的直角顶点A在y轴上，反比例函数的图象过线段OB的中点D交线段AB于点C，连结CD，若BCD的面积为3，则k的值等于________． 【答案】4 【分析】作DE⊥OA于E，则DE∥AB，S△AOC=S△EOD=k，即可通过证得△EOD∽△AOB，得到S△AOB=2k，由题意得到S△BOC=2S△BCD=6，即可得到S△AOC=2k-6=k，解得k=4． 【详解】作DE⊥OA于E，连接AC ∵∠OAB=90°， ∴DE∥AB，S△AOC=S△EOD=k， ∴△EOD∽△AOB， ∴， ∵S△EOD=k，D是OB的中点， ∴S△AOB=2k， ∵D为斜边OB的中点，△BCD的面积为3， ∴S△BOC=2S△BCD=6， ∴S△AOC=2k-6， ∴2k-6=k， ∴k=4． 故答案为：4． 5．如图，在x轴上有一点A（3，0），点D是点A关于y轴的对称点，点B在反比例函数的图象上，连接BD，交反比例函数图象于点C，若，的面积是24．则k的值是_________． 【答案】 【分析】作BE⊥x轴于点E，CF⊥x轴于点F，由S△ABD=BE•AD=24可得BE长度，根据△DCO∽△DBA，△OCF∽△ABE可得CF=BE=4，，用含k代数式表示OF，AE，进而求解． 【详解】解：作BE⊥x轴于点E，CF⊥x轴于点F， ∵点D为点A关于y轴对称点， ∴D坐标为（-3，0）， ∴AD=6， ∵S△ABD=BE•AD=24， ∴BE=8， ∵OC∥AB， ∴△DCO∽△DBA， ∴，， ∵△OCF∽△ABE， ∴， ∴CF=BE=4， ∵B，C在图象上， ∴， ∵， ∴， 解得k=-8． 故答案为：-8． 6．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点，已知点的坐标为． (1)求点坐标及反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)在轴上存在一点，使与相似，求点的坐标． 7．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，直线与反比例函数的图像交于点．点是第三象限内反比例函数图象上一动点，连接交轴于点． (1)求点的坐标和反比例函数的解析式； (2)若点把线段分成长度比为的两部分，求点的坐标； (3)试探究在点移动过程中，点的横坐标和点的横坐标之间有何数量关系？写出你的结论并说明理由． 【答案】(1)，反比例函数的解析式为 (2)或 (3)点的横坐标与点的横坐标的差为，理由见解析 【分析】（）把代入一次函数解析式可求出点坐标，再利用待定系数法可求出反比例函数解析式； （）设，分别作轴，轴，与相交于，交轴于，交轴于，可得，，由平行线等分线段定理得，再分和两种情况解答即可； （）设点的坐标为，点的横坐标为，则，，，由得，代入化简得，即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， ∴， 把代入，得， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：设，分别作轴，轴，与相交于，交轴于，交轴于， 则，， ∴， ①当时，则， ∴， ∴； ②当时，则， ∴， ∴； 综上，点的坐标为或； （3）解：点的横坐标与点的横坐标的差为，理由如下： 设点的坐标为，点的横坐标为，则，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 化简得，， 即点的横坐标与点的横坐标的差为． 8．如图，直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别相交于A，B两点，过A，B两点作矩形ABCD，AB＝2AD，曲线在第一象限经过C，D两点，则k的值是（　　） A．3 B．6 C．8 D．24 【答案】A 【分析】作DH⊥x轴于H，易证△ADH∽△BAO，根据相似三角形对应边成比例可得，即可求出点D的坐标，将点D的坐标代入反比例函数的额表达式即可求出k值． 【详解】解：作DH⊥x轴于H， 将y＝0代入直线y＝﹣x+2得﹣x+2＝0， 解得：x＝2． ∴点A的坐标为（2，0）． 将x＝0代入直线y＝﹣x+2得；y＝2， ∴点B的坐标为（0，2）， ∴OA＝2，OB＝2， ∵∠BAD＝90°， ∴∠DAH+∠BAO＝90°． ∵∠BAO+∠ABO＝90°， ∴∠DAH＝∠ABO． 又∵∠DHA＝∠BOA＝90°， ∴△ADH∽△BAO， ∴，即． ∴DH＝AH＝1． ∴点D的坐标为（3，1）． ∵曲线在第一象限经过D点， ∴k＝3×1＝3， 故选：A． 9．如图，在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，-3），将线段AB平移得到线段CD，当时，点C、D同时落在反比例函数的图像上，则k的值为______． 【答案】-9 【分析】过C作CF⊥y轴于点F，由△EOA∽△EFC，得CF的长度，结合反比例函数解析式，表示出C点坐标，再根据平移的性质求得D点的坐标，再把D点坐标代入反比例函数解析式中得出k的方程便可求得k的值． 