亲爱的同学们，今天我们继续来讲解高中数学基础知识梳理。第十六节任意角和弧度制以及任意角的三角函数。从这节课开始，我们来正式步入三角函数的基础知识梳理板块。希望在三角函数没有学好的同学们要多听、多理解，多做练习。首先我们来看一下角的概念，这个角的概念与初中时候我们学的角是定义是不一样的。因为初中的时候我没有学过复教，到高中阶段我们定义的有复教。所谓正和负只是一个方向的作用。第一个我们来看一下任意角的概念。角可以看成平面内一条射线，所以是某一条射线。因为本来角是有两条射线构成，所以说我们如果说把一条射线绕着这个射线的端点，从一个位置旋转到另外一个位置所成的角。那么这里面正面我们来看一下角，按照旋转方向我们可以分为正角、负角和零度的角，我们简称为菱角。这里大家看一下我们高中阶段的这个正角负角怎么规定的呢？是这样的，就是如果说我们使角的顶点就在坐标原点，角的始边就是不动了，这个我们叫做角的始边与X轴的非负半轴重合。如果顺时针方向旋转，使负角逆时针方向旋转叫正角。比如逆时针旋转30度，那么这个就是30度。顺时方向旋转45度，那么这个角就是负的45度。那不不转不旋转，那么它就是零度角。好，我们再看第二个，所有与角阿尔法终边相同角的集合。大家比如说我们以30度为例，这个30度如果我在30度基础之上，我再旋转一周，逆时针旋转一周，那么这个角度就变成390度。就是在30度基础之上，我们加个360，如果顺时针方向旋转360，我们就减个360，变成负的330度。因为我们旋转两周就乘以2个360，旋转三周就乘以333百6，只要你是逆时针的，都是加顺序都是减。也就是说我在30度基础之上，我就加上一个360度的K倍。K是整数的话，这个时候它们中间都是一样。所以说这有第二个知识点，所有与角阿尔法终边相同的角，那么它的集合我们可以这样来写，X一竖杠X就等于2K派，加上一个阿尔法K除以Z当然这里面如果说我们要用度数字的话，就用360度乘以K加上一个阿尔法也可以。只要你这里面都是角度，要是弧度都是弧度，要是角度都是角度，我们看什么是象限角。首先与使角的顶点与坐标原点重合，这是第一个与坐标原点重合，角的始边与X轴非负半轴重合，所以是非负半轴。那么角的终边落在第几象限，就是第几象限角。你比如说30度角，那就属于第一象限角，负的45度角就是第四象限角。如果落在坐标周三线角，我们称之为轴线角。我们就认为这个角不属于任何一个象限，这是第一个。好，下面我们来看一下弧度制，我们把长度等于，首先它这个定义，长度等于半径的弧所对应的圆心角称之为一弧度角。我们简记为弧度，简记为这个可以不写，或者写成RAD都行。我们来看一下这个怎么计算。根据刚才的定义，你想你一弧度对应的弧长是阿尔法，如果是L弧度对应的圆角就用L除以R就相当于一个单价。好，那么整个圆周我们知道整个圆周的周长C它是等于2派R那么我们用这个周长C除以R那我们就可以得到是二派，说明整个圆周的弧度数就是二派弧度。就因为一周我们这是360度，所以说这个派就派弧度就等价于180度。这样的话我们就找到一个角度与弧度之间的换算关系。那我们用派除以180，那就转化成一度对应多少弧度。如果用180除以派，就相当于一一弧度对应多少度。好，根据刚才公式的变形有一个弧长公式，把二乘过来就是阿尔法乘以R好，现在我们来看一下扇形面积公式的推导。我们知道整个圆它的面积是派R方，如果说我用整个圆的圆，这个圆心角是二派弧度，我们用整个圆的面积除以二派弧度就等价于一弧度。注意是一弧度对应扇形的面积，就相当于变成单价了扇形面积。那么你一弧度对应扇形面积化简之后，就是2分之1阿尔法。那阿尔法弧度我们再乘一个阿尔法就行了。所以说这会有第一个公式，就是2分之1阿尔法的绝对值乘以阿尔法。