5.2 运动的合成与分解（高效培优讲义）物理人教版必修第二册

本高中物理讲义聚焦“运动的合成与分解”核心知识点，从蜡块运动分析切入，通过坐标系建立与分合运动关系推导奠定理论基础，进而延伸至运动合成与分解规律、小船过河问题、关联速度问题等应用题型，构建从基础到进阶的学习支架。 该资料以模型建构为特色，如小船过河的运动分解模型、关联速度的速度分解方法，培养科学思维。结合无人机飞行、C919爬升等实例，强化运动与相互作用的物理观念。分层设计典例、跟踪训练及高考题，课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固提升，查漏补缺。

2. 运动的合成与分解 【题型导航】 【重难题型讲解】 1 题型1 察蜡块的运动分析 1 题型2 运动的合成与分解 6 题型3 小船过河问题 12 题型4 关联速度问题 17 【能力培优练】 21 【链接高考】 32 【重难题型讲解】 题型1 察蜡块的运动分析 1、观察蜡块的运动（如下图） （1）在一端封闭、长约1m 的玻璃管内注满清水，水中放一个红蜡做的小圆柱体A，将玻璃管的开口端用橡胶塞塞紧。把玻璃管倒置，蜡块 A 沿玻璃管上升。如果在玻璃管旁边竖立一把刻度尺，可以看到，蜡块 上升的速度大致不变，即蜡块做匀速直线运动。 （2）在蜡块匀速上升的同时，将玻璃管紧贴着黑板沿水平方向向右匀速移动，观察蜡块的运动情况。 2、建立坐标系：以蜡块开始匀速运动的位置为原点O，以水平向右的方向和竖直向上的方向分别为x轴和y轴的方向，建立平面直角坐标系。 （1）蜡块x坐标的值等于它与y轴的距离，y坐标的值等于它与x轴的距离。若以vx表示玻璃管向右移动的速度，以vy表示蜡块沿玻璃管上升的速度，则有 x=vxt……① y=vyt……② 合并①和②试得，由于vx和vy都是常量， 所以也是常量，可见代表的是一条过原点的直线，也就是说，蜡块的运动轨迹是直线。 ★特别提醒 这里说的“常量”，指的是它不随位置、时间变化。 因此，具有正比例函数关系的形式。 （2）蜡块运动的速度 根据勾股定理得： 根据三角函数的知识，还可以确定速度v的方向，即用速度矢量v与x轴正方向的夹角θ来表示，它 的正切为 【探究归纳】观察蜡块的运动分析是将蜡块的实际运动（合运动）分解为水平和竖直两个分运动，通过研究分运动的独立性与等时性，推导合运动的轨迹、速度和加速度，体现运动的合成与分解思想。 【典例1-1】如图所示，在一端封闭、长约1 m的玻璃管内注满清水，水中放一个红蜡做的小圆柱体A，将玻璃管的开口端用橡胶塞塞紧，把玻璃管倒置，在蜡块相对玻璃管匀速上升的同时将玻璃管紧贴着黑板沿水平方向向右移动，图中虚线为蜡块的实际运动轨迹，关于蜡块的运动，下列说法正确的是（　　） A．速度不断增大 B．速度先增大后减小 C．运动的加速度保持不变 D．运动的加速度先水平向左后水平向右 【答案】B 【详解】AB．由图可知，在水平方向上，蜡块受到的合外力先指向右侧，故蜡块向右做匀加速直线运动；之后，蜡块受到的合外力指向左侧，故蜡块向右做匀减速直线运动，故蜡块水平方向的速度先增大后减小，而蜡块在竖直方向上做匀速直线运动，故蜡块合速度先增大后减小，故A错误，B正确； CD．由上分析，可知蜡块运动的加速度方向先向右再向左，故加速度发生变化，故CD错误。 故选B。 【典例1-2】如图甲所示，竖直放置的两端封闭的玻璃管中注满清水，内有一个红蜡块能在水中以的速度匀速上浮，现当红蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时，使玻璃管水平匀速向右运动，测得红蜡块实际运动的方向与水平方向的夹角为，则（已知；）； (1)根据题意可知玻璃管水平方向的移动速度为 。 (2)如图乙所示，若红蜡块在A点匀速上浮的同时，使玻璃管水平向右做匀加速直线运动，则红蜡块实际运动的轨迹是图中的________。 A．直线P B．曲线Q C．曲线R 【答案】(1)0.4 (2)B 【详解】（1）根据几何关系可知 可得玻璃管水平方向的移动速度为 （2）根据运动的合成与分解，运动的轨迹偏向合外力的方向，故红蜡块实际运动的轨迹是图中的曲线Q。 故选B。 跟踪训练1 如图所示，蜡块能在充满水的玻璃管中匀速上升，若在玻璃管沿水平向右做直线运动的同时，蜡块从玻璃管底端开始匀速上升，则关于蜡块实际运动轨迹的说法正确的是（　　） A．轨迹1，玻璃管可能做匀加速直线运动 B．轨迹2，玻璃管可能做匀减速直线运动 C．轨迹3，玻璃管可能先做匀加速直线运动，然后做匀减速直线运动 D．轨迹4，玻璃管可能做匀减速直线运动 【答案】C 【详解】A．若玻璃管沿水平向右做匀减速直线运动，加速度向左，则合力向左，而合速度向右上，则蜡块相对于地面的运动轨迹为开口向左的抛物线，如轨迹1。故A错误； B．若玻璃管沿水平向右做匀速直线运动，则蜡块相对于地面的运动轨迹为过原点的倾斜直线，如轨迹2。故B错误； C．若玻璃管沿水平向右先做加速运动后做减速运动，加速度先向右后向左，即合力先向右后向左，则蜡块的运动轨迹可能如轨迹3所示。故C正确； D．若玻璃管沿水平向右做匀加速直线运动，加速度向右，则合力向右，而合速度向右上，则蜡块相对于地面的运动轨迹为开口向右的抛物线，如轨迹4。故D错误。 故选C。 跟踪训练2 （多选）如图所示，在一端封闭、长为l的玻璃管中注满凊水，水中放一个蜡块（视为质点），将玻璃管的开口端用橡胶塞塞紧，迅速将玻璃管翻转，蜡块以速度v沿玻璃管竖直向上匀速运动，在蜡块刚向上运动的同时，使玻璃管沿水平方向匀速运动，当蜡块到达玻璃管上端时，玻璃管沿水平方向运动的距离为x。整个运动过程中，玻璃管保持竖直，则该过程中判断正确的是（　　） A．蜡块的运动时间为 B．蜡块的运动时间为 C．玻璃管运动的速度大小为 D．玻璃管运动的速度大小为 【答案】AD 【详解】AB．蜡块在竖直方向上做匀速运动，位移为l，速度为v，则运动时间为 故A正确，B错误； CD．玻璃管在t时间沿水平方向运动的距离为x，玻璃管运动的速度大小为 故C错误，D正确。 故选AD。 跟踪训练3 用玻璃管演示红蜡块运动的示意图如图所示。在图丙中，蜡块在水平方向做匀速直线运动、在竖直方向做匀速直线运动。以蜡块运动的起点为坐标原点、水平方向为x轴、竖直方向为y轴建立平面直角坐标系。以蜡块开始运动的时刻为计时零点，蜡块在水平方向和竖直方向的速度大小分别为、。    （1）0~t时间内蜡块水平方向的位移大小 ，竖直方向的位移大小 ； （2）若蜡块在0~t时间内向右做初速度为零的匀加速直线运动，加速度大小为a，竖直方向的速度大小仍为，则在t时刻蜡块的合速度大小 。 【答案】 【详解】（1）[1]在0~t时间内，蜡块在水平方向的位移大小 [2]竖直方向的位移大小 （2）[3]根据速度的合成与分解有 题型2 1、分运动和合运动：一个物体同时参与几个运动，参与的这几个运动即分运动，物体的实际运动即合运动。 2、运动的合成与分解：已知分运动求合运动称为运动的合成；已知合运动求分运动称为运动的分解。两者互为逆运算。在对物体的实际运动进行分解时，要根据实际效果分解。 3、遵循的规律：位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则。 （1）如果各分运动在同一直线上，需选取正方向，与正方向同向的量取“+”号，与正方向反向的量取“-”号，从而将矢量运算简化为代数运算。 （2）两分运动不在同一直线上时，按照平行四边形定则进行合成，如图所示。 4、合运动和分运动的关系 （1）等时性：合运动与分运动经历的时间相等。 （2）独立性：一个物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，不受其他分运动的影响。 （3）等效性：各分运动叠加起来与合运动有完全相同的效果。 5、合运动的性质与轨迹：由两个分运动的性质及合初速度与合加速度的方向关系决定。 （1）根据加速度判定合运动的性质：若合加速度不变，则为匀变速运动；若合加速度（大小或方向）变化，则为非匀变速运动。 两个互成角度的分运动 合运动的性质 两个匀速直线运动 匀速直线运动 一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动 两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动 两个初速度不为零的匀变速直线运动[来源:学+科+网Z+X+X+K][来源:学_科_网] 如果v合与a合共线，为匀变速直线运动 如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动 （2）合力（或合加速度）方向与轨迹的关系：物体做曲线运动的轨迹一定夹在合力（或合加速度）方向和速度方向之间，速度方向与运动轨迹相切，合力（或合加速度）方向指向曲线的凹侧。 【探究归纳】运动的合成与分解遵循平行四边形定则，合运动与分运动独立、等时且等效，可将复杂运动拆解为简单分运动研究，是解决曲线运动的核心方法。 【典例2-1】无人机已应用于我们的生活，如左图所示是用无人机提升重物的场景，重物沿水平方向运动的速度时间图像和沿竖直方向运动的速度时间图像如右图所示，则下列说法正确的是（　　） A．重物相对地面在做直线运动 B．重物的加速度方向时刻在改变 C．重物的加速度大小时刻在改变 D．重物在时刻的速度大小为 【答案】D 【详解】A．根据图像可知，加速度沿水平方向，竖直方向匀速运动，重物的初速度方向与加速度方向不在同一直线上，重物在做曲线运动，故A错误； BC．根据速度合成可知，重物的速度方向时刻在改变，根据图像斜率代表加速度可知，加速度方向始终沿水平方向，大小恒定，故BC错误； D．重物在时刻的速度大小为，故D正确。 故选D。 【典例2-2】（多选）某质点在平面上运动。时，质点位于轴上。它在轴方向上运动的速度一时间图像如图甲所示，它在轴方向的位移一时间图像如图乙所示。下列有关说法正确的是（　　） A．s内质点做匀加速直线运动 B．t=1s时质点的速度大小v=5m/s C．内质点的位移大小为14m D．t=1s时质点的位置坐标为（4m，2.5m） 【答案】BD 【详解】A．质点沿x轴负方向匀速运动，沿y轴正方向做匀加速直线运动，0~2s内质点做匀加速曲线运动，故A错误； B．图甲可知s时质点竖直方向速度大小 图乙可知s时质点水平方向速度大小 利用矢量合成求出可得，故B正确； C．图甲可知0∼2s内质点的竖直方向位移大小 图乙可知0∼2s内质点的水平方向位移大小 则质点的位移大小为10m，故C错误； D．图甲可知t=1s内质点的竖直方向位移大小 图乙可知0∼1s内质点的水平方向位移大小 故s时质点的位置坐标为（4m，2.5m），故D正确。 故选BD。 【典例2-3】 2019年8月3日，在中国航协衡水航空飞行营地，由国家体育总局航管中心、中国航空运动协会等主办的“2019年全国跳伞冠军赛”正式启幕。某跳伞运动员打开降落伞降落，在无风的时候落地速度为4m/s，现在有水平方向的风，风使他获得3m/s的水平速度，则运动员的落地速度为多少？ 【答案】5m/s，与水平面向下呈角 【详解】根据平行四边形定则得 与水平面的夹角 解得 跟踪训练1 一实验小组做模拟风洞试验，水平实验平台上方有足够大的风洞空间，质量的小球从平台上点正上方高的点以的初速度水平向右抛出，小球受到水平向左的恒定风力，忽略其他阻力的影响，下列说法正确的是（　　） A．小球做匀变速直线运动 B．小球落在平台点右侧处 C．小球落在平台时的速度为 D．若小球受到水平向左的恒定风力调节为，则小球正好落在点 【答案】D 【详解】A．小球受竖直向下的重力和水平向左的风力作用，合力沿左下方向且大小不变，由于小球所受合力方向与初速度方向不共线，做匀变速曲线运动，选项A错误； BC．竖直方向 得t=0.4s F=1N时水平方向加速度 t=0.4s时 水平位移m 落到平台时的速度 选项BC错误； D．F=2N时水平方向加速度 t=0.4s时水平位移 选项D正确。 故选D。 跟踪训练2 （多选）航模比赛是广大青少年喜欢参与的一项活动。某航模比赛中，选手操控无人机在竖直平面内运动，以水平方向和竖直方向建立一个平面直角坐标xOy，无人机在xOy平面上运动，时，无人机位于坐标原点O，它在x轴方向和y轴方向的运动图像分别如图甲和乙所示。下面说法正确的是（　　） A．无人机的轨迹是直线 B．时，无人机的速度大小是5m/s C．时，无人机的位置坐标（12m，4m） D．内，无人机的位移是16m 【答案】BC 【详解】A．由图知，无人机在水平方向做匀速直线运动 在竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动 可知初速度与合力方向不共线，无人机做曲线运动，故A错误； B．结合题图可知时，无人机的速度大小 故B正确； C．结合题图可知时横坐标为 纵坐标为 即时，无人机的位置坐标（12m，4m），故C正确； D．0~8s内横坐标、纵坐标分别为， 可知位移 故D错误。 故选BC。 跟踪训练3 2023年2月10日，国产大飞机C919的5号试飞机满员搭载乘客从上海浦东国际机场起飞并到达了山西太原，圆满完成满员载客验证飞行。C919起飞的过程可以分为四个阶段，第三阶段结束时，飞机距地面的高度为150m，速度大小为100m/s、方向水平。之后保持水平方向速度不变，沿竖直方向开始匀加速爬升，经过60s爬升到距地面600m高处。求： （1）飞机爬升加速度的大小； （2）到达600m高处时飞机速度的大小。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）竖直方向运动的距离为 解得 （2）竖直方向速度为 爬升到距地面600m高处速度为 解得 题型3 1、模型构建 （1）船实际的运动：船随水流的运动和船在静水中的运动的合运动。 （2）如图所示，v水表示水流速度，v静水表示船在静水中的速度，将船在静水中的速度v静水沿平行于河岸方向和垂直于河岸的方向进行正交分解，则v水-v静水cosθ为船实际沿水流方向的运动速度，v⊥=V静水sinθ为船在垂直于河岸方向的运动速度。两个方向的运动情况相互独立、互不影响。 2、小船过河问题的几种情况 （1）渡河时间最短问题：渡河时间仅由v静水垂直于河岸的分量v⊥决定，即（d为河宽），与v水无关。要使渡河时间最短，应使船在垂直于河岸方向的速度最大，如图所示，当sinθ=1，即v静水垂直于河岸时，渡河所用时间最短，即，与v水无关。 （2）渡河位移最小问题 ①当v水＜v静水时，渡河的最小位移即河的宽度d。如图所示，为了使渡河位移等于河的宽度d，这时船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ，使船的合速度v的方向与河岸垂直。此时，v水-v静水cosθ=0，即，渡河时间。 ②当v水＞v静水时，如果船头方向（即v静水方向）与合速度方向垂直，渡河位移最小，如图所示，渡河位移最小为。 【探究归纳】小船过河问题核心是分解船的合运动为静水速度（船速）与水流速度的分运动，需通过平行四边形定则分析，求解最短时间（船头垂直河岸）或最短位移（结合船速与水速大小关系）。 【典例3-1】如图所示，小船以大小为（以水为参考系）、方向与上游河岸成角的速度从A处渡河，经过一段时间正好到达正对岸的B处。已知河中各处水流速度相同，河宽。若取0.8，取0.6，则下列说法中正确的是（　　） A．小船渡河时间为 B．河中水流速度大小为 C．河中水流速度大小为 D．以河岸为参考系，小船的速度大小为 【答案】C 【详解】A．根据题意可知，小船渡河时间为，故A错误； BC．经过一段时间正好到达正对岸的B处，则河中水流速度大小为，故B错误，C正确； D．以河岸为参考系，小船的速度大小为，故D错误。 故选C。 【典例3-2】（多选）小船在静水中的速度为，河宽为200m，水流速度为，下列说法正确的是（　　） A．小船过河的最短时间为50s B．小船以最短时间过河，其位移为245m C．船头垂直河岸过河，水速越大，过河时间越长 D．小船过河的实际速度可以垂直于河岸 【答案】AD 【详解】AC．当船头垂直河岸时，船沿着垂直于河岸方向的分速度最大，此时过河的时间最短，且与水速无关，为，故A正确，C错误； B．小船以最短时间过河，其位移为 故B错误； D．因为静水船速大于水流速度，则合速度方向可能垂直于河岸，即小船过河的实际速度可以垂直于河岸，故D正确。 故选AD。 【典例3-3】有一小船正在渡河，已知河宽为40m，在下游30m处有一危险水域，小船在静水中的速度为10m/s，若水流速度为6m/s，回答下列问题。 (1)为了在最短的时间内靠岸，则船头的方向以及渡河的时间是多少？是否会有危险？ (2)如果船想要在正对岸靠岸，则船头的方向以及渡河的时间是多少？ 【答案】(1)船头方向垂直河岸，，不会有危险 (2)船头方向指向上游，与河岸夹角为（或53.13°），渡河时间 【详解】（1）为了在最短的时间内靠岸，船头方向应垂直于河岸；渡河的时间为 由于 可知不会有危险 （2）如果船想要在正对岸靠岸，则合速度方向垂直于河岸，船头方向指向上游，与河岸夹角满足 可得 渡河的时间为 跟踪训练1如图所示，河水的速度为，小船从点开始渡河，船头垂直指向对岸。已知点到对岸的距离，小船在静水中的速度为，下列说法不正确的是（　　） A．小船渡河的时间为 B．小船渡河的位移大小为 C．若小船在静水中的速度增大，则小船渡河的位移减小 D．若小船在静水中的速度和水流速度同时增大，则小船渡河的位移可能不变 【答案】B 【详解】A．小船的船头垂直指向对岸，则渡河时间，故A正确，不符合题意； B．小船渡河的位移是沿水流方向位移和沿船速方向位移的合位移，故B错误，符合题意； C．小船在静水中的速度增大，则渡河时间变短，沿水流方向的位移减小，由 可知合位移的大小减小，故C正确，不符合题意； D．若小船在静水中的速度和水流速度等比例增大，此时合速度的方向不变，合位移的大小也不变，故D正确，不符合题意。 故选B。 跟踪训练2（多选）如图所示，甲、乙两船在同一条河流中同时渡河，河的宽度为，河水流速为，划船速度均为，出发时两船相距，甲、乙船头均与岸边成60°角，且乙船恰好能直达正对岸的A点，则下列判断正确的是（　　） A．甲、乙两船到达对岸的时间相等 B．两船可能在未到达对岸前相遇 C．甲船在A点左侧靠岸 D．甲船也在A点靠岸 【答案】AC 【详解】依题意，乙船恰好能直达正对岸的A点，根据速度合成与分解可得 可得 将小船的运动分解为平行于河岸和垂直于河岸两个方向，根据分运动和合运动具有等时性，知甲乙两船到达对岸的时间相等，渡河的时间均为 且可得甲船沿河岸方向上的位移为 即甲船在A点左侧靠岸，显然甲、乙两船不可能在未到达对岸前相遇。 故选AC。 跟踪训练3 如图所示，甲、乙两船同时渡河。甲船沿垂直于河岸的直线渡河，乙船的船头始终指向河对岸，沿直线渡河。已知河宽为，、两点之间的距离为，两船到达对岸的时间间隔为。水速恒定，两船在静水中的速度大小相等，求： (1)乙船在静水中的速度与水速的比值； (2)水流的速度（用根号表示）。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）对乙船，垂直河岸方向有 平行河岸方向有 可得乙船在静水中的速度与水速的比值 （2）甲船速度方向垂直于河岸，由速度的合成可知甲船的实际速度 渡河时间 由题意得 解得 题型4 关联速度问题 1、模型本质：通过绳和杆连接的两个物体，尽管实际的运动方向不同，但可以通过速度的合成与分解，找出其速度的关联性。 2、模型的建立：物体斜拉绳或绳斜拉物体的问题可看成“关联物体”模型，如图所示，由于绳不可伸长，所以绳两端所连物体的速度沿着绳方向的分速度大小相同。 3、速度的分解 （1）分解依据：物体的实际运动就是合运动。 （2）分解方法：把物体的实际速度分解为垂直于绳方向和平行于绳方向的两个分量，根据沿绳方向的分速度大小相同列方程并求解。 （3）分解结果：把上图甲、乙所示的速度进行分解，结果如下图甲、乙所示。 4、“关联物体”速度的分解 （1）船的实际运动为合运动，此运动产生两个效果，一是使绳子沿自身方向向上收缩，二是使与船接触的绳有沿与绳垂直的方向向下摆动的趋势。 （2）关联物体速度的分析思路 【探究归纳】关联速度问题核心是分析通过轻绳、轻杆连接的物体间速度关系，需将各物体速度沿绳/杆方向和垂直方向分解，沿绳/杆方向分速度大小相等，是解题关键。 【典例4-1】如图所示，物体A、B通过轻绳跨过位于固定平台上的两个定滑轮连接，水平绳平行于地面，当倾斜绳与水平方向夹角为θ时，物体A的速度为v，此时B的速度大小为（　　） A．v B．vcosθ C．vcosθ+v D． 【答案】C 【详解】物体A由向右移动少许至，平台左侧定滑轮记为，物体B向下移动的位移由两部分引起：一是细绳水平部分缩短；二是细绳倾斜部分长度缩短，根据总绳长不变，可得物体B下降位移满足 解得 故选C。 【典例4-2】（多选）影视作品中的武林高手展示轻功时都是吊威亚（钢丝）的。如图所示，轨道车A通过细钢丝跨过轮轴拉着特技演员B上升，便可呈现出演员B飞檐走壁的效果。轨道车A沿水平地面以速度大小向左匀速前进，某时刻连接轨道车的钢丝与水平方向的夹角为，连接特技演员B的钢丝竖直，取，，则该时刻（　　） A．特技演员B速度大小为 B．特技演员B速度大小为 C．特技演员B处于超重状态 D．轨道车A处于失重状态 【答案】AC 【详解】D．轨道车A沿水平地面以速度大小向左匀速前进，所以道车A处于平衡状态，故D错误； C．设连接轨道车的钢丝与水平方向的夹角为，将车速沿着细钢丝方向和垂直于细钢丝方向分解，可知沿着细钢丝方向的速度与特技演员B的速度大小相等，则有 其中车速不变，逐渐减小，逐渐增大，则逐渐增大，即特技演员B有竖直向上的加速度，处于超重状态，故C正确； AB．当时，则特技演员B的速度大小为 故A正确，B错误。 故选AC 跟踪训练1如图所示，水平光滑长杆上套有一物块Q，跨过悬挂于O点的轻小光滑圆环的轻绳一端连接Q，另一端悬挂一物块P。设轻绳的左边部分与水平方向的夹角为θ，初始时θ很小。现将P、Q由静止同时释放，关于P、Q以后的运动，下列说法正确的是（　　） A．当时，P、Q的速度之比是 B．当时，Q的速度最大 C．当时，Q的速度为零 D．当θ向90°增大的过程中Q的合力一直增大 【答案】B 【详解】A．P、Q用同一根绳连接，则Q沿绳子方向的速度与P的速度大小相等，如下图所示，当时，Q沿绳子方向的分速度满足 解得，故A错误； B．P的机械能最小时，即为Q到达O点正下方时，此时Q的速度最大，即当时，Q的速度最大，故B正确； C．当时，即Q到达O点正下方，垂直于Q运动方向上的分速度为0，即，故C错误； D．当θ向90°增大的过程中Q的合力逐渐减小，当时，Q的速度最大，加速度最小，合力最小，故D错误。 故选B。 跟踪训练2（多选）如图所示，一根轻质不可伸长的细绳绕过光滑的定滑轮，细绳的一端系着放置于水平面上的木箱A，另一端由人握着以速度v向左匀速移动。经过图示位置时，细绳左端与水平方向的夹角为α，细绳右端与水平方向的夹角为β，则在人向左匀速移动过程中，下列说法正确的是（　　） A．木箱以速度v匀速向左运动 B．木箱向左加速运动 C．细绳对木箱的拉力有可能等于它的受到的摩擦力 D．木箱在图示位置时的速度为 【答案】BD 【详解】ABD．沿着绳的方向速度相等则 解得 在人向左匀速移动过程中，α减小，β增大，cosα增大，cosβ减小，v箱增大，木箱向左加速运动，BD正确，A错误； C．因为木箱向左加速运动 ，所以 细绳对木箱的拉力大于它的受到的摩擦力，C错误。 故选BD。 跟踪训练3 如图所示，用船A拖着车B前进，若船匀速前进，速度为vA，当OA绳与水平方向夹角为θ时，求： （1）车B运动的速度vB多大？ （2）车B是否做匀速运动，并说明理由？ 【答案】（1）vAcosθ；（2）不做匀速运动，理由见解析 【详解】（1）把vA分解为一个沿绳子方向的分速度v1和一个垂直于绳的分速度v2，如图所示 所以车前进的速度vB应等于vA的分速度v1，即 vB=v1=vAcosθ （2）当船匀速向前运动时，θ角逐渐减小，则车速vB将逐渐增大，所以车B不做匀速运动。 【能力培优练】 1．一小船以两种方式渡河：如图甲所示，小船航行方向垂直于河岸；如图乙所示，小船航行方向与水流方向成锐角。已知小船在静水中航行的速度大小为，河水流速大小为，则下列说法正确的是（　　） A．图甲中比图乙中小船渡河的时间短 B．图甲中比图乙中小船渡河的合速度大 C．图甲中比图乙中小船渡河的合位移大 D．图甲和图乙中小船均做曲线运动 【答案】A 【详解】A．由于图甲中比图乙中小船在垂直于河岸方向的分速度较大，所以图甲中比图乙中小船渡河的时间短，选项A正确； BC．根据运动的合成法则，图甲中比图乙中小船渡河的合速度小，因甲图中合速度与河岸的夹角较大，则合位移也小，选项B、C错误； D．图甲和图乙中小船两个方向的分运动都是匀速运动，可知合运动是匀速运动，即两船均做匀速直线运动，选项D错误。 故选A。 2．一条小船在静水中的速度为10 m/s，要渡过宽度为600m、水流速度为6 m/s的河流，下列说法正确的是（　　） A．小船渡河的最短时间为100s B．小船渡河的最短时间为60s C．若小船在静水中的速度增加，则小船渡河的最短路程减小 D．若小船在静水中的速度增加，则小船渡河的最短路程增大 【答案】B 【详解】AB．小船在静水中的速度为10m/s，它大于河水流速6m/s，由速度合成的平行四边形法则可知，当以静水中的速度垂直河岸过河时，过河时间最短，则有 ，故A错误，B正确； CD．由题意可知，因船速10m/s大于河水速度6m/s，由速度的合成可知合速度可以垂直河岸，则过河位移最短，则过河最短路程为60m；若静水中的船速增加时，合速度要改变，但船速始终大于水速，则仍可以使合速度垂直河岸，最短路程为60m不变，故CD错误。 故选B。 3．如图所示，小物体P在水平桌面上向左运动，通过一根跨过光滑定滑轮的轻质细线与小物体Q连接。某时刻P的速度大小为，细线与水平方向之间的夹角为，此时细线上张力的大小为，Q匀速上升的速度大小为。已知Q的重力为，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】AB．由速度关联可得，可知，故AB错误； CD．Q匀速上升所受合外力为零，可知，故C错误D正确。 故选 D。 4．有一架正在飞行的无人机，其在水平方向（以水平向右为x轴正方向）和竖直方向（以竖直向上为y轴正方向）的速度—时间图像分别如图甲、乙所示。则在0~t2时间内，该无人机的运动轨迹可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由图可知，在时间内无人机竖直方向做匀速直线运动，水平方向做匀速直线运动，可知在时间内合外力为零，做匀速运动，是一条倾斜直线；在时间内无人机竖直方向向上做匀减速直线运动，水平方向做匀速直线运动，可知在时间内无人机的合外力竖直向下，根据合外力指向轨迹凹处，可知在时间内无人机运动的轨迹向下弯曲。 故选A。 5．宁乡沩水河某段可视为宽度为120m的平直河道，水流速度恒为2m/s。一艘小船在静水中的速度为3m/s。该小船的船头始终垂直于沩水河河岸向对岸行驶，则下列说法正确的是（　　） A．小船渡河的时间为30s B．小船实际航行的速度大小为5m/s C．小船到达对岸时，沿水流方向的位移为80m D．若仅增大水流速度，小船渡河时间会变短 【答案】C 【详解】A．渡河时间由河宽与船在静水中垂直于河岸的分速度决定，即 ，故A错误； B．实际航行速度为水流速度与船速的合速度，即，故B错误； C．沿水流方向的位移为，故C正确； D．渡河时间仅与河宽和船垂直河岸的分速度有关，与水流速度无关，故D错误。 故选C。 6．在雪地军事演习中，已知子弹射出时的速度大小为450m/s，射击者坐在以15m/s的速度大小向正西方向行驶的雪橇上，要射中位于他正南方静止的靶子，此时射击应（　　） A．射击方向南偏东，且偏向角的正弦值为 B．射击方向南偏东，且偏向角的正切值为 C．射击方向南偏西，且偏向角的正弦值为 D．射击方向南偏西，且偏向角的正切值为 【答案】A 【详解】子弹射出后的实际速度只能向南，根据运动的合成与分解可知，射击方向应为南偏东，与正南方向的夹角为 有 可知 故射击方向南偏东，且偏向角的正弦值为。 故选A。 7．如图甲、乙所示，两个相同的物块P、Q均置于光滑水平地面上，细杆分别绕以相同的角速度沿顺时针方向转动。A、B分别为细杆与物块的接触点，某时刻两细杆与水平地面之间的夹角均为，此时的长度分别为。关于该时刻，下列说法正确的是（　　） A．P的速度大小为 B．Q的速度大小为 C．P、Q的速度大小相等 D．P、Q的速度大小之比为 【答案】A 【详解】A．将速度分解如图甲、乙所示，图甲中，由于P对杆的约束，点实际运动方向为水平方向，将点的速度沿杆和垂直杆分解，有 可知，A正确； BCD．图乙中， 可知P、Q的速度大小之比为，BCD错误。 故选A。 8．某质点在Oxy平面上运动，其沿x轴方向运动的加速度一时间图像如图甲所示，沿y轴方向运动的位移一时间图像如图乙所示。已知t=0时，质点位于y轴上，它沿x轴方向速度为1m/s。则t=3s时质点位置相对于t=1s时质点位置的位移大小为（　　） A． m B． C． D． m 【答案】B 【详解】由图可得，物体运动在时间内，沿y轴方向的位移 x轴方向匀加速直线运动，时的速度 时间内的位移 则时质点位置相对于时质点位置的位移大小为 故选B。 9．（多选）如图，某运动会上有一个骑射项目，运动员骑在奔驰的马背上沿着跑道运动拉弓放箭射向他左侧的固定目标。假设运动员静止时射出的箭速度为 ，运动员骑马奔驰的速度为，跑道离固定目标的最近距离。若不计空气阻力的影响，要想命中目标且射出的箭在空中飞行时间最短，则（    ）    A．箭射到靶心的最短时间为 B．箭射到靶心的最短时间为 C．运动员应在距离点为的地方提前放箭 D．运动员应在距离点为的地方提前放箭 【答案】AC 【详解】AB．当放出的箭垂直于马运行方向发射，此时运行时间最短，所以最短时间为 故A正确，B错误； CD．箭垂直于马运行方向发射时，箭在沿马运行方向上的位移为 即运动员应在距离A点为的地方提前放箭，故C正确，D错误。 故选AC。 10．（多选）甲、乙两光滑小球（均可视为质点）用铰链与轻直杆连接，乙球处于光滑水平地面上，甲球套在光滑的竖直杆上，初始时轻杆竖直，杆长为4m。无初速度释放，使得乙球沿水平地面向右滑动，当乙球距离起点3m时，下列说法正确的是（　　） A．甲、乙两球的速度大小之比为 B．甲、乙两球的速度大小之比为 C．甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大小相等 D．甲球即将落地时，乙球的速度为0 【答案】BD 【详解】AB．设轻杆与竖直方向的夹角为，则有， 将、分别沿杆和垂直于杆的方向进行分解，则有 解得，故A错误，B正确； CD．当甲球即将落地时，即，此时甲球的速度达到最大，而乙球的速度为零，故C错误，D正确。 故选BD。 11．（多选）如图为某次紧急救助伤员情形。直升机水平向右匀速直线运动，同时竖直方向上机内人员将伤员匀加速提升，提升过程中轻绳总保持竖直，不计空气阻力，直升机及舱内人员质量为M，伤员质量为m，重力加速度g，则以下说法正确的是（　　） A．相对飞机静止的机内人员观察到伤员做曲线运动 B．地面上静止的人员观察到伤员的轨迹是抛物线 C．空气对直升机的“升力”等于 D．伤员对绳子的拉力总是等于绳子对伤员的拉力 【答案】BD 【详解】A．轻绳总保持竖直方向，因此机内人员观察到伤员总是做直线运动，故A错误； B．伤员相对直升机竖直方向做匀加速直线运动，则有 水平方向做匀速直线运动，则有 根据运动的合成可知，其轨迹方程为 则地面上静止的人员观察到伤员的轨迹是抛物线，故B正确； C．由于伤员竖直向上加速运动，此时升力应大于，故C错误； D．根据牛顿第三定律可知，伤员对绳子的拉力等于绳子对伤员的拉力，故D正确。 故选BD。 12．（多选）甲、乙两光滑小球（均可视为质点）用铰链与轻直杆连接，乙球处于光滑水平地面上，甲球套在光滑的竖直杆上，初始时轻杆竖直，杆长为5m。无初速度释放，使得乙球沿水平地面向右滑动，当乙球距离起点3m时，下列说法正确的是（　　） A．甲、乙两球的速度大小之比为3:4 B．当杆弹力为零时，乙球速度最小 C．甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大小相等 D．甲球即将落地时，甲球的速度达到最大 【答案】AD 【详解】A．设轻杆与竖直方向的夹角为θ，两球沿杆方向速度相等，则有 则 几何关系可知 联立可得，故A正确； B．乙球在水平方向运动时，杆的弹力对乙球先为动力后为阻力，当杆的弹力为零时，乙球水平方向不受力，此时乙球速度最大，故B错误； CD．当甲球即将落地时，此时甲球的速度达到最大，而乙球的速度为零，故C错误，D正确。 故选AD。 13．假设在某次军事演练时士兵驾驶坦克向东的速度大小为v1，坦克静止时射出的炮弹速度大小为v2（v2>v1），且出膛方向沿水平面内可调整，坦克轨迹距离目标最近为d，炮弹飞行时间极短，忽略炮弹受到的空气阻力和炮弹竖直方向的下落高度，且不计炮弹发射对坦克速度的影响，求： (1)若要想命中目标且炮弹在空中飞行时间最短，最短时间多少？坦克发射处离目标的距离为多少？ (2)若到达距离目标最近处时再开炮，求炮弹发射到命中目标的时间。 【详解】（1）炮弹速度向北发射时时间最短，则命中目标最短时间为 坦克发射处离目标的距离为 （2）若到达距离目标最近处时再开炮，由于v2>v1，应调整炮口至左上方可以射中目标，命中目标的时间为 14．一倾角为37°足够大的光滑斜面固定于水平地面上，在斜面上建立xOy直角坐标系，其中Ox轴沿平行于底边的水平方向，Oy轴沿斜面向上的方向，如图所示。从零时刻开始，一可视为质点的物块从O点以沿y轴正方向12m/s的速度被抛出，抛出的同时对物块施加沿x轴正方向大小为16N的水平恒力F，已知物块的质量为2kg，重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6，不计空气阻力。求： (1)前2s内物块的位移； (2)物块再次回到x轴时的速度大小。 【详解】（1）沿y方向受力分析可得 前2s内y方向位移为 在x方向上 前2s内x方向位移为 所以运动的位移，方向与x轴正方向成37°角。 （2）物块再次回到x轴时，有 可得 此时y方向速度为 x方向速度为 此时速度大小为 15．一小船渡河，河宽，水流速度。若船在静水中的速度为，（，）求： (1)使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？最短时间是多少？ (2)使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？ (3)若船在静水中的速度为，要使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？位移是多少？ 【详解】（1）欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向。当船头垂直河岸时，如图甲所示： 合速度为倾斜方向，垂直河岸方向的分速度为船在静水中的速度，所以过河的最短时间为 （2）欲使船渡河航程最短，应垂直河岸渡河，船头应朝上游与垂直河岸方向成某一夹角，如图乙所示： 根据几何关系有 解得 所以 即当船头向上游偏30°时航程最短。此时过河的时间为 （3）因，若要使船航程最短，船头应指向上游与河岸成角，此时船在静水中的速度与合速度相互垂直，如下图所示： 根据几何关系有 则 故最短航程为 所需要的时间为 【链接高考】 1．（2025·黑吉辽蒙卷·高考真题）如图，趣味运动会的“聚力建高塔”活动中，两长度相等的细绳一端系在同一塔块上，两名同学分别握住绳的另一端，保持手在同一水平面以相同速率v相向运动。为使塔块沿竖直方向匀速下落，则v（   ） A．一直减小 B．一直增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【答案】B 【详解】设两边绳与竖直方向的夹角为，塔块沿竖直方向匀速下落的速度为，将沿绳方向和垂直绳方向分解，将沿绳子方向和垂直绳方向分解，可得 解得 由于塔块匀速下落时在减小，故可知v一直增大。 故选B。 2．（2025·四川成都·模拟预测）如图所示，小车以速度v匀速向右运动，通过滑轮拖动物体A上升，不计滑轮摩擦和绳子质量，当绳子与水平面的夹角为时，下列说法正确的是（　　） A．物体A在匀速上升 B．物体A的速度大小为 C．物体A的速度大小为 D．绳子对物体A的拉力小于物体A的重力 【答案】B 【详解】BC．根据绳的牵连速度规律可知，小车沿绳方向的分速度即为物体A上升速度，则有，故B正确，C错误； A．根据上述，由于小车以速度v匀速向右运动，v一定，减小，可知增大，即此过程中物体A在加速上升，故A错误； D．根据上述，物体A在加速上升，则加速度方向向上，所受外力的合力方向向上，即绳子对物体A的拉力大于物体A的重力，故D错误。 故选B。 3．（2025·湖南·高考真题）如图，物块以某一初速度滑上足够长的固定光滑斜面，物块的水平位移、竖直位移、水平速度、竖直速度分别用x、y、、表示。物块向上运动过程中，下列图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意可知，物块沿斜面向上做匀减速直线运动，设初速度为，加速度为大小，斜面倾角为 AB．物块在水平方向上做匀减速直线运动，初速度为，加速度大小为，则有 整理可得 可知，图像为类似抛物线的一部分，故AB错误； CD．物块在竖直方向上做匀减速直线运动，速度为，加速度大小为，则有 整理可得 可知，图像为类似抛物线的一部分，故C正确，D错误。 故选C。 4．（2025·海南海口·模拟预测）（多选）海南地处亚热带，在夏季暴雨灾害频发。若雨滴（可视为球形）在空中下落时受到的空气阻力与v2成正比，v为雨滴下落速度。所有雨滴从同一足够高高度由静止下落，下落过程中雨滴保持球形不变，下列说法正确的是（　　） A．无风时，雨滴下落做匀加速直线运动 B．无风时，雨滴靠近地表时将不再处于失重状态 C．刮水平风时，雨滴落地的速度大小不会改变 D．刮水平风时，雨滴落地所花时间不变 【答案】BD 【详解】A．由可知，无风时，雨滴开始下落做加速度减小的加速直线运动，故A错误； B．雨滴从足够高处由静止下落，则雨滴靠近地表时，加速度已减为0，即雨滴做匀速运动，雨滴处于平衡状态，选项B正确； CD．刮水平风时，雨滴落地的竖直速度不受水平风力的影响，则落地的竖直速度不会改变，落地所花时间也不变，雨滴落地水平速度要改变，竖直速度不变，则雨滴落地的速度大小会改变，故C错误，D正确。 故选BD。 5．（2024·四川成都·模拟预测）一货物传送装置如图所示，由倾角为θ=37°表面粗糙的固定斜槽和足够宽的水平传送带组成，斜槽与传送带垂直，末端与传送带在同一水平面上且相互靠近。传送带以恒定速度向前方运动，现将一质量可视为质点的物块，从距离斜槽底端为的顶点A处无初速度释放，物块通过斜槽底端衔接处速度大小不变，物块最终相对传送带静止。（已知物块与斜槽间的动摩擦因数，物块与传送带间的动摩擦因数，重力加速度g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）。试求： (1)物体在斜槽上运动的时间； (2)物块滑上传送带时受到的摩擦力大小及方向； (3)若物块在传送带上相对滑动时可以留下痕迹，则痕迹的长度为多少？ 【详解】（1）物块在斜槽上做匀加速直线运动，受力分析由牛顿第二定律有 由运动学知识得 联立解得物体在斜槽上运动的时间为 （2）由运动学可知物块滑上传送带时的速度为 此时物块与传送带间存在滑动摩擦力，由滑动摩擦力的公式为 滑动摩擦力的方向与相对运动的方向相反，以传送带为参考系，则物块相对传送带的速度为 物块相对传送带的速度方向和摩擦力方向如图所示 由几何关系可知 所以 即摩擦力方向与传送带方向的夹角向左 （3）以传送带为参考系，物块在传送带上的加速度大小为 则货物在传送带上留下的痕迹长度为 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2. 运动的合成与分解 【题型导航】 【重难题型讲解】 1 题型1 察蜡块的运动分析 1 题型2 运动的合成与分解 5 题型3 小船过河问题 8 题型4 关联速度问题 11 【能力培优练】 13 【链接高考】 18 【重难题型讲解】 题型1 察蜡块的运动分析 1、观察蜡块的运动（如下图） （1）在一端封闭、长约1m 的玻璃管内注满清水，水中放一个红蜡做的小圆柱体A，将玻璃管的开口端用橡胶塞塞紧。把玻璃管倒置，蜡块 A 沿玻璃管上升。如果在玻璃管旁边竖立一把刻度尺，可以看到，蜡块 上升的速度大致不变，即蜡块做匀速直线运动。 （2）在蜡块匀速上升的同时，将玻璃管紧贴着黑板沿水平方向向右匀速移动，观察蜡块的运动情况。 2、建立坐标系：以蜡块开始匀速运动的位置为原点O，以水平向右的方向和竖直向上的方向分别为x轴和y轴的方向，建立平面直角坐标系。 （1）蜡块x坐标的值等于它与y轴的距离，y坐标的值等于它与x轴的距离。若以vx表示玻璃管向右移动的速度，以vy表示蜡块沿玻璃管上升的速度，则有 x=vxt……① y=vyt……② 合并①和②试得，由于vx和vy都是常量， 所以也是常量，可见代表的是一条过原点的直线，也就是说，蜡块的运动轨迹是直线。 ★特别提醒 这里说的“常量”，指的是它不随位置、时间变化。 因此，具有正比例函数关系的形式。 （2）蜡块运动的速度 根据勾股定理得： 根据三角函数的知识，还可以确定速度v的方向，即用速度矢量v与x轴正方向的夹角θ来表示，它 的正切为 【探究归纳】观察蜡块的运动分析是将蜡块的实际运动（合运动）分解为水平和竖直两个分运动，通过研究分运动的独立性与等时性，推导合运动的轨迹、速度和加速度，体现运动的合成与分解思想。 【典例1-1】如图所示，在一端封闭、长约1 m的玻璃管内注满清水，水中放一个红蜡做的小圆柱体A，将玻璃管的开口端用橡胶塞塞紧，把玻璃管倒置，在蜡块相对玻璃管匀速上升的同时将玻璃管紧贴着黑板沿水平方向向右移动，图中虚线为蜡块的实际运动轨迹，关于蜡块的运动，下列说法正确的是（　　） A．速度不断增大 B．速度先增大后减小 C．运动的加速度保持不变 D．运动的加速度先水平向左后水平向右 【典例1-2】如图甲所示，竖直放置的两端封闭的玻璃管中注满清水，内有一个红蜡块能在水中以的速度匀速上浮，现当红蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时，使玻璃管水平匀速向右运动，测得红蜡块实际运动的方向与水平方向的夹角为，则（已知；）； (1)根据题意可知玻璃管水平方向的移动速度为 。 (2)如图乙所示，若红蜡块在A点匀速上浮的同时，使玻璃管水平向右做匀加速直线运动，则红蜡块实际运动的轨迹是图中的________。 A．直线P B．曲线Q C．曲线R 跟踪训练1 如图所示，蜡块能在充满水的玻璃管中匀速上升，若在玻璃管沿水平向右做直线运动的同时，蜡块从玻璃管底端开始匀速上升，则关于蜡块实际运动轨迹的说法正确的是（　　） A．轨迹1，玻璃管可能做匀加速直线运动 B．轨迹2，玻璃管可能做匀减速直线运动 C．轨迹3，玻璃管可能先做匀加速直线运动，然后做匀减速直线运动 D．轨迹4，玻璃管可能做匀减速直线运动 跟踪训练2 （多选）如图所示，在一端封闭、长为l的玻璃管中注满凊水，水中放一个蜡块（视为质点），将玻璃管的开口端用橡胶塞塞紧，迅速将玻璃管翻转，蜡块以速度v沿玻璃管竖直向上匀速运动，在蜡块刚向上运动的同时，使玻璃管沿水平方向匀速运动，当蜡块到达玻璃管上端时，玻璃管沿水平方向运动的距离为x。整个运动过程中，玻璃管保持竖直，则该过程中判断正确的是（　　） A．蜡块的运动时间为 B．蜡块的运动时间为 C．玻璃管运动的速度大小为 D．玻璃管运动的速度大小为 跟踪训练3 用玻璃管演示红蜡块运动的示意图如图所示。在图丙中，蜡块在水平方向做匀速直线运动、在竖直方向做匀速直线运动。以蜡块运动的起点为坐标原点、水平方向为x轴、竖直方向为y轴建立平面直角坐标系。以蜡块开始运动的时刻为计时零点，蜡块在水平方向和竖直方向的速度大小分别为、。    （1）0~t时间内蜡块水平方向的位移大小 ，竖直方向的位移大小 ； （2）若蜡块在0~t时间内向右做初速度为零的匀加速直线运动，加速度大小为a，竖直方向的速度大小仍为，则在t时刻蜡块的合速度大小 。 题型2 1、分运动和合运动：一个物体同时参与几个运动，参与的这几个运动即分运动，物体的实际运动即合运动。 2、运动的合成与分解：已知分运动求合运动称为运动的合成；已知合运动求分运动称为运动的分解。两者互为逆运算。在对物体的实际运动进行分解时，要根据实际效果分解。 3、遵循的规律：位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则。 （1）如果各分运动在同一直线上，需选取正方向，与正方向同向的量取“+”号，与正方向反向的量取“-”号，从而将矢量运算简化为代数运算。 （2）两分运动不在同一直线上时，按照平行四边形定则进行合成，如图所示。 4、合运动和分运动的关系 （1）等时性：合运动与分运动经历的时间相等。 （2）独立性：一个物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，不受其他分运动的影响。 （3）等效性：各分运动叠加起来与合运动有完全相同的效果。 5、合运动的性质与轨迹：由两个分运动的性质及合初速度与合加速度的方向关系决定。 （1）根据加速度判定合运动的性质：若合加速度不变，则为匀变速运动；若合加速度（大小或方向）变化，则为非匀变速运动。 两个互成角度的分运动 合运动的性质 两个匀速直线运动 匀速直线运动 一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动 两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动 两个初速度不为零的匀变速直线运动[来源:学+科+网Z+X+X+K][来源:学_科_网] 如果v合与a合共线，为匀变速直线运动 如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动 （2）合力（或合加速度）方向与轨迹的关系：物体做曲线运动的轨迹一定夹在合力（或合加速度）方向和速度方向之间，速度方向与运动轨迹相切，合力（或合加速度）方向指向曲线的凹侧。 【探究归纳】运动的合成与分解遵循平行四边形定则，合运动与分运动独立、等时且等效，可将复杂运动拆解为简单分运动研究，是解决曲线运动的核心方法。 【典例2-1】无人机已应用于我们的生活，如左图所示是用无人机提升重物的场景，重物沿水平方向运动的速度时间图像和沿竖直方向运动的速度时间图像如右图所示，则下列说法正确的是（　　） A．重物相对地面在做直线运动 B．重物的加速度方向时刻在改变 C．重物的加速度大小时刻在改变 D．重物在时刻的速度大小为 【典例2-2】（多选）某质点在平面上运动。时，质点位于轴上。它在轴方向上运动的速度一时间图像如图甲所示，它在轴方向的位移一时间图像如图乙所示。下列有关说法正确的是（　　） A．s内质点做匀加速直线运动 B．t=1s时质点的速度大小v=5m/s C．内质点的位移大小为14m D．t=1s时质点的位置坐标为（4m，2.5m） 【典例2-3】 2019年8月3日，在中国航协衡水航空飞行营地，由国家体育总局航管中心、中国航空运动协会等主办的“2019年全国跳伞冠军赛”正式启幕。某跳伞运动员打开降落伞降落，在无风的时候落地速度为4m/s，现在有水平方向的风，风使他获得3m/s的水平速度，则运动员的落地速度为多少？ 跟踪训练1 一实验小组做模拟风洞试验，水平实验平台上方有足够大的风洞空间，质量的小球从平台上点正上方高的点以的初速度水平向右抛出，小球受到水平向左的恒定风力，忽略其他阻力的影响，下列说法正确的是（　　） A．小球做匀变速直线运动 B．小球落在平台点右侧处 C．小球落在平台时的速度为 D．若小球受到水平向左的恒定风力调节为，则小球正好落在点 跟踪训练2 （多选）航模比赛是广大青少年喜欢参与的一项活动。某航模比赛中，选手操控无人机在竖直平面内运动，以水平方向和竖直方向建立一个平面直角坐标xOy，无人机在xOy平面上运动，时，无人机位于坐标原点O，它在x轴方向和y轴方向的运动图像分别如图甲和乙所示。下面说法正确的是（ ） A．无人机的轨迹是直线 B．时，无人机的速度大小是5m/s C．时，无人机的位置坐标（12m，4m） D．内，无人机的位移是16m 跟踪训练3 2023年2月10日，国产大飞机C919的5号试飞机满员搭载乘客从上海浦东国际机场起飞并到达了山西太原，圆满完成满员载客验证飞行。C919起飞的过程可以分为四个阶段，第三阶段结束时，飞机距地面的高度为150m，速度大小为100m/s、方向水平。之后保持水平方向速度不变，沿竖直方向开始匀加速爬升，经过60s爬升到距地面600m高处。求： （1）飞机爬升加速度的大小； （2）到达600m高处时飞机速度的大小。 题型3 1、模型构建 （1）船实际的运动：船随水流的运动和船在静水中的运动的合运动。 （2）如图所示，v水表示水流速度，v静水表示船在静水中的速度，将船在静水中的速度v静水沿平行于河岸方向和垂直于河岸的方向进行正交分解，则v水-v静水cosθ为船实际沿水流方向的运动速度，v⊥=V静水sinθ为船在垂直于河岸方向的运动速度。两个方向的运动情况相互独立、互不影响。 2、小船过河问题的几种情况 （1）渡河时间最短问题：渡河时间仅由v静水垂直于河岸的分量v⊥决定，即（d为河宽），与v水无关。要使渡河时间最短，应使船在垂直于河岸方向的速度最大，如图所示，当sinθ=1，即v静水垂直于河岸时，渡河所用时间最短，即，与v水无关。 （2）渡河位移最小问题 ①当v水＜v静水时，渡河的最小位移即河的宽度d。如图所示，为了使渡河位移等于河的宽度d，这时船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ，使船的合速度v的方向与河岸垂直。此时，v水-v静水cosθ=0，即，渡河时间。 ②当v水＞v静水时，如果船头方向（即v静水方向）与合速度方向垂直，渡河位移最小，如图所示，渡河位移最小为。 【探究归纳】小船过河问题核心是分解船的合运动为静水速度（船速）与水流速度的分运动，需通过平行四边形定则分析，求解最短时间（船头垂直河岸）或最短位移（结合船速与水速大小关系）。 【典例3-1】如图所示，小船以大小为（以水为参考系）、方向与上游河岸成角的速度从A处渡河，经过一段时间正好到达正对岸的B处。已知河中各处水流速度相同，河宽。若取0.8，取0.6，则下列说法中正确的是（　　） A．小船渡河时间为 B．河中水流速度大小为 C．河中水流速度大小为 D．以河岸为参考系，小船的速度大小为 【典例3-2】（多选）小船在静水中的速度为，河宽为200m，水流速度为，下列说法正确的是（ ） A．小船过河的最短时间为50s B．小船以最短时间过河，其位移为245m C．船头垂直河岸过河，水速越大，过河时间越长 D．小船过河的实际速度可以垂直于河岸 【典例3-3】有一小船正在渡河，已知河宽为40m，在下游30m处有一危险水域，小船在静水中的速度为10m/s，若水流速度为6m/s，回答下列问题。 (1)为了在最短的时间内靠岸，则船头的方向以及渡河的时间是多少？是否会有危险？ (2)如果船想要在正对岸靠岸，则船头的方向以及渡河的时间是多少？ 跟踪训练1如图所示，河水的速度为，小船从点开始渡河，船头垂直指向对岸。已知点到对岸的距离，小船在静水中的速度为，下列说法不正确的是（　　） A．小船渡河的时间为 B．小船渡河的位移大小为 C．若小船在静水中的速度增大，则小船渡河的位移减小 D．若小船在静水中的速度和水流速度同时增大，则小船渡河的位移可能不变 跟踪训练2（多选）如图所示，甲、乙两船在同一条河流中同时渡河，河的宽度为，河水流速为，划船速度均为，出发时两船相距，甲、乙船头均与岸边成60°角，且乙船恰好能直达正对岸的A点，则下列判断正确的是（　　） A．甲、乙两船到达对岸的时间相等 B．两船可能在未到达对岸前相遇 C．甲船在A点左侧靠岸 D．甲船也在A点靠岸 跟踪训练3 如图所示，甲、乙两船同时渡河。甲船沿垂直于河岸的直线渡河，乙船的船头始终指向河对岸，沿直线渡河。已知河宽为，、两点之间的距离为，两船到达对岸的时间间隔为。水速恒定，两船在静水中的速度大小相等，求： (1)乙船在静水中的速度与水速的比值； (2)水流的速度（用根号表示）。 题型4 1、模型本质：通过绳和杆连接的两个物体，尽管实际的运动方向不同，但可以通过速度的合成与分解，找出其速度的关联性。 2、模型的建立：物体斜拉绳或绳斜拉物体的问题可看成“关联物体”模型，如图所示，由于绳不可伸长，所以绳两端所连物体的速度沿着绳方向的分速度大小相同。 3、速度的分解 （1）分解依据：物体的实际运动就是合运动。 （2）分解方法：把物体的实际速度分解为垂直于绳方向和平行于绳方向的两个分量，根据沿绳方向的分速度大小相同列方程并求解。 （3）分解结果：把上图甲、乙所示的速度进行分解，结果如下图甲、乙所示。 4、“关联物体”速度的分解 （1）船的实际运动为合运动，此运动产生两个效果，一是使绳子沿自身方向向上收缩，二是使与船接触的绳有沿与绳垂直的方向向下摆动的趋势。 （2）关联物体速度的分析思路 【探究归纳】关联速度问题核心是分析通过轻绳、轻杆连接的物体间速度关系，需将各物体速度沿绳/杆方向和垂直方向分解，沿绳/杆方向分速度大小相等，是解题关键。 【典例4-1】如图所示，物体A、B通过轻绳跨过位于固定平台上的两个定滑轮连接，水平绳平行于地面，当倾斜绳与水平方向夹角为θ时，物体A的速度为v，此时B的速度大小为（　　） A．v B．vcosθ C．vcosθ+v D． 【典例4-2】（多选）影视作品中的武林高手展示轻功时都是吊威亚（钢丝）的。如图所示，轨道车A通过细钢丝跨过轮轴拉着特技演员B上升，便可呈现出演员B飞檐走壁的效果。轨道车A沿水平地面以速度大小向左匀速前进，某时刻连接轨道车的钢丝与水平方向的夹角为，连接特技演员B的钢丝竖直，取，，则该时刻（　　） A．特技演员B速度大小为 B．特技演员B速度大小为 C．特技演员B处于超重状态 D．轨道车A处于失重状态 跟踪训练1如图所示，水平光滑长杆上套有一物块Q，跨过悬挂于O点的轻小光滑圆环的轻绳一端连接Q，另一端悬挂一物块P。设轻绳的左边部分与水平方向的夹角为θ，初始时θ很小。现将P、Q由静止同时释放，关于P、Q以后的运动，下列说法正确的是（　　） A．当时，P、Q的速度之比是 B．当时，Q的速度最大 C．当时，Q的速度为零 D．当θ向90°增大的过程中Q的合力一直增大 跟踪训练2（多选）如图所示，一根轻质不可伸长的细绳绕过光滑的定滑轮，细绳的一端系着放置于水平面上的木箱A，另一端由人握着以速度v向左匀速移动。经过图示位置时，细绳左端与水平方向的夹角为α，细绳右端与水平方向的夹角为β，则在人向左匀速移动过程中，下列说法正确的是（　　） A．木箱以速度v匀速向左运动 B．木箱向左加速运动 C．细绳对木箱的拉力有可能等于它的受到的摩擦力 D．木箱在图示位置时的速度为 跟踪训练3 如图所示，用船A拖着车B前进，若船匀速前进，速度为vA，当OA绳与水平方向夹角为θ时，求： （1）车B运动的速度vB多大？ （2）车B是否做匀速运动，并说明理由？ 【能力培优练】 1．一小船以两种方式渡河：如图甲所示，小船航行方向垂直于河岸；如图乙所示，小船航行方向与水流方向成锐角。已知小船在静水中航行的速度大小为，河水流速大小为，则下列说法正确的是（　　） A．图甲中比图乙中小船渡河的时间短 B．图甲中比图乙中小船渡河的合速度大 C．图甲中比图乙中小船渡河的合位移大 D．图甲和图乙中小船均做曲线运动 2．一条小船在静水中的速度为10 m/s，要渡过宽度为600m、水流速度为6 m/s的河流，下列说法正确的是（　　） A．小船渡河的最短时间为100s B．小船渡河的最短时间为60s C．若小船在静水中的速度增加，则小船渡河的最短路程减小 D．若小船在静水中的速度增加，则小船渡河的最短路程增大 3．如图所示，小物体P在水平桌面上向左运动，通过一根跨过光滑定滑轮的轻质细线与小物体Q连接。某时刻P的速度大小为，细线与水平方向之间的夹角为，此时细线上张力的大小为，Q匀速上升的速度大小为。已知Q的重力为，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 4．有一架正在飞行的无人机，其在水平方向（以水平向右为x轴正方向）和竖直方向（以竖直向上为y轴正方向）的速度—时间图像分别如图甲、乙所示。则在0~t2时间内，该无人机的运动轨迹可能为（　　） A． B． C． D． 5．宁乡沩水河某段可视为宽度为120m的平直河道，水流速度恒为2m/s。一艘小船在静水中的速度为3m/s。该小船的船头始终垂直于沩水河河岸向对岸行驶，则下列说法正确的是（　　） A．小船渡河的时间为30s B．小船实际航行的速度大小为5m/s C．小船到达对岸时，沿水流方向的位移为80m D．若仅增大水流速度，小船渡河时间会变短 6．在雪地军事演习中，已知子弹射出时的速度大小为450m/s，射击者坐在以15m/s的速度大小向正西方向行驶的雪橇上，要射中位于他正南方静止的靶子，此时射击应（　　） A．射击方向南偏东，且偏向角的正弦值为 B．射击方向南偏东，且偏向角的正切值为 C．射击方向南偏西，且偏向角的正弦值为 D．射击方向南偏西，且偏向角的正切值为 7．如图甲、乙所示，两个相同的物块P、Q均置于光滑水平地面上，细杆分别绕以相同的角速度沿顺时针方向转动。A、B分别为细杆与物块的接触点，某时刻两细杆与水平地面之间的夹角均为，此时的长度分别为。关于该时刻，下列说法正确的是（　　） A．P的速度大小为 B．Q的速度大小为 C．P、Q的速度大小相等 D．P、Q的速度大小之比为 8．某质点在Oxy平面上运动，其沿x轴方向运动的加速度一时间图像如图甲所示，沿y轴方向运动的位移一时间图像如图乙所示。已知t=0时，质点位于y轴上，它沿x轴方向速度为1m/s。则t=3s时质点位置相对于t=1s时质点位置的位移大小为（　　） A． m B． C． D． m 9．（多选）如图，某运动会上有一个骑射项目，运动员骑在奔驰的马背上沿着跑道运动拉弓放箭射向他左侧的固定目标。假设运动员静止时射出的箭速度为 ，运动员骑马奔驰的速度为，跑道离固定目标的最近距离。若不计空气阻力的影响，要想命中目标且射出的箭在空中飞行时间最短，则（    ）    A．箭射到靶心的最短时间为 B．箭射到靶心的最短时间为 C．运动员应在距离点为的地方提前放箭 D．运动员应在距离点为的地方提前放箭 10．（多选）甲、乙两光滑小球（均可视为质点）用铰链与轻直杆连接，乙球处于光滑水平地面上，甲球套在光滑的竖直杆上，初始时轻杆竖直，杆长为4m。无初速度释放，使得乙球沿水平地面向右滑动，当乙球距离起点3m时，下列说法正确的是（　　） A．甲、乙两球的速度大小之比为 B．甲、乙两球的速度大小之比为 C．甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大小相等 D．甲球即将落地时，乙球的速度为0 11．（多选）如图为某次紧急救助伤员情形。直升机水平向右匀速直线运动，同时竖直方向上机内人员将伤员匀加速提升，提升过程中轻绳总保持竖直，不计空气阻力，直升机及舱内人员质量为M，伤员质量为m，重力加速度g，则以下说法正确的是（　　） A．相对飞机静止的机内人员观察到伤员做曲线运动 B．地面上静止的人员观察到伤员的轨迹是抛物线 C．空气对直升机的“升力”等于 D．伤员对绳子的拉力总是等于绳子对伤员的拉力 12．（多选）甲、乙两光滑小球（均可视为质点）用铰链与轻直杆连接，乙球处于光滑水平地面上，甲球套在光滑的竖直杆上，初始时轻杆竖直，杆长为5m。无初速度释放，使得乙球沿水平地面向右滑动，当乙球距离起点3m时，下列说法正确的是（　　） A．甲、乙两球的速度大小之比为3:4 B．当杆弹力为零时，乙球速度最小 C．甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大小相等 D．甲球即将落地时，甲球的速度达到最大 13．假设在某次军事演练时士兵驾驶坦克向东的速度大小为v1，坦克静止时射出的炮弹速度大小为v2（v2>v1），且出膛方向沿水平面内可调整，坦克轨迹距离目标最近为d，炮弹飞行时间极短，忽略炮弹受到的空气阻力和炮弹竖直方向的下落高度，且不计炮弹发射对坦克速度的影响，求： (1)若要想命中目标且炮弹在空中飞行时间最短，最短时间多少？坦克发射处离目标的距离为多少？ (2)若到达距离目标最近处时再开炮，求炮弹发射到命中目标的时间。 14．一倾角为37°足够大的光滑斜面固定于水平地面上，在斜面上建立xOy直角坐标系，其中Ox轴沿平行于底边的水平方向，Oy轴沿斜面向上的方向，如图所示。从零时刻开始，一可视为质点的物块从O点以沿y轴正方向12m/s的速度被抛出，抛出的同时对物块施加沿x轴正方向大小为16N的水平恒力F，已知物块的质量为2kg，重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6，不计空气阻力。求： (1)前2s内物块的位移； (2)物块再次回到x轴时的速度大小。 15．一小船渡河，河宽，水流速度。若船在静水中的速度为，（，）求： (1)使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？最短时间是多少？ (2)使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？ (3)若船在静水中的速度为，要使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？位移是多少？ 【链接高考】 1．（2025·黑吉辽蒙卷·高考真题）如图，趣味运动会的“聚力建高塔”活动中，两长度相等的细绳一端系在同一塔块上，两名同学分别握住绳的另一端，保持手在同一水平面以相同速率v相向运动。为使塔块沿竖直方向匀速下落，则v（   ） A．一直减小 B．一直增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小 2．（2025·四川成都·模拟预测）如图所示，小车以速度v匀速向右运动，通过滑轮拖动物体A上升，不计滑轮摩擦和绳子质量，当绳子与水平面的夹角为时，下列说法正确的是（　　） A．物体A在匀速上升 B．物体A的速度大小为 C．物体A的速度大小为 D．绳子对物体A的拉力小于物体A的重力 3．（2025·湖南·高考真题）如图，物块以某一初速度滑上足够长的固定光滑斜面，物块的水平位移、竖直位移、水平速度、竖直速度分别用x、y、、表示。物块向上运动过程中，下列图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（2025·海南海口·模拟预测）（多选）海南地处亚热带，在夏季暴雨灾害频发。若雨滴（可视为球形）在空中下落时受到的空气阻力与v2成正比，v为雨滴下落速度。所有雨滴从同一足够高高度由静止下落，下落过程中雨滴保持球形不变，下列说法正确的是（　　） A．无风时，雨滴下落做匀加速直线运动 B．无风时，雨滴靠近地表时将不再处于失重状态 C．刮水平风时，雨滴落地的速度大小不会改变 D．刮水平风时，雨滴落地所花时间不变 5．（2024·四川成都·模拟预测）一货物传送装置如图所示，由倾角为θ=37°表面粗糙的固定斜槽和足够宽的水平传送带组成，斜槽与传送带垂直，末端与传送带在同一水平面上且相互靠近。传送带以恒定速度向前方运动，现将一质量可视为质点的物块，从距离斜槽底端为的顶点A处无初速度释放，物块通过斜槽底端衔接处速度大小不变，物块最终相对传送带静止。（已知物块与斜槽间的动摩擦因数，物块与传送带间的动摩擦因数，重力加速度g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）。试求： (1)物体在斜槽上运动的时间； (2)物块滑上传送带时受到的摩擦力大小及方向； (3)若物块在传送带上相对滑动时可以留下痕迹，则痕迹的长度为多少？ / 学科网（北京）股份有限公司 $