同学们好，今天这一节视频我们继续来讲解高中数学基础知识梳理专栏的第七节指数函数。可以说指数函数、对数函数是咱们高中阶段基本初等函数里面非常重要的两个基本可能函数。它比幂函数的比重要考的要多一些。而且指数函数、对数函数可以说在咱们高考新题型中也是经常有所体现的，尤其是实际应用问题，对于每年备考的高三的学生一定要注意了，指数函数、对数函数一定要当做重点来复习，当然三角函数同样注意，只要是考纲范围要求的，你们都要打好基础。下面我们来看一下知识梳理部分的第一个概念叫根式。那么什么是根式呢？这里面我们首先来讲解一下N次方根的概念。这里有这样一个定义，如果X的N次幂等于A则我们就叫做我们把X叫做A的N次方根。写的时候我们可以这么写，那么X就等于A开N次根式。如果说你这样来写的话是有问题的，因为你开N次方根有可能会有两个，所以说这里我们要分两种情况讨论，这样写是错误的，所以由它不一定能推出它。这种情况下只有N为奇数的时候才可以推导出来。所以下面我们有这样一个性质说明，当N为奇数的时候，A就是N的，就是A的N次方根，就是A开N次根式。但是如果N次偶数的时候，N如果是偶数，这个A必须是一个正数。这个时候N的就是如果说A是一个正数，那么A的N次方根就有两个，那就是正负A开N次根式负数的偶次方根是没有意义。当然这里面有同学说，如果说为零，大家注意零的任何次方根都是零。所以说我们记零开N次方根，不管你是基是基数还是就是N不管你是奇数还是偶数，那么它开N次方根都是零。我们单独讨论，这是N次方根的概念，是让我们下面来看根式。首先A的开N次根式，我们叫做根式，其中N叫根的指数，A叫做被开方数。还有我们看一下性质，对于N是任意正整数的时候，A开N次根式的N次方，那么恒等于A这个叫恒等式。但大家注意第二个式子和第三个式子这里就有一些区别了。如果N为基数A的N次方，开N次根式这个行为没有什么问题。但是如果N为偶数A的偶次方，开偶次方根必须是加A的绝对值。你注意，这个是一个易错点，大家要注意，一定要注意。因为对于一个开N次方根的被开方数必须是非负的。所以说如果你N为5次方，这里一定要加上一个绝对值。因为你这里A有可能是一个负值，如果负值开出来之后，那么它就变成非，这是一个理解的东西。那么下面我们来梳理第二个知识点，有理数指数幂。这里我们有这样几个概念。第一个正分数指数幂，A的N分之M是跟N分之M次幂，那么就是A的S密M次方开N次根式，这是第一个。第二个A的负N分之M次幂就等于A的N分之M次幂分之一，就是它的倒数。同样我们可以这样来写，写成A的M次方开N次根式分之一。这里A是大于零的，MN都属于非零自然数，且N是大于一的。那么概念部分我们来看一下，零的正分数指数幂是恒等于零的，零的负分数指数幂没有意义，因为零的负分数指数幂，那么这个变成分母就是零的正分数指数幂分之一，这是没有意义的，因为此时的分母为零运算性质。A的R次幂加A的不是乘以A的X次幂就等于A的R加S次幂。第二个A的R次幂的S次幂是等于A的R乘S次幂。第3个AB的R次幂就等于A的R次幂乘以B的R次幂。其中AB都是大于零的，阿尔莱斯都属于自然有理数。实际上对于实数范围之内，只要S3的它也是成立的，这是我们注意的运算性质。下面我们来看第三个无理数指数幂，所以无理数指数幂就是A的A次幂。此时A是大于0，A是无理数的时候，那么它是一个确定的实数。这里我们注意，这两个A可以不一样，所以说我们把它改一下，写成A的阿尔法次幂。当阿尔法大于零且阿尔法是无理数的时候，它就是一个确定的实数。首先你们要确定，比如说二的根号二次幂，这个一定是在实数范围之内，它就是一个什么时数，而且是一个确定的实数。好，下面我们来看一下有理数指数幂的运算性质，同样适用于无理数指数幂，这个大家要注意就行了。咱们看第四个知识点，指数函数的概念图像与性质。首先我们来看一下它的长相，这一类指数函数的长相就是形如Y等于A的X幂。其中底数有一个要求就是A大于零且不A不等于一。这里图像我们分两种情况，第一类A是0到1之间的值，第二类A是大于一的直线值。大于0小于它，那么它就是一个单调递减的图像，大于一就是一个单调递增的图像。因为不管你A是多少，A的零次幂恒为一，所以说它必过定点01这样一个定点。好，图像特征我们就不再细说了。就是一个是单调增，一个单调减，大于零小于都有单调，就图像是下降的。第二个图像是什么呢？上升的地域都是R值域，大家注意，这个值域是个空值域，很明显是零到正的无穷大。大于0小于一是单调递减，大于一是单调递增。当X等于0的时候，Y值是等于一，由图像我们一观察得当A大于零小于也就是这个点的图像的时候，大家可以看一下，当X是一个负值的时候，你看你任意取一个X是负值，对应的Y值都是大于一的。同理，当X大于零的时候，Y是0到1。反之如果A大于零的，A大于一的时候，当X小于0，Y的值是大于0。小于一的当X大于零的时候是大于B的。这个由图像一清二楚，这个不再多说了。然后我们下面来看重要结论。首先看第一个重要结论，指数函数图像的对称规律。这里有几个对称呢？首先我们看第一个Y等于A的X次幂的图像与Y等于A的负X次幂的图像是关于Y轴对称，这是有几个图像的性质。在此我们来串讲一下Y等于FX与Y等于F负X这两个是很明显是关于Y轴对称，而FX与负的FX是关于X轴对称，与负的F负X这个是关于原点对称了。好，FX与F2A减X还有几个？这个是关于两个图像R是关于X等于A对称。如果为什么加个负号呢？那么就关于A0对称。所以说你们看如果FX是A的X次幂，那相当于这个是F负X所以这两个关于Y轴对称。如果在整个FX之外加上一个负值，那么就关于X轴对称。如果外面再加一个负号，就是负的F负X就关于原点对称。这个也是我们刚才串讲的这个图像对称变换的几个基本知识点。第二个求函数Y等于A的X次幂。A的FX次幂它的值域一般来说用换元法。我们先定这个分子整体这个函数为U先把U的范围解出来，也就是U等于FX这个内函数的值域解出来。解出来之后再求Y函数的值域，就是Y等于A的FFX次幂的值域。所以说就是换元法，用复合函数的词语来接，这是第二个。我们这个技术知识点我们就讲到这里。但是有一个东西我们要补充一下，这里还是要再说一下，就是图像这里我还是要讲一下，这就是底数跟它有一个规律，这里面我们穿插一个基本知识点，大家可以看一下，有四个的函数图像，这样的四个好，我把它写出来，一个是Y等于A的XB一个是Y等于B的X幂，一个是Y等于C的X幂，一个是Y等于D的X幂。那么这个图像的就是底数大小怎么判断呢？好，我现在用另外一个颜色笔来表示，比如我们用绿色的线，我们为了区分这个底数谁大谁小怎么办呢？我们就做一条X等于一这条直线，大家看绿色这条线，那么当X等于一的时候，我分别来代入。听好了，我分别来带入这四个图像里面。我们会发现第一个焦点这个值对应的是A第二个焦点这个纵坐标对应就是B因为你一旦就是B的一次1次方，那么就是B那么第三个大家看啊，这个对应的就是D第四个就最下面这个交点就是Y的CXB向量的，那么这个就是C所以说由图我们可以得到这个ABCD的大小关系，就是A大于B大于一大于D大于C大于0。那么记一的时候怎么记呢？你们就带一个特殊值X等于一，来看函数Y的X等于1，这条直线与ABCD他们交点纵坐标C大小。换句话说，这个四个函数图像在第一象限的部分谁高谁的底数就大，那就OK了。好好这个性质我们就讲到这里，也许将来离高考就用得上。如果你现在不会，你听过这个课之后又会了，那你就赚大了。好，咱们剩下不再多说。那么我们来看一下对点自测，也就是巩固一下这个基本练习。首先我们看第一个计算，2X-3分之1次幂乘以这个括号。那么这个我们可以直接运算，比较的简单，我还是调成红色的，把这个笔的颜色调成红色的，我们来讲解一下。好，这个化简比较的简单，我们直接来乘。第一个就是2乘2分之1，先系数相乘就是一。然后X的-3分之1次幂乘以X3分之1次幂，那么加上二的X的-3分之1次幂乘以X的3分之4次幂，那么就等于第一个。两个同底的幂相乘就等于幂指数相加-3分之1乘加上一个3分之1，那么就变成X0次幂加上一个二的3分之4，就是二倍的X的3分之4减去一个3分之1。所以说这个结果就等于1加2的3分之4减3分之1就是3分之3就是一X一次幂就是X所以说此题的答案是选D。此题比较简单，我们来看一下第二小题，已知指数函数Y等于AX在0到1上的最大值与最小值的和为三，那么则A的值，这道题实际上你根本就不需要讨论，我为什么这么讲呢？因为你Y等于A的X幂，你要么单调递增，你要么单调递减。根据加法的交换律，我们知道最大值加最小值就等于最小值和最大值。所以说你不管是单调递增还是单调递减，那么最大值加最小值一定很等于F0加F1。如果说我这里面我们用FX来表示的话，那就是F0加F1或者是F1加F0，反正都是它俩相加。F0就是A的零次幂，F1就是A的一次幂，那么结果就等于一加A分为三，所以说A的值就是2。所以说此题答案选C，根本就不需要讨论。下面我们来看一下第三道题，函数Y等于X的绝对值分之XA的XBA大于BD的图像大致形状。这里我做一个总结，对于函数的图像大致形状，判断函数图像的题。如果说叫做这个题目叫什么呢？这个题叫知识选图。顾名思义，当然还有一些制图选示，就是这个图来选四个四那就更麻烦一些。这个选图相对简单一些。这个套路大概就这几个套路。第一个先求函数的定义域，第二个化简解析式，就是有些解析式非常复杂，你要化简。第三步讨论特殊点，特殊线，这里面特殊点我会给大家说一下，主要有这几类点。第一类与坐标轴的交点、区间的端点、极值点、最值点，还有顶点等，包括拐点等这些特殊位置。那么特殊线主要指的是两类线，第一类渐进线，第二类对称轴。这个对称轴也很关键，希望大家要引起重视。这个特殊点特殊线可以说是咱们排除其他选项，一个非常有利的一个武器，就是特殊画法。你看这里面我们高考有很多的，以前的有个老师说秒杀技巧，实际上都是用什么方法呢？特殊画法这个特殊画法包含哪些呢？特殊值数字写错了，就特殊值特殊点。比如说特殊位置。特殊点、特殊位置，还有特殊图形。还有特殊函数。特殊数列等特别多，反正只要是一般和特殊之间的关系，我们都可以这样干。比如这道题就是解析式，就是一般性规律，你可以带一些特殊值，比如说我们带个一进去，对吧？你带个一进去，我们看一下，当X等于一的时候，这个Y的值就是一的绝对值分之一乘以A的1次方，结果就等于A而且这个A是大于一的。你们可以看一下这个D选项，你带个一，发现对应这个函数值A居然是小于一的。所以D选项就不是对，就不对。这个定义域不能取零了，我发现四个选项好像都不取0，排除不了。好，我们再看一下ABC大于零的部分都是一样的，你排除不了，那么这个时候怎么办呢？这个时候我们来看一下我们取特殊值，比如我们取特殊值负一，那么当X取负一的时候，大家看一下，当X取负一的时候，这个时候Y的值下面还是一，那么它就变成负的A的负一次幂，那么就是负的A分之一。我们知道A大于一的时候，A分之一是大于0小于一的，所以说你取负一的时候一定是负的零点几、0.8、0.9、0.5等等这些值，所以说它这个值一定比负一大。这样的话我这个大家注意，我这个A选项也也是也是错误的。所以说这个答案里面只能从B和C里面选。这个可能我们在整理的，就是我在整理过程当中有一点小问题，所以这个题BC两个选项是一样的，我们这里面都是对的，希望大家能理解我们说的这个方法就可以了。好，这是第三小题，我们再看一下第四小题，这个比较简单，我们直接可以写成X2分之1的6次方乘以Y的3分之1次幂的6次方。这个结果就等于X2分之1乘以6就是三次幂，乘以Y的3分之1乘以6就是Y的二次幂，比较简单。好，我们再看最后一道过定点所有的幂指数固定点的时候，就是让这个上面恒为零。也就是X取2015的时候，这个Y的就是F，应该写F2015，那么就等于A的零次幂加上一个2017，所以这个结果A的零次幂是一，1加2017就是2018，所以说这个定点的坐标就是20152018，这是本节知基本知识点的所有的题型，我们就讲解到这里。好，感谢大家的收看，下期我们接着再见。