【详解】解：过C作CF⊥y轴于点F，则CFOA， ∴△EOA∽△EFC， ∴， ∵， ∴， ∵OA＝2， ∴， ∴FC＝4， ∴C(-4，)， ∵A（2，0），B（0，-3），线段AB平移得到线段CD， ∴D（-6，-3）， 把D（−6，−3）代入中，得−6（−3）＝k， 解得，k＝-9， 故答案为：-9． 10．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正方形OABC的顶点A在双曲线 (k>0)上． (1) 如图，若已知点B(3，1)，求k的值． (2) 若k=2，点A为双曲线上的动点，点M(m，y)为OC上的一点，且，请你用含m的代数式表示y． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）过点A作AF⊥y轴于点F，过点C作x轴的平行线交y轴于点D，过点B 作BE⊥DC于点E，交x轴于点G，分别证明，，可得，从而可求出点A的坐标； （2）过点M作MH⊥x轴于点H，作CK⊥x轴于点K，如图，证明，利用相似三角形对应边成比例可求解． 【详解】（1）解：过点A作AF⊥y轴于点F，过点C作x轴的平行线交y轴于点D，过点B 作BE⊥DC于点E，交x轴于点G，如图， 则，四边形ODEG是矩形， ∴GE=OD, ∵四边形ABCO是正方形， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴BE=DC,CE=OD， 同理可证，， ∵， ∴设 ∴DE=3, ∴，① ∵， ∴，② 由①②可得，， ∴， 又 ∴ ∴， ∴ （2）解：过点M作MH⊥x轴于点H，作CK⊥x轴于点K，如图， ∴MH//CK， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 又 ∴， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， 整理得，． 11．如图，已知直线经过点，交轴于点，交轴于点． (1)求点的坐标； (2)为线段的中点，是线段上的一点，连接，过点作的垂线交轴于点，探究线段与的数量关系； (3)在（2）的条件下，是轴正半轴上的一点，在平面直角坐标系内是否存在一点，使得，且与相似？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，，，， 【分析】（1）由直线经过点，得到，求得，当时，，当时，，于是得到，； （2）连接，如图1所示：根据等腰直角三角形的性质得到，由为线段的中点，得到，，，求得，根据全等三角形的判定和性质定理得到结论； （3）由为线段的中点，得到，根据勾股定理得到，设，求得，得到，设直线的解析式为，把代入得，，求得直线的解析式为，设，根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：直线经过点， ， ， ， 当时，， 当时，， ； （2）解：证明：连接，如图1所示： ， ， 是等腰直角三角形， ， 为线段的中点， ，， ， ， ， ， ， 在和中 ， ； （3）解：为线段的中点， ， ∵， ， 设， ， ， 或 (不合题意舍去)， ， ，， ， ， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 把代入得，， 直线的解析式为， 设， ， 与相似， ， ， 或， 或， 解得或， ∴把代入，得； ∴把代入，得； ∴把代入，得； ∴把代入，得； 或或或． 12.直线与反比例函数的图象分别交于点和点，与坐标轴分别交于点和点． (1)求直线的解析式． (2)若点是轴上一动点，当与相似时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、相似三角形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）先求出，，再利用待定系数法求解即可； （2）先求出，，再分两种情况：当时，当时，分别利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵与反比例函数的图象分别交于点和点， ∴，， ∴，， 则有， 解得， ∴直线的解析式为． （2）解：如图， 在中，当时，，即， 当时，，解得：，即， ①当时， ∵， ∴， 此时． ②当时，易知， 设，则，，， 由勾股定理可得：， ∴， 解得，此时点的坐标为； 综上所述，满足条件的点坐标为或． 13．如图，平面直角坐标系中，四边形是菱形，点A在y轴正半轴上，点B的坐标是，反比例函数的图像经过点C． (1) 求反比例函数的解析式； (2) 点D在边上，且，过点D作轴，交反比例函数的图像于点E，求点E的坐标． 【答案】(1)； (2)（，）； 【分析】（1）过点B作BF⊥y轴，垂足为F，设点A为（0，m），根据菱形的性质和勾股定理求出，然后求出点C的坐标，即可求出解析式； （2）作DG⊥x轴，CH⊥x轴，垂足分别为G、H，先证明△ODG∽△OCH，求出，，然后得到点D的纵坐标，再求出点E的坐标即可． 【详解】（1）解：根据题意，过点B作BF⊥y轴，垂足为F，如图： ∵四边形是菱形， 设点A为（0，m）， ∴， ∵点B为， ∴，， 在直角△ABF中，由勾股定理，则 ，即， 解得：， ∴， ∴点C的坐标为， 把点C代入，得， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：作DG⊥x轴，CH⊥x轴，垂足分别为G、H，如图， ∵， ∴， ∵DG∥CH， ∴△ODG∽△OCH， ∴， ∵点C的坐标为， ∴，， ∴， ∴，， ∴点D的纵坐标为， ∵轴， ∴点E的纵坐标为， ∴，解得， ∴点E的坐标为（，）； 14.如图，平面直角坐标系中中，在反比例函数的图象上取点，连接，与的图象交于点，点纵坐标为过点作轴交函数的图象于点，连接、． (1)用含的代数式表示点坐标； (2)若与相似，求出此时的值． 【答案】(1) (2) (3)不变；比值为 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合运用，相似三角形的性质与判定； （1）先求得，进而求得直线的解析式为，联立反比例函数与正比例函数，即可求解； （2）根据题意得出，，，则，进而根据相似三角形的性质可得，勾股定理建立方程，即可求解； （3）设点的坐标为则求出，，的坐标，从而得出，的长度，得出直线，直线的解析式，进而求出直线的解析式，然后求出点的坐标，将直线的解析式与反比例函数联立方程组，求出点的坐标，从而计算，，即可计算出比值． 【详解】（1）解：∵点纵坐标为，点在上， ∴点的横坐标为， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得： ∴直线的解析式为 联立 解得：（舍去）或 ∴； （2）∵轴，点纵坐标为， ∴点的纵坐标为， 又∵点在上， ∴点的横坐标为 ∴， ∵，， ∴是的中点， ∴ ∵轴 ∴， ∴当与相似，只有一种情况 ∴，即 ∴ 解得：（负值舍去） 15．如图，矩形的顶点，分别在轴和轴上，点的坐标为，反比例函数（）的图象经过上的点，与交于点，是的中点，连接． (1)求点的坐标； (2)点是边上一点，若，求直线的解析式． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）∵轴，点B的坐标为， ∴，， ∵点D为的中点， ∴， ∴点D的坐标为， 代入双曲线（）得； ∴反比例函数的表达式， ∵轴， ∴点E的横坐标与点B的横坐标相等为2， ∵点E在双曲线上， ∴， ∴点E的坐标为； （2）∵点E的坐标为，B的坐标为，点D的坐标为， ∴，， ∵， ∴． 即：， ∴， ∴点F的坐标为， 设直线的解析式（） 则， 解得：，， ∴直线的解析式； 16.在直角坐标系中，已知，设函数与函数的图象交于点和点．已知点的横坐标是1，点的纵坐标是． (1)求，的值； (2)根据图像，直接写出当时自变量的取值范围； (3)若直线与轴、轴分别交于、两点，在轴上找一点，使得以、为顶点的三角形与相似，请直接写出点坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】本题考查了反比例函数，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）由待定系数法求出函数解析式，即可求解； （2）观察函数图象即可求解； （3）分两种情况：或讨论，然后根据相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】（1）解：对于， 当时，， ∴， 代入，得， ∴， ∴， 当时，，解得， ∴ 代入，得， 解得； （2）解：观察函数图象知：当时，自变量x的取值范围为或； （3）解：由（1）知：， 当时，， ∴， 当时，，解得， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴ 当时，如图， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴； 当时，如图， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴； 综上，点P的坐标为或． 17.如图，直线与函数的图象相交于点，与轴交于点，且，点是线段上一点． （1）直接写出的值与一次函数的解析式； （2）若直线与反比例函数的另一支交于点，直接写出自变量的取值范围，并求出的面积； （3）若，求点的坐标． 【答案】（1）k1=-6，y1=-x+5；（2）-1＜x＜0或x＞6，；（3）（1，4） 【分析】（1）将点A代入求出k2值，再求出点C的坐标，然后用待定系数法可求出一次函数解析式； （2）联立函数解析式，求出点B坐标，结合图像得出不等式对应的x的取值范围，根据S△AOB=得出△AOB的面积； （3）作DF⊥x轴，垂足为F，设点D（x，-x+5），根据DF：AE=2：3列方程即可求解． 【详解】解：（1）∵反比例函数经过点A（-1，6）， ∴k2=-1×6=-6， 如图，作AE⊥x轴，交x轴于点E， ∴E（-1，0），AE=6， ∵∠ACO=45°， ∴CE=AE=6， ∴C（5，0）， ∴， ∴， ∴直线y1=-x+5； （2）联立：， 解得：x=-1或x=6， ∴B（6，-1）， 如图，当y1＜y2时，-1＜x＜0或x＞6， ∴S△AOB===； （3）如图，作DF⊥x轴，垂足为F， ∵S△COD：S△AOC=2：3， ∴DF：AE=2：3， 设点D（x，-x+5）， 则有（-x+5）：AE=2：3， 解得：x=1， ∴D（1，4）． 18.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点，已知点的坐标为． (1)求点坐标及反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)在轴上存在一点，使与相似，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）将点的坐标代入之中，求出的值，即可得出反比例函数的表达式；联立方程组，解方程组，即可得出点的坐标； （2）连接，过点作轴于点，过点作轴于点F，，的延长线交于点，分别求出，，再根据反比例函数比例系数的几何意义得，由此即可得出的面积； （3）过点作轴交轴于点，先求出一次函数与坐标轴的交点坐标，得出，，结合勾股定理求出，得出，分为两种情况：①当时，根据相似三角形的判断和性质得出，求出，得出点的坐标；②当时，根据相似三角形的判断和性质得出，求出，得出点的坐标即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， 故将代入，得， 解得， ∴反比例函数的表达式为：． ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， 联立，解得或， ∴另一个交点的坐标为． （2）解：连接，过点作轴于点，过点作轴于点F，，的延长线交于点，如图： 则， ∴四边形是矩形， ∵点，点， ∴，，，， ∴，， ∴， 根据反比例函数比例系数的几何意义得：， 又∵， ∴． （3）解：过点作轴交轴于点，如图： ∵点的坐标为， ∴，， 对于一次函数，当时，，当时，， 即点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴，， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵轴上存在一点，使与相似， ∴有以下两种情况， ①当时，如图： 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴点的坐标是； ②当时，如图： 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴点的坐标是； 综上所述：点P的坐标是或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版第6章 反比例函数 6.3反比例函数与相似问题专项训练（中等难度） 类型一、 利用线段比构建AX相似 1．如图，点A在反比例的数（其中k>0）图象上，以点A为圆心，OA长为半径画弧交x轴正半轴于点B．其中OA=，OB=4． (1) 求k的值； (2) 过点B作BC⊥OB交反比例函数的图象于点C．连接OC交AB于点D．求的值． 2.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象相交于A（n，4），B（2，2）两点． （1）求反比例函数及一次函数表达式； （2）若点P是直线AB左侧x轴上一点，若△ABP面积为1，求P点的坐标； （3）过点A作直线AC，与第三象限的反比例函数图象交于另一点C，连接BC，当线段AC被y轴分成长度比为1：2的两部分时，求BC的长． 3．在平面直角坐标系中，反比例函数图象在第一象限内的两个动点（点在点左侧），直线交轴于点． 　　　　 (1)如图1，若，直线的解析式为，求的面积； (2)直线与反比例函数图象的另一个交点为，连接交轴于点． ①如图2，若，点的横坐标为1，求的长； ②如图3，点关于直线的对称点为，过点的直线与直线垂直，若，且直线与轴交于点，求点的横坐标． 4．如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（1，2），B（﹣2，n）两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式，并在网格中画出一次函数和反比例函数的图象； （2）若点P在线段AB上，且S△AOP：S△BOP＝1：4，求点P的坐标． 类型二、已知线段比利用AX相似设参求K 1．如图，在中，，点A在x轴的负半轴上，点B在第二象限，反比例函数的图像经过OB上一点D，与AB相交于点C，若，的面积为，则k的值是（    ） A． B． C． D．3 2．如图，已知，中，点A在第一象限内，点B在x轴正半轴上，，，反比例函数的图象经过的中点，则k的值为（    ） A．18 B．12 C．9 D．6 3．如图，双曲线（）经过斜边的中点D，与直角边交于点C，过点D作于点E，连接，若的面积是6，则k的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在y轴的正半轴上，反比例函数的图象分别交于中点D，交于点E，且，连接，，若，则k的值为 ． 5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝15，直线AB经过原点O，点C在y轴上，AC交x轴于点D，CD：AD＝5：3，若反比例函数经过A，B两点，则k的值为（　　） A．﹣24 B．﹣27 C．﹣30 D．﹣18 6．如图，在△ABC中，，点A在反比例函数的图象上，点B，C在x轴上，延长AC交y轴于点D，连接BD，若△BCD的面积等于2，则k的值为______． 7．如图，平行四边形ABCD的BC边过原点O，顶点D在x轴上，反比例函数的图象过AD边上的A，E两点，已知平行四边形ABCD的面积为8，，则k的值为______． 类型三 K型相似相关 1．如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，，若点A在反比例函数的图象上，则经过点B的反比例函数表达式为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，矩形与反比例函数的图象交于D，E两点，矩形的顶点A，C在坐标轴上，，，若点D的坐标为，则下列结论：①；②；③；④点E的坐标为中，所有正确的序号有（    ） A．①③ B．③④ C．②④ D．②③ 3．如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，若，则k的值为 ． 4．如图，已知矩形OABC中，OA＝6，AB＝8，双曲线（k＞0）与矩形两边AB，BC分别交于点D，E，且BD＝2AD． (1) 求k的值和点E的坐标； (2) 点P是线段OC上的一个动点，是否存在点P，使∠APE＝90°？若存在，求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由． 类型四、 相似存在性问题 1． 在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（0，2），B（1，0），点P是反比例函数y＝图象上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为点Q．若以点O，P，Q为顶点的三角形与△OAB相似，则相应的点P共有 _____个． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处． (1)求直线的函数解析式； (2)在直线上是否存在一点P，使得与相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由； 3．在平面直角坐标系中，已知直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线过点B交x轴于点C． (1)求直线的关系式； (2)若点P是直线上一动点，，求点P的坐标； (3)若点E是第一象限内一动点，以点C、A、E为顶点的三角形与相似时（与为对应边），请求出符合条件的点E的坐标． 4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于两点，交轴于点，与轴交于点． (1)求反比例函数的解析式； (3)在轴上存在一点，使与相似，求点的坐标． 5．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（2，3），双曲线y＝﹣（x＞0）的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE (1) 求△BDE的面积 (2) 若点F是OC边上一点，且△FBC∽△DEB，求点F坐标． 类型五、与位似相关 1．如图所示，一次函数与反比例函数的图象相交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)点是第三象限内一点，的面积为24，求点的坐标； (3)在（2）的条作下，平面直角坐标系中，正方形与正方形是位似图形，点的对应点为，点的对应点在的图象上，求位似中心的坐标． 2．（2023·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象的一个交点为，过点B作AB的垂线l．    (1)求点A的坐标及反比例函数的表达式； (2)若点C在直线l上，且的面积为5，求点C的坐标； (3)P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画，使它与位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值． 1．如图，在中，，点C为边AB上一点，且．如果函数的图象经过点B和点C，那么点C的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．如图，过原点O的直线与反比例函数y1＝（x＞0）和y2＝（x＞0）的图象分别交于点A1，A2，若，则＝_____． 3．如图，平面直角坐标系第一象限内任意点A，轴交于点，连结，函数（）的图象经过边的中点C，交于点D，则 （   ） A． B． C． D． 4．如图，Rt△OAB的直角顶点A在y轴上，反比例函数的图象过线段OB的中点D交线段AB于点C，连结CD，若BCD的面积为3，则k的值等于________． 5．如图，在x轴上有一点A（3，0），点D是点A关于y轴的对称点，点B在反比例函数的图象上，连接BD，交反比例函数图象于点C，若，的面积是24．则k的值是_________． 6．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点，已知点的坐标为． (1)求点坐标及反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)在轴上存在一点，使与相似，求点的坐标． 7．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，直线与反比例函数的图像交于点．点是第三象限内反比例函数图象上一动点，连接交轴于点． (1)求点的坐标和反比例函数的解析式； (2)若点把线段分成长度比为的两部分，求点的坐标； (3)试探究在点移动过程中，点的横坐标和点的横坐标之间有何数量关系？写出你的结论并说明理由． 8．如图，直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别相交于A，B两点，过A，B两点作矩形ABCD，AB＝2AD，曲线在第一象限经过C，D两点，则k的值是（　　） A．3 B．6 C．8 D．24 9．如图，在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，-3），将线段AB平移得到线段CD，当时，点C、D同时落在反比例函数的图像上，则k的值为______． 10．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正方形OABC的顶点A在双曲线 (k>0)上． (1) 如图，若已知点B(3，1)，求k的值． (2) 若k=2，点A为双曲线上的动点，点M(m，y)为OC上的一点，且，请你用含m的代数式表示y． 11．如图，已知直线经过点，交轴于点，交轴于点． (1)求点的坐标； (2)为线段的中点，是线段上的一点，连接，过点作的垂线交轴于点，探究线段与的数量关系； (3)在（2）的条件下，是轴正半轴上的一点，在平面直角坐标系内是否存在一点，使得，且与相似？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 12．直线与反比例函数的图象分别交于点和点，与坐标轴分别交于点和点． (1)求直线的解析式． (2)若点是轴上一动点，当与相似时，求点的坐标． 13．如图，平面直角坐标系中，四边形是菱形，点A在y轴正半轴上，点B的坐标是，反比例函数的图像经过点C． (1) 求反比例函数的解析式； (2) 点D在边上，且，过点D作轴，交反比例函数的图像于点E，求点E的坐标． 14.如图，平面直角坐标系中中，在反比例函数的图象上取点，连接，与的图象交于点，点纵坐标为过点作轴交函数的图象于点，连接、． (1)用含的代数式表示点坐标； (2)若与相似，求出此时的值． 15．如图，矩形的顶点，分别在轴和轴上，点的坐标为，反比例函数（）的图象经过上的点，与交于点，是的中点，连接． (1)求点的坐标； (2)点是边上一点，若，求直线的解析式． 16.在直角坐标系中，已知，设函数与函数的图象交于点和点．已知点的横坐标是1，点的纵坐标是． (1)求，的值； (2)根据图像，直接写出当时自变量的取值范围； (3)若直线与轴、轴分别交于、两点，在轴上找一点，使得以、为顶点的三角形与相似，请直接写出点坐标． 17.如图，直线与函数的图象相交于点，与轴交于点，且，点是线段上一点． （1）直接写出的值与一次函数的解析式； （2）若直线与反比例函数的另一支交于点，直接写出自变量的取值范围，并求出的面积； （3）若，求点的坐标． 18.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点，已知点的坐标为． (1)求点坐标及反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)在轴上存在一点，使与相似，求点的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $