亲爱的同学们，大家好。这期视频我们继续来讲解高中数学基础知识梳理专栏的第十二节，函数模型及其应用。首先咱们来看一下函数模型机器应用这一节，这一节在高考中还是算一个小热点，不一定说每年必考，但是你还得准备，而且作为一个小重点来准备。因为很多同学在实际应用问题上掌握的不是特别好，所以这一点希望大家还是要给予足够的重视。不行了你就多刷一些专题，多做一些专项训练。好，这里我们今天先来比较三种常见的函数模型。第一个是指数函数，第二个是对数函数，第三个是幂函数。这三个函数。首先这三个函数对于底数都大于一的情况，就是前两个底数都大于一，我们知道都是单调递增，这个也是单调递增。对于幂函数，只要上面的幂指数N是大于零的，那么它也是单调递增。在第一象限都是单调递增。增长的速度我们来看，都是增长的速度是越来越快。第二个增长速度是越来越慢，就是越来越平缓，这个是相对平稳。那么图像的变化就是随着X值的增大，图像与Y轴接近平行。而对数函数随着X轴的图像与X轴接近平行。而对于密密函数，它是随着你这个X值变化而不同，就是N随着这个N的值它的变化它是不同的，这是三个最基本的性质。下面我们来看一下几种常见的函数模型。首先看一次函数模型，对于一次函数模型，那么就形如Y等于或者是FX等于AX加B型的这是一次函数型的。那么反比例函数型就是X分之KK不为零。二次函数型就是形如Y等于AX方加BX加C型的，这个是二次函数型的。好，还有指数函数型。大家注意指数函数型并不是指数函数，它是跟指数函数差不多的增长趋势，有点像的一类。这个是对数函数型的，就在对数函数前面乘一个B再加上一个常数，这个是幂函数类型的，而最后一个是双钩函数类型。这样几类这几类高考都有可能考，希望大家在复习的过程当中，你要都见一见，熟悉一下这些基本题型，做到胸中有数。下面我们来看一下解函数实际问题的一些步骤，就这样的四步。第一步，审题。所谓审题就是弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型，这是第一步审题。第二步是建模，所谓建模就是将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言。利用数学知识我们来建立相应的数学模型，这就是我们所说的建模。第三个是解解，就是数学运算，数学求解，当然有一些解还是比较难的。第四步就是还原，将数学问题还原为实际问题的意义。好，这是四个步骤。下面咱们来用这个框图来表示，就是由实际问题通过分析联想抽象转化，我们来建模。建模之后然后通过数学推理来求结果，最后我们再还原就可以了。最后一步就是答有这样四个小步骤。好，这里面有一些有几个重要的结论咱们也得知道。首先第一个，在零到正琼大上，尽管函数、指数函数、对数函数、幂函数都是增函数，但是它们增长的速度不相同，而且不在同一个档次上。这个大家要注意，一般来说指数增长最快，对数增长最慢，幂函数往往是居中的，这个大家要注意。第二个，随着X值的增大，Y等于AX方，它的增长速度越来越快，会超过并远大于幂函数的增长速度。而对数函数增长的速度是越来越慢，它是最慢的。第三个，总会存在一个X0值，使得当X大于X0的时候会有这样一个关系，就是对数的对数的最低指数的最高幂函数居中的。这个大家一定要做一个常识，要知道就可以了。好，下面咱们由前面的基础知识我们来讲几道习题。首先看第一题，某市出租车的计算方式如下，路程在3公里以内，包括3公里，这个收费是八块钱。达到3公里以后，每增加1公里我们就加收1.4块钱。达到8公里以后，就要开始是3公里。如果你到了8公里，那么每增加1公里，它这个收费就更贵了，就是增加1公里，增加是2.1块，增加不足一公里的怎么办呢？按照四舍五入的计算，四舍五入计算。好，我们现在看一下某顾客或者某乘客乘坐该种这个出租车交了多少钱呢？44.4块钱，那么则此乘客乘该出租车行驶路程的千米数可以是多少？当然如果说你要想一个个计算也行。首先我们来看一下，你交了44块钱已经超过八块钱了，对吧？你路程达到83公里的时候是八块钱。我们看啊当X就是路程超过3公里的话就是八块。好，只要大家接着看啊，你看这四个选项都超过多少呢？超过8公里了对吧？那么在3公里和在8公里的时候，刚好到达8公里的时候，你前三公里你交的费是多少钱呢？你交的费是八块钱，然后在3公里到8公里之前，这个是18块。在3到8公里之间的时候，大家看啊每一增加1公里你收的是1.4块。那么从3公里到8公里相当于你走了5米，那么走完8公里的时候，你需要交的钱是在8公里就八块钱的基础之上，再加上加收的钱。这个加收，就是5乘1.4。我们口算一下，这个是七块钱，这个是七块钱。那么这个时候，你刚好行驶8公里的时候，花的是15块钱好，那下面咱们来看一下，我们看加速的钱是多少，那我们用44.4块钱，那么这个就应该等于15块钱。加上X减去8公里，我们去乘以多少呢？我们去乘以2.1块，这样我们计算一下，那么X减8乘以2.1，那么就等于44.4减去15块钱。这个应该是等于29.4块钱对吧？它是等于29.4块，20 29.4块。那我们接下来看X减8，我们解XX就等于29.4除以2.1，然后我们再加个8就可以了。用29.4除以2.1好，我们把它计算一下，这个就相当于294除以21 3个一，21 84，然后再三个四，这个相当于14，再加上一个八，应该是等于22公里。这个有刚好有这个答案是选A这个可以，这个其实就是一个分段的，比较的简单。好，下面我们来看第二题。某学生在期中考试中数学成绩较好，英语成绩较差。为了在后半学期的月考和期期末这两次考试中提高英语成绩，他们决定重点加强英语学习。我相信有同学看到这个例子之后心情很不好，为什么呢？能购买我这个专栏的，估计这个数学有点问题。有人说老师再说我不听你的课了，这个没必要。所以说希望大家在听到这样一个故事之后，你更加奋发图强。因为这个数学很重要。数学可以说对于有一些艺考生来说的话，你数学只要能考到90分，你绝对是一个很大的优势。当然了你看我们这个例子里面，他决定加重点加强英语学习。结果两次考试中的英语成绩每次都比上一次提高了10%。你把精力转到数学之后，英语之后，你这个数学就不行了。你看但数学成绩每次都比上次降低了10%，那么期末时这两科的分值恰好均为M分。问这名学生在这两科的期末总成绩和期中比结果是提升了，它是下降了，这里面我们来计算一下，我们来计算一下，注意是两次考试，比如说原来我们来看一下期中的时候。其中的话这个数学成绩是A分，英语成绩为B分。我们看啊对于数学成绩第一次降低的分数，这是第一次，这是第二次。第一次降低分数就是A乘降低10%，那不就是A乘以1减10%吗？对吧？好，那么第二次就是在第一次基础上又降低10%，那就是A乘以1减10%的平方。同理B第一次增加10%，那就是B乘以1加10%。那么第二次就是B乘以在一加10%的基础之上，再乘以一个一加10%，就是一加10%的平方。好的，咱们来看一下。通过这样一个弄完之后，他们两次的成绩居然是相等的，都等于M分。这个都等于M那么就建立一个关系式。那么他问的是什么呢？他问的是这名学生的这两科的期末总成绩。我们知道这个期末总成绩肯定是2.5，期中总成绩，那就是A加B问他俩谁大谁小。好，现在咱们来看一下，咱们来看一下，你这个2M就等价于谁呢？注意，数学成绩好，英语成绩较差，那就是A肯定是大于B的，A肯定是大于B的。那么根据我们刚才所讲，这个M它是等于0.9的平方A那么也等于1.1的平方B也等于1.1的平方B有这样一个比例关系。那我们来看一下2M，就可以显示它两个相加就是0.9的平方A我们加上1.1的平方B我们现在做差，这是期末的成绩，就是2M我减去一个期中的成绩A加B好，我们整理一下，1.1的平方减去一倍的B然后再加上一个0.9的平方减去一倍的A好，继续整理。这个是等于1.1减1，就是0.1乘以1.1加一再乘以2.1倍的B减去这个一减0.9的平方，也是一加0.9，1.9乘以1减0.9至0.1倍的A好，继续整理0.1乘以2.1，那么就是0.21B减去0.19A那么看一下这两个谁大谁小。现在，我们把它换掉，大家看一下，比如说我们把B换掉，那么这个由这个下面是个这个B，就等于1.1的平方分之0.9的平方A掉，所以说就是0.21乘以0.9的平方除以1.1的平方A然后再减去0.19A然后把这个A提出来。这或者通过分都可以，然后写成1.1的平方分之A然后0.21乘以九九八十一就是0.81再减去1.1的平方，就是1.21再乘以一个0.19倍的A。也就是说我现在就是相当于比较哪一个大小呢？就是比较这个数值大小。0.21乘以0.81余减去1.21乘以多少呢？0.19看太阳谁大谁小。现在我们通过实算，我们把它算一下，0.21乘以0.81218乘每一项就是8二八十六。这个是1701，这个是0.1701减去1.21乘以0.19，整理一下9乘以每一项1089，然后一的成本像211，不是121，一二一好，9922，这个是0.2299。这个是小于零的，小于零说明这个就是小于零了，那么也就是期末要小于其中的。所以说你不能偏了，你偏的话它结果它就降低了。所以说这个第二题有一定的参考意义，希望大家在学习的过程当中不要过于亲切。有一些东西倾斜多了的话那就不行了，所以说要均衡发展，有所侧重，但是不能放弃它。好，我们来看一下第三题，某地一电商在最近两年的双十一当天的销售额连续增加。其中2016年的增长率为A2017年的增长率为B那么该电商在两年的双十一当天的销售额的平均增长率注意，我们来看一下平均增长率，我们算平均增长率，假设我们平均增长率为R则我们设成R那么两就是注意两年了，两年的平均增长率原来初始的假如说是一是一，那么就是一乘上一个一加R第二年再乘上个一加R就是一加2R的平方，一加R的平方。好，那现在咱们来看一下它等于谁？2016年的增长率就是一乘上一个一加1，对吧？第二年，就在一加一基础之上又增加个一加B换句话说，我们有这样一个关系式，就是一加R的平方等于一加A乘以1加B好，我们来解R所以说一加R就等于根号下的一加A乘以这个一加B所以R就等于根号下的1加1乘以1加B开根号，然后我们再减个一就可以了。所以此题答案是D比较简单。好，我们再看一下。第四题为更好的实施实施乡村振兴战略，加强村民对本村事务的参与和监督。根据村委会组织法，某乡镇准备在各村推选村民代表，规定各村每15户推选一个人。当全村的户数除以15，所得余数大于10的时候，注意不要超过10户了，10 10个人了。十户的话我们就再怎么办呢？再增加一人，各村可推选的人数Y与该村户数X之间的函数关系式。所以我们这个可以用取整来表示，实际上这道题我们可以带特质一个一个去验证就可以了。我们来看一下，你不是15户退役人，对吧？比如说你X如果刚好是15，刚好是可以。但是如果说你余数大于10，什么意思呢？就是这里面我们看这个C选项，你看这里面就是刚好加个10，还有一个余数大于10，还有一个是五，这两个跟它有点接近。我们看这个先看C和D我们先看CC假如说你人数是一人，我们看啊人数是一人，这个时候你这个人数对吧，人数你加上谁呢？你比如说你是一人，一人加上十人，那就是11人除以15是小于一的，那么就是零的一个都不选。很明显，你大于10的时候才选零，你不到15数那就不行，对吧？好，那现在我们看一下，如果说你刚好是多人，你刚好是十人。你看他这个X取六人的时候，你户数如果是六人，你不足10户。你步入时候的话，你这个可选代表的人数，你就是零人。结果大家看啊，6加10 16，16除以15余个一，它一点多了。一点多的话这个时候取准之后，肯定是一增加一名代表，那这个肯定错了。同理这个也是错误的。所以说我们看啊你刚好如果说你是六针的话，你6加4 6加4是多少？6加4是16加4是10 10除以15，还不足以人取整还是0，人还是不行的对吧？但是我们看啊，对于刚才的这个六人，对于刚才这个六人来说，只要取一的都不行，这个也可以，这个刚才是可以的，但是6加11那就不行了，这个要舍掉对吧？6加5是可以的。好，我们看刚好X取九人，再看临界值9，取9的应该也是零了。我们看啊9加就是AC先排除，取60把AC先排除，这个BD排除不了。我们取99的话也必须取0。我们看9加43不到15对吧？可以，9加54不可以，也是可以的对吧？我们看X取10 10要增加一个了，但是对于B选项10加44，14除15 0点几之间的那就错了。你看哦哦哦是对的，它是大于10 10加4是十个人还没有大于10，对吧？10加15是1，那就不行了。所以说这个题的答案是选B我说大家听懂没有？就娶两个特质去看就OK了，这是第四题。那我们再看一下第五题，有300米长的篱笆材料，如果利用已有的一面墙做一边，那现在我把它画出来，这是一个边，这是篱笆墙，这个墙都定死了，300米泥巴材料围成一个矩形。大家看我这个矩形的这样的三个边，ABBC和CD，AD是墙，已经有墙了，就不用管它了。我们可以设AB为X那么这个也是X那么这个长就是三百减去2X，当然了这有个隐含条件，300减2X要大于零对吧？然后你这个X2X肯定也要大于0，就是X要大于0。这样的话我们可以解出X大于零小于150，这是一个隐含条件，也相当于定义域。好，这个面积我们设成S这个S就等于乘方，就是X乘以300减2X我们可以用基本不等式，对吧？我把二提出来就是二倍的X乘以150减X用均值不等式就小于等于2乘以这个二分之X加150减X的平方。所以说这个我们整理一下，就是二乘以这个75的平方，就是75的平方，这个就不啊不，这个是150，再乘以75，0五五二十五五七三十五37一五得五一七得七，我们把它计算一下，0521，这个答案就是11250，这个比较的简单，这课我们就先上到这里，就是模型。所以说这个例题我们也多讲了一点，希望大家给予重视。好，下期视频我们再见。