专题04 二次函数的实际应用 7大高频考点（期末真题汇编，辽宁专用）九年级数学上学期

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04二次函数的实际应用 ☆7大高频考点概览 考点01二次函数与销售利润问题 考点02二次函数与面积问题 考点03二次函数与拱桥问题 考点04二次函数与喷水问题 考点05二次函数与投球问题 考点06二次函数与增长率问题 考点07二次函数与实际生活情境问题 考点01 二次函数与销售利润问题 一、 解答题 1.(24-25九上辽宁大连中山区·期末)商场出售某种商品，每件的进价为40元，经市场调查发现，平均日销 售量y(件)与每件售价x(40<x≤100)（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 每件售价x/元 90 80 70 日销售量y件 10 20 30 (1)求y与x之间的函数关系式(40<x≤100)； (2)该商品应如何定价才能使利润W最大？ 2.(24-25九上辽宁葫芦岛期末)近年来，用“短视频+直播”推广家乡农副产品的方式日益引发关注，成为 推动农业和乡村发展的新引擎：资料显示，2022年有近100万网友分享了助农短视频，到2024年分享助农 短视频的人数已经达到121万. (1)求短视频分享人数的年平均增长率； (2)某短视频平台的“新农人”通过平台销售家乡特产“薄皮核桃”，据了解，每斤核桃进价是8元，每斤核桃 的利润中需拿出2元做为平台管理费，若销量y(斤)与每斤售价x(元)满足函数关系y=-50x+1000 ,设直播收益为w(元)，当每斤售价定为多少元时，每天的直播收益最大？最大收益为多少元？（直播 收益=销售利润一平台管理费) 1/31 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3.(24-25九上辽宁本溪期末)【发现问题】数学兴趣小组春节前50天到某超市进行实践活动，发现该超 市销售某品牌灯笼进价是30元/个，在销售过程中，灯笼的销售价格，销售量都随销售天数的变化而变化 【提出问题】超市销售该品牌灯笼的利润w(元)与销售天数x(天)之间有怎样的关系？ 【分析问题】小组成员结合实际销售情况，得到下表所示的数据： 第x天 2 3 销售价格y(元/个) 109 108 107 106 105 销售量z(个) 11 12 13 14 15 经过分析计算，小组成员得到相关信息： ①销售价格y(元/个)与销售天数x(天)的关系式为：y=-x+110 ②销售量z(个)与销售天数x（天)的关系式为：z=x+10 【解决问题】 (1)求该超市第10天的销售利润； (2)当40≤x≤50时，求第几天超市的销售利润w(元)最大？最大利润是多少元？ 4.(24-25九上·辽宁沈阳浑南区·期末)某批发市场批发甲，乙两种水果，经市场调查发现，甲种水果的销售 利润V甲（万元）与进货量x(吨)(x≥0)之间满足正比例函数关系，如图1；乙种水果的销售利润V乙（万 元)与进货量x(吨)(x≥0)之间满足二次函数关系，如图2；部分数据如图所示。 y甲（万元） Ay甲（万元） 2.6t- 1.2 1.4 4x(吨) 012 x(吨) 图1 图2 (1)分别求y甲，y乙与x之间的函数表达式： (②)如果市场准备进甲，乙两种水果共10吨，求这两种水果各进多少吨时，获得的销售利润总和最大. 5.(24-25九上辽宁沈阳皇姑区·期末)某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为 每件120元时，每天可售出20件，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件，设 每件童装降价x元. ()每天可销售」 件，每件盈利」 元（用含x的代数式直接填空）： (2)当平均每天盈利1200元时，求x的值， (3)设平均每天可盈利y元，求y的最大值 2/31 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6.(24-25九上辽宁沈阳和平区·期末)某宾馆有50个房间供游客居住.当每个房间每天的定价为180元时， 房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲.（不考虑其他因素） (1)若宾馆某一天利润9870元，则每个房间的定价为多少元？ (2)求每个房间的定价为多少元时，宾馆这一天的利润最大？ 7.(24-25九上·辽宁铁岭期末)某企业接到生产一批设备的订单，要求不超过12天完成.这种设备的出厂 价为1200元/台，该企业第一天生产22台设备，第二天开始，每天比前一天多生产2台.若干天后，每台 设备的生产成本将会增加，设第x天(x为整数)的生产成本为m(元/台)，m与x的关系如图所示. (1)若第x天可以生产这种设备y台，则y与x的函数解析式为 ，x的取值范围为； (2)求第几天时，该企业当天的销售利润最大？最大利润为多少？ m/(元/台)4 1000 800 0 6 10x/天 8.(24-25九上·辽宁抚顺清原满族自治县期末)某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定 销售单价不低于44元，且不高于52元.某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300 个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个.现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x 元. (1)直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； (2)将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？ (3)该商户从每天的利润中捐出200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，求销售单价x的 范围. 9.(24-25九上辽宁大连瓦房店期末)某商场试经营某种新产品，进价为每件50元，在试销阶段发现，当 售价为每件70元时，每天销售量是200件，如调整价格，每降价1元，就可多售出20件. (1)求销售该新产品获得的利润y(元)与售价为每件x(元)之间的函数关系式： (2)请你帮助商场经理策划这种新产品售价为每件多少元时，每日盈利可达到4500元？ (3)若商场规定该新产品售价为每件不低于67元且不高于70元，则销售该新产品的最大利润是多少？ 10.(24-25九上·辽宁朝阳朝阳一中联盟校期末)在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A、B两种农作物为原料 开发了一种有机产品.A原料的单价是B原料单价的1.5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购B原 3/31 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 料少100kg.生产该产品每盒需要A原料2kg和B原料4kg,每盒还需其他成本9元.市场调查发现：该产 品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒， (1)求每盒产品的成本（成本=原料费+其他成本）： (2)设每盒产品的售价是x元(x是整数)，每天的利润是W元，求每盒产品的售价为多少元时，每天的利润 最大，最大利润是多少？ 11,(24-25九上辽宁铁岭铁岭县期末)某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求 每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y(本)与每本纪 念册的售价x(元)之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元 时，销售量为32本， (1)求出y与x的函数关系式： (2)当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？ (3)设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为W元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文 具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 12.(24-25九上·辽宁大连汇文中学期末)某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量 y（单位：件)与销售单价x(单位：元/件)之间是一次函数关系，其部分图象如图所示. 300--- 200 100120X (1)求这段时间内y与x之间的函数解析式： (2)在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多 少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？ 13.(24-25九上·辽宁抚顺新抚区·期末)某公司研发了一款成本为50元的新型玩具，投放市场进行试销售.其 销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于70%，市场调研发现，在一段时间内，每天 销售数量y(个)与销售单价x（元)符合一次函数关系，如图所示： y(个 160 100 5080x(元) 4/31 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (1)根据图象，请求出y与x的函数关系式： (2)销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？ 14.(24-25九上辽宁铁岭·期末)商店出售某品牌护眼灯，每台进价为40元，在销售过程中发现，月销量y(台) 与销售单价x（元)之间满足一次函数关系，规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，其部分对应 数据如下表所示： 销售单价x(元) 50 60 70 月销量y(台) 90 80 70 (1)求y与x之间的函数关系式： (2)当护眼灯销售单价定为多少元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大？最大月利润为多少元？ 15.(2425九上辽宁铁岭期末)一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某摩托车配件店经市场调查，发 现进价为80元的新款头盔每月的销售量y(件)与售价x(元)的相关信息如下： 售价x(元) 100 110 120 130 销售量y(件) 180 160 140 120 (1)由表知，每月的销售量y(件)与售价x(元)成一次函数，请直接写出这个一次函数的解析式为 (2)若获利不得高于进价的60%，那么售价定为多少元时，月销售利润达到最大？ 考点02 二次函数与面积问题 一、填空题 1.(24-25九上·辽宁大连沙河口区·期末)如图是一面足够长的墙，用18m长的篱笆围成中间隔有一道篱笆的 矩形花园ABCD,若设AB的长度为xm,则矩形花园ABCD的面积S(m2)与x(m)的函数解析式 为 ⊙ 2.(23-24九上·辽宁大连西岗区·期末)如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为 18m.菜园面积的最大值为m2. 5/31 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 18m 墙 菜园 二、解答题 3.(24-25九上辽宁大连甘井子区·期末)如图，计划利用一段长为30m的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩 形花园，其中一边靠墙，墙长是16m.设花园的宽AB为xm,面积为Sm2. 墙 E (1)写出S与x的函数解析式（不用写出自变量的取值范围）； (2)试判断矩形花园面积能否达到72m2?如果能，求出花园的宽；如果不能，请说明理由， 4.(24-25九上·辽宁大连弘文中学期末)如图，某养殖场在养殖面积扩建中，准备将总长为78米的篱笆围成 矩形ABCD形状的鸡舍，其中AD一边利用现有的一段50米长的围墙，其余三边用篱笆，且在与墙平行的 一边BC上开一个2米宽的门PQ.设AB边长为x米，鸡舍面积为y平方米。 (1)求出y与x的函数关系式；（写出自变量的取值范围） (2)当鸡舍的面积为800平方米时，求出鸡舍的一边AB的长， 5.(23-24九上辽宁葫芦岛建昌县期末)国家课程实施以来，学校特别重视学生劳动教育，为了提高学生动 手能力，特意给学生划出实践基地用来给各班种植花草、花生、马铃薯等.实验小组同学决定用长为100m 的栅栏，再借助学校的外墙围成一个矩形的花圃ABCD(如图)·己知可利用的外墙长40m,设矩形 ABCD的边AB=xm,面积为Sm2. 6/31 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B (I)S与x之间的函数关系式为 ,x的取值范围是 (2)用配方法求当AB,BC分别为多少m时，花圃的面积最大？最大面积是多少？ 6.(23-24九上辽宁鞍山期末)用长为20cm的铁丝，折成一个矩形，设它的一边长为xcm,面积为ycm2. (1)求出y与x的函数关系式，并写出取值范围. (2)当y=24时，求x的值. (3)当边长x为多少时，矩形的面积最大，最大面积是多少？ 7.(23-24九上辽宁大连普兰店区期末)学校准备将一块长20m,宽14m的矩形绿地扩建，如果长和宽都 增加xm,设增加的面积是ym2. (1)求y与x之间的函数表达式： (2)若要使绿地面积增加72m2,则长与宽都要增加多少米？ 8.(23-24九上·辽宁盘锦大洼区·期末)如图，用长为9m的铝合金条制成“日”字形窗框，若窗框的宽为m, 窗户的透光面积为ym2(铝合金条的宽度不计)· (I)求出y与x的函数关系式；（写出自变量x的取值范围） (②)能否使窗的透光面积达到3平方米，如果能，窗的高度和宽度各是多少？如果不能，请说明理由. 9.(23-24九上辽宁铁岭西丰县期末)如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为9米） 围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃AB边为x米，面积为y平方米. 9m B (I)写出y与x的函数关系式_，并写出x的取值范围_； (2)如果要围成面积为36m2的花圃，求AB的长度： 7/31 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)如果要使围成的花圃面积最大，求最大面积是多少平方米. 目目 考点03 二次函数与拱桥问题 一、单选题 1.(24-25九上·辽宁沈阳期末)如图1是莲花山景区一座抛物线形拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系， 得到抛物线解析式为y=-亮x2,正常水位时水面宽AB为36m,当水位上升5m时水面宽CD为() 图1 图2 A.10m B.12m C.24m D.48m 二、填空题 2.(24-25九上·辽宁营口大石桥实验中学·期末)有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶 距离水平面4米，如图建立直角坐标系，若正常水位时，桥下水深6米，为保证过往船只顺利航行，桥下 水面宽度不得小于18米，则当水深超过 米时，就会影响过往船只的顺利航行. 4m C二二用 3.(24-25九上·辽宁营口第一中学期末)有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m,跨度 为10m,建立如图所示的平面直角坐标系，使抛物线的顶点A落在x轴上，桥洞底部左边端点B落在y轴上， 在对称轴右边1m处，桥洞离水面的高是 米 4m 1m 10m 三、解答题 8/31 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 4.(24-25九上辽宁营口期末)探究观景拱桥中安装的“脚手架”是否符合要求 某公园有一个抛物线形状 的观景拱桥ACB,其横 截面如图所示，量得该拱 素材一 桥占地面最宽处AB=20 米，最高处点C距地面5 米（即0C=5米）· 桥洞两侧壁上各有一盏景 观灯E、F,两灯直射地 面分别形成反光点H、G E (E、F分别在抛物线上且 关于OC对称，H、G在 A H 线段AB上)， 量得矩形 素材二 EFGH的周长为27.5米现 公园管理人员对拱桥加固 维修，在点H、G处搭建 一个高3.55米的矩形“脚 手架”GHMN.已知脚 手架”最高处距景观灯至 少为035米可保证安全， 问题解决 分别以AB、OC所在直线为x轴、y轴，建 任务一 确定观景拱桥的形状 立如图所示的平面直角坐标系，求出该抛 物线的解析式. 请问该“脚手架”的安装是否符合要求？ 任务二 探究方案合理性 如果符合，请说明理由；如果不符合，求 出脚手架至少应调低多少米？ 5.(2425九上·辽宁沈阳大东区·期末)某公司将新建的大门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的 9131 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 跨度与拱高之积为48m2,还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案. 现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示： 本y/m Ay/m E' D' x/m B G'x/m 图1 图2 方案一：如图1，抛物线型拱门的跨度0G=8m,拱高EF=6m.其中，点G在x轴上， EF⊥OG,OF=FG 方案二：如图2，抛物线型拱门的跨度0G=12m,拱高EF=4m·其中，点G在x轴上， EF⊥OG,0F=FG. 要在拱门中设置高为3的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）.方案一中，矩形框架 ABCD的面积记为S1,点A,D在抛物线上，边BC在OG上；方案二中，矩形框架ABCD的面积记为S2 ,点A,D在抛物线上，边BC在0G上.现知，小明已正确求出方案二中，当AB=3时，S2=18m2, 请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： (1)求方案一中抛物线的函数表达式； (2)在方案一中，当AB=3m时， ①求矩形框架ABCD的面积S1; ②比较S1,S2的大小，并给出公司最后确定用的是方案几. 6.(24-25九上辽宁盘锦双台子区·期末)《桥梁的设计》 某地欲修建一座拱桥，桥的底部两端间的水面宽AB=L(如图)，称为跨度，桥面 问 最高点到AB的距离CD=h称为拱高，拱桥的轮廓可以设计成是圆弧型或抛物线型， 题 若修建拱桥的跨度L=32米，拱高h=8米。 的 驱 动 D 设 方案一 方案二 10/31 专题04 二次函数的实际应用 7大高频考点概览 考点01 二次函数与销售利润问题 考点02 二次函数与面积问题 考点03 二次函数与拱桥问题 考点04 二次函数与喷水问题 考点05 二次函数与投球问题 考点06 二次函数与增长率问题 考点07 二次函数与实际生活情境问题 地 城 考点01 二次函数与销售利润问题 一、解答题 1．(24-25九上·辽宁大连中山区·期末)商场出售某种商品，每件的进价为元，经市场调查发现，平均日销售量（件）与每件售价（）（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 每件售价元 日销售量件 (1)求与之间的函数关系式（）； (2)该商品应如何定价才能使利润最大？ 【答案】(1)； (2)定价为元时，才能使利润最大为元 【分析】（）根据表格信息可设一次函数的关系式为，然后利用待定系数法即可求解； （）由题意得，然后根据二次函数的性质即可求解； 本题考查了二次函数和一次函数的应用，掌握二次函数和一次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意设一次函数的关系式为， 由表格数据可知，当时，；当时，， ∴， ∴， ∴所求函数关系式为； （2）解：由题意得 ， ∵， ∴当时，有最大值， 答：定价为元时，才能使利润最大为元． 2．(24-25九上·辽宁葫芦岛·期末)近年来，用“短视频＋直播”推广家乡农副产品的方式日益引发关注，成为推动农业和乡村发展的新引擎：资料显示，2022年有近100万网友分享了助农短视频，到2024年分享助农短视频的人数已经达到121万． (1)求短视频分享人数的年平均增长率； (2)某短视频平台的“新农人”通过平台销售家乡特产“薄皮核桃”，据了解，每斤核桃进价是8元，每斤核桃的利润中需拿出2元做为平台管理费，若销量（斤）与每斤售价（元）满足函数关系，设直播收益为（元），当每斤售价定为多少元时，每天的直播收益最大？最大收益为多少元？（直播收益＝销售利润－平台管理费） 【答案】(1)10% (2)当售价为15元时，每天的收益最大；最大收益为1250元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，理解题意，正确列出函数关系式是解题的关键． （1）设年增长率为，根据题意列出方程，解方程即可； （2）根据题意列出函数关系式，根据二次函数的性质求出二次函数的最值即可． 【详解】（1）解：设短视频分享人数的年平均增长率为， 根据题意得：， 解得，，（不合题意，舍去）． 答：短视频分享人数的年平均增长率为10%． （2）解：根据题意可得 ， 抛物线开口向下，有最高点，有最大值， 即当时，． 答：当售价为15元时，每天的收益最大；最大收益为1250元 3．(24-25九上·辽宁本溪·期末)【发现问题】数学兴趣小组春节前50天到某超市进行实践活动，发现该超市销售某品牌灯笼进价是30元/个，在销售过程中，灯笼的销售价格，销售量都随销售天数的变化而变化． 【提出问题】超市销售该品牌灯笼的利润w（元）与销售天数x（天）之间有怎样的关系？ 【分析问题】小组成员结合实际销售情况，得到下表所示的数据： 第x天 1 2 3 4 5 … 销售价格y（元/个） 109 108 107 106 105 … 销售量z（个） 11 12 13 14 15 … 经过分析计算，小组成员得到相关信息： ①销售价格y（元/个）与销售天数x（天）的关系式为： ②销售量z（个）与销售天数x（天）的关系式为： 【解决问题】 (1)求该超市第10天的销售利润； (2)当时，求第几天超市的销售利润w（元）最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)1400元 (2)第40天销售利润最大，最大销售利润是2000元 【分析】（1）根据已知函数解析式求出第10天的销售价格，销售量，再由销售利润=（销售价格-成本）销量即可计算利润； （2）根据利润等于单件利润乘以销售量列出函数关系式，再根据二次函数的性质得出最大利润即可． 本题考查了二次函数的实际应用，根据题意列出函数关系式并熟知函数的基本性质是解题关键． 【详解】（1）解：当时， ， ， ∴元． 答：第10天销售利润是1400元． （2）∵， ∴． ∵， ∴抛物线开口向下． ∵对称轴是， ∴时，w随x的增大而减小． 又∵， ∴时，w有最大值，此时． 答：第40天销售利润最大，最大销售利润是2000元． 4．(24-25九上·辽宁沈阳浑南区·期末)某批发市场批发甲，乙两种水果，经市场调查发现，甲种水果的销售利润（万元）与进货量x（吨）（）之间满足正比例函数关系，如图1；乙种水果的销售利润（万元）与进货量x（吨）（）之间满足二次函数关系，如图2；部分数据如图所示． (1)分别求，与x之间的函数表达式； (2)如果市场准备进甲，乙两种水果共10吨，求这两种水果各进多少吨时，获得的销售利润总和最大． 【答案】(1)； (2)甲、乙两种水果的进货量分别为4吨和6吨时，获得的销售利润之和最大 【分析】本题考查二次函数的应用，正比例函数的应用等知识， （1）由题意设，设，再利用待定系数法求解解析式即可； （2）设乙种水果进货m吨，则甲种水果进货吨，10吨水果销售利润之和为W万元，根据题意，，再根据二次函数最值的求解即可得出答案． 【详解】（1）解：设， 把，代入可得：， 解得：， ∴， 设， ∴， 解得， ∴， （2）解：设乙种水果进货m吨，则甲种水果进货吨，10吨水果销售利润之和为W万元， 根据题意，， ∵， ∴当时，W的最大值为， ∴， 答：甲、乙两种水果分别进货4吨，6吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是万元． 5．(24-25九上·辽宁沈阳皇姑区·期末)某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为每件120元时，每天可售出20件．经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件，设每件童装降价x元． (1)每天可销售　　　　　件，每件盈利　　　　　元（用含x的代数式直接填空）； (2)当平均每天盈利1200元时，求x的值． (3)设平均每天可盈利y元，求y的最大值． 【答案】(1)， (2)元或元 (3)1250 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）根据“销售量原销售量因价格下降而增加的数量”、“每件利润实际售价进价”列式即可； （2）根据“总利润每件利润销售数量”，列方程求解即可． （3）先得到关于的函数解析式，再进行配方即可求解． 【详解】（1）解：当每件童装降价元时，每天可销售件，每件盈利元， 故答案为：，； （2）解：根据题意可得： ， 解得：，， 答：每件童装降价元或元时，平均每天盈利元． （3）解：由题意得，， ∵， ∴当时，取得最大值为1250元． 6．(24-25九上·辽宁沈阳和平区·期末)某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．（不考虑其他因素） (1)若宾馆某一天利润9870元，则每个房间的定价为多少元？ (2)求每个房间的定价为多少元时，宾馆这一天的利润最大？ 【答案】(1)房价定为470元或210元 (2)房价定为340元时，宾馆这一天的利润最大 【分析】本题考查一元二次方程的应用和二次函数的实际应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系，列出函数关系式． （1）设每个房间的定价为a元，根据“房间单价房间数量=利润”列出方程求解可得； （2）根据（1）中相等关系列出函数解析式，由二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：设每个房间的定价为a元，根据题意，得： ， 解得：或， 答：房价定为470元或210元； （2）解：设房价增加x元时，利润为w元， 则， ∵， ∴当时，即房价定为340元时，宾馆这一天的利润最大． 7．(24-25九上·辽宁铁岭·期末)某企业接到生产一批设备的订单，要求不超过12天完成．这种设备的出厂价为1200元/台，该企业第一天生产22台设备，第二天开始，每天比前一天多生产2台．若干天后，每台设备的生产成本将会增加，设第天（为整数）的生产成本为（元/台），与的关系如图所示． （1）若第天可以生产这种设备台，则与的函数解析式为______，的取值范围为______； （2）求第几天时，该企业当天的销售利润最大？最大利润为多少？ 【答案】（1）y＝2x+20；1≤x≤12；（2）第6天时，该企业利润最大，为12800元． 【分析】（1）根据题意确定一次函数的解析式，实际问题中x的取值范围要使实际问题有意义； （2）求出当天利润与天数的函数解析式，确定其最大值即可． 【详解】解：（1）根据题意，得y与x的解析式为：y＝22+2（x﹣1）＝2x+20（1≤x≤12）， 故答案为：y＝2x+20，1≤x≤12； （2）设当天的销售利润为w元， 则当1≤x≤6时， w＝（1200﹣800）（2x+20）＝800x+8000， ∵800＞0， ∴w随x的增大而增大， ∴当x＝6时，w最大值＝800×6+8000＝12800． 当6＜x≤12时， 设m＝kx+b，将（6，800）和（10，1000）代入得： ， 解得：， ∴m与x的关系式为：m＝50x+500， ∴w＝[1200﹣（50x+500）]×（2x+20） ＝﹣100x2+400x+14000 ＝﹣100（x﹣2）2+14400． ∵此时图象开口向下，在对称轴右侧，w随x的增大而减小，天数x为整数， ∴当x＝7时，w有最大值，为11900元， ∵12800＞11900， ∴当x＝6时，w最大，且w最大值＝12800元， 答：该厂第6天获得的利润最大，最大利润是12800元． 【点睛】本题主要考查的是一次函数与二次函数的应用，解题的关键在于理解题意，利用待定系数法确定函数的解析式，并根据函数的性质确定结果． 8．(24-25九上·辽宁抚顺清原满族自治县·期末)某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价元，规定销售单价不低于元，且不高于元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为元时，每天可售出个，销售单价每上涨元，每天销量减少个．现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元． (1)直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围； (2)将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大？最大利润是多少元？ (3)该商户从每天的利润中捐出元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于元，求销售单价的范围． 【答案】(1)； (2)将纪念品的销售单价定为元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大，最大利润是元； (3)捐款后每天剩余利润不低于元，销售单价的范围是． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用．解决本题的关键是根据二次函数的性质求出二次函数的最值，从而解决利润最大的问题． 根据销售单价每上涨元，每天销量减少个，列出与之间的函数关系式，根据规定销售单价不低于元，且不高于元可得自变量的取值范围； 根据利润销量单件利润可以得到，利用二次函数的性质求出最大利润； 根据捐款后每天剩余利润不低于元，可以得到，求出方程的解，再根据自变量的取值范围确定销售单价的范围． 【详解】（1）解：根据题意得：， 与之间的函数关系式为；         （2）解：根据题意得： 整理得：， 配方得：， ，抛物线的对称轴为， 当时，随的增大而增大， 又， 当时，有最大值，最大值为， 将纪念品的销售单价定为元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大，最大利润是元； （3）解：根据题意可得：剩余利润为元， 捐款后每天剩余利润不低于元， ， ， 解方程， 可得：，， 又，， 要使捐款后每天剩余利润不低于元，则， 答：捐款后每天剩余利润不低于元，销售单价的范围是． 9．(24-25九上·辽宁大连瓦房店·期末)某商场试经营某种新产品，进价为每件50元，在试销阶段发现，当售价为每件70元时，每天销售量是200件，如调整价格，每降价1元，就可多售出20件． (1)求销售该新产品获得的利润y（元）与售价为每件x（元）之间的函数关系式； (2)请你帮助商场经理策划这种新产品售价为每件多少元时，每日盈利可达到4500元？ (3)若商场规定该新产品售价为每件不低于67元且不高于70元，则销售该新产品的最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)这种新产品售价为每件65元时，每日盈利可达到4500元 (3)销售该新产品的最大利润是4420元 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）利用总利润等于单件利润乘以销量，列出函数关系式即可； （2）令，求出的值即可； （3）根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：由题意：， 整理，得：； （2）当时： 解得：； 答：这种新产品售价为每件65元时，每日盈利可达到4500元； （3）∵， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴当时，有最大值为：； 答：销售该新产品的最大利润是4420元． 10．(24-25九上·辽宁朝阳朝阳一中联盟校·期末)在“乡村振兴”行动中，某村办企业以两种农作物为原料开发了一种有机产品．A原料的单价是原料单价的1.5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购原料少．生产该产品每盒需要A原料和原料，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒． (1)求每盒产品的成本（成本=原料费+其他成本）； (2)设每盒产品的售价是元（是整数），每天的利润是元，求每盒产品的售价为多少元时，每天的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)每盒产品的成本为30元 (2)当每盒产品的售价为70元时，每天最大利润为16000元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、二次函数的应用等知识点，正确理解题意、列出分式方程和函数解析式成为解答本题的关键． （1）设原料单价为元，则原料单价为元，然后再根据题意列分式方程求解即可； （2）直接根据“总利润单件利润销售数量”列出解析式即可，解析式形式为二次函数，先确定抛物线的开口方向，然后再根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设原料单价为元，则原料单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验是方程的解， ， 每盒产品的成本是：（元， 答：每盒产品的成本为30元 （2）根据题意，得， 关于的函数解析式为：； ∴， ， 抛物线开口向下， 当每盒产品的售价为70元时，每天最大利润为16000元． 11．(24-25九上·辽宁铁岭铁岭县·期末)某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本． （1）求出y与x的函数关系式； （2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？ （3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）y=﹣2x+80（20≤x≤28）；（2）每本纪念册的销售单价是25元；（3）该纪念册销售单价定为28元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元． 【分析】（1）用待定系数法列方程组求一次函数解析式． （2）根据（1）中解析式，列一元二次方程求解． （3）总利润=单件利润销售量：w＝(x-20)(-2x＋80)，得到二次函数，先配方，在定义域上求最值． 【详解】(1)设y与x的函数关系式为y＝kx＋b． 把(22，36)与(24，32)代入，得 解得， ∴y＝-2x＋80（20≤x≤28）． (2)设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是x元， 根据题意，得：(x-20)y＝150，即(x-20)(-2x＋80)＝150． 解得x1＝25，x2＝35(舍去)． 答：每本纪念册的销售单价是25元． (3)由题意，可得w＝(x-20)(-2x＋80)＝-2(x-30)2＋200． ∵售价不低于20元且不高于28元，当x＜30时，y随x的增大而增大， ∴当x＝28时，w最大＝-2×(28-30)2＋200＝192(元)． 答：该纪念册销售单价定为28元时，能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元． 【点睛】本题考查了一次函数解析式的求法，列一元二次方程并求解，再根据二次函数的求最值问题，这是一道综合题，解题的关键是能读懂题意，找到关键点． 12．(24-25九上·辽宁大连汇文中学·期末)某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示． (1)求这段时间内y与x之间的函数解析式； (2)在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)这段时间内y与x之间的函数解析式为 (2)当销售单价为元时，商场获得利润最大，最大利润是元 【分析】（1）设这段时间内y与x之间的函数解析式为，函数经过，，可以利用待定系数法建立二元一次方程组，即可求出解析式； （2）根据销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件，建立一元一次不等式组，即可求出销售单价的取值范围，要求最大利润，首先设获得利润为，写出关于的二次函数解析式，根据二次函数的增减性和的取值范围，即可求出获得利润的最大值 【详解】（1）解：设这段时间内y与x之间的函数解析式为， 由图象可知，函数经过，， 可得，解得， 这段时间内y与x之间的函数解析式为； （2）解：销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件， ，， 即，解得， 设获得利润为，即， 对称轴， ，即二次函数开口向下，的取值范围是， 在范围内，随着的增大而增大， 即当销售单价时，获得利润有最大值， 最大利润元． 【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，二次函数的性质，解二元一次方程组，解一元一次不等式组，解题的关键是用待定系数法求函数的解析式，掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解． 13．(24-25九上·辽宁抚顺新抚区·期末)某公司研发了一款成本为50元的新型玩具，投放市场进行试销售．其销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于．市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量y（个）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示： (1)根据图象，请求出y与x的函数关系式； (2)销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)销售单价为85元时，每天获得的利润最大，最大利润是3150元 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用、一元一次不等式组的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）设与的函数关系式为，利用待定系数法可求出函数解析式，再根据销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于求出的取值范围，由此即可得； （2）设该公司每天获得的利润为元，根据利润（销售单价成本单价）销售量可得关于的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 把和代入得：， 解得， ∵销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于， ∴， 解得， 所以与的函数关系式为． （2）解：设该公司每天获得的利润为元， 由题意得：， ∵二次函数的对称轴为直线，且， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为， 答：销售单价为85元时，每天获得的利润最大，最大利润是3150元． 14．(24-25九上·辽宁铁岭·期末)商店出售某品牌护眼灯，每台进价为40元，在销售过程中发现，月销量（台）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，其部分对应数据如下表所示： 销售单价（元） … 50 60 70 … 月销量（台） … 90 80 70 … (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当护眼灯销售单价定为多少元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大？最大月利润为多少元？ 【答案】(1) (2)护眼灯销售单价定为80元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大，最大月利润为2400元 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）设销售利润为W元，列出W关于x的函数关系式，即可求得最大利润． 【详解】（1）解：由题意设， 由表知，当时，；当时，； 以上值代入函数解析式中得：， 解得：， 所以y与x之间的函数关系式为； （2）解：设销售利润为W元， 则， 整理得：， 由于销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，则， ∵，， ∴当时，W随x的增大而增大， ∴当时，W有最大值，且最大值为2400； 答：当护眼灯销售单价定为80元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大，最大月利润为2400元． 15．(24-25九上·辽宁铁岭·期末)一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某摩托车配件店经市场调查，发现进价为80元的新款头盔每月的销售量（件）与售价（元）的相关信息如下： 售价（元） 100 110 120 130 … 销售量（件） 180 160 140 120 … (1)由表知，每月的销售量（件）与售价（元）成一次函数，请直接写出这个一次函数的解析式为______； (2)若获利不得高于进价的，那么售价定为多少元时，月销售利润达到最大？ 【答案】(1)； (2)售价定为128元时，月销售利润达到最大． 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，求一次函数解析式，读懂题意正确列出对应的二次函数关系是解题的关键． （1）设与的解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）设利润为，根据利润（售价进价）数量，列出关于的二次函数关系，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设与的解析式为 把，代入，得 解得：， 设与的解析式为 故答案为：． （2）解：设利润为元，则， 当时，取最大值， 获利不得高于进价的，即售价不得高于（元）， ， ， 当时，随的增大而增大， 当时，最大， 答：售价定为128元时，月销售利润达到最大． 地 城 考点02 二次函数与面积问题 一、填空题 1．(24-25九上·辽宁大连沙河口区·期末)如图是一面足够长的墙，用长的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花园，若设的长度为，则矩形花园的面积与的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是根据等量关系列式． 设的长度为，则，即可得出． 【详解】解：设的长度为，则， 由题意得，， 故答案为：． 2．(23-24九上·辽宁大连西岗区·期末)如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m．菜园面积的最大值为 ． 【答案】// 【分析】本题主要考二次函数的实际应用，设垂直于墙的一边长为 ，平则行于墙的一边长为 ，求得菜园的面积，从而求出最大值即可． 【详解】设垂直于墙的一边长为 ， 平行于墙的一边长为 ， 菜园的面积． 当时，最大值为． ， ． 符合题意． 故答案为：． 二、解答题 3．(24-25九上·辽宁大连甘井子区·期末)如图，计划利用一段长为的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形花园，其中一边靠墙，墙长是．设花园的宽为 ，面积为． (1)写出与的函数解析式（不用写出自变量的取值范围）； (2)试判断矩形花园面积能否达到?如果能，求出花园的宽；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)矩形花园面积能达到，花园的宽为 【分析】本题考查二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，解题关键是表示出矩形的另外一边，写出与的函数解析式．（1）根据题意可得，再根据可得出与的函数解析式；（2）令，解方程后，再根据，即可作出判断． 【详解】（1）解：由题意得： 所以． （2）当时，． ∴， ∴，． ∴当时，（不符合题意，舍去）． ∴当时，． 答：矩形花园面积能达到，花园的宽为． 4．(24-25九上·辽宁大连弘文中学·期末)如图，某养殖场在养殖面积扩建中，准备将总长为米的篱笆围成矩形形状的鸡舍，其中一边利用现有的一段米长的围墙，其余三边用篱笆，且在与墙平行的一边上开一个米宽的门．设边长为米，鸡舍面积为平方米． (1)求出与的函数关系式；（写出自变量的取值范围） (2)当鸡舍的面积为平方米时，求出鸡舍的一边的长． 【答案】(1)与的函数关系式； (2)鸡舍的一边的长为米． 【分析】（）设边长为米，根据题意可得，由面积公式可得，然后由一边利用现有的一段米长的围墙，得出从而求出即可； （）当平方米时，得出一元二次方程，然后解方程即可； 本题考查了二次函数在实际生活中的应用，一元二次方程的应用，理解题意，正确列出二次函数的表达式以及一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设边长为米，鸡舍面积为平方米， ∴， ∴， ∵一边利用现有的一段米长的围墙， ∴，解得：， ∴与的函数关系式； （2）解：当平方米时， ∴，整理得：， ∴， ∴米， 答：鸡舍的一边的长为米． 5．(23-24九上·辽宁葫芦岛建昌县·期末)国家课程实施以来，学校特别重视学生劳动教育，为了提高学生动手能力，特意给学生划出实践基地用来给各班种植花草、花生、马铃薯等．实验小组同学决定用长为的栅栏，再借助学校的外墙围成一个矩形的花圃（如图）．已知可利用的外墙长，设矩形的边，面积为． (1)与之间的函数关系式为_______，的取值范围是_______； (2)用配方法求当分别为多少时，花圃的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)长分别为时，花圃的面积最大，最大面积是 【分析】本题主要考查二次函数的应用： （1）根据栅栏总长,再根据矩形面积公式即可求出； （2）根据配方法求出二次函数的最值即可． 【详解】（1）∵，， ∴ ∵ ∴， ∴， 故答案为：， （2）（2） 有最大值 又 时，随的增大而减小， 时，最大， 这时， 答：长分别为时，花圃的面积最大，最大面积是． 6．(23-24九上·辽宁鞍山·期末)用长为的铁丝，折成一个矩形，设它的一边长为，面积为． (1)求出y与x的函数关系式，并写出取值范围． (2)当时，求x的值． (3)当边长x为多少时，矩形的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)或 (3)当边长x为时，矩形的面积最大，最大面积是 【分析】（1）利用矩形面积公式进行求解即可； （2）把代入（1）所求关系式中进行求解即可； （3）利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， （2）解：当时，，即， 解得或； （3）解：∵，， ∴当时，最大，最大为， ∴当边长x为时，矩形的面积最大，最大面积是． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，列函数关系式，正确列出对应的函数关系式是解题的关键． 7．(23-24九上·辽宁大连普兰店区·期末)学校准备将一块长，宽的矩形绿地扩建，如果长和宽都增加，设增加的面积是． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)若要使绿地面积增加，则长与宽都要增加多少米？ 【答案】(1)y与x之间的函数表达式为： (2)绿地面积增加时，矩形的长与宽都要增加2米 【分析】（1）根据题意可得长和宽增加后矩形的长为，宽为，列方程即可求解； （2）令代入方程求解即可． 【详解】（1）解：长和宽增加后矩形的长为，宽为， 则由题意得 ， ∴y与x之间的函数表达式为：. （2）解：将代入中得，， 解得，，（舍去）， ∴绿地面积增加时，矩形的长与宽都要增加2米． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 8．(23-24九上·辽宁盘锦大洼区·期末)如图，用长为9m的铝合金条制成“日”字形窗框，若窗框的宽为xm，窗户的透光面积为（铝合金条的宽度不计）． (1)求出y与x的函数关系式；（写出自变量x的取值范围） (2)能否使窗的透光面积达到3平方米，如果能，窗的高度和宽度各是多少？如果不能，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)能，窗框宽为1m，高为3m或宽为2m，高为m． 【分析】本题考查了二次函数的图形问题，一元二次方程的解法，确定长方形的长并利用矩形的面积公式建立函数关系是解题的关键． （1）窗框的周长=2个长+3个宽，据此确定长方形的长，再根据面积公式建立函数关系，根据长与宽都是正数建立不等式组求自变量的取值范围； （2）令y=3，建立一元二次方程求解． 【详解】（1）解：∵大长方形的周长为9m，宽为xm， ∴长为 m， y与x的函数关系式：， ，， ， ，； （2）解：， 整理，得：， 解得：，， ∴能使窗的透光面积达到3平方米， 当时，； 当时，； 答：能，窗框宽为1m，高为3m或宽为2m，高为m． 9．(23-24九上·辽宁铁岭西丰县·期末)如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为9米）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃边为米，面积为平方米．    (1)写出与的函数关系式 ，并写出的取值范围 ； (2)如果要围成面积为的花圃，求的长度； (3)如果要使围成的花圃面积最大，求最大面积是多少平方米． 【答案】(1)， (2)6米 (3)的长为5米，围成的花圃面积最大，最大面积是45平方米 【分析】本题主要考查了列函数关系式，求自变量的取值范围，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，正确列出与的函数关系式是解题的关键． （1）根据长方形周长公式进行求解即可； （2）根据（1）所求建立方程求解即可； （3）根据（1）所求，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，米， ∴， ∵墙的最大可用长度为9米， ∴， ∴； 故答案为：，； （2）由题意得：， 即：， 解得：，（舍去）， ∴的长度为6米； （3）∵， ∵，， ∴当时，随着的增大而减小， ∴当时有最大值，最大值为45， ∴最大面积是45平方米． 地 城 考点03 二次函数与拱桥问题 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁沈阳·期末)如图1是莲花山景区一座抛物线形拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时水面宽为（  ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实际问题与二次函数，根据二次函数的图象可得当水位上升时，此时，进而可求得此时的x的值，进而可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】解：依题意得： 当时，， 当水位上升时，则此时， 则：， 解得：或， 水面宽为：， 故选C． 二、填空题 2．(24-25九上·辽宁营口大石桥实验中学·期末)有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶距离水平面4米，如图建立直角坐标系，若正常水位时，桥下水深6米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18米，则当水深超过 米时，就会影响过往船只的顺利航行．    【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，将实际问题转化成数学问题是解题的关键． 根据已知，假设解析式为，把代入求得函数解析式，．假设在水面宽度米时，能顺利通过，即可把代入解析式，求出此时水面距拱顶的高度，然后和正常水位相比较即可解答． 【详解】解：设该抛物线的解析式为， 在正常水位下，把代入可得： ，解得：， 故此抛物线的解析式为， ∵桥下水面宽度不得小于18米， ∴当时，有， ∴此时水深米， ∵桥下水深米时正好通过， ∴超过米时则不能通过． 故答案为：． 3．(24-25九上·辽宁营口第一中学·期末)有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为，跨度为，建立如图所示的平面直角坐标系，使抛物线的顶点落在轴上，桥洞底部左边端点落在轴上，在对称轴右边处，桥洞离水面的高是 米． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意可得抛物线的顶点的坐标为，点坐标为，设抛物线的函数解析式为，利用待定系数法求出抛物线的解析式，再把代入求出的值，进而即可求解，正确求出二次函数解析式是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，抛物线的顶点的坐标为，点坐标为， 设抛物线的函数解析式为，把代入得，， 解得， ∴抛物线的函数解析式为， 把代入得，， ∴桥洞离水面的高是米， 故答案为：． 三、解答题 4．(24-25九上·辽宁营口·期末)探究观景拱桥中安装的“脚手架”是否符合要求 素材一 某公园有一个抛物线形状的观景拱桥， 其横截面如图所示， 量得该拱桥占地面最宽处米， 最高处点C距地面5米 (即米) ． 素材二 桥洞两侧壁上各有一盏景观灯E、F， 两灯直射地面分别形成反光点H、G（E、F分别在抛物线上且关于对称， H、G在线段上) ， 量得矩形的周长为27.5米现公园管理人员对拱桥加固维修， 在点H、G处搭建一个高3.55米的矩形“脚手架”． 已知“脚手架”最高处距景观灯至少为0.35米可保证安全． 问题解决 任务一 确定观景拱桥的形状 分别以所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 求出该抛物线的解析式． 任务二 探究方案合理性 请问该“脚手架”的安装是否符合要求？ 如果符合， 请说明理由； 如果不符合， 求出脚手架至少应调低多少米？ 【答案】任务一：；任务二：不符合， 求出脚手架至少应调低0.15米 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数的图象及性质，待定系数法求二次函数解析式，根据抛物线特点得到二次函数解析式以及得出E点坐标是解决本题的关键． 任务一：根据所建直角坐标系得到顶点，设此函数解析式为，根据B点坐标为，结合待定系数法求解，即可解题； 任务二：假设出E点坐标为，再利用矩形的周长为27.5米，即可得出的长，进而得出的长，再结合“脚手架”最高处距景观灯至少为0.35米可保证安全求解，即可解题． 【详解】解：任务一：由题意知，顶点C得坐标为， 故可设此函数解析式为， 由米，得出B点坐标为，代入解析式得： ， 解得：， 该抛物线的解析式为：． 任务二：设E的坐标为，其中， 则，． 由已知得：， 即， 解得：（不合题意，舍去）， 把代入． ∴， 而， ∴该“脚手架”的安装不符合要求， 脚手架至少应调低（米）． 5．(24-25九上·辽宁沈阳大东区·期末)某公司将新建的大门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示： 方案一：如图1，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点G在x轴上，． 方案二：如图2，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点在x轴上，． 要在拱门中设置高为3m的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．方案一中，矩形框架的面积记为，点A，D在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上．现知，小明已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： (1)求方案一中抛物线的函数表达式； (2)在方案一中，当时， ①求矩形框架的面积； ②比较，的大小，并给出公司最后确定用的是方案几． 【答案】(1) (2)①；②，用方案二 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）①把代入解方程，即可求出，继而可求面积； ②由得，而要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，故选用方案二． 【详解】（1）解：由题意得，，， 设解析式为：， 代入得：， 解得：， ∴方案一抛物线的函数表达式为：； （2）解：①把代入得：， 解得：， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，且，， ∴用方案二． 6．(24-25九上·辽宁盘锦双台子区·期末)《桥梁的设计》 问题的驱动 某地欲修建一座拱桥，桥的底部两端间的水面宽（如图），称为跨度，桥面最高点到的距离称为拱高，拱桥的轮廓可以设计成是圆弧型或抛物线型，若修建拱桥的跨度米，拱高米． 设计方案 方案一 方案二 设计类型 圆弧型 抛物线型 任务一 （1）如图，设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径． （2）如图，设计成抛物线型，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，求拱桥的函数解析式． 任务二 （3）如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得米，米．请你通过计算说明货船能否分别顺利通过这两座桥梁． 【答案】任务一：（1）该圆弧所在圆的半径为米； （2）； 任务二：（3）能顺利通过圆弧型拱桥，货船不能顺利通过抛物线型拱桥，理由见解析． 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，垂径定理，勾股定理的应用，掌握建模的数学思想是解题关键． 任务一：方案一，设弧所在的圆心为，为弧的中点于点，延长经过点，设的半径为米，利用勾股定理求出即可； 方案二，设抛物线的解析式为，把点和点，代入即可求出抛物线式； 任务二：在圆弧型拱桥中，假设货船能顺利通过拱桥，且货船的顶端正好接触到拱桥，然后由勾股定理求出，即可判断；在抛物线型拱桥中，把代入式求出的值即可判断． 【详解】解：任务一：设计成圆弧型， 设弧所在的圆心为，为弧的中点于点，延长经过点，设的半径为米， 方案一， ， ， 在中， ， 即， 解得， 该圆弧所在圆的半径为米； 方案二，设计成抛物线型， 以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立坐标系，如图所示， ， 设抛物线的解析式为， 将抛物线经过点和点代入解析式， 可得 解得 抛物线的解析式为； 任务二：在圆弧形状的拱桥中，假设货船能顺利通过拱桥，且货船的顶端正好接触到拱桥，如图所示， ， 连接，则， ， 在中， ， ， 货船能顺利通过圆弧型拱桥； 在抛物线型拱桥中， 当时，， 货船不能顺利通过抛物线型拱桥． 答：能顺利通过圆弧型拱桥，货船不能顺利通过抛物线型拱桥． 7．(24-25九上·辽宁大连高新园区·期末)如图，一条单向通行且一排道的隧道，它的截面由抛物线和长方形构成．在长方形中，长为长为，隧道最高点P位于的中央且距地面，以为x轴，为y轴建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若一辆货车高，宽，这辆货车能否从该条隧道通过？为什么？ 【答案】(1) (2)该货车能通过，原因见解析 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数解析式，是解题的关键： （1）根据题意，求出两点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出时的自变量的值，求出两点间的距离与货车的宽进行比较即可． 【详解】（1）解：由题意得，点，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的表达式为， ∵点在抛物线上， ， 解得， ； （2）这辆货车能从这条隧道通过． 根据题意得，令，则， ， ， ∴该货车能通过． 8．(24-25九上·辽宁铁岭西丰县·期末)如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB时，宽20m，水位上升3m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10m． （1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式； （2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到达拱桥顶？ 【答案】（1）y＝；（2）5小时 【分析】（1）首先设所求抛物线的解析式为：y=ax2（a≠0），把D（5，b），则B（10，b－3）代入解方程组即可； （2）由（1）可求得点B坐标，进而可得拱桥顶O到正常水位AB的距离，进而求出时间． 【详解】（1）设所求抛物线的解析式为：y＝ax2（a≠0）， 由CD＝10m，可设D（5，b）， 由AB＝20m，水位上升3m就达到警戒线CD， 则B（10，b﹣3）， 把D、B的坐标分别代入y＝ax2得： ， 解得：， ； （2）∵b＝﹣1， ∴拱桥顶O到CD的距离为1m， （小时）， 所以再持续5小时到达拱桥顶． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是学会利用二次函数的性质解决问题． 地 城 考点04 二次函数与喷水问题 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁抚顺清原满族自治县·期末)某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点、为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．则的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，把代入求出点坐标即可求解，求出点坐标是解题的关键． 【详解】解：把代入得， ， 解得，（不合，舍去）， ∴点， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题 2．(24-25九上·辽宁铁岭铁岭县·期末)小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距地面的高度，则抛物线的表达式为 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意，运用待定系数法求解析式是解题的关键． 由题意得设抛物线的表达式为，将代入即可求解． 【详解】解：∵水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m， ∴设抛物线的表达式为， ∵测得喷水头P距地面0.7m， ∴将代入 得：， 解得：， ∴解析式为：， 故答案为：． 三、解答题 3．(24-25九上·辽宁大连中山区·期末)如图，某公园一个圆形喷水池，在喷水池中心处竖直安装一根高度为的水管，喷出水流沿形状相同的曲线向各个方向落下，喷出水流的运动路线可以看作是抛物线的一部分． 建立如图所示的平面直角坐标系，测得喷出水流距离喷水池中心的最远水平距离为，水流竖直高度的最高处位置距离喷水池中心的水平距离为． (1)求喷出水流的竖直高度（）与距离水池中心的水平距离（）之间的关系式，并求出水流喷出的最大高度的长； (2)安装师傅调试时发现，喷头竖直上下移动时，抛物线形水流随之竖直上下移动（假设抛物线水流移动时，保持对称轴及形状不变），若水管的高度增加时，则水流离喷水池中心的最远水平距离为______． 【答案】(1)，水流喷出的最大高度的长为 (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键 （）根据待定系数法即可求得函数解析式，再利用二次函数的性质即可求得最大高度的长； （）根据待定系数法即可求得平移后的函数解析式，再令即可求解． 【详解】（1）解：由题意，点坐标为，点坐标为． 设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过点 ，点 ， ∴． ∴． ∴． ∴时，． ∴水流喷出的最大高度为． （2）解：由题意，∵抛物线水流移动时，保持对称轴及形状不变, ∴可设抛物线为． ∵此时为， ∴． ∴． ∴抛物线为． 令， ∴或，不合题意． ∴水流离喷水池中心的最远水平距离为． 故答案为：． 4．(24-25九上·辽宁大连中山区·期末)如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心.请建立恰当的直角坐标系，求水管的长. 【答案】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，重点是二次函数解析式的求法，正确建立平面直角坐标系是解题的关键． 水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为轴，水管所在直线为轴，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为，用待定系数法求得抛物线的解析式，再令，求得的值，即可得出答案． 【详解】解∶如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为轴，水管所在直线为轴，建立直角坐标系． 点是图中这段抛物线的顶点， 因此可设这段抛物线对应的函数解析式是， 由这段抛物线经过点， 可得 解得， 因此， 当时，， 故水管长为． 5．(23-24九上·辽宁铁岭·期末)【发现问题】 某公园在一个扇形草坪的圆心O处垂直于草坪的地上竖一根柱子，在A处安装一个自动喷水装置，喷头向外喷水，爱思考的小腾发现喷出的水流呈现出抛物线形状． 【提出问题】 喷出的水距地面的高度与喷出的水与池中心的水平距㐫之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】 小腾测出连喷头在内柱高，喷出的水流在与O点的水平距离处达到最高点B，点B距离地面．于是小腾以所在直线为y轴，垂直于的地平线为x轴，点O为坐标原点建立如图1所示的平面直角坐标系，根据测量结果得到点A、点B的坐标，从而得到y与x的函数关系式． 【解决问题】 （1）如图1，在建立的平面直角坐标系中，点A的坐标为，水流的最高点B的坐标为，求抛物线水流对应的函数关系式． （2）当喷头绕立柱旋转时，这个草坪刚好被水覆盖，求扇形草坪的面积．（结果用含的式子表示） （3）现要在扇形内的一块三角形区域地块中建造一个矩形花坛，如图2的设计方案是使G，H分别在，上，在上，设，当x为多少米时，矩形花坛的面积最大？最大面积是多少平方米？ 【答案】（1）；（2）；（3），． 【分析】本题考查了扇形面积计算、二次函数的实际应用、相似三角形的判定与性质、解直角三角形，关键是掌握扇形面积公式． （1）设抛物线顶点式，代入、两点，可得； （2）令，求得，即为草坪半径，用扇形面积公式可得； （3）已知，借助辅助线和相似三角形对应边成比例，表示出，求得矩形花坛的面积表示，可得当为多少米时，矩形花坛的面积最大，最大面积是多少平方米． 【详解】解：（1）设抛物线的解析式为， 水流的最高点的坐标为， ， 代入点坐标，得， 解得：， ； （2）令，则，解得或（舍去）， 扇形草坪的面积． （3）解：由矩形可得，，，， ， 过作，交于点， ，， ， ， ，， 同理可得，， ，， ∽， ， 同理可得，， ，， ， ， ，， 矩形花坛的面积， 时，矩形花坛的面积最大为平方米． 6．(23-24九上·辽宁营口盖州·期末)发现问题：某街心公园设置灌溉喷枪为绿色观叶植物进行浇水，喷枪喷出的水流路径可以看作是抛物线的一部分，喷枪可通过调节喷水杆的高度改变水柱落地点的位置，喷头上下移动时，抛物线型水流随之竖直上下平移． 提出问题：通过测量喷水杆的高度，能否得到水柱落地点离喷水杆底座的距离？ 分析问题：小明先是固定灌溉喷枪，并量出喷枪的现有高度为，以地面为x轴，喷水口所在竖直方向为y轴建立直角坐标系，设水流路径上的某一位置与喷水口的水平距离为，距地面的高度为，y与x的部分对应数值汇总如下表： … 1 2 3 5 … … 1.875 2 1.875 0.875 … 解决问题： (1)①直接写出这股水流的路径所在抛物线的解析式，在图1中画出该函数在网格中的图象（包括边界）；②并求出其最大射程（水柱落地点离喷水杆底座的距离）； (2)如果将灌溉喷枪提高，请求出此时灌溉喷枪最大射程； (3)如图2，在地面上距离喷水杆处有一段斜坡长，坡角为，若要使喷出的水正好落在斜坡以内，那么处的喷水口的高度的最大值是多少？ 【答案】(1)①，见解析；②最大射程为6m (2)最大射程为10m (3)P处的喷水口的最大高度为． 【分析】本题考查了二次函数的应用和解直角三角形的应用，正确理解题意、熟练掌握二次函数的相关知识、灵活应用数形结合思想是解题的关键． （1）由表格中的数据可得：这股水流的路径所在抛物线的顶点为，故设抛物线的解析式为，再把点代入求出即可；把代入解析式，求得的值即为最大射程； （2）先由题意得竖直向上平移后的抛物线为，把代入解析式，求得的值即为最大射程； （3）作轴于，先解直角三角形，求出，，进而可得点，然后设竖直向上平移后的抛物线为，再把点坐标代入求出，进一步计算即可求解． 【详解】（1）解：由表格中的数据可得：这股水流的路径所在抛物线的顶点为， ∴设抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得：， ∴这股水流的路径所在抛物线的解析式为； 当时，， 解得：或（舍去）； 故其最大射程为6米； （2）解：由题意得，竖直向上平移后的抛物线为， 当时，， 解得：或（舍去）； ∴其最大射程为10m； （3）解：作轴于A，如图，则，， ∴，， ∵， ∴， ∴点， 由题意可设竖直平移后的抛物线为， 当点N在抛物线上时，，解得， ∵， ∴P处的喷水口的最大高度为． 7．(23-24九上·辽宁鞍山·期末)某广场计划修建一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA喷出，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上（水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间近似满足二次函数关系），以水管下端点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，某方向上抛物线路径的形状如图所示． (1)经实验测量发现：当OA长为2米时，水流所形成的抛物线路径的最高点距地面3米，距OA所在直线1米，求抛物线的解析式； (2)计划在小型喷泉周围建一个半径为米的圆形水池，在不改变抛物线路径形状的情况下，仅改变水管OA出水口点A的高度，以保证水流的落地点B不会超出水池边缘，则水管OA最多可以设计为几米？ 【答案】(1) (2)米 【详解】解：（1）由题意，得：抛物线顶点为 ∵ ∴ 设抛物线解析式为 ∴ ∴ ∴ （2）∵抛物线平移后的形状不变，对称轴不变，对称轴为直线 ∴设平移后的抛物线为 ∴由题意：得：抛物线过点 ∴ ∴ ∴ 当时， ∴此时点A坐标为 ∴水管最多可以设计为米 8．(23-24九上·辽宁营口·期末)某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为． （1）求雕塑高OA． （2）求落水点C，D之间的距离． （3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，，．问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明． 【答案】（1）；（2）22米；（3）不会 【分析】（1）求雕塑高,直接令，代入求解可得； （2）可先求出的距离，再根据对称性求的长； （3）利用，计算出的函数值，再与的长进行比较可得结论． 【详解】解：（1）由题意得，A点在图象上． 当时， ． （2）由题意得，D点在图象上． 令，得． 解得：（不合题意，舍去）． （3）当时，， ， ∴不会碰到水柱． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质及图像关于轴对称问题，解题的关键是：掌握二次函数的图像与性质． 9．(23-24九上·辽宁铁岭西丰县·期末)【发现问题】 各式各样精致的流水景观成了当下家装的一种时尚，用各种盛水容器可以制作家用流水景观（如图①）．爱思考的小琦用一些高度为的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连续注水保证它始终盛满水，如图②．如果在离水面竖直距离的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程，随着的变化而变化．（图中，，，在同一平面内） 【提出问题】 小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）与小孔离水面竖直距离之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】小琦结合实际操作和计算得到下表所示的数据： 小孔离水面竖直距离为 0 1 2 3 4 … 小孔射出水的射程 0 12 16 0 76 144 204 256 然后在平面直角坐标系中，描出表格中与的各对数值所对应的点，得到图③，小琦根据图③中点的分布情况，确定其图象是抛物线的一部分． 【解决问题】 （1）直接写出与的解析式； （2）求出当为何值时，射程有最大值，最大射程是多少？ （3）如图④，在（2）的条件下，如果水流的路线刚好是以小孔的位置为顶点的抛物线的一部分，将一个高度为，底面直径的圆柱体杯子如图摆放，水流能否落在杯口中心位置？通过计算说明理由． 【答案】【解决问题】（1） ；（2）时，射程有最大值，最大射程是；（3）水流能落在杯口中心位置 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，运用了待定系数法，二次函数的极值，二次函数的图象与性质等知识，求出水流的抛物线解析式是解题的关键． （1）采用待定系数法即可求解； （2）将写成顶点式，按照二次函数的性质得出的最大值，再求的算术平方根即可； （3）根据（2）中的结论可得N点坐标为：，B点坐标为：，再根据顶点式可得水流的抛物线解析式为：，结合图形可知杯口中心的坐标为：，代入验证即可判断． 【详解】（1）设与的解析式为：， 根据表格数据有：， 解得：， 即：与的解析式为：； （2）∵， ∴， ∵， ∴当 时，有最大值， ∴当 时，s有最大值． ∴当h为时，射程s有最大值，最大射程是； （3）在（2）中当h为时，射程s有最大值，最大射程是， 即可知N点坐标为：，B点坐标为：， ∵水流的路线刚好是以小孔的位置为顶点的抛物线的一部分， ∴设水流的抛物线解析式为：， 代入B点坐标可得：， 解得：， ∴水流的抛物线解析式为：， ∵杯子的高度为，，， ∴杯口中心的坐标为：， 将代入，可知：水流的抛物线经过点， ∴水流能落在杯口中心位置． 10．(23-24九上·辽宁大连名校联盟·期末)【发现问题）】 大连理工大学主楼前广场修建了一个圆形音乐喷水池，在池中心竖直安装一根水管OA，在水管的顶端A处安装一个可调节角度的喷水头，从喷水头喷出的水柱形状是一条抛物线．爱思考的小丽建立了如图所示的平面直角坐标系． 【提出问题】 怎样求从喷水头喷出的某条水柱的抛物线解析式呢？ 【分析问题】 若喷出的水柱轨迹AB上某一点与水管OA的水平距离为x（单位：m），与广场地面的垂直高度为y（单位：m）．小丽在喷泉安装工人师傅的帮助下，测量记录了下面的表中y与x的五组数据： 0 2 4 10 2 【解决问题】 (1)求水柱轨迹所在拋物线的解析式； (2)求水柱落地点与水管的水平距离； (3)为实现动态喷水效果，广场管理处决定对喷水设施做如下设计改进：喷水头的高度不变，调整喷水头的角度，使喷出的水柱轨迹的形状不变，水柱轨迹的喷水半径（动态喷水时，点到的距离）随着音乐的节奏控制在到之间（含和），当喷水半径为时，水柱轨迹的最大高度为；当喷水半径为时，水柱轨迹的最大高度为，求的值． 【答案】(1) (2)水柱落地点与水管的水平距离为米 (3) 【分析】本题考查二次函数的应用，熟练掌握用待定系数法求函数解析式，求抛物线与x轴交点坐标，二次函数图象性质是解题的关键． （1）用待定系数法求函数解析式即可； （2）令，则，求解即可； （3）根据抛物线的形状不变，喷水头的高度不变，所以抛物线过，即可设调整后抛物线的解析式为，把和分别 代入，求得抛物线解析式，然后根据抛物线的顶点纵坐标公式，求出，，代入即可求解． 【详解】（1）解： 抛物线过点， ∴设抛物线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ； （2）解：在中，令，则， ， ，（不符合题意，舍去）， 水柱落地点与水管的水平距离为米． （3）解：抛物线的形状不变， ， 喷水头的高度不变， 抛物线过， 设调整后抛物线的解析式为， 把代入解析式得，解得， 把代入解析式得，解得， ， 抛物线的顶点纵坐标为， ，， ． 地 城 考点05 二次函数与投球问题 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁铁岭部分学校·期末)如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画．下列结论错误的是（    ） A．小球落地点距O点水平距离为7米 B．小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势 C．当小球抛出高度达到7.5m时，小球距O点水平距离为3m D．小球距斜坡的最大铅直高度为 【答案】C 【分析】 联立两函数解析式，求出交点坐标即可判定A；将解析式化成顶点式，求出对称轴，根据二次函数性质判断B；求出当y=7.5时，x的值，判定C；设抛物线上一点A(x, 4x-x2)，过点A作AB⊥x轴于C，交直线y=x于B，求得AB=4x-x2-=-x2-x=-(x-)2+，根据二次函数的性质可判断D． 【详解】解：联立两函数解析式，得 ，解得：或， 则小球落地点距O点水平距离为7米， 故A选项不符合题意； ∵， 则抛物线的对称轴为x=4， ∵<0， ∴当x＞4时，y随x的增大而减小， 即小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势， 故B选项不符合题意； 当y=7.5时，7.5=4x-x2， 整理得x2-8x+15=0， 解得，x1=3，x2=5， ∴当小球抛出高度达到7.5m时，小球水平距O点水平距离为3m或5m，故此选项符合题意； 如图，设抛物线上一点A(x, 4x-x2)，过点A作AB⊥x轴于C，交直线y=x于B， ∴B(x,)， ∴AB=4x-x2-=-x2x=-(x-)2+， ∵<0， ∴当x=时，AB有最大值，最大值=， 即小球距斜坡的最大铅直高度为， 故D选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查的是二次函数的应用和直线与抛物线的交点，掌握二次函数的性质是解题的关键． 2．(24-25九上·辽宁鞍山·期末)从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是．下列结论：①小球从抛出到落地需要；②小球运动中的高度可以是；③小球落地的水平距离是；④当小球运动的时间是时，小球运动的最大高度是；正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的应用，令解方程即可判断①；配方成顶点式即可判断②④；根据解析式不能判断③． 【详解】解：令，则，解得：，， ∴小球从抛出到落地需要，故①正确； ∵， ∴最大高度为， ∴小球运动中的高度可以是，故②正确； 当小球运动的时间是时，小球运动的最大高度是，故④正确； ③小球落地的水平距离无法判断，故③不正确； 故选C． 3．(24-25九上·辽宁铁岭·期末)如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则他将铅球推出的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的应用，成绩就是当高度时x的值，所以解方程可求解． 【详解】解：当时，， 解之得（不合题意，舍去）， 所以推铅球的距离是10米． 故选：D． 4．(24-25九上·辽宁大连高新技术产业园区·期末)一个球从地面竖直向上弹起，经过秒时球的高度为米，和满足关系式，则球离地面不低于米的持续时间是（   ） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的应用，二次函数与不等式，二次函数与一元二次方程，解题关键是理解题意，通过解方程作答．将代入，求出的值，再结合二次函数的图象与性质即可求解． 【详解】解：当时，， 解得：，， 由中，， 则时，对应的的取值范围是， 则球离地面不低于米的持续时间是， 故选：D． 5．(23-24九上·辽宁大连瓦房店·期末)如图，小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮圈底的距离l是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了投球问题，实际问题与二次函数，如图，实际是求的长，而已知，所以只需求出即可，就是点的横坐标． 【详解】解：如图， 把点纵坐标代入中得： (舍去负值)，即， 所以． 故选：C． 6．(23-24九上·辽宁葫芦岛建昌县·期末)如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系，下列说法正确的是（    ） A．小球的飞行高度为15m时，小球飞行的时间是1s B．小球从飞出到落地要用4s C．小球飞行3s时飞行高度为15m，并将继续上升 D．小球的飞行高度可以达到25m 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据函数表达式，可以求出的两根，两根之差即为小球的飞行到落地的时间；求出函数的最大值，即为小球飞行的最大高度；然后根据方程的意义为时所用的时间，据此解答． 【详解】解：的两根，，即时所用的时间， 小球的飞行高度是15m时，小球的飞行时间是1s或3s，故A错误； ， 对称轴为直线，最大值为20，故D错误； 时，，此时小球继续下降，故C错误； 当时，，， ， 小球从飞出到落地要用4s，故B正确． 故选：B． 7．(23-24九上·辽宁沈阳于洪区·期末)从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度与运动时间之间的函数关系如图所示，下列结论正确的是（    ） A．小球在空中经过的路程是45m B．小球抛出3秒时，达到最大高度 C．小球抛出3秒时速度最快 D．小球的高度时， 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的实际应用．根据函数的图象中的信息判断即可． 【详解】解：A、小球能达到的最高高度是45m，故选项错误； B、小球抛出3秒时，达到最大高度，故选项正确； C、小球抛出3秒时速度为0，故选项错误； D、由图象，设函数表达式为：，图象经过原点， ∴， 解得：， ∴， 当时，或；故选项错误； 故选B． 二、填空题 8．(24-25九上·辽宁沈阳于洪区·期末)在中考体育测试中，小刚投出的实心球在空中的运动轨迹如图所示．实心球行进的高度与水平距离之间满足关系式，则实心球投出的水平距离为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了二次函数的应用，把代入，即可求出x的值即可得到结果． 【详解】解：令，则， 解得或（舍去）， ∴实心球从起点到落地点的水平距离为， 故答案为：8． 9．(24-25九上·辽宁沈阳浑南区·期末)在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为 ． 【答案】8米 【分析】令求解即可． 【详解】解：当时，， 解得，（舍去）． 故答案为：8米． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 10．(23-24九上·辽宁盘锦盘山县·期末)一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为时，达到最大高度，然后准确落入篮筐内．已知篮圈中心距离地面高度为，在如图所示的平面直角坐标系中，则此抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】设抛物线的表达式为，依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值； 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为（0，3.5）， ∴可设抛物线的函数关系式为． ∵， ∴篮圈中心（1.5，3.05）在抛物线上， 将它的坐标代入，得 ， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，体现了数学建模的数学思想，难度不大，能够结合题意利用二次函数不同的表达形式求得解析式是解答本题的关键． 三、解答题 11．(23-24九上·辽宁葫芦岛兴城·期末)掷实心球是中考体育考试项目之一，明明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化．明明利用先进的鹰眼系统记录了实心球在空中运动时的水平距离x（单位：米）与竖直高度y（单位：米）的数据如表： 水平距离 0 2 4 5 6 8 竖直高度 2 3.2 3.6 3.5 3.2 2 根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，明明发现其图象是二次函数的一部分． (1)在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是 米，实心球在空中的最大高度是 米； (2)求满足条件的抛物线的解析式； (3)根据中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于9.7米时，即可得满分10分，明明在此次考试中是否得到满分，请说明理由． 【答案】(1)2，3.6 (2) (3)明明在此次考试中能得到满分，见解析 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，函数的图表和关系式，本题的关键是熟练待定系数法求函数解析式及二次函数的性质解题． （1）根据图表即可求解； （2）设抛物线的解析式为，通过图表求出抛物线的顶点，再代入即可求出解析式； （3）把代入，即可求出x的值，再与满分成绩比较即可得到结果． 【详解】（1）解：由题意可知出手时实心球的竖直高度即为时y的值， 通过图表可得当时，， 得在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是2米， 由当时，；当时，， 可得对称轴为直线， 则当时，实心球在空中取得最大高度， 通过图表可得当时，， 得实心球在空中的最大高度是3.6米， 故答案为：2，3.6； （2）解：设抛物线的解析式为， 由（1）得抛物线的顶点坐标为， 则， 得抛物线的解析式为， 把代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （3）解：明明在此次考试中能得到满分，理由如下： 把代入， 得， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵， ∴明明在此次考试中能得到满分． 12．(23-24九上·辽宁大连高新技术产业园区·期末)【发现问题】 小明和小强做弹球游戏，如图，小明向斜坡抛一个乒乓球，乒乓球弹起的运行路线是一条抛物线，乒乓球落地后又弹起，第二次弹起的运行路线和第一次运行路线的抛物线形状相同，小强在地面立一块高度为的木板，当乒乓球在第二次下落时能落在木板上，则小强获胜． 【提出问题】 小强将木板放在距斜坡底端多远，才能确保获胜？ 【分析问题】 小强以斜坡底端为坐标原点，地面水平线为轴，取单位长度为，建立如图所示的平面直角坐标系，乒乓球的大小忽略不计，经测量发现，抛球点的坐标为，第一次弹起的运行路线最高点坐标为，第二次弹起的最大高度为，小强通过这些数据，经过计算，确定了木板立的位置，从而确保自己获胜． 【解决问题】 (1)求乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线的解析式； (2)求乒乓球第一次落地点B距斜坡低端O的距离； (3)小强将木板立在距斜坡底端多远的范围内，才能确保自己获胜？ 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数，二次函数的图形及性质，二次函数与坐标轴的交点，二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数以及二次函数的图形及性质是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可得解； （2）令得，解方程即可得解； （3）用待定系数法求出乒乓球第二次弹起运行路线的抛物线解析式，再令和，解方程求出的取值范围． 【详解】（1）解：乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线顶点为，过点， 设． 代入，， 解得， ， （2）解：令，则 解得，（舍） ，乒乓球第一次落地点距斜坡底端的距离为． （3）解：∵乒乓球第二次弹起运行路线的抛物线与第一次形状相同，且最大高度为1.21m， ∴设乒乓球第二次弹起运行路线的抛物线为 ， ∵点B在第一次的抛物线上也在第二次的抛物线上， ∴当时，代入得，， 解得：（舍去）， ， 把代入解析式得：， 解得（舍）， ∴乒乓球第二次弹起运行路线的抛物线为； 当时，则， 解得：（舍）； 当时，则， 解得（舍）． ∴当时，小强确保获胜． 地 城 考点06 二次函数与增长率问题 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁大连弘文中学·期末)某商品原价100元，分两次降价，设平均每次降价的百分率为x，降价后的价格为y元，则y与x的函数解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，表示出两次降价后的价格即可求解，能正确列出二次函数的解析式是解题的关键． 【详解】解：由题意可得：， 故选：B． 2．(24-25九上·辽宁盘锦双台子区第一中学·期末)国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为，该药品原价为元，降价后的价格为元，则与的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的增长率问题．本题需要注意第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的． 根据题意可知，原价为，第一次降价后的价格是，第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的为：，则即可求得函数关系式． 【详解】解：原价为18， 第一次降价后的价格是， 第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的为：， 则函数解析式为：， 故选：C 地 城 考点07 二次函数与实际生活情境问题 一、解答题 1．(24-25九上·辽宁沈阳沈河区·期末)北京时间2024年8月6日，在巴黎奥运会跳水女子10米台决赛的较量中，中国选手全红婵以425.60分夺得金牌．如图2所示，建立平面直角坐标系．如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）近似满足函数关系式． (1)在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表： 水平距离 0 4 h 5 5.5 竖直高度 10 10 11.25 10 6.25 根据上述数据，求出y与x的函数关系式； (2)比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系设她平时训练时入水点与原点的水平距离为比赛当天入水点与原点的水平距离为，请通过计算比较与的大小； (3)在比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的（向后翻腾三周半抱膝），从她起跳后到达最高点B开始计时，设点B到水平面的距离为c，则她到水面的距离与时间之间近似满足且她在达到最高点后需要1.5秒的时间才能完成动作．若此次跳水她的竖直高度与水平距离满足求她在达到最高点后能顺利完成动作的a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是正确的求出函数解析式． （1）由待定系数法即可求解； （2）令，则（不合题意，舍去）或，则．令，则，即，即可求解； （3）由，得到，则，进而求解． 【详解】（1）解：由题意，根据表格数据，抛物线顶点为，抛物线过，， 抛物线的对称轴是直线． 抛物线为． 抛物线过， ． ． 抛物线为； （2）解：由题意，平时跳水训练的抛物线为， 令，则（不合题意，舍去）或． ． 又当天跳水比赛的抛物线为， 令，则（不合题意的值已舍去）， 即； （3）解：， 即， 则， 当时，， 解得：． 2．(24-25九上·辽宁鞍山海城东部集团·期末)某课外科技小组研制了一种航模飞机通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离（单位：）、飞行高度（单位：）随飞行时间（单位：）变化的数据如下表： 飞行时间 0 2 4 6 8 … 飞行水平距离 0 10 20 30 40 … 飞行高度 0 22 40 54 64 … 【探究发现】 通过表格可发现与满足一次函数关系，即.而与之间的数量关系也可以用我们已经学习过的函数来描述． 【解决问题】 (1)直接写出关于的函数解析式．（不要求写出自变量的取值范围） (2)如图，活动小组在水平安全线上处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机.根据上面的探究发现解决下面的问题． ①若发射平台相对于安全线的高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离； ②在安全线上设置回收区域，点的右侧为回收区域（包括端点），．若飞机落到回收区域内，求发射平台相对于安全线的最低高度． 【答案】(1) (2)①飞机落到安全线时飞行的水平距离；②发射平台相对于安全线的最低高度为 【分析】本题考查一次函数的应用，二次函数的应用等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据待定系数法求解即可； （2）①令二次函数，求出时间代入函数式即可求解； ②设发射平台相对于安全线的高度为，则飞机相对于安全线的飞行高度．结合，即可求解． 【详解】（1）与是二次函数关系， 设， 由题意得：，解得： ， ； （2）①依题意, 得， 解得：(舍)， ， 当时，， 答：飞机落到安全线时飞行的水平距离为； ②设发射平台相对于安全线的高度为， ∴飞机相对于安全线的飞行高度， ， ， 在中， 当时， ， 答：发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于． 3．(23-24九上·辽宁葫芦岛连山区·期末)民以食为天．我们常见的炒菜锅可近似的看作抛物线面，锅盖可近似的看作圆形面．经过锅心和盖心的纵断面是一段拋物线和圆弧线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深为，锅盖高为（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立平面直角坐标系如图1所示（单位：），如果把锅纵断面的抛物线的记为，把锅盖纵断面所在的圆记作． (1)求抛物线解析式和弧所在的半径； (2)锅中原有水的最大深度为（如图2），由于加工食物的需要，又重新加入一定量的水，水位升高，求此时的水面宽度； (3)如果将底面直径，高度为的圆柱形蒸笼若干个叠加起来（如图3）放入锅中蒸食物（不考虑叠加缝隙），为了让锅盖能够盖上，那么最多可以放入这种规格的圆柱形蒸笼多少个？ 【答案】(1)；的半径为 (2)水面宽度为 (3)为了让锅盖能够盖上，那么最多可以放入这种规格的蒸笼4个 【分析】（1）根据题意设抛物线解析式为：，代入求出的值即可；圆心为，连接，设，则，由垂径定理出，根据勾股定理求出半径即可； （2）根据题意把代入（1）中抛物线的解析式，求出即可； （3）先在抛物线中求出时，的值，即的值，再借助图形在中，求出距轴的距离，即的值，再用，求出其整数值即可． 【详解】（1）由题意知抛物线的顶点为，且过，， 设抛物线解析式为：， ，解得：， 抛物线解析式为：， 如图：圆心为，连接， 设，则， ， ， 在中， 由勾股定理可得：， ， 解得：， 的半径为； （2）锅中原有水的最大深度为，又重新加入一定量的水，水位升高， 加水后水面水的最大深度为 水面距锅沿的竖直高度为， 当时，， 解得， 水面宽度为； （3）对于抛物线，如图所示： 当时，， ； 对于，如图所示： 当时，， ， ， ， ， ， 为了让锅盖能够盖上，那么最多可以放入这种规格的蒸笼4个． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，垂径定理，勾股定理，解题的关键是求出抛物线的解析式和的半径，采用数形结合的思想解题． 4．(23-24九上·辽宁大连中山区·期末)【发现问题】某课外活动课上，小聪研制了一种小球滚动模型：在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在A处开始减速，此时白球在黑球前面处.小聪测量黑球减速后的运动速度v（单位：）、运动距离y（单位：）随运动时间t（单位：s）变化的数据，整理得下表. 运动时间t/s 0 1 2 3 4 运动速度v/cm/s 8 7.5 7 6.5 6 运动距离y/cm 0 7.75 15 21.75 28 小聪探究发现，黑球的运动速度v与运动时间t、运动距离y与运动时间t之间的数量关系可以用我们学过的函数来描述. 【提出问题】黑球的运动速度v与运动时间t、运动距离y与运动时间t有怎样的函数关系？ 【分析问题】小聪利用平面直角坐标系描出表格中各对数值所对应的点，猜测出这两种数量关系对应的函数，并通过验证得出猜想是正确的． 【解决问题】 （1）直接写出v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）当黑球减速后运动距离为时，求它此时的运动速度； （3）若白球一直以的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由． 【答案】（1），  （2）  （3）黑球不会碰到白球；理由见解析 【分析】本题考查一次函数和二次函数的实际应用、一元二此方程根的判别式的应用等知识，关键是明确题意求出函数表达式． （1）由表格中数据可知运动速度与运动时间是一次函数，设表达式为，代入两组数值求解，然后验证即可；由表格中数据可猜想运动距离与运动时间是二次函数，设表达式为 ，代入三组数值求解即可； （2）把代入（1）中解析式求出，再求即可； （3）设黑白两球的距离为，得，令时，得到方程没有实数根，于是得到结论． 【详解】（1） 由表格中数据可知运动速度与运动时间是一次函数， 设关于的函数解析式，把代入解析式得: ，解得 ， ， 当时，当时, ； 当 时，； ∴关于的函数解析式为； 由表格中数据可猜想运动距离与运动时间是二次函数， 设运动距离与运动时间之间的函数解析式为， 把代入解析式得: ， 解得 ， ， 当 时， ； 当 时，； ∴运动距离与运动时间之间的函数解析式为； （2）当时， 整理得：， 解得 (舍去)， 当时， ， ∴黑球此时的运动速度为； （3）设黑白两球的距离为，根据题意可知， ， 当 时，， 整理得：， ， ∴方程没有实数根， ∴黑球不会碰到白球． 5．(23-24九上·辽宁五校协作体（沈阳七中，育才，丹东，锦州等）·期末)根据以下素材，探索完成任务. 运用二次函数研究电缆架设问题 素材1 如图a，电缆在空中架设时.两端挂起的电缆下垂都可以近似的看成抛物线的形状． 如图b，在一个斜坡上按水平距离间隔75米架设两个塔柱.每个塔柱固定电缆的位置离地面高度为米（米）， 按如图b建立坐标系（轴在水平方向上），可得抛物线表达式：，点、在同一水平线上，经测量，米，斜坡的坡比为． 素材2 若电缆下垂的安全高度是米，即电缆距离坡面铅直高度的最小值不小于18.75米时，符合安全要求，否则存在安全隐患． （说明：直线 轴分别交直线和抛物线于点、．点距离坡面的铅直高度为的长） 任务1 确定电缆形状 求点的坐标及直线的函数表达式． 任务2 判断电缆安全 上述这种电缆的架设是否符合安全要求？请说明理由． 任务3 探究安装方法 注：可建立新的坐标系 工程队想在坡比为的斜坡上架设电缆，两个塔柱的高度仍为米，电缆抛物线的形状与任务1相同，若电缆下垂恰好符合安全高度要求，则两个塔柱的水平距离应为多少米？ 【答案】任务1，，；任务2，符合安全要求，利用见解析；任务3，两个塔柱的水平距离为80米 【分析】（1）根据坡比求出的长度，结合象限得到点D的坐标； （2）假设抛物线上点P的坐标，作垂直于x轴，交直线于点Q，通过求出的最大值判断是否符合安全； （3）先建立合适的平面直角坐标系，结合（1）的抛物线形状，利用待定系数法得到抛物线的解析式，类似于第（2）题的方法求出线段的表达式，从而根据题意得到抛物线的解析式，最后假设两点坐标，根据塔柱高是米求出点的坐标，通过横坐标得到两个塔柱的水平距离． 【详解】解：（1）在中， ∵斜坡的坡比为， ∵， 又∵， ∴， ∵在第四象限， ∴， 设直线的表达式为， 将点代入得， ∴； （2）设为抛物线上一点，过作轴垂线交直线于点，则可设点的坐标为，点的坐标，线段的长度为，则有 ， ∵，可以取到， ∴有最小值，当时，， ∴符合安全要求； （3）以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系， ∵抛物线形状不变，长度不变， ∴设抛物线表达式为， 设为抛物线上一点，过作轴垂线交直线于点，则可设点的坐标为，点的坐标，则线段的长度为， ， ∵， ∴有最小值， 又∵恰好符合安全高度要求， 当时，， ∴解上面式子得，，， （因为对称轴在轴左侧，所以，负值舍去）， ∴抛物线表达式为， ∴设点的坐标为， 点的坐标， 的长， 解得，（不合题意，舍去）， 所以两个塔柱的水平距离为80米． 【点睛】本题考查二次函数的综合运用，题目从实际出发结合坡比的知识求抛物线和直线的解析式．此外题目还综合二次函数和一次函数解析式求线段长度的最值． 6．(24-25九上·辽宁大连甘井子区大连鉴开中学·期末)多人跳绳是深受学生喜爱的一种运动，在跳绳过程中，大绳在某一时刻的形状可以近似的看成抛物线，阳光体育活动时间，小李和小王分别站在﹑两点进行摇绳，两位同学的摇绳点﹑高度一致，其他小伙伴参与跳绳，已知米，米．当大绳所在平面与地面垂直，且大绳的最低点与地面刚好接触时，以点为坐标原点，地面 为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求此时抛物线的表达式； (2)若参与跳绳的同学站在点处，米，当绳位于图中抛物线时，则该同学最低要跳过多少米，才能让绳安全通过？ 【答案】(1) (2)该同学最低要跳过米，才能让绳安全通过 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数的应用等知识点，掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键． （1）依据题意可得：抛物线的顶点E为，从而可设抛物线为，又抛物线过点，将其代入求得a的值即可解答； （2）依据题意可得：点F的横坐标为，从而点G的横坐标为，将代入（1）中的解析式，即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得，抛物线的顶点E为，， ∴可设抛物线为． 又∵抛物线过点， ∴， 解得：， ∴抛物线为． （2）解：如图：过F作轴交抛物线于G， 由题意可知，点F的横坐标为，则点G的横坐标为， ∴点G的纵坐标为 ∴该同学最低要跳过米，才能让绳安全通过． 7．(24-25九上·辽宁铁岭铁岭县·期末)在北京冬奥自由式滑雪女子大跳台决赛上，中国选手谷爱凌凭借精彩发挥夺得金牌，创造历史．如图1是跳台比赛场地的示意图，在图2中取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线运动． (1)当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）； (2)在（1）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离H取到最大值？最大值为多少？ 【答案】(1)抛物线的函数解析式为：； (2)当运动员运动的水平距离为4米时，运动员与小山坡的竖直距离H有最大值，最大值为 【分析】（1）根据题意将点和代入求出、的值即可写出的函数解析式； （2）设运动员运动的水平距离为米时，运动员与小山坡的竖直距离为H米，依题意得：，然后根据二次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知抛物线过点和，将其代入得： ， 解得：， 抛物线的函数解析式为：； （2）解：设运动员运动的水平距离为米时，运动员与小山坡的竖直距离为H米，依题意得： ， ∵，即开口向下， ∴当时，H有最大值，最大值为 【点睛】本题考查二次函数的基本性质及其应用，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与二次函数模型相结合是解决本题的关键． 8．(24-25九上·辽宁鞍山岫岩满族自治县·期末)排球场的长度为，球网在场地中央且高度为．排球出手后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，排球运动过程中的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系．      (1)某运动员第一次发球时，测得水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 0 2 4 6 11 12 竖直高度 2.48 2.72 2.8 2.72 1.82 1.52 ①根据上述数据，求这些数据满足的函数关系； ②通过计算，判断该运动员第一次发球能否过网，并说明理由． (2)该运动员第二次发球时，排球运动过程中的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系，请问该运动员此次发球是否出界，并说明理由． 【答案】(1)①；②能，理由见详解 (2)没有，理由见解析 【分析】（1）①由表中数据可得抛物线顶点，则设，再把表格中其它任意一组数据代入即可求出a值， ②当时，求得，再与球网高度比较即可得出答案． （2）令，求出抛物线与x轴的交点，再比较即可． 【详解】（1）解：①由表中数据可得抛物线顶点， 设 ， 把代入得， ∴所求函数关系为， ②当时，则， ∴能； （2）解：判断：没有出界 令，则， 解得（舍），， ∵， ∴没有出界． 【点睛】本题考查抛物线的应用，熟练掌握用待定系数法求抛物线解析式，抛物线的图象性质是解题的关键． 9．(23-24九上·辽宁大连甘井子区·期末)【发现问题】 近年来，我国无人机技术发展迅猛，新型号无人机不断面世．某科研单位为保障某种型号无人机能安全投产，现针对该种型号无人机的降落情况进行测试．一架该型号无人机在跑道端点处着陆后，相关滑行数据如下表： 滑行时间 0 1 2 3 4 … 滑行速度 60 56 52 48 44 … 滑行距离 0 58 112 162 208 …    【提出问题】 这架该型号无人机在跑道端点处着陆后，滑行的速度v（单位：）与滑行的时间t（单位：s）之间满足的函数关系和滑行的距离y（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）之间满足的函数关系是不同的． 【分析问题】 科研人员在平面直角坐标系中，描出上面表格中各对数值所对应的点，如图1，图2所示，据此猜想了函数关系，并进行了验证． 【解决问题】 (1)请直接写出这两个函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） (2)若该无人机在跑道端点处着陆后，当滑行了时，求此时无人机的滑行速度； (3)求该无人机在着陆的过程中，以不大于的速度滑行直至停止，一共滑行了多少米？ 【答案】(1)， (2)无人机的滑行速度为 (3)当时，飞机一共滑行了50米 【分析】本题考查二次函数和一次函数的应用，关键是用待定系数法求出一次函数和二次函数的解析式． （1）根据图象设出函数解析式，然后用待定系数法求出函数解析式即可； （2）把代入（1）中函数解析式求出，再求出即可； （3）先根据求出，由函数的性质知，当时，最大，再求出时无人机滑行的路程，作差即可． 【详解】（1）解：由图象可知，滑行的速度（单位：）与滑行的时间（单位：）之间满足的函数关系是一次函数， 设， 把，代入解析式得： ， 解得， ， 当时，； 当时，； 当时，． 滑行的速度（单位：）与滑行的时间（单位：）之间满足的函数关系为； 由图象可知，滑行的距离（单位：）与滑行的时间（单位：）之间满足的函数关系二次函数， 设， 把，，代入解析式得： ， 解得， ， 当时，； 当时，； 滑行的距离（单位：）与滑行的时间（单位：）之间满足的函数关系为； （2）解：当 时，， 解得，， ， 当时，最大，即飞机滑行15秒停止， 所以不合题意，舍去， 当时，， 无人机的滑行速度为20米秒； （3）解：当时，，， 即滑行后直至停止的速度都不大于20， 由知，当时，飞机最远滑行了450米，当时，飞机最远滑行了400米， 当时，飞机一共滑行了50米． 10．(24-25九上·辽宁大连甘井子区·期末)【发现问题】 在2024年巴黎奥运会跳水女子双人10米跳台决赛中，中国选手陈芋汐和全红婵夺得金牌，跳水梦之队实现该项目七连冠．两位选手如同复制粘贴般上演“水花消失术”，令人叹为观止．我们把运动员从跳台上起跳、腾空到入水，近似看成是一条漂亮的抛物线． 【提出问题】 在如图所示的平面直角坐标系中，如果将运动员从点处起跳后的运动路线看作是抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她运动的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）之间有怎样的函数关系． 【分析问题】 小美完成一次试跳，记录仪记录了她运动时的竖直高度水平距离的几组数据如下： 水平距离（） 3 3.6 4.2 4.8 5.2 竖直高度（） 10 10 （1）请把上表中，的各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，画出小美运动的抛物线草图，并求出关于的函数解析式； 【解决问题】 （2）双人10米跳台要求两位运动员同步完成动作．从数学的角度分析，至少要满足竖直距离的最大值及入水时入水点距跳台的水平距离分别相等．小美和小丽完成了一次双人10米跳台训练，小美的数据如上表中所示，小丽的竖直高度与水平距离近似满足函数关系． ①用，分别表示小美，小丽在空中最高点的竖直距离，则____________（填“”“”或“”）； ②在距水面高5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则容易失误．小美和小丽在空中调整好入水姿势时，水平距离恰好都是米，她们本次训练是否会失误，请通过计算说明理由． 【答案】（1）作图见解析；抛物线为； （2）①；②她们本次训练不会失误，理由见解析． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，根据表格数据即可作图；又图象过，故抛物线的对称轴是直线，从而顶点为，可设抛物线为，再结合抛物线过，可得，求出即可判断得解； (2)①依据题意，由小丽的竖直高度y与水平距商x近似满足函数关系为，从而，结合，进而可以判断得解；②依据题意，对于小美而言，其对应抛物线为，再令，则，又对于小丽而言，其对应抛物线为，再令，则，进而可以判断得解． 【详解】解：（1）由题意，根据表格数据可以作图如下 图象过，，抛物线的对称轴为直线，顶点为， 可设抛物线为， 又抛物线过， ， ， 抛物线为； （2）①由题意， 小丽的竖直高度与水平距离近似满足函数关系为， ， 又， ， 故答案为：； ②由题意，对于小美而言，其对应抛物线为， 令，则， 又对于小丽而言，其对应抛物线为， 令，则， 她们本次训练不会失误． 11．(24-25九上·辽宁大连西岗区·期末)如图，某跳水运动员在10米跳台上进行跳水训练，水面边缘点的坐标为，运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处点的坐标为．正常情况下，运动员在距水面高度5米之前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误，运动员入水后，运动路线为另一条抛物线．    (1)求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式，并求出入水处点的坐标． (2)若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点的水平距离为4米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由． (3)在该运动员入水点的正前方有两点，且，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为，若该运动员出水点在之间（包括两点），请直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)不会失误，见解析 (3) 【分析】（1）设抛物线的解析式为，代入解析式，得，进而可得空中运动时对应抛物线的解析式为，令，则，求出满足要求的，进而可得点坐标． （2）由题意知，当距点水平距离为4米时，对应的横坐标为．将代入中，得．根据，判断作答即可． （3）由题意知，当抛物线经过点时，最大．由，可知，由，可得，此时抛物线解析式为，将点代入得，由题意知，当经过点时，最小，同理可求得，进而可得的取值范围． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 将代入解析式，得， 空中运动时对应抛物线的解析式为， 令，则， 解得（舍去），， 的坐标为． （2）解：当距点水平距离为4米时，对应的横坐标为． 将代入中，得． ， 该运动员此次跳水不会失误． （3）解：由题意知，当抛物线经过点时，最大． ∵， ∴． ∵， ∴， 此时抛物线解析式为， 将点代入得， 由题意知，当经过点时，最小． 同理可求得， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数解析式，二次函数的图象与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $