第19讲：抛物线的标准方程【知识梳理+9个题型归纳+方法总结】讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦抛物线的标准方程核心知识点，从定义（平面内到焦点与准线距离相等的点的轨迹）出发，系统梳理顶点在原点（四方向开口）及顶点平移后的标准方程，提炼一次项变量对应对称轴等核心规律，通过8类题型（定义求轨迹、距离最值等）构建完整知识应用支架。 该资料以题型为载体融合数学思维与眼光，如几何类最值用定义转化距离体现推理能力，光学性质、圆锥曲线综合题型培养空间观念与创新意识。每个题型含解题策略、例题及练习，课中辅助教师分层教学，课后帮助学生查漏补缺，提升用数学语言表达问题的能力。

2025-2026年人教A版高二上学期常考题型归纳 【第19讲：抛物线的标准方程】 总览 题型梳理 一、定义 平面内与一个定点（焦点）和一条定直线（，准线）距离相等的点的轨迹，称为抛物线. 核心条件：点到焦点距离=点到准线距离. 关键参数：（焦点到准线的距离，）. 二、顶点在原点的标准方程（对称轴为坐标轴） 开口方向 标准方程 焦点坐标 准线方程 向右 向左 向上 向下 三、标准方程核心规律 1.一次项变量对应对称轴（如中为一次项，对称轴为轴）； 2.一次项系数符号决定开口方向（正号向坐标轴正方向，负号向负方向）； 3.一次项系数绝对值（如中）； 4.焦点坐标中，对称轴对应坐标为，另一坐标为； 5.准线方程为对称轴对应变量. 四、顶点不在原点的标准方程（平移变换） 若抛物线顶点为，对称轴平行于坐标轴，标准方程如下： 开口方向 标准方程 焦点坐标 准线方程 向右 向左 向上 向下 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：抛物线的定义求轨迹方程】 【解题策略】 1.核心思路：紧扣抛物线定义“平面内到定点与定直线（）距离相等的点的轨迹”； 2.解题步骤： ①确定定点（焦点）和定直线（准线）； ②设轨迹上任意一点； ③写出距离关系：； ④两边平方化简方程，消去根号和绝对值； ⑤验证：确保，排除轨迹退化（如单点）情况. （2025高三·全国·专题练习）已知点，点，点是轴上的动点，点在轴上，直线与直线垂直，关于的对称点为．求的轨迹的方程；经典例题例题 （2025·河北邯郸·模拟预测）在平面内，到定点的距离比到定直线的距离大1的动点的轨迹方程是 ．小试牛刀1 （2024高三·全国·专题练习）若点P到点的距离比它到直线的距离小2，则点P的轨迹方程为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2024·湖南长沙·二模）已知圆N：，直线，圆M与圆N外切，且与直线相切，则点M的轨迹方程为 ．小试牛刀3 【题型2：抛物线上的点到定点的距离与最值（代数类最值）】 【解题策略】 1.核心思路：将距离转化为单变量函数，通过代数运算求最值； 2.解题步骤： ①设抛物线上任一点，根据抛物线标准方程参数化表示： 若（），设（）； 若（），设（）； ②设定点，计算距离平方（简化运算）： ③代入抛物线方程，将转化为关于或的一元二次函数： 例：中，（关于的函数）； ④结合抛物线定义域（如中），利用配方法、判别式或导数求函数最值： 配方法：对于（），最值为； ⑤由函数取等条件，求解最值对应的点坐标. 【多选题】（21-22高三上·河北保定·期末）已知为曲线上一动点，则（    ）经典例题例题 A．的最小值为1 B．存在一个定点和一条定直线，使得到定点的距离等于到定直线的距离 C．到直线的距离的最小值小于 D．的最小值为6 （25-26高二上·北京·期中）P是抛物线上任意一点，点是x轴上的定点，则的最小值为 .小试牛刀1 【多选题】（25-26高二上·全国·单元测试）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，O为坐标原点，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D．的坐标为 （24-25高二下·上海·月考）已知点是抛物线上的动点，点是圆上的动点，则两点间的最短距离为 ．小试牛刀3 【题型3：抛物线上的点到定点/定直线的距离和差最值（几何类最值）】 【解题策略】 1.核心思路：利用抛物线定义转化距离，结合“三点共线”求最值； 2.解题步骤（和最值）： ①若目标含“到焦点的距离”，利用定义转化为“到准线的距离（）”； ②目标转化为（为定点），当、、（为到的垂足）三点共线时，和为最小值： （为抛物线准线）； 3.解题步骤（差最值）： ①转化为，利用三角形两边之差小于第三边： ②当、、三点共线时，等号成立，最大值为，最小值为； 4.关键注意：判断定点与抛物线的位置关系（内/外），确保最值可取得. （2025·湖南郴州·一模）已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（    ）经典例题例题 A．2 B．3 C．4 D．5 （25-26高三上·陕西西安·月考）已知抛物线上的一点到焦点的距离为为上一动点，为圆上一动点，则点到直线的距离与之和的最小值为 .小试牛刀1 （2025·贵州贵阳·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，M为C上的动点，N为直线上的动点，设点M到y轴的距离为d，则的最小值为（   ）小试牛刀2 A．1 B．2 C．3 D．4 （24-25高二下·上海·期末）已知点的坐标为，点为抛物线的焦点，若点在此抛物线上移动，求取得最小值时点的坐标是 ．小试牛刀3 【题型4：根据抛物线的焦点或准线求其他量】 【解题策略】 1.核心思路：由焦点/准线确定标准方程形式，求值后推导目标量； 2.解题步骤： ①由焦点坐标或准线方程判断开口方向与对称轴： 焦点→开口向右，对称轴为轴； 焦点→开口向下，对称轴为轴； 准线→开口向左，对称轴为轴； 准线→开口向上，对称轴为轴； ②计算值： 焦点； 准线； ③写出抛物线标准方程（如、）； ④求目标量（如焦半径、顶点坐标等）： 焦半径：（，）. （25-26高二上·四川绵阳·期中）抛物线的焦点到准线的距离为，则（    ）经典例题例题 A． B．或 C． D．或 （25-26高二上·全国·课后作业）焦点在直线上的抛物线的标准方程为 ．小试牛刀1 （24-25高二下·广东·期末）已知抛物线，则抛物线的焦点到准线的距离为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2025·广西北海·模拟预测）已知抛物线的顶点在原点，开口向左，且其焦点到准线的距离为6，抛物线上有一点，到焦点的距离为5，则点的纵坐标为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型5：根据几何线段关系求抛物线的标准方程】 【解题策略】 1.核心思路：提取线段关系中的值和开口方向，建立方程求解； 2.