特别我们把这个公式，把它拿把R拆成两个，写成阿尔法的绝对值乘以R再乘上一个R根据弧长公式，这个就可以转化，就是第二个公式，扇形的面积公式也等于2分之1弧长乘以半径。好，我们再看第三个小知识点，规定正角的弧度就弧度就是一个正数，而负角的弧度数就是一个负数，都是负的实数零度角的弧度数就是0，这是规律。好，第三个任意角的三角函数值，这里我们先讲一个拓展。由这个拓展我们才再看今天这个特殊的，比如说这个是Y这个是X这个是原点。假如说角阿尔法的中边上有任意一个点P的坐标就是XY现在我由这个P向他做什么线来做垂线，向X轴做垂线，这个OP长我们规定是R是RR就等于根号下的X方加上一个Y方，这个长就是OP。所以说这里面我们如果阿尔法在第一象限，这个sine阿尔法就等于这一段的差，就是Y的值比上一个R同理Y比R同理cosine阿尔法等于X比上一个R，这里我把它擦掉重新写一下。第一个是Y比R第二个是X比R第三个tangent阿尔法，那就等于Y比上一个X你看这边常数Y这边是X有同学老师你跑到第二圈，怎么第二圈一样的？第二项链就会出现一个负角，它就是这么规定的。我们就按这个规定来特别的。如果说你这个R乘11就相当于P点是在单位原创的。好，所以说我们会有这样一个关系，就是sine阿尔法变成y cosine阿尔法变成x tangent尔法还是Y比X那么由这个任意角的三角函数值的定义，我们可以得到，当Y大于零的时候，你sine阿尔法也是大于零的。Y大于零我们知道当这个角的终边落在第一象限第二象限的时候，这个纵坐标都是正值。所以会有一个一二正弦为正，12 sine阿尔法大于0。那么同理S为正的时候，cosine大于0，X大于零度，位于一四象限，所以说一四余弦为正。那么同理对于正切来讲的话，Y和X同号的话就只能位于一三象限，那么这个时候就会有一个正切为正，那其他都是负的。所以说我们看啊为正的话就是一第一象限全部是正的，那么第二象限正弦为正，然后第三象限正切为正，第四象限余弦为正，其他的没有说的都是负的。或者你继承一二正弦正有正是一二象限，正弦余弦在一四象限为正，正切是一三象限为正。也可以或者按口诀去记都可以。但是理解就是我们刚才讲的这样一个理解。好，我们再看第三个知识点，任意角的三角函数。这里它的第三个小知识点就是三角函数线。大家注意三角函数线可以说是每年考试的一个擦边球。三角函数线我们可以看成是三角函数的一个几何表表示。这里面的正弦线和余弦线的起点都是原点，但是正切线的起点我们规定它是10，下面咱们来看一下，以第一象限第一个图为例，就是这个图中的这个第二个图，就是从左到右数是第二个图，这是第一象限的图。你们看上面的这个OMMP和AT这样的三个叫做有向线段，叫做OM它的方向与X轴正方向相同，那么就是正值，与X轴负方向相同，就是负值。MP与Y轴正方向相同就是正值，与Y轴负方向相同就是负值。AT仍然是一样的。好，这里我们看为什么一个是正切线，一个余弦线，一个是正切线。我们看啊在三角形OMP中，cosine阿尔法等于OM比OPOP长就是一，所以说cosine阿尔法就是OM那么sine阿尔法的明显是等于MP比OP那就是MP注意不能写成PM，不能写成PM。这个tangent阿尔法就等于在三角形OAT中，那就等于AT比上一个OA，那么就是AT这个方向都不能写错，所以说这个MPOM和AT分别叫做阿尔法的正弦线、正余弦线和正切线，这个是不能更改的。比如说我们把第二象限，我们当个例来讲，那么OM就是正弦线，还有这个余弦线，是负值，因为它的方向与X轴反方向相同，所以说第二象限余弦为负，那么正切仍然是MP是正的，正切是这个正，刚才说正弦是MP是正的，AT是正，切线就是负的那同理以此类推，三四象限同理以此类推，就不再多说了。好，我们来看一下第四个知识点，终边相同的角的三角函数值。根据终边相同的角的同13角函数值，它是相等的。所以说第一空就填sine阿尔法，第二空填cosine阿尔法，第三空填tangent阿尔法。就是你加上一个2K派之后，这三个行数值是不变的这也是第一组诱导公式，希望大家理解。好，我们来看一下几个重要结论。首先看第一个，阿尔法贝塔相同的时候，这不就终边相同角的集合，所以贝塔就等于阿尔法加上2K派。我们看第二个，如果两个角关于X轴对称，你比如说这个是阿尔法，那么如果这个角的终边与阿尔法对称呢？我们我们知道负阿尔法和阿尔法是关于X轴对称，所以说我们只要保证与负阿尔法终边相同那就完了。所以说只要在负阿尔法基础上加上一个2K派，那么这两个角就关于X轴对称，同理关于Y轴对称。我们知道阿尔法和假如说这个也是阿尔法，那么这个派减阿尔法的中边和阿尔法是中边是关于Y轴对称。其实只要在派减阿尔法的基础之上加上一个2K派，那么这些角的终边都和阿尔法角的中边是关于Y轴对称的。同理如果关于原点对称的，只要在阿尔法基础上加个派就可以了，后面再加个2K派就行了。这是有四个简单重要结论。好，下面咱们来练几道题。首先看第一题，在0度到360度范围之内，与负的853度18分终边相同的角为多少？大家注意既然终边相同，我们肯定会加个360度，把它变成正直的。我们这2个360度是720，不行，必须加333百60度。也就是说我在这个基础之上加上一个3乘以360度，那就相当于用1080度减去853度18分就可以了。这个计算的结果比较简单，答案选D好，这是第一题。下面我们来看第二题，半径为三分之派，中心角为120度。120度我们用1000块的弧度制，这个弧长是等于阿尔法的绝对值乘以R120度画成弧度制就乘以180分之派，这个算出来是3分之2派。所以说这个阿尔法的绝对值就是3分之2派，再乘以半径是三分之派，计算完了是9分之2派方。这此题单选选D，这是第二题，直接用公式比较简单。我们来看一下第三题点在阿尔法的中边上，那么直接套套刚才拓展了，这个R就等于根号下的X方加Y方，对吧？X方加Y方整理，那么根号下的sine 6分之5派的平方再加cosine 6分之5派的平方，这个整理完了之后就是一，所以sine阿尔法就等于Y比R这个Y就是这个终边上这个点的纵坐标，就是cos 6分之5派，去除以R就是一cosine 6分之5派我们知道是负的二分之根号3，所以此题的答案选C好，我们再看第四题。这个比较简单，因为这俩同时相乘就等于等价于相除也是小于零的，所以说这个正切就是负值。正切既然是负值，那么sine西塔也是一个负值，由正切式复制只能位于，大家注意，只能位于第二象限和第四象限。第二象限和第四象限又因为sine西塔是负值，所以说cosine西塔一定是正值。所以说这个答案是第四象限，答案只能选D选项。好，第五题已知西塔的始边与X轴的非负半轴重合，这是定义终边上存在一点P这个还是根据定义，根据sine西塔是等于Y比R就是Y比上根号下X方加Y方。注意，我这个XY指的是P点指的是终边上的任意一点都可以无所谓。所以说你这道题告诉你是-1A，我们把它带进来，那就是A除以根号下负一的平方，再加上一个A方，这个是等于二分之根。二两边一平方可以得到A方除以一加上一个A方是等于2分之1，所以说可以推出A方是等于一。注意，你这个C是一个大于零的值，说明A是一个正值，所以说A只能取一，所以说此题的答案选B。今天的这个三角函数的首次课，咱们就上到这里，感谢大家的收看。下一期我们继续再讲这个三角函数其他的知识点，希望大家继续关注，继续倾听。