16.1.1同底数幂的乘法讲义-2025-2026学年人教版八年级数学上册

第十六章 整式的乘法 第一节 同底数幂的乘法 01体系构建·思维可视 1 02核心突破·靶向攻坚 2 知识点1同底数幂的乘法 2 知识点2 同底数幂的乘法的逆运用 2 题型精讲1同底数幂相乘 5 题型精讲2同底数幂乘法的逆用 6 03拓展培优 12 04课堂检测 19 知识思维导图 课程学习目标 1.知识技能：掌握同底数幂乘法法则（。）及逆用公式，能规范进行运算，契合新教材知识编排逻辑。 2.素养能力：通过类比、归纳推导法则，发展运算能力与逻辑推理能力，对接新中考对法则应用的基础考查要求。 3.情感应用：运用法则解决科学记数法相关实际问题，感受整式运算的实用性，为后续幂的乘方、积的乘方学习奠基。 【新知学习】 【知识点1】同底数幂的乘法 1. 同底数幂的概念： 底数 相同 的幂叫做同底数幂。 2. 同底数幂的乘法： 同底数幂相乘，底数 不变 ，指数 相加 。 即 。（m、n都是正整数） 推广： 。（m、n...p都是正整数） 底数可以是数，可以是式子。若底数是多项式时，用括号括起来看成整体。指数是1时不能忽略。 边学边练计算，正确的结果等于（   ） A．a B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， 故选：C 【知识点2】同底数幂的乘法的逆运用 1. 同底数幂的乘法的逆运算： 。（m、n都是正整数） 边学边练若，则等于（　　）． A．5 B．3 C．6 D．10 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 题型精讲 题型精讲1同底数幂相乘 【例题1】计算： ． 【答案】 【详解】由同底数幂的乘法法则，， 可得：． 故答案为：． 【变式训练1】下列各项是同底数幂的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 解： A：底数分别为 和 ，底数不同，故本选项不符合题意； B：底数均为，底数相同，故本选项符合题意； C：底数分别为 和 ，底数不同，故本选项不符合题意； D： 的底数是 ， 的底数是，底数不同，故本选项不符合题意． 故选：B． 【变式训练2】已知，则之间的关系为（   ） A．和为1 B．互为相反数 C．互为倒数 D．相等 【答案】A 解：∵ ，， ∴ 即， ∴． 故选：A． 【变式训练3】若，是正整数，且满足，则，满足的关系式为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型精讲2同底数幂乘法的逆用 【例题1】可写成（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题目主要考查同底数幂乘法的逆运算，根据同底数幂乘法的逆运算法则计算即可 【详解】解：∵， ∴， 故选：C 【变式训练1】已知，，则的值是（    ） A．1 B． C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查指数运算的基本性质，直接应用法则即可求解.利用指数运算法则，同底数幂的乘法，底数不变，指数相加. 【详解】解：∵ ，， ∴ . 故选D. 【变式训练2】已知，，则 ． 【答案】21 【分析】本题考查同底数幂的乘法，逆用同底数幂的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故答案为：21． 【变式训练3】在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、53个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于（   ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，一元一次方程的应用，列出方程是解题得关键． 通过跟踪每次操作后各袋球数的变化，根据最终三袋球数相同列出方程，求解出和的值，再利用指数运算性质计算． 【详解】∵ 总球数为，且最终三袋球数相同， ∴ 每袋有 个球， 操作后： 甲袋：，； 丙袋：，； 乙袋：，符合， ∴ ． 故选：D． 【拓展培优】 【典例1】已知为自然数，且满足，则的取值不可能是（） A．2 B．3 C．8 D．－7 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， 即． 又∵， ∴， ∴，． ∵为自然数（包括0）， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，． ∴可能值为、、、． 故选：A． 【变式训练1】已知a，b，c为自然数，且满足，则的取值不可能是（    ） A． B．2 C．1 D．7 【答案】C 【详解】解：原式可化为：， ， ， ，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 时，为负数，不符合自然数条件， 可能的结果为，，，而不在其中，故的取值不可能是1． 故选：C． 【变式训练2】设m，n是正整数，且，若与的末两位数字相同，则的最小值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【详解】解：由题意知，是100的倍数 ∵与100互质 ∴是100的倍数 ∴的末尾数字是01 ∴的数值一定是偶数，且m，n是正整数， 设：（t为正整数） 则： ∵的末尾两位数字为61，的末尾两位数字为41，的末尾两位数字为21，末尾两位数字为01 ∴t的最小值为5， ∴的最小值为10 故答案为：B 【变式训练3】若，，则等于（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴或． ∵，， ∴． 当，时， ， 当，时， ， 故选：． 【典例2】已知一列数：-2，4，-8，16，-32，64，-128，……，将这列数按如右图所示的规律排成一个数阵，其中，4在第一个拐弯处，-8在第二个拐弯处，-32在第三个拐弯处，-128在第四个拐弯处，……，则第六个拐弯处的数是 ，第一百个拐弯处的数是 ． 【答案】 【详解】解：设第n个拐弯处的数为 由题意知：，，，， 观察可得：，，， ∴当且n为奇数时，，当n为偶数时，, ∴，即第六个拐弯处的数是． 故答案为： ∴第一百个拐弯处的数是 故答案为： 【变式训练1】【概念学习】 定义：求若干个相同的有理数（均不等于）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的下次方”，记作，读作“的下次方”．一般地，把记作，读作“的下次方”． (1)直接写出计算结果：______， ______． (2)【深入探究】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如： 类比上面的算式，将一个非零有理数的下次方写成幂的形式是：_____．（直接写出结果） (3)【结论应用】 已知同底数幂乘法公式：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 例如：． 请根据同底数幂乘法公式和以上探究结论，计算的值． 【答案】(1)，． (2)． (3)． 【分析】本题考查了除方的定义、除方与乘方的转化以及同底数幂乘法公式的应用，解题关键是理解除方的定义，掌握除方转化为乘方的方法，并能结合同底数幂乘法公式进行运算． （1）根据除方定义直接计算：，． （2）将除方转化为乘法，推导得． （3）先将按结论转化，再结合同底数幂乘法公式，提取公因式计算． 【详解】（1）解：． ． （2）解：． （3）解： ． 【变式训练2】阅读材料，回答问题． 材料一：因为，，所以． 材料二：求的值． 解：设①， 则②， 用②①得.， 所以，即，所以． 这种方法我们称为“错位相减法”． (1)填空：； (2)“棋盘摆米”是一个著名的数学故事：阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏．阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒…按这个方法放满整个棋盘就行．”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了． ①国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放______粒米； ②设国王输给阿基米德的总米粒数为S，求S． 【答案】(1)9 (2)①；② 【分析】此题主要考查规律型：图形的变化类，有理数的混合运算，数学常识，列代数式，解答本题的关键是能准确理解并运用定义和同底数幂相乘运算法则进行求解． （1）根据材料一进行求解； （2）①由题意可得，第n个格放粒米进行求解； ②根据材料二中的方法进行求解． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：9； （2）解：①由题意得，第一格放的米粒数为； 第二格放的米粒数为； 第三格放的米粒数为； 第四格放的米粒数为； … 第n格放的米粒数为， 在第64格中应放粒米； 故答案为：； ②由题意得： ， 则， ， 即． 【课堂检测】 （建议时间：40分钟） 一、单选题 1．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）计算（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键．利用同底数幂的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：C． 2．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查乘方运算的含义，同底数幂的乘法运算，先确定符号，再利用同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解： ． 故选： C． 3．（24-25六年级下·山东泰安·期末）我们知道下面的结论：若（，且），则．利用这个结论解决下列问题：设，，．现给出，，三者之间的两个关系式：①，②，其中正确的是（   ） A．①正确 B．②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂的乘法，解题的关键是熟练运用同底数幂的乘法公式； 根据同底数幂的乘法公式即可求出m、n、p的关系，然后根据m、n、p的关系验证两个关系式是否成立． 【详解】， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，故①正确； ，， ，故②正确； 故选：C． 4．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）下列选项中，运算结果与一致的是（   ） A．3个相乘 B．5个c相乘 C．6个c相乘 D．2个相乘 【答案】B 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法．根据同底数幂乘法法则，逐项判断，即可求解． 【详解】解：， A、，运算结果与不一致，故本选项不符合题意； B、，运算结果与一致，故本选项符合题意； C、，运算结果与不一致，故本选项不符合题意； D、，运算结果与不一致，故本选项不符合题意； 故选：B 5．（24-25七年级下·湖南·期末）已知为整数，且，则的大小关系不可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆运算，正确变形、熟练掌握同底数幂的乘法的逆运算法则是解题关键． 根据同底数幂的乘法的逆运算，则把x、y、z进行变形，然后比较即可． 【详解】解：∵， ∴，无法确定z与y的关系； ∴的大小关系不可能是， 故选：B． 6．（24-25七年级下·江苏常州·期末）已知，其中，，，是正整数，则下列说法中正确的是（    ） A．是偶数 B．是偶数 C．是偶数 D．是奇数，是偶数 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂乘法．熟练掌握同底数幂乘法的法则，奇数偶数性质，是解题的关键． 将等式右边统一为3的幂，结合完全平方数的性质确定指数为偶数，进而分析各选项的奇偶性，即得． 【详解】∵，且左边为完全平方数， ∴必为偶数． ∵，且为偶数， ∴也需为偶数． 若为偶数，为偶数，则需为偶数； 若为奇数，为奇数，则需为奇数． ∴与奇偶性相同， ∴必为偶数． A：如为奇数时，可能为奇数，错误； B：是偶数，正确； C：的奇偶性由决定，不一定为偶数； D：的奇偶性不确定，错误． 故选：B． 7．（24-25八年级上·重庆秀山·期末）下面计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，根据同底数幂的乘法，合并同类项法则逐一排除即可，掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：，原选项计算错误，不符合题意； 、与不是同类项，不可以合并，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：． 8．（24-25七年级下·甘肃酒泉·期末）定义：如果，那么叫作以为底的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以．下列说法正确的个数为（　　） ①；②若，则；③． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题以新定义题型为背景，主要考查了对数的定义及和乘方意义，同底数幂的乘法；根据对数的定义及和乘方意义逐一判断各说法的正确性． 【详解】解：① 根据定义，若，则．因，故，①正确． ② 若，则： ∵， ∴． ∵ ∴，即， 解得， 故，②正确． ③ （）： 设，， 则，． 故，，③正确． 综上，①②③均正确， 故选：D． 二、填空题 9．（24-25七年级下·湖南怀化·期末）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，逆用同底数幂的运算法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 10．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是同底数幂相乘，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘． 根据同底数幂相乘运算即可得解． 【详解】解：． 故答案为：． 11．（24-25八年级上·全国·期末）已知，，m，n为正整数，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了同底数幂相乘的逆运算，熟记公式是解题的关键． 根据同底数幂相乘的逆运算解答． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 12．（24-25七年级下·江苏南京·期末）已知，，，下列结论：①；②；③.其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①③ 【分析】本题考查了同底数幂乘法及其逆运算、对指数的大小比较，掌握这些知识点时解题的个关键. 利用同底数幂乘法及其逆运算对等式进行对比可得：①，②，③，可证结果. 【详解】解：（1）∵， ∴，即 ∴ ∴；①正确； （2）∵， ∴ ，即 ∵ ∴ ；②不正确； （3）∵ ∴ ，而，③正确； 故答案为：①③ . 13．（24-25七年级下·浙江丽水·期末）规定：若实数满足（且），则记作．例如：，则．若，且，则的值是 ． 【答案】15 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，正确理解新规定是解题的关键； 先根据规定得出，再利用同底数幂的乘法法则求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∵， ∴， 故答案为：15． 三、解答题 14．（24-25八年级上·全国·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法、合并同类项： （1）先根据同底数幂乘法计算，再合并同类项，即可求解； （2）根据同底数幂乘法计算，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 15．（24-25七年级下·安徽滁州·期末）如果，那么规定．例如；如果，那么． (1)根据规定，______，______； (2)记，若，求的值． 【答案】(1)0， (2) 【分析】本题考查了本题考查了新定义运算，整数指数幂的运算的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据新定义进行解答便可； （2）根据新定义得，可得，再结合已知条件，得，即． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴，即， 故答案为：0，． （2）解：， ， ， ， ， ． 16．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期末）（1）计算：      （2）解不等式： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，解不等式，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据同底数幂的乘除法法则求解即可； （2）根据去分母、合并同类项、化系数为1，即可求解． 【详解】解：（1） ； （2）解： 去分母，得 移项合并，得 将未知数的系数化为1，得 不等式的解集是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十六章 整式的乘法 第一节 同底数幂的乘法 01体系构建·思维可视 1 02核心突破·靶向攻坚 2 知识点1同底数幂的乘法 2 知识点2 同底数幂的乘法的逆运用 2 题型精讲1同底数幂相乘 5 题型精讲2同底数幂乘法的逆用 6 03拓展培优 12 04课堂检测 19 知识思维导图 课程学习目标 1.知识技能：掌握同底数幂乘法法则（。）及逆用公式，能规范进行运算，契合新教材知识编排逻辑。 2.素养能力：通过类比、归纳推导法则，发展运算能力与逻辑推理能力，对接新中考对法则应用的基础考查要求。 3.情感应用：运用法则解决科学记数法相关实际问题，感受整式运算的实用性，为后续幂的乘方、积的乘方学习奠基。 【新知学习】 【知识点1】同底数幂的乘法 1. 同底数幂的概念： 底数 的幂叫做同底数幂。 2. 同底数幂的乘法： 同底数幂相乘，底数 ，指数 。 即 。（m、n都是正整数） 推广： 。（m、n...p都是正整数） 底数可以是数，可以是式子。若底数是多项式时，用括号括起来看成整体。指数是1时不能忽略。 边学边练计算，正确的结果等于（   ） A．a B． C． D． 【知识点2】同底数幂的乘法的逆运用 1. 同底数幂的乘法的逆运算： 。（m、n都是正整数） 边学边练若，则等于（　　）． A．5 B．3 C．6 D．10 题型精讲 题型精讲1同底数幂相乘 【例题1】计算： ． 【变式训练1】下列各项是同底数幂的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式训练2】已知，则之间的关系为（   ） A．和为1 B．互为相反数 C．互为倒数 D．相等 【变式训练3】若，是正整数，且满足，则，满足的关系式为 ． 题型精讲2同底数幂乘法的逆用 【例题1】可写成（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】已知，，则的值是（    ） A．1 B． C．5 D．6 【变式训练2】已知，，则 ． 【变式训练3】在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、53个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于（   ） A．16 B．8 C．4 D．2 【拓展培优】 【典例1】已知为自然数，且满足，则的取值不可能是（） A．2 B．3 C．8 D．－7 【变式训练1】已知a，b，c为自然数，且满足，则的取值不可能是（    ） A． B．2 C．1 D．7 【变式训练2】设m，n是正整数，且，若与的末两位数字相同，则的最小值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【变式训练3】若，，则等于（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 【典例2】已知一列数：-2，4，-8，16，-32，64，-128，……，将这列数按如右图所示的规律排成一个数阵，其中，4在第一个拐弯处，-8在第二个拐弯处，-32在第三个拐弯处，-128在第四个拐弯处，……，则第六个拐弯处的数是 ，第一百个拐弯处的数是 ． 【变式训练1】【概念学习】 定义：求若干个相同的有理数（均不等于）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的下次方”，记作，读作“的下次方”．一般地，把记作，读作“的下次方”． (1)直接写出计算结果：______， ______． (2)【深入探究】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如： 类比上面的算式，将一个非零有理数的下次方写成幂的形式是：_____．（直接写出结果） (3)【结论应用】 已知同底数幂乘法公式：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 例如：． 请根据同底数幂乘法公式和以上探究结论，计算的值． 【变式训练2】阅读材料，回答问题． 材料一：因为，，所以． 材料二：求的值． 解：设①， 则②， 用②①得.， 所以，即，所以． 这种方法我们称为“错位相减法”． (1)填空：； (2)“棋盘摆米”是一个著名的数学故事：阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏．阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒…按这个方法放满整个棋盘就行．”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了． ①国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放______粒米； ②设国王输给阿基米德的总米粒数为S，求S． 【课堂检测】 （建议时间：40分钟） 一、单选题 1．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）计算（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25六年级下·山东泰安·期末）我们知道下面的结论：若（，且），则．利用这个结论解决下列问题：设，，．现给出，，三者之间的两个关系式：①，②，其中正确的是（   ） A．①正确 B．②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确 4．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）下列选项中，运算结果与一致的是（   ） A．3个相乘 B．5个c相乘 C．6个c相乘 D．2个相乘 5．（24-25七年级下·湖南·期末）已知为整数，且，则的大小关系不可能是（　　） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·江苏常州·期末）已知，其中，，，是正整数，则下列说法中正确的是（    ） A．是偶数 B．是偶数 C．是偶数 D．是奇数，是偶数 7．（24-25八年级上·重庆秀山·期末）下面计算正确的是（　　） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·甘肃酒泉·期末）定义：如果，那么叫作以为底的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以．下列说法正确的个数为（　　） ①；②若，则；③． A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 9．（24-25七年级下·湖南怀化·期末）已知，则 ． 10．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）计算： ． 11．（24-25八年级上·全国·期末）已知，，m，n为正整数，则 ． 12．（24-25七年级下·江苏南京·期末）已知，，，下列结论：①；②；③.其中所有正确结论的序号是 . 13．（24-25七年级下·浙江丽水·期末）规定：若实数满足（且），则记作．例如：，则．若，且，则的值是 ． 三、解答题 14．（24-25八年级上·全国·期末）计算： (1)； (2)． 15．（24-25七年级下·安徽滁州·期末）如果，那么规定．例如；如果，那么． (1)根据规定，______，______； (2)记，若，求的值． 16．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期末）（1）计算：      （2）解不等式： 1 学科网（北京）股份有限公司 $