解题步骤： ①分析线段关系类型（焦点弦长、通径长、焦半径、线段相等/倍数关系等）； ②结合核心公式转化线段关系： 焦半径公式：（）、（）； 通径长：； 焦点弦长：（）、（）； ③将线段关系转化为关于的方程（如）； ④求解值（）； ⑤确定开口方向（由线段位置或题意隐含条件判断）； ⑥代入对应标准方程形式，写出最终方程. （24-25高二下·江苏南京·期末）抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线交于，两点，的准线交轴于点，若，则的方程为（   ）经典例题例题 A． B． C． D． （24-25高二上·河北石家庄·期中）已知抛物线的焦点为F，直线l过点F且倾斜角为，若抛物线C上存在点M与点关于直线l对称，则 ．小试牛刀1 （24-25高二上·陕西渭南·期中）已知为坐标原点，点在抛物线上，点在抛物线的准线上，且，若点到直线的距离为，则（    ）小试牛刀2 A．2 B．4 C．6 D．8 （24-25高二上·上海·课堂例题）已知抛物线的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点．若为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为 ．小试牛刀3 【题型6：抛物线的光学性质】 【解题策略】 1.核心思路：将光学性质转化为几何关系（角平分线、平行关系），结合直线方程求解； 2.光学性质核心：平行于对称轴的光线经抛物线反射后过焦点；过焦点的光线经反射后平行于对称轴；切线平分入射光线与反射光线的夹角； 3.解题步骤： ①明确光学性质对应的几何条件（如“反射光线过焦点”“反射光线平行于对称轴”）； ②设入射光线/反射光线的直线方程（如斜率为时，；斜率不存在时，）； ③联立抛物线方程，利用“切点在抛物线上”“切线斜率满足判别式”（涉及切线时）或“交点坐标满足焦点条件”求解参数； ④验证几何关系（如斜率相等证明平行、利用角平分线定理证明角度相等），确保符合光学性质. （23-24高二上·山东青岛·期末）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经拋物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴：反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过拋物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（    ）经典例题例题 A． B． C． D． （2023·江西·模拟预测）用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲而叫抛物面）的反射后，集中于它的焦点．用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线放在平面直角坐标系中，对称轴与轴重合，顶点与原点重合，如图，若抛物线的方程为，平行于轴的光线从点射出，经过上的点反射后，再从上的另一点射出，则（    ）小试牛刀1    A．6 B．8 C． D．29 （21-22高二上·福建泉州·期末）抛物线有如下光学性质：平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为F，一条平行于y轴的光线从点射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则经点B反射后的反射光线必过点（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （23-24高二上·山东聊城·期末）抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线上一点反射后，反射光线必过抛物线的焦点．已知抛物线，一束平行于x轴的光线，从点射入，经过C上一点A反射后﹐再经C上另一点B反射后，沿直线出，则线段AB的长为（    ）．小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型7：抛物线与圆的综合题型】 【解题策略】 1.核心思路：结合抛物线的焦点、准线性质与圆的圆心、半径、位置关系（相切、相交、过定点）求解； 2.解题步骤： ①写出抛物线标准方程（含）和圆的方程： 抛物线：如（）； 圆：标准式（圆心，半径）； ②提取综合条件（如圆过抛物线焦点、圆与抛物线相切、圆心在抛物线准线上等）； ③转化条件： 圆过焦点：； 圆与抛物线相切：联立两方程消元得一元二次方程，令； 圆心在准线上：圆心坐标满足准线方程（如，的准线）； ④求解参数（如、、、），验证参数合理性（、）. （22-23高二上·河北保定·期末）已知抛物线的焦点为，圆，圆心是抛物线上一点，直线，圆与线段相交于点，与直线交于，两点，且，若，则抛物线方程为 .经典例题例题 （2024·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，P为抛物线上一点，以PF为直径的圆与轴相切于点，且圆过点，则该抛物线的方程为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【多选题】（21-22高二上·黑龙江佳木斯·期末）已知抛物线，是抛物线的焦点，是抛物线上一点，.如果以为直径的圆过点，则抛物线的方程是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （22-23高三上·广东·阶段练习）设抛物线C：的焦点为F，点M在C上，，若以MF为直径的圆过点，则C的方程为 .小试牛刀3 【题型8：抛物线与椭圆的综合题型】 【解题策略】 1.核心思路：利用椭圆的关系与抛物线的、焦点、准线性质，建立参数联系； 2.解题步骤： ①列出椭圆和抛物线的已知条件： 椭圆：，（，）； 抛物线：焦点坐标、准线方程、； ②分析关联条件（如抛物线焦点与椭圆焦点重合、抛物线准线过椭圆顶点等）； ③转化关联条件为方程： 共焦点：椭圆（抛物线的焦点）； 准线过椭圆顶点：如抛物线准线过椭圆左顶点； ④联立方程求解目标量（如、椭圆）； ⑤验证参数满足定义域（、）. （25-26高二上·江西宜春·期中）设焦点为的椭圆上的一点也在抛物线上，抛物线的焦点为，若，则的面积是 .经典例题例题 （2021·江苏南通·模拟预测）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合.若椭圆与抛物线相交于点、，且直线经过点，则椭圆的离心率为 .小试牛刀1 （24-25高二上·江苏南京·期中）已知点，点F为抛物线的焦点．若以点P，F为焦点的椭圆与抛物线有公共点，则椭圆的离心率的最大值为 ．小试牛刀2 （22-23高二下·浙江杭州·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，且是抛物线的焦点，若P是椭圆与抛物线的交点，且，则的值为 .小试牛刀3 【题型9：抛物线与双曲线的综合题型】 【解题策略】 1.核心思路：依托双曲线的关系与抛物线的核心性质，转化综合条件； 2.解题步骤： ①列出双曲线和抛物线的已知条件： 双曲线：，（，，）； 抛物线：焦点坐标、准线方程、； ②分析关联条件（如共焦点、共准线、抛物线过双曲线顶点等）； ③转化关联条件为方程： 共焦点：双曲线（抛物线的焦点）； 抛物线过双曲线顶点：如双曲线右顶点代入抛物线方程相关关系； ④联立方程求解参数（如、双曲线、离心率）； ⑤排除不符合条件的解（如、）. （25-26高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的准线经过，且与双曲线的一条渐近线交于点，若，则双曲线的标准方程为 .经典例题例题 （25-26高三上·天津红桥·期中）已知抛物线 的焦点与双曲线 的右焦点重合，抛物线的准线与轴的交点为，点在抛物线上，且 则的面积为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高三上·陕西·月考）双曲线的左､右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点，若，则双曲线的离心率 .小试牛刀2 【多选题】（2025·湖北武汉·模拟预测）已知抛物线，其焦点为；双曲线的离心率为，其左、右焦点分别为，已知在第一象限存在公共点，则下列说法正确的是（    ）小试牛刀3 A．曲线的焦点坐标为 B．曲线C2的渐近线为 C．存在，使得点的横坐标为10 D．若以为直径的圆与轴相切于点，则 一、单选题 1．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）M是抛物线上一点，F是抛物线的焦点，O是坐标原点，若，则（   ） A．1 B．2 C．4 D． 2．（25-26高三上·四川成都·月考）如图，设抛物线的焦点为，过轴上一点作直线交于，两点，若，，则（   ）    A．4 B．3 C． D． 3．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知P为抛物线上的任意一点，F为抛物线的焦点，点，则的最小值为（   ） A．3 B． C．4 D． 4．（2025高三上·广东·专题练习）已知抛物线的焦点为，准线为，为上一动点，且在轴上方，为上一动点，且轴，若，则点的纵坐标为（    ） A． B．2 C．3 D． 5．（25-26高二上·河北·期中）已知点在抛物线上，则该抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·湖南·一模）已知点满足，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D．4 二、多选题 7．（25-26高二上·江西·期中）已知抛物线上一点到的焦点的距离为5，则（   ） A． B．的坐标为 C． D．在上存在点，使得为正三角形 8．（25-26高二上·浙江丽水·期中）下列说法中不正确的是（　　） A．平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线 B．平面内与两个定点和的距离之和等于4的点的轨迹是椭圆 C．平面内与两个定点和的距离之差等于3的点的轨迹是双曲线 D．平面内与两个定点和的距离之比等于2的点的轨迹是圆 9．（25-26高二上·江西萍乡·期中）已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，点在上，则下列结论正确的为（    ） A．的离心率为 B．的渐近线方程为 C． D．点到的焦点的距离为5 10．（25-26高三上·江西·月考）已知抛物线，圆，则下列结论正确的是（   ） A．当的圆心为的焦点时，存在，使与仅有1个公共点 B．当的准线过的圆心时，存在，使与仅有1个公共点 C．若与有2个公共点，则 D．若与有4个公共点，则 三、填空题 11．（2025高三·全国·专题练习）已知抛物线E：的焦点为F，焦距为的椭圆C：的左、右焦点分别为，（在F的右侧），E与C交于A，B两点，若为等边三角形，且A，，B三点共线，则 ． 12．（25-26高三上·天津河北·开学考试）已知直线过抛物线的焦点且与直线垂直，则圆与直线相交所得的弦长为 . 13．（25-26高二上·山东菏泽·月考）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则点A的坐标为 . 14．（25-26高二上·河南·期中）已知直线为抛物线的准线，为上的一个动点，则点到的距离与到直线的距离之和的最小值为 . 15．（25-26高三上·上海宝山·月考）已知F是抛物线C：的焦点，P是抛物线C上一动点，Q是曲线上一动点，则的最小值为 四、解答题 16．（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线的右焦点为与抛物线的焦点重合，且的顶点与坐标原点重合．过点且与轴垂直的直线交于两点，交于两点，且． (1)求的离心率； (2)若点是与的公共点，且，求与的标准方程 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026年人教A版高二上学期常考题型归纳 【第19讲：抛物线的标准方程】 总览 题型梳理 一、定义 平面内与一个定点（焦点）和一条定直线（，准线）距离相等的点的轨迹，称为抛物线. 核心条件：点到焦点距离=点到准线距离. 关键参数：（焦点到准线的距离，）. 二、顶点在原点的标准方程（对称轴为坐标轴） 开口方向 标准方程 焦点坐标 准线方程 向右 向左 向上 向下 三、标准方程核心规律 1.一次项变量对应对称轴（如中为一次项，对称轴为轴）； 2.一次项系数符号决定开口方向（正号向坐标轴正方向，负号向负方向）； 3.一次项系数绝对值（如中）； 4.焦点坐标中，对称轴对应坐标为，另一坐标为； 5.准线方程为对称轴对应变量. 四、顶点不在原点的标准方程（平移变换） 若抛物线顶点为，对称轴平行于坐标轴，标准方程如下： 开口方向 标准方程 焦点坐标 准线方程 向右 向左 向上 向下 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：抛物线的定义求轨迹方程】 【解题策略】 1.核心思路：紧扣抛物线定义“平面内到定点与定直线（）距离相等的点的轨迹”； 2.解题步骤： ①确定定点（焦点）和定直线（准线）； ②设轨迹上任意一点； ③写出距离关系：； ④两边平方化简方程，消去根号和绝对值； ⑤验证：确保，排除轨迹退化（如单点）情况. （2025高三·全国·专题练习）已知点，点，点是轴上的动点，点在轴上，直线与直线垂直，关于的对称点为．求的轨迹的方程；经典例题例题 【答案】 【分析】法1：利用向量垂直以及中点坐标公式即可求解；法2：利用菱形的性质以及抛物线的定义可判断点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线． 【详解】法1：设 因为，所以，即． 又，所以，所以， 即点的轨迹的方程为． 法2：如图，设关于的对称点为，由已知得，互相垂直平分， 所以四边形为菱形，所以． 因为为中点，所以，即点在定直线上， 因为，所以与直线垂直， 即点到定点的距离等于点到定直线的距离， 所以点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线． 所以点的轨迹的方程为． （2025·河北邯郸·模拟预测）在平面内，到定点的距离比到定直线的距离大1的动点的轨迹方程是 ．小试牛刀1 【答案】 【分析】先根据已知条件将动点到定点与定直线的距离关系进行转化，再依据抛物线定义确定其轨迹方程． 【详解】由已知可得动点满足到定点的距离等于到定直线的距离， 由抛物线定义知动点的轨迹方程为焦点在x轴上的抛物线，且焦点为，则，.因此轨迹方程为：． 故答案为：. （2024高三·全国·专题练习）若点P到点的距离比它到直线的距离小2，则点P的轨迹方程为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义即可写出点P的轨迹方程. 【详解】由题意，知P到的距离比它到的距离小2， 因此P到的距离与到直线的距离相等， 故P的轨迹是以F为焦点，为准线的抛物线， 所以P的轨迹方程为． 故选：C （2024·湖南长沙·二模）已知圆N：，直线，圆M与圆N外切，且与直线相切，则点M的轨迹方程为 ．小试牛刀3 【答案】 【分析】设动圆的半径为r，则点M到l＇：与点M到点N的距离相等，都是，再利用抛物线的定义求解. 【详解】由题意得，直线l：，且圆N：， 设圆M半径为r，则点M到l＇：与点M到点N的距离相等，都是， 故点M的轨迹是以N为焦点，以l＇为准线的抛物线，故方程为． 故答案为： 【题型2：抛物线上的点到定点的距离与最值（代数类最值）】 【解题策略】 1.核心思路：将距离转化为单变量函数，通过代数运算求最值； 2.解题步骤： ①设抛物线上任一点，根据抛物线标准方程参数化表示： 若（），设（）； 若（），设（）； ②设定点，计算距离平方（简化运算）： ③代入抛物线方程，将转化为关于或的一元二次函数： 例：中，（关于的函数）； ④结合抛物线定义域（如中），利用配方法、判别式或导数求函数最值： 配方法：对于（），最值为； ⑤由函数取等条件，求解最值对应的点坐标. 【多选题】（21-22高三上·河北保定·期末）已知为曲线上一动点，则（    ）经典例题例题 A．的最小值为1 B．存在一个定点和一条定直线，使得到定点的距离等于到定直线的距离 C．到直线的距离的最小值小于 D．的最小值为6 【答案】ABD 【分析】由，化简可得，利用抛物的定义及距离公式依次判断各选项即可得出结果. 【详解】由，得，则曲线为抛物线的右半部分(含原点). 因为抛物线的焦点为，准线为：，所以B正确， ，A正确， 原点到直线的距离为，数形结合可知，原点到直线的距离是最短距离，C错误. 设点到准线：的距离为，到准线：的距离为， 则，D正确. 故选：ABD （25-26高二上·北京·期中）P是抛物线上任意一点，点是x轴上的定点，则的最小值为 .小试牛刀1 【答案】 【分析】设点P坐标，利用两点距离公式结合二次函数的性质计算即可. 【详解】设，则，易知 ， 当且仅当时取得最小值. 故答案为： 【多选题】（25-26高二上·全国·单元测试）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，O为坐标原点，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D．的坐标为 【答案】AC 【分析】根据抛物线定义求得，进而求出坐标判断A、B、C；根据抛物线方程得焦点判断D. 【详解】A：由抛物线的定义，得，所以，对； B：因为点在抛物线上，所以，所以，错； C：，对； D：由抛物线，可得，错； 故选：AC （24-25高二下·上海·月考）已知点是抛物线上的动点，点是圆上的动点，则两点间的最短距离为 ．小试牛刀3 【答案】/ 【分析】由题意转化为抛物线上动点到圆心的距离的最小值即可得解. 【详解】由圆，知圆心为，半径为， 设为抛物线上动点，则两点间的距离为， 所以当时，， 所以． 故答案为： 【题型3：抛物线上的点到定点/定直线的距离和差最值（几何类最值）】 【解题策略】 1.核心思路：利用抛物线定义转化距离，结合“三点共线”求最值； 2.解题步骤（和最值）： ①若目标含“到焦点的距离”，利用定义转化为“到准线的距离（）”； ②目标转化为（为定点），当、、（为到的垂足）三点共线时，和为最小值： （为抛物线准线）； 3.解题步骤（差最值）： ①转化为，利用三角形两边之差小于第三边： ②当、、三点共线时，等号成立，最大值为，最小值为； 4.关键注意：判断定点与抛物线的位置关系（内/外），确保最值可取得. （2025·湖南郴州·一模）已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（    ）经典例题例题 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先判断在抛物线里面，然后的最小值为，过点作抛物线准线的垂线垂足为，的最小值等于求的最小值. 【详解】把代入，得， 所以点在抛物线里面， 圆的圆心记为， 因为的最小值为，而正好是抛物线的焦点， 过点作抛物线准线的垂线垂足为， 则根据抛物线的定义得， 所以的最小值等于求的最小值， 当三点共线时最小，最小值为， 故的最小值为， 故选：B （25-26高三上·陕西西安·月考）已知抛物线上的一点到焦点的距离为为上一动点，为圆上一动点，则点到直线的距离与之和的最小值为 .小试牛刀1 【答案】3 【分析】由题可得抛物线方程与圆的圆心半径，由抛物线定义可得点到直线的距离与之和为，然后由图可得四点共线时取最小值. 【详解】圆的圆心为，半径． 如图，由抛物线的定义可得，解得， 可知抛物线的方程为，焦点坐标为，准线为直线， 则点到直线的距离．可得， 当四点共线时，取得最小值， 所以． 故答案为：3. （2025·贵州贵阳·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，M为C上的动点，N为直线上的动点，设点M到y轴的距离为d，则的最小值为（   ）小试牛刀2 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由抛物线的定义可知点到焦点的距离等于到准线的距离，进行转化，当三点共线时，可求得最小值. 【详解】 因为抛物线，过F点作垂直直线l于点，过M作准线的垂线交准线于点，如图所示，则，， 则， 当点与点重合，点为线段与抛物线的交点时，等号成立. 故选：A． （24-25高二下·上海·期末）已知点的坐标为，点为抛物线的焦点，若点在此抛物线上移动，求取得最小值时点的坐标是 ．小试牛刀3 【答案】 【分析】根据抛物线的定义，把转化为，利用当三点共线时，取得最小值，把代入抛物线解得值，即得的坐标. 【详解】根据题意，作图如下， 设点在其准线上的射影为， 由抛物线的定义得， 所以欲使取得最小值，就是使最小， ，当且仅当三点共线时，等号成立. 即点的纵坐标， 设点的横坐标为， 为抛物线上的点，， 所以点的坐标为. 故答案为：. 【题型4：根据抛物线的焦点或准线求其他量】 【解题策略】 1.核心思路：由焦点/准线确定标准方程形式，求值后推导目标量； 2.解题步骤： ①由焦点坐标或准线方程判断开口方向与对称轴： 焦点→开口向右，对称轴为轴； 焦点→开口向下，对称轴为轴； 准线→开口向左，对称轴为轴； 准线→开口向上，对称轴为轴； ②计算值： 焦点； 准线； ③写出抛物线标准方程（如、）； ④求目标量（如焦半径、顶点坐标等）： 焦半径：（，）. （25-26高二上·四川绵阳·期中）抛物线的焦点到准线的距离为，则（    ）经典例题例题 A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】将抛物线的方程变形，根据焦点与准线距离列方程求参数. 【详解】由题设，抛物线标准形式为，则，可得. 故选：D （25-26高二上·全国·课后作业）焦点在直线上的抛物线的标准方程为 ．小试牛刀1 【答案】或 【分析】先求出直线与坐标轴的点的坐标，然后根据抛物线方程的定义求出结果即可. 【详解】抛物线的标准方程中，焦点必在坐标轴上，先求直线和坐标轴的交点： 直线与轴的交点为，与轴的交点为， 所以抛物线的焦点为或． 当焦点为时，抛物线方程为；当焦点为时，抛物线方程为． 综上，抛物线的标准方程为或． 故答案为：或． （24-25高二下·广东·期末）已知抛物线，则抛物线的焦点到准线的距离为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化为抛物线的标准方程即可得解. 【详解】由抛物线化为标准方程得， 则抛物线的焦点到准线的距离为， 故选：A. （2025·广西北海·模拟预测）已知抛物线的顶点在原点，开口向左，且其焦点到准线的距离为6，抛物线上有一点，到焦点的距离为5，则点的纵坐标为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得抛物线的标准方程，设点坐标为.由抛物线的定义列方程可解得的值，代入抛物线方程即可求解. 【详解】由题可得抛物线的标准方程为，抛物线的焦点坐标为，准线方程为. 设点坐标为，过点作于点. 由于点到焦点的距离为5，根据抛物线的定义可知：，解得， 代入抛物线方程，解得，即点的纵坐标为. 故选：B. 【题型5：根据几何线段关系求抛物线的标准方程】 【解题策略】 1.核心思路：提取线段关系中的值和开口方向，建立方程求解； 2.解题步骤： ①分析线段关系类型（焦点弦长、通径长、焦半径、线段相等/倍数关系等）； ②结合核心公式转化线段关系： 焦半径公式：（）、（）； 通径长：； 焦点弦长：（）、（）； ③将线段关系转化为关于的方程（如）； ④求解值（）； ⑤确定开口方向（由线段位置或题意隐含条件判断）； ⑥代入对应标准方程形式，写出最终方程. （24-25高二下·江苏南京·期末）抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线交于，两点，的准线交轴于点，若，则的方程为（   ）经典例题例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知条件求出的坐标，然后利用垂直关系列出等式求出，进而得到抛物线方程. 【详解】根据题意，设抛物线方程为， 则，准线方程为. 所以点. 因为，所以， 化简得，即，解得. 所以抛物线方程为. 故选：D. （24-25高二上·河北石家庄·期中）已知抛物线的焦点为F，直线l过点F且倾斜角为，若抛物线C上存在点M与点关于直线l对称，则 ．小试牛刀1 【答案】1 【分析】由倾斜角得到斜率，写出对称直线方程，设对称点坐标得到：①中点在直线上；②两点直线与对称直线垂直.分别得出对应方程并解出的代数式，再代入抛物线求得的值. 【详解】，∴， 设点，则中点在直线上， 则，即①， 又∵，即∴②， 联立①②可得，又∵对称点在上， ∴，即，∴（舍去）或 故答案为：1 （24-25高二上·陕西渭南·期中）已知为坐标原点，点在抛物线上，点在抛物线的准线上，且，若点到直线的距离为，则（    ）小试牛刀2 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据题设有，可得，再由点线距离公式得，结合化简求参数. 【详解】由题意，易知，则，即， 所以，又，则， 所以，则，且， 所以. 故选：B （24-25高二上·上海·课堂例题）已知抛物线的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点．若为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为 ．小试牛刀3 【答案】 【分析】设，得到点，根据是等边三角形，列出方程组求得的值，即可求解. 【详解】因为为等边三角形，则， 由抛物线的定义得PM垂直于抛物线的准线， 设，则点， 又由焦点，是等边三角形，所以， 解得，因此抛物线方程为. 故答案为：. 【题型6：抛物线的光学性质】 【解题策略】 1.核心思路：将光学性质转化为几何关系（角平分线、平行关系），结合直线方程求解； 2.光学性质核心：平行于对称轴的光线经抛物线反射后过焦点；过焦点的光线经反射后平行于对称轴；切线平分入射光线与反射光线的夹角； 3.解题步骤： ①明确光学性质对应的几何条件（如“反射光线过焦点”“反射光线平行于对称轴”）； ②设入射光线/反射光线的直线方程（如斜率为时，；斜率不存在时，）； ③联立抛物线方程，利用“切点在抛物线上”“切线斜率满足判别式”（涉及切线时）或“交点坐标满足焦点条件”求解参数； ④验证几何关系（如斜率相等证明平行、利用角平分线定理证明角度相等），确保符合光学性质. （23-24高二上·山东青岛·期末）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经拋物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴：反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过拋物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（    ）经典例题例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出点的坐标，进而求出直线方程，与抛物线方程联立求出点的坐标即得. 【详解】抛物线的焦点为，准线为，由点在抛物线上，则， 直线方程为：，即， 由，消去得，解得或，由，得， 于是，， 而， 所以的周长为. 故选：D    （2023·江西·模拟预测）用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲而叫抛物面）的反射后，集中于它的焦点．用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线放在平面直角坐标系中，对称轴与轴重合，顶点与原点重合，如图，若抛物线的方程为，平行于轴的光线从点射出，经过上的点反射后，再从上的另一点射出，则（    ）小试牛刀1    A．6 B．8 C． D．29 【答案】C 【分析】依题意设，代入抛物线方程，求出，即可得到直线的方程，联立直线与抛物线方程求出点坐标，即可求出. 【详解】由，可得的纵坐标为，设，则，解得， 由题意反射光线经过抛物线的焦点， 所以直线的方程为，整理可得， 由消去整理得，解得，， 则，所以，所以. 故选：C （21-22高二上·福建泉州·期末）抛物线有如下光学性质：平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为F，一条平行于y轴的光线从点射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则经点B反射后的反射光线必过点（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出、坐标可得直线的方程，与抛物线方程联立求出，根据选项可得答案, 【详解】把代入得，所以， 所以直线的方程为即， 与抛物线方程联立解得，所以， 因为反射光线平行于y轴，根据选项可得D正确, 故选：D. （23-24高二上·山东聊城·期末）抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线上一点反射后，反射光线必过抛物线的焦点．已知抛物线，一束平行于x轴的光线，从点射入，经过C上一点A反射后﹐再经C上另一点B反射后，沿直线出，则线段AB的长为（    ）．小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件设出直线的方程为，联立直线和抛物线方程并消元，得到，由抛物线的焦半径公式可求得线段AB的长. 【详解】由抛物线的光学性质可知，直线过抛物线的焦点， 因为，所以令中，则， 即，所以直线的方程为：， 即， 将直线的方程代入中， 得，所以， 所以. 故选：C. 【题型7：抛物线与圆的综合题型】 【解题策略】 1.核心思路：结合抛物线的焦点、准线性质与圆的圆心、半径、位置关系（相切、相交、过定点）求解； 2.解题步骤： ①写出抛物线标准方程（含）和圆的方程： 抛物线：如（）； 圆：标准式（圆心，半径）； ②提取综合条件（如圆过抛物线焦点、圆与抛物线相切、圆心在抛物线准线上等）； ③转化条件： 圆过焦点：； 圆与抛物线相切：联立两方程消元得一元二次方程，令； 圆心在准线上：圆心坐标满足准线方程（如，的准线）； ④求解参数（如、、、），验证参数合理性（、）. （22-23高二上·河北保定·期末）已知抛物线的焦点为，圆，圆心是抛物线上一点，直线，圆与线段相交于点，与直线交于，两点，且，若，则抛物线方程为 .经典例题例题 【答案】 【分析】过点作于点，结合图形得到，再由得到，再由点在抛物线上得到，联立三个式子，解方程组，即可确定的值即得. 【详解】    如图，过点作于点，则， 由图知①， 由可得，②， 又点在抛物线上，可得，，即③， 把①式代入②式，，解得，， 回代入①可得，，代入③式整理得， ， 解得，或（舍去），故抛物线方程为：. 故答案为：. （2024·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，P为抛物线上一点，以PF为直径的圆与轴相切于点，且圆过点，则该抛物线的方程为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则圆心，由于圆与轴相切于点，得，由圆过点，得，得，故，代入抛物线方程即得. 【详解】由题意得，，设，则圆心， 由于圆与轴相切于点，故，解得． 连接PB，由圆过点，得，所以， 又，，所以， 又B、F是不同两点，所以，则，故． 由在抛物线上，得，解得， 故该抛物线的方程为. 故选：C． 【多选题】（21-22高二上·黑龙江佳木斯·期末）已知抛物线，是抛物线的焦点，是抛物线上一点，.如果以为直径的圆过点，则抛物线的方程是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】设出、点坐标，由焦半径公式得，过以为直径的圆上的点会得到直角，即有斜率之积为，代入计算即可得. 【详解】由，则有， 设，则， 如果以为直径的圆过点，设该点为， 则有，即， 化简得，解得， 故，解得或， 即抛物线为或. 故选：BD. （22-23高三上·广东·阶段练习）设抛物线C：的焦点为F，点M在C上，，若以MF为直径的圆过点，则C的方程为 .小试牛刀3 【答案】或. 【分析】先由抛物线的定义得到点M的横坐标，进而得到圆心的横坐标为，结合其半径也为，得到圆与y轴的切点为，从而得到圆心为，进而得到点M的坐标，代入抛物线方程求解. 【详解】解：由题意得，设， 则由抛物线的定义得， 则，所以圆心的横坐标为，其半径也为， 所以圆与y轴相切， 又因为以MF为直径的圆过点， 所以切点为， 所以圆心为，则， 又因为点M在抛物线上， 所以，即， 解得或， 所以抛物线方程为：或. 故答案为：或. 【题型8：抛物线与椭圆的综合题型】 【解题策略】 1.核心思路：利用椭圆的关系与抛物线的、焦点、准线性质，建立参数联系； 2.解题步骤： ①列出椭圆和抛物线的已知条件： 椭圆：，（，）； 抛物线：焦点坐标、准线方程、； ②分析关联条件（如抛物线焦点与椭圆焦点重合、抛物线准线过椭圆顶点等）； ③转化关联条件为方程： 共焦点：椭圆（抛物线的焦点）； 准线过椭圆顶点：如抛物线准线过椭圆左顶点； ④联立方程求解目标量（如、椭圆）； ⑤验证参数满足定义域（、）. （25-26高二上·江西宜春·期中）设焦点为的椭圆上的一点也在抛物线上，抛物线的焦点为，若，则的面积是 .经典例题例题 【答案】 【分析】先算出点的坐标，进而求出椭圆的方程即可求得面积. 【详解】由对称性，不妨设点在轴的上方，由题意得， ，所以，即， 代入椭圆方程解得，所以，即， 所以,. 故答案为： （2021·江苏南通·模拟预测）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合.若椭圆与抛物线相交于点、，且直线经过点，则椭圆的离心率为 .小试牛刀1 【答案】 【分析】作出图形，分析可得，，利用椭圆的定义可得出关于、的齐次等式，由此可解得椭圆的离心率的值. 【详解】如下图所示： 过点作抛物线的准线的垂线，垂足为点，设点为椭圆的左焦点， 由抛物线的定义可得， 易知点、关于轴对称，则轴， 又因为轴，所以，四边形为正方形，可得， 因为，由椭圆的定义可得，即， 因此，椭圆的离心率为. 故答案为：. （24-25高二上·江苏南京·期中）已知点，点F为抛物线的焦点．若以点P，F为焦点的椭圆与抛物线有公共点，则椭圆的离心率的最大值为 ．小试牛刀2 【答案】 【分析】焦点，根据椭圆的定义得到，设椭圆和抛物线的交点为，根据抛物线性质得到，得到离心率的最大值. 【详解】由抛物线方程得，准线方程为， 又点，则， 在抛物线上取点H，过H作HG垂直直线，交直线于点G， 过P作PM垂直直线，交直线于点M， 由椭圆和抛物线定义得，故椭圆离心率．    故答案为：. （22-23高二下·浙江杭州·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，且是抛物线的焦点，若P是椭圆与抛物线的交点，且，则的值为 .小试牛刀3 【答案】/0.75 【分析】由椭圆定义得到，作出辅助线，利用抛物线定义结合角度相等，求出余弦值. 【详解】由椭圆定义可知， 因为，所以， 过点作垂直于抛物线的准线于点，则， 由抛物线定义可知：， 故. 故答案为： 【题型9：抛物线与双曲线的综合题型】 【解题策略】 1.核心思路：依托双曲线的关系与抛物线的核心性质，转化综合条件； 2.解题步骤： ①列出双曲线和抛物线的已知条件： 双曲线：，（，，）； 抛物线：焦点坐标、准线方程、； ②分析关联条件（如共焦点、共准线、抛物线过双曲线顶点等）； ③转化关联条件为方程： 共焦点：双曲线（抛物线的焦点）； 抛物线过双曲线顶点：如双曲线右顶点代入抛物线方程相关关系； ④联立方程求解参数（如、双曲线、离心率）； ⑤排除不符合条件的解（如、）. （25-26高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的准线经过，且与双曲线的一条渐近线交于点，若，则双曲线的标准方程为 .经典例题例题 【答案】 【分析】由已知可得出的值，求出点的坐标，分析可得，由此可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程. 【详解】抛物线的准线方程为，则，所以， 双曲线的渐近线方程为， 不妨设点为第二象限内的点，联立，可得，即点， 因为且，则为等腰直角三角形， 且，即，可得， 所以，解得，因此双曲线的标准方程为. 故答案为：. （25-26高三上·天津红桥·期中）已知抛物线 的焦点与双曲线 的右焦点重合，抛物线的准线与轴的交点为，点在抛物线上，且 则的面积为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据双曲线的性质求出抛物线的参数，进而得到抛物线方程，再利用抛物线的定义和已知条件求出点的坐标，最后计算的面积. 【详解】双曲线的右焦点为，即为抛物线 的焦点， 所以，解得，抛物线方程为，其准线方程为， 因此准线与轴的交点的坐标为；焦点的坐标为， 设点，因为在抛物线上，所以， 则 ，又，且， 代入得：，化简得， 结合，代入展开并整理：， 将代入，得，因此点坐标为或， 则，点到轴（所在直线）的距离为， 则. 故选：A. （25-26高三上·陕西·月考）双曲线的左､右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点，若，则双曲线的离心率 .小试牛刀2 【答案】2 【分析】利用抛物线与双曲线的定义与性质得出，根据勾股定理从而确定的坐标，利用点在双曲线上构造齐次方程计算即可. 【详解】根据题意可设，双曲线的半焦距为，，则， 过作轴的垂线，过作的垂线，垂足为，显然直线为抛物线的准线， 则， 由双曲线的定义及已知条件可知，则， 由勾股定理可知， 易知，即， 整理得， ∴，即离心率为. 故答案为：2 【多选题】（2025·湖北武汉·模拟预测）已知抛物线，其焦点为；双曲线的离心率为，其左、右焦点分别为，已知在第一象限存在公共点，则下列说法正确的是（    ）小试牛刀3 A．曲线的焦点坐标为 B．曲线C2的渐近线为 C．存在，使得点的横坐标为10 D．若以为直径的圆与轴相切于点，则 【答案】BD 【分析】求出抛物线的焦点，判断A的真假；求双曲线的渐近线方程，判断B的真假；假设点的横坐标为10成立，根据点在抛物线上，求出纵坐标，再代入双曲线方程进行验证，判断C的真假；根据条件求出点坐标，代入双曲线方程求，可判断D的真假. 【详解】对A：因为抛物线的标准方程为：，所以其焦点坐标为，故A错误； 对B：由题意，. 所以双曲线的渐近线方程为：，故B正确； 对C：当点的横坐标为10，因为点在抛物线上，且位于第一象限，所以点坐标为. 又点在双曲线上，所以，该方程无解. 所以不存在，使得点的横坐标为10，故C错误； 对D：如图：    因为以为直径的圆与轴相切于点，所以点横坐标为4，又点在抛物线:上，且位于第一象限，所以点坐标为. 又点在双曲线上，所以，所以.故D正确. 故选：BD 一、单选题 1．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）M是抛物线上一点，F是抛物线的焦点，O是坐标原点，若，则（   ） A．1 B．2 C．4 D． 2．（25-26高三上·四川成都·月考）如图，设抛物线的焦点为，过轴上一点作直线交于，两点，若，，则（   ）    A．4 B．3 C． D． 3．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知P为抛物线上的任意一点，F为抛物线的焦点，点，则的最小值为（   ） A．3 B． C．4 D． 4．（2025高三上·广东·专题练习）已知抛物线的焦点为，准线为，为上一动点，且在轴上方，为上一动点，且轴，若，则点的纵坐标为（    ） A． B．2 C．3 D． 5．（25-26高二上·河北·期中）已知点在抛物线上，则该抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·湖南·一模）已知点满足，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D．4 二、多选题 7．（25-26高二上·江西·期中）已知抛物线上一点到的焦点的距离为5，则（   ） A． B．的坐标为 C． D．在上存在点，使得为正三角形 8．（25-26高二上·浙江丽水·期中）下列说法中不正确的是（　　） A．平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线 B．平面内与两个定点和的距离之和等于4的点的轨迹是椭圆 C．平面内与两个定点和的距离之差等于3的点的轨迹是双曲线 D．平面内与两个定点和的距离之比等于2的点的轨迹是圆 9．（25-26高二上·江西萍乡·期中）已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，点在上，则下列结论正确的为（    ） A．的离心率为 B．的渐近线方程为 C． D．点到的焦点的距离为5 10．（25-26高三上·江西·月考）已知抛物线，圆，则下列结论正确的是（   ） A．当的圆心为的焦点时，存在，使与仅有1个公共点 B．当的准线过的圆心时，存在，使与仅有1个公共点 C．若与有2个公共点，则 D．若与有4个公共点，则 三、填空题 11．（2025高三·全国·专题练习）已知抛物线E：的焦点为F，焦距为的椭圆C：的左、右焦点分别为，（在F的右侧），E与C交于A，B两点，若为等边三角形，且A，，B三点共线，则 ． 12．（25-26高三上·天津河北·开学考试）已知直线过抛物线的焦点且与直线垂直，则圆与直线相交所得的弦长为 . 13．（25-26高二上·山东菏泽·月考）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则点A的坐标为 . 14．（25-26高二上·河南·期中）已知直线为抛物线的准线，为上的一个动点，则点到的距离与到直线的距离之和的最小值为 . 15．（25-26高三上·上海宝山·月考）已知F是抛物线C：的焦点，P是抛物线C上一动点，Q是曲线上一动点，则的最小值为 四、解答题 16．（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线的右焦点为与抛物线的焦点重合，且的顶点与坐标原点重合．过点且与轴垂直的直线交于两点，交于两点，且． (1)求的离心率； (2)若点是与的公共点，且，求与的标准方程 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C A C C BC ABC BD ABD 1．A 【分析】画出抛物线的图象，设，再利用抛物线的定义及数形结合得，化简即可求出答案. 【详解】由抛物线的方程可得焦点，准线方程为， 过M作准线的垂线，垂足为，过F作的垂线，垂足为N，设， 因为，则可得， 由抛物线的定义可得，而， 所以， 整理可得：，解得， 所以M的横坐标为， 由抛物线的性质可得. 故选：A 2．B 【分析】根据抛物线的定义，可求两线段的长度之比. 【详解】对抛物线，焦点，准线：. 如图：    过向准线作垂线，垂足为，交轴于，根据抛物线定义，得，所以； 过向准线作垂线，垂足为，交轴于，根据抛物线定义，得，所以. 所以，所以. 故选：B 3．C 【分析】过点P作抛物线准线l的垂线段，垂足为Q，过点作，垂足为，由抛物线定义得到即可求解. 【详解】由题意知抛物线的焦点为，准线的方程为. 如图，过点P作抛物线准线l的垂线段，垂足为Q，过点作，垂足为. 由抛物线的定义得， 所以，当三点共线时取等号， 故的最小值为. |   故选：C 4．A 【分析】设点，表示出点的坐标，再利用抛物线的定义列式求解. 【详解】设点，由轴，得，且， 又，则，又，所以. 故选：A 5．C 【分析】将点代入抛物线方程，再化简得到标准方程，由标准方程写出准线方程直接计算求解即可. 【详解】因为点在抛物线上，所以，得到，抛物线的标准方程为，所以该抛物线的准线方程为。 故选：C 6．C 【分析】根据条件，利用抛物线的定义知点的轨迹为抛物线，进而可得其方程为，设，再利用两点间的距离公式，即可求解. 【详解】因为表示点到点的距离；表示点到直线的距离， 又，所以点到点的距离等于点到直线的距离， 由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，抛物线方程为， 设，则， 当且仅当时，等号成立， 故选：C. 7．BC 【分析】由抛物线的定义，结合题意先求得，判断选项A；由抛物线的方程求得焦点的坐标，判断选项B；将代入抛物线方程，求得，判断选项C；假设在上存在点，使得为正三角形，求出点的坐标，求得的长度，判断选项D. 【详解】抛物线的焦点为，准线为. 对于AB，抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离，所以，解得. 所以，所以选项A错误，选项B正确； 对于C，因为，所以抛物线. 因为点在抛物线上，所以，所以，所以选项C正确； 对于D，由C知，假设在上存在点，使得为正三角形，则. 设，则，所以，所以. 因为点异于点，所以点. 此时，，不等于，所以不是正三角形. 所以假设错误，在上不存在点，使得为正三角形，所以选项D错误. 故选：BC. 8．ABC 【分析】对A,举反例，定点在直线上判断即可；对B，根据判断即可；对C，根据双曲线的定义判断即可；对D，设所求点为，再根据条件化简求解即可. 【详解】对A，当定点在直线上时，轨迹为过且与垂直的直线，故A错误； 对B，平面内与两个定点和的距离之和等于4的点的轨迹是线段，故B错误； 对C，平面内与两个定点和的距离之差等于3的点的轨迹是双曲线的一支，不是双曲线，故C错误； 对D，设所求点为，则，即， 则，化简可得，轨迹是圆，故D正确. 故选：ABC 9．BD 【分析】由双曲线离心率与渐近线方程定义计算可得A、B；由抛物线焦点与双曲线焦点定义可得C；借助抛物线定义可得D. 【详解】对A：的离心率，故A错误； 对B：的渐近线方程为，故B正确； 对C：的焦点为，的焦点为， 由，则有，故，故C错误； 对D：由抛物线定义可得，到的焦点的距离与其到准线的距离相等， 的准线方程为，则到的焦点的距离为，故D正确. 故选：BD. 10．ABD 【分析】A举出例子即可；B举出例子即可；C举出反例即可；D联立方程组，得出关于的一元二次方程，此方程必存在两个不同的正根，利用韦达以及求解即可. 【详解】对于A，圆的圆心为，抛物线的焦点为，准线为， 当的圆心为的焦点时，， 当时，，， 联立后得，即或（舍）， 故交点为，与仅有1个公共点，故A正确； 对于B，当的准线过的圆心时，， 当，此时，， 联立后得，即或（舍）， 故交点为，与仅有1个公共点，故B正确； 对于C，当时，，， 易知此时与有2个公共点，但此时，故C错误； 对于D，联立与的方程得， 若与有4个公共点，则上述方程必存在两个不同的正根， 则， 解得，故D正确． 故选：ABD． 11． 【分析】由通径公式可得，又在抛物线中，根据定义可得，再结合在中构建方程求解即可. 【详解】由题得轴，且过，所以为椭圆通径，故， 又，则①， 在中，由对称性，易知为等边三角形的角平分线， 所以， 则在中，，即， 则②，联立①②，得， 解得． 故答案为：. 12． 【分析】根据抛物线方程先确定其焦点坐标，由两直线的位置关系得出方程，再由直线与圆的位置关系、弦长公式计算即可. 【详解】由抛物线知其焦点， 又与直线垂直，则的斜率为， 所以的方程为，即， 整理圆的方程为， 即圆心为，半径为， 根据点到直线的距离公式得圆心到的距离， 所以该圆与相交所得的弦长为. 故答案为：. 13． 【分析】先求出圆心坐标，从而可求，再联立圆和抛物线方程，求出点A的坐标即可. 【详解】由题意得圆的圆心为，故，即解得， 由，可得， 故解得或（舍），此时，故， 故答案为： 14． 【分析】记的焦点为，利用抛物线的定义将问题转化为点到直线的距离. 【详解】记的焦点为，则， 由抛物线的定义知点到的距离等于点到的距离， 故点到的距离与到直线的距离之和即点到的距离与到直线的距离之和 其最小值为点到直线的距离. 故答案为：.    15．5 【分析】由抛物线定义，将最小值转化为点所在圆的圆心到准线的距离减圆半径. 【详解】曲线，即， 设其圆心为，则. 抛物线的准线， 过点作，垂足为，则， 所以. 当共线时，最小，此时最小值为点到直线的距离. 设到直线的距离为，则， 则的最小值为. 所以的最小值为. 故答案为：. 16．(1)3 (2)， 【分析】（1）先由题意设抛物线的方程为，进而由题意求出和，再结合求出即可得解； （2）先由（1）得，接着联立两曲线方程求得点M的横坐标，再结合抛物线焦半径公式即可求出参数a即可得解. 【详解】（1）如图，因为双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，故可设抛物线的方程为， 不妨设在第一象限，由题意可得直线和直线均过点，且轴，轴， 将代入抛物线方程得，则， 将代入双曲线方程得，则， 因为，所以，即， 又，所以，解得或（舍去）， 所以的离心率为3． （2）由（1）得， 则的方程为的方程为， 联立，消去得， 解得或（舍去），则的横坐标， 因为，故由抛物线定义可得，解得， 所以双曲线的标准方程为，抛物线的标准方程为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $