期末复习09：垂线与平行线（知识梳理+11个易错点练习+拔尖训练）-四年级数学上学期易错题型举一反三培优（苏教版）

该小学数学讲义通过知识框架图系统梳理了垂线与平行线单元的知识体系，涵盖直线射线线段的特征、角的认识与度量、平行垂直的性质等核心内容，按“概念-操作-应用”递进呈现知识脉络，明确重难点分布与内在联系。 讲义亮点在于“易错点举一反三”练习设计，如用三角尺画135°角的例题及变式训练，结合操作步骤培养几何直观与推理意识。拔尖训练包含折叠角计算等综合题，助力不同层次学生提升，同时为教师提供精准教学的易错点分析与分层指导依据。

期末复习09：垂线与平行线 期末复习易错题型举一反三培优练习 目录 知识梳理 2 一、直线、射线和线段 2 二、角的认识 2 三、角的度量 2 四、画角 3 五、角的计算 3 六、平行与垂直 3 易错点练习 4 易错点一：线段、直线、射线的认识及特征 4 易错点二：数图形（线段、直线、射线） 6 易错点三：角的概念及表示方式 7 易错点四：数图形（数角） 9 易错点五：角的度量 11 易错点六：平角、周角的认识及特征 13 易错点七：用量角器画角 15 易错点八：用三角尺画角 17 易错点九：角度的计算 19 易错点十：平行和垂直的特征和性质 20 易错点十一：画垂线和平行线 22 拔尖训练 25 知识梳理 一、直线、射线和线段 1.线段：有两个端点，可以度量长度，不能向两端无限延伸 2.射线：有一个端点，可以向一端无限延伸，无法度量长度 3.直线：没有端点，可以向两端无限延伸，无法度量长度 4.关系：线段和射线都是直线的一部分 二、角的认识 1.角的定义：从一点引出的两条射线所组成的图形 2.角的各部分名称：顶点（两条射线的公共端点）和边（两条射线） 3.角的表示方法： 用数字表示（如∠1、∠2） 用字母表示（如∠AB，顶点字母必须写在中间） 4.角的分类： 锐角：小于90°的角 直角：等于90°的角 钝角：大于90°且小于180°的角 平角：等于180°的角（一条射线绕它的端点旋转半周形成的角） 周角：等于360°的角（一条射线绕它的端点旋转一周形成的角） 三、角的度量 1.量角器：度量角的工具，呈半圆形，把半圆分成180等份，每一份所对的角是1° 2.度量方法： 点点重合：量角器的中心与角的顶点重合 线边重合：量角器的0°刻度线与角的一条边重合 读准度数：角的另一条边所对量角器上的刻度，就是这个角的度数 3.注意事项： 区分内圈刻度和外圈刻度 量角器有两圈刻度，当角的一条边与内圈0°刻度线重合时，读内圈刻度；与外圈0°刻度线重合时，读外圈刻度 四、画角 1.用量角器画角步骤： 画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0°刻度线和射线重合 在量角器相应度数刻度线的地方点一个点 以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线 2.用三角尺画特殊角： 30°、45°、60°、90°的角可以直接用三角尺画出 利用三角尺组合可以画出15°（45°-30°）、75°（45°+30°）、105°（60°+45°）、120°（90°+30°）、135°（90°+45°）、150°（90°+60°）等角 五、角的计算 1.角的度量单位：度（°）、分（′）、秒（″），1°=60′，1′=60″ 2.角的和差计算： 已知两个角的度数，求它们的和或差 例如：一个角是35°，另一个角是55°，它们的和是90°（直角） 3.角的倍数计算： 求一个角的几倍是多少度 例如：一个角是30°，它的3倍是90°（直角） 4.平角和周角的计算： 1平角=2直角=180° 1周角=2平角=4直角=360° 六、平行与垂直 1.平行： 定义：在同一平面内，不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线 表示方法：直线a与直线b互相平行，记作a∥b，读作a平行于b 特点：平行线之间的距离处处相等 2.垂直： 定义：如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足 表示方法：直线a与直线b互相垂直，记作a⊥b，读作a垂直于b 特点：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离 3.画平行线的方法： 用直尺和三角尺：固定三角尺，沿一条直角边先画一条直线；用直尺紧靠三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后平移三角尺；再沿第一步中的直角边画出另一条直线 4.画垂线的方法： 过直线上一点画垂线：把三角尺的一条直角边与这条直线重合，直角顶点是垂足，沿着另一条直角边画直线 过直线外一点画垂线：把三角尺的一条直角边与这条直线重合，让三角尺的另一条直角边通过这个已知点，沿着另一条直角边画直线 易错点练习 易错点一：线段、直线、射线的认识及特征 例题：射线可以向一端无限延伸，所以无法量出射线的长度。( ) 【答案】√ 【分析】根据直线、射线和线段的含义：直线没有端点，可以向两端无限延伸，不能量出长度；射线只有一个端点，只能向一端无限延伸，不能量出长度；线段有两个端点，不能向两端延伸，可以量出长度；据此解答即可。 【详解】射线只有一个端点，可以向一端无限延伸，因此无法测量其长度，因为长度是有限的，而射线是无限的，所以无法用具体的数值表示射线的长度；故原题说法正确。 故答案为：√ 【变式训练1】学习要“有始无终，勇往直前”。数学上可以用“有始无终，勇往直前”来形容（    ）的特征。 A．直线 B．线段 C．射线 【答案】C 【分析】直线没有端点，向两端无限延伸，无法测量长度；线段有两个端点，它的长度是固定的，不能延伸，可以测量长度；射线有一个端点，从这个端点开始向一端无限延伸，无法测量长度；据此分析每个选项。 【详解】根据分析： A．直线，没有端点，向两端无限延伸，是“无始无终”，不符合； B．线段，两个端点，它的长度是固定的，不能延伸，是“有始有终”，不符合； C．射线有一个端点，从这个端点开始向一端无限延伸，就像是有一个起点（有始），然后能一直向一个方向延伸没有尽头（无终），符合 “有始无终，勇往直前”。 故答案为：C 【变式训练2】一条直线上有2个点，这2个点把这条直线分成了（    ）条射线。 A．4 B．3 C．2 【答案】A 【分析】 射线是直的，有1个端点，无限长，可以向一端无限延长。一条直线上有2个点，如图：，以A点为端点的射线有2条，以B点为端点的射线有2条，一共有（2＋2＝4）条。 【详解】一条直线上有2个点，这2个点把这条直线分成了4条射线。 故答案为：A 【变式训练3】下面这把尺子只有1厘米、4厘米和6厘米的刻度，用这把尺子一次可以量出( )条不同长度的线段。 【答案】6 【分析】根据题意可知，刻度0到刻度1可以量出一条1厘米的线段；刻度0到刻度4可以量出一条4厘米的线段；刻度0到刻度6可以量出一条6厘米的线段；刻度1到刻度4可以量出一条（4－1）厘米的线段；刻度1到刻度6可以量出一条（6－1）厘米的线段；刻度4到刻度6可以量出一条（6－4）厘米的线段，据此填空即可。 【详解】第一条：1厘米 第二条：4厘米 第三条：6厘米 第四条：4－1＝3（厘米） 第五条：6－1＝5（厘米） 第六条：6－5＝2（厘米） 用这把尺子一次可以量出6条不同长度的线段。 易错点二：数图形（线段、直线、射线） 例题：左图有( )条直线、( )条射线、( )条线段。 【答案】 1 6 3 【分析】直线：没有端点，两端都可以无限延长，不可度量长度。 射线：1个端点，一端可以无限延长，不可度量长度。 线段：2个端点，可以度量长度，是直线的一部分。 【详解】 左图有（1）条直线、（6）条射线、（3）条线段。 【变式训练1】图中能数出( )条线段，( )条直线。 【答案】 6 1 【分析】直线没有端点，是可以无限延伸的，线段有两个端点，任意两点间的一段都可以看作一条线段，据此解答。 【详解】根据图示可知，图中单独的线段有3条，分别是AB、BC、CD，由两条单独的线段组成的线段有2条，分别是AC、BD，由三条单独的线段组成的线段有1条，是AD，所以一共有6条线段；直线没有端点，所以图中有1条直线。 【变式训练2】下图中有A、B、C、D四个点，其中（    ）两点之间的距离最短，（    ）两点之间的距离最长。如果经过其中任意两点画直线，那么最多可以画（    ）条直线，在图上画一画。 【答案】AC；AD；6 图见详解 【分析】根据长度的测量方法，一端从0刻度开始，另一端到达的那个刻度就是线段的长度，据此判断哪两点之间的距离最短，哪两点之间的距离最长。 采用有序组合的方法，可以过A点依次向B、C、D三个点一条一条地画，得到3条直线，然后再过B点依次向C、D两个点一条一条地画，得到2条直线，过C点向D一个点画一条直线，最后相加即可。 【详解】线段AB长2厘米2毫米； 线段AC长1厘米4毫米； 线段AD长3厘米4毫米； 线段BC长2厘米6毫米； 线段BD长1厘米6毫米； 线段CD长3厘米1毫米； 3厘米4毫米＞3厘米1毫米＞2厘米6毫米＞2厘米2毫米＞1厘米6毫米＞1厘米4毫米 3＋2＋1 ＝5＋1 ＝6（条） 下图中有A、B、C、D四个点，其中（AC）两点之间的距离最短，（AD）两点之间的距离最长。如果经过其中任意两点画直线，那么最多可以画（6）条直线，在图上画一画。 【变式训练3】图中有( )条线段，( )条直线，( )条射线。我发现：数射线条数，先数由A点发出的射线有( )条，再数由B点发出的射线有( )条，最后数由C点发出的射线有( )条，共有( )条射线。 【答案】 2 1 6 2 3 1 6 【分析】线段有两个端点，可以度量；射线有一个端点，一端无限延长，不可度量；直线没有端点，两端无限延长，不可度量；据此解答。 【详解】图中有2条线段：AB、BC；1条直线；6条射线； 发现：由A点出发的射线有2条，由B点出发的射线有3条，由C点出发的射线有1条；共6条。 【点睛】本题考查直线、线段与射线的特性，关键掌握射线有一个端点，一端无限延长。 易错点三：角的概念及表示方式 例题：把一个的角扩大到原来的10倍，它就成为的角，用10倍的放大镜看这个的角，这个角是（    ）。 A． B． C． 【答案】B 【分析】角的大小与两边的长短无关，只与边叉开的大小有关，用放大镜看角时，放大的是角的边的长度，不改变角的形状，即边叉开的大小不变，所以用放大镜看角，角的大小不变。 【详解】把一个的角扩大到原来的10倍，它就成为的角，用10倍的放大镜看这个的角，这个角是。 故答案为：B 【变式训练1】图中的角可以记作( )，读作( )。 【答案】 ∠1 角一 【分析】根据角的概念及表示方法，从一点引出的两条射线组成的图形就是角，角用符号“∠”表示，读作“角”；据此解答。 【详解】根据分析可知： 图中的角可以记∠1，读作角一。 【变式训练2】当山坡的坡面与地面成（    ）角时，摩托车要爬坡是相对最困难的。 A．35° B．45° C．65° 【答案】C 【分析】当山坡的坡面与地面形成的角度越大时，摩托车要爬坡越困难；据此解答。 【详解】根据分析：35°＜45°＜65°，所以当山坡的坡面与地面成65°角时，摩托车要爬坡是相对最困难的。 故答案为：C 【变式训练3】角是由( )和由这个点引出的( )所组成的图形，这个点叫作角的( )，两条( )叫作角的边。 【答案】 一个点 两条射线 顶点 射线 【详解】由题意分析得： 角是由一个点和由这个点引出的两条射线所组成的图形，这个点叫作角的顶点，两条射线叫作角的边。（如下图） 易错点四：数图形（数角） 例题：图中一共有（    ）个角。 A．10 B．15 C．6 D．8 【答案】A 【分析】单独的1个角有4个，由2个小角组成的大角有3个，由3个小角组成的大角有2个，由4个小角组成的大角有1个，最后把这些角的个数相加即可。 【详解】4＋3＋2＋1 ＝7＋2＋1 ＝9＋1 ＝10（个） 图中一共有10个角。 故答案为：A 【变式训练1】数一数。 ( )条线段； ( )个角； ( )个角。 【答案】 6 4 18 【分析】线段两端都有端点，不可延长，两个端点间的线条是直的。 由一个点引出两条直直的线所组成的图形是角。角有两条边和一个公共端点，这两条边叫做角的边，它们的公共端点叫做角的顶点。据此数一数。 单独的线段有3条，由2条小线段组成的线段有2条，由3条小线段组成的线段有1条，相加即可。 第二图4个转角处分别一个直角，一共4个角。 有4个小三角形，每个小三角形3个角，一共12个角，中间由两个小角组成的角一共有6个，相加即可。 【详解】3＋2＋1＝6（条） 6条线段； 4个角； 12＋6＝18（个） 18个角。 【变式训练2】如图，已知∠1＝∠2＝∠3，且图中所有锐角的和是200°，那么∠2＝( )°。 【答案】20 【分析】锐角是大于0°小于90°的角，观察发现∠1、∠2、∠3都是锐角，而（∠1＋∠2）、（∠2＋∠3）也是锐角，（∠1＋∠2＋∠3）还是锐角； 因为∠1＝∠2＝∠3，把∠2看成1份，图中所有的锐角有3＋2＋1＝6（个），则份数有（1＋1＋1＋2＋2＋3）份，用200除以总份数，计算出1份的度数，也就是∠2的度数；据此解答。 【详解】根据分析： 锐角个数：3＋2＋1＝6（个） 把∠2看成1份 1＋1＋1＋2＋2＋3＝10（份） 200°÷10＝20° 所以∠2＝20°。 【变式训练3】数一数，填一填。 ( )个锐角，( )个直角，( )个钝角。 【答案】 5 2 2 【分析】三角尺上最大的角为直角，用三角板的直角进行比较测量，比直角小的就是锐角，比直角大的就是钝角。据此数一数。 【详解】 5个锐角，2个直角，2个钝角。 易错点五：角的度量 例题：下图是一个破损量角器测量角的大小，这个角的度数是（    ）。 A．60° B．150° C．90° 【答案】C 【分析】角的两条边对应度数读出来，再相减即为答案；这里量角器有外圈度数，也有内圈度数，选择一种读数方法即可；我们可以读外圈度数，外圈显示这个角是从60°到150°，用150°减去60°即为这个角的度数。 【详解】150°－60°＝90° 这个角的度数是90°。 故答案为：C 【变式训练1】芳芳在用量角器量角时，角的一条边对着量角器上外圈“150”的刻度，另一条边对着外圈“90”的刻度，这个角是( )°。 【答案】60 【分析】用量角器量角，如果两条边都没有和“0”刻度对准，那么先读出两条边所对的刻度，要么同时读外圈刻度，要么同时读内圈刻度，然后两刻度相减即可。 【详解】150°－90°＝60° 芳芳在用量角器量角时，角的一条边对着量角器上外圈“150”的刻度，另一条边对着外圈“90”的刻度，这个角是60°。 【变式训练2】用量角器量出下面的∠1＝( )°，∠2＝( )°。 【答案】 60 110 【分析】此题主要考查用量角器测量角的方法。注意读数时要看一下零刻度线对齐的是内刻度还是外刻度。 根据量角器测量角的度数的方法：量角器中心和角的顶点重合，0刻度线和角的一条边重合，看角的另一条边对的刻度数就是这个角的度数。据此解答即可。 【详解】根据分析可知： 用量角器量出下面的∠1＝60°，∠2＝100°。 【变式训练3】观察量角器上的刻度，填出每个角的度数。 ( )°                          ( )° 【答案】 50 50 【分析】由图可知，第一幅图角的一条边指向量角器的0°刻度线，另一条边指向量角器的50°刻度线，所以第一个角的度数为50°。 第二幅图的一条边指向量角器的70°刻度线，另一条边指向量角器的120°刻度线，所以第二个角的度数为120°－70°＝50°。 【详解】如图： 易错点六：平角、周角的认识及特征 例题：1个平角和1个钝角的差一定是( )角；1个直角和1个锐角的和一定是( )角。 【答案】 锐 钝 【分析】平角是180°，钝角是大于90°小于180°的角，所以1个平角和1个钝角的差一定是小于90°的，也就是锐角；直角是90°，锐角是大于0°小于90°的角，所以1个直角和1个锐角的和一定大于90°，也就是钝角。 【详解】1个平角和1个钝角的差一定是锐角；1个直角和1个锐角的和一定是钝角。 【变式训练1】如图中，已知∠1＝35°，∠3是一个直角。那么，∠2＝( )°，∠4＝( )°，∠5＝( )°。 【答案】 55 35 145 【分析】根据观察图形和对题意的了解：∠3是一个直角，根据平角＝180° ，∠1＋90°＋∠2＝180°， 已知∠1＝35°，所以∠2＝180°－∠1－90°，代入即可求出∠2的度数，据此作答； 同理可得：∠2＋90°＋∠4＝180°， 已知∠2的度数，所以∠4＝180°－∠2－90°，代入即可求出∠4的度数；根据平角＝180° ，∠4＋∠2＝180°， 已知∠4的度数，所以∠5＝180°－∠4，代入即可求出∠5的度数，据此作答。 【详解】根据分析得：已知∠1＝35°，所以∠2＝180°－∠1－90°＝180°－35°－90°＝145°－90°＝55° ∠4＝180°－∠2－90°＝180°－55°－90°＝125°－90°＝35° ∠5＝180°－∠4＝180°－35°＝145° 所以如图中，已知∠1＝35°，∠3是一个直角。那么，∠2＝55°，∠4＝35°，∠5＝145°。 【变式训练2】如图，现在是4时整，钟面上时针和分针所成的角是( )°，再过30分钟，钟面上时针和分针所成的角是( )°。 【答案】 120 45 【分析】钟面一周为360°，钟表上有12个数字，分12大格，每相邻两个数字之间的夹角为30°，每个大格30°，4时整，时针走了4大格，即4×30°＝120°；再过30分钟，即4时＋30分钟＝4时30分，4时30分，时针过了4，在4和5的中间位置，分针指在6上，时针和分针相距1个半格，半个为30°÷2＝15°，时针和分针所成的角是15°＋30°＝45°，据此解答即可。 【详解】4×30°＝120° 30°÷2＝15° 15°＋30°＝45° 现在是4时整，钟面上时针和分针所成的角是120°，再过30分钟，钟面上时针和分针所成的角是45°。 【变式训练3】已知：下图中，则( )。 【答案】90° 【分析】平角为180°，观察图可以发现，∠1、∠2和∠3组成平角，用180°减去∠1和∠3的度数，即可求出∠2的度数，据此解答即可。 【详解】180°－35°－55° ＝145°－55° ＝90° 所以∠2＝90°。 易错点七：用量角器画角 例题：画出下面的角。 30°        65°        135° 【答案】见详解 【分析】用量角器画角的步骤： 1、两重合：先画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0°刻度线和射线重合。 2、点度数：在量角器所画角的度数对应的刻度线的地方点上一个点。 3、画射线：以画的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。 【详解】 【变式训练1】以点A为顶点，引一条射线与已知直线a相交组成65°的角。 【答案】见详解 【分析】使量角器的中心和A点重合，0°刻度线和已知直线a重合，在量角器65°刻度线的地方点一个点，以A点为端点，通过刚画的点，再画一条射线，据此画出65°的角。 【详解】如图所示： 【变式训练2】用图中的一条射线作边，画一个135°的角。 【答案】见详解 【分析】用量角器画角：将量角器的中心和顶点重合，零刻度线和图中射线重合，在量角器上135度数刻度线的地方点一个点，然后以A点为端点，通过刚画的点，再画一条射线，两条射线所夹的角就是135°的角，据此作图即可。 【详解】 如图： 【变式训练3】按要求把下面的角分成两个角。 （1）分成两个锐角。 （2）分成1个钝角和1个锐角。 【答案】见详解 【分析】首先分别量出两个图形角的度数，再根据角的分类，大于0°小于90°的角是锐角，等于90°的角是直角，大于90°小于180°的角是钝角，按照题干要求，图一分成两个锐角，图二分成1个钝角和1个锐角，即可解答。 【详解】（1）分成两个锐角。图中的角为120°，用量角器画角，用量角器的中心和其中一条射线的端点重合，零刻度线和射线重合，在量角器60°的地方点一个点，然后以量角器的中心为端点，通过刚刚画的点，再画一条射线，这两条射线所夹的角就是我们所要画的60°角，即把120°角分成2个60°角。 （答案不唯一） （2）分成1个钝角和1个锐角。图中的角为120°，用量角器画角，用量角器的中心和其中一条射线的端点重合，零刻度线和射线重合，在量角器100°的地方点一个点，然后以量角器的中心为端点，通过刚刚画的点，再画一条射线，这两条射线所夹的角就是我们所要画的100°角，即把120°角分成一个100°角和一个20°角。 （答案不唯一） 易错点八：用三角尺画角 例题：用一副三角尺拼成下面的四边形，那么∠1＝( )°，∠2＝( )°。 【答案】 75 135 【分析】一副三角尺包括两个三角尺，它们的角度分别是30°，60°，90°；45°，45°，90°；结合给出四边形可知∠1等于45°的角加上30°的角，∠2等于90°的角加上45°的角，据此计算即可。 【详解】∠1＝45°＋30°＝75° ∠2＝90°＋45°＝135° 用一副三角尺拼成下面的四边形，那么∠1＝75°，∠2＝135°。 【变式训练1】新素养几何直观如图，把两块三角尺重叠在一起，∠1＝( )°。 【答案】15 【分析】一副三角板中包含的角的度数有30°、45°（两个）、60°、90°（两个），如果把它们相加或相减即可画出一些特定度数的角。 【详解】∠1＝60°－45°＝15° 【变式训练2】不用量角器，你能用一副三角尺分别画出下面的角吗？ 15°          105°            120° 【答案】见详解 【分析】一副三角板中的各个角的度数分别是30°、60°、45°、90°。将它们进行组合，得出这三个度数的角即可画出。 【详解】45°－30°＝15° 60°＋45°＝105° 90°＋30°＝120° 【变式训练3】过0点，用一副三角尺画一个135°的角。保留画图的痕迹。 【答案】见详解 【分析】135°＝90°＋45°，则用三角尺的90°角和45°角组合在一起，就能拼出135°角。 【详解】如下图： 【点睛】本题主要考查学生用三角尺画角方法的掌握和灵活运用。 易错点九：角度的计算 例题：下图是用一副三角尺拼成的图形，是多少度？ 【答案】75° 【分析】一副常见的三角尺分别是45°、45°、90°与30°、60°、90°的两个直角三角形。将它们如图所示放置在同一水平线上时：左边的45°三角尺的斜边与底边所成的角是45°；右边的30°、60°三角尺的斜边与底边所成的角是60°。45°、60°和∠1在同一直线上组成了平角（180°），∠1 就是 180°－（45°＋ 60°）。 【详解】180°－（45°＋ 60°） ＝180°－105° ＝75° 答：是75° 【变式训练1】下图中，CD垂直于AB，已知∠1＝60°，求∠2，∠3，∠4的度数。 【答案】∠2＝30°；∠3＝60°；∠4＝30° 【分析】根据图意，可知∠1＋∠2＝90°，∠2＝90°－∠1，求出∠1的度数； 由∠2＋∠3＝90°，∠3＝90°－∠2，求出∠3的度数； 再由∠3＋∠4＝90°，∠4＝90°－∠3，据此求出∠4的度数。 【详解】∠2＝90°－60°＝30° ∠3＝90°－30°＝60° ∠4＝90°－60°＝30° 答：∠2＝30°，∠3＝60°，∠4＝30°。 【变式训练2】看图想一想，直线a和直线b互相垂直吗？为什么？ 【答案】互相垂直；因为它们的夹角是90°。 【分析】根据题意可知，中间的直线和直线a、b形成了一个平角，也就是180°，用180°－45°－45°＝90°，也就是直线a和直线b之间的夹角是90°，可以证明直线a和直线b互相垂直。 【详解】180°－45°－45°＝90° 答：直线a和直线b互相垂直，因为它们的夹角是90°。 【变式训练3】图中的∠1和∠2相等吗？说明理由。 【答案】相等；理由见详解 【分析】平角为180°，观察图可以发现∠1与∠3组成平角，那么∠1＝180°－∠3，∠2和∠3组成平角，那么∠2＝180°－∠3，据此解答即可。 【详解】∠1＋∠3＝180° ∠1＝180°－∠3 ∠2＋∠3＝180° ∠2＝180°－∠3 所以∠1和∠2相等。 易错点十：平行和垂直的特征和性质 例题：如图的字母中，有线段互相平行的有( )个，有线段互相垂直的有( )个。 【答案】 5 4 【分析】根据平行和垂直的性质：在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线；两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直；据此判断即可。 【详解】如图的字母中，有线段互相平行的有E、F、H、N、Z，共5个，有线段互相垂直的有E、F、H、L，共4个。 【变式训练1】图中，ABDC与CDFE都是长方形，那么，线段AB与线段BF相互( )直线与直线相互( )。 【答案】 垂直 平行 【分析】根据长方形的特点，它的对边互相平行且相等，相邻的边互相垂直。在同一个平面内，不相交的两条直线互相平行；平行于同一条直线的两直线平行。两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直。据此可以解答。 【详解】因为ABDC与CDFE都是长方形，所以线段AB与线段CD互相平行且相等。线段CD与线段EF互相平行且相等。那么线段AB与线段BF相互垂直，直线a与直线c相互平行。 【变式训练2】把线段的两端都无限延长，就得到一条( )。( )和( )都是无限长的。把一个长方形纸对折再对折，两条折痕互相( )。 【答案】 直线 直线 射线 平行或垂直 【分析】线段有两个端点，长度有限可以测量长度；射线只有一个端点，可以向一端无限延长，长度无限无法测量长度；直线没有端点，可以向两端无限延长，长度无限无法测量长度； 在同一平面内不相交的两条直线互相平行，在同一平面内相交成直角的两条直线互相垂直；把长方形对折再对折，如果两次对折的方向相同，则两条折痕不会相交，即互相平行，如果两次对折的方向不同，即一次沿长对折，一次沿宽对折，则两条折痕会相交成直角，即互相垂直。据此解答。 【详解】根据分析可知： 把线段的两端都无限延长，就得到一条直线。直线和射线都是无限长的。把一个长方形纸对折再对折，两条折痕互相平行或垂直。 【变式训练3】下图是坪山区地图的一部分，在图中，你认为互相垂直的一组道路是( )和( )。     【答案】 聚和路 聚柳路 【分析】根据垂线的定义，两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角的时候，就说这两条直线互相垂直，可以借用量角器，量出是直角的那个角，据此解答即可。 【详解】根据分析，图中互相垂直的一组道路是聚和路和聚柳路。 易错点十一：画垂线和平行线 例题：分别画出已知直线的垂线和平行线。 【答案】见详解 【分析】首先在直线外任意取一点，标记为点A；用直角三角尺的一条直角边和直线重合，移动三角尺，使三角尺的另一条直角边和点A重合，过点A沿直角边向已知直线画直线，得到的就是过点A作已知直线的垂线，注意要标出垂直符号。把三角尺的一条直角边和已知直线重合，用直尺紧靠三角尺的另一条直角边，沿直尺移动三角尺，使原来和已知直线重合的三角尺的直角边与点A重合，过点A沿三角尺的直角边画直线，即是过点A作已知直线的平行线；据此可画出已知直线的垂线和平行线。 【详解】 （画法不唯一） 【变式训练1】过点A分别画已知直线的垂线。 【答案】见详解 【分析】过直线上或直线外一点作垂线的步骤：把三角尺的一条直角边与已知直线重合；沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上；沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。这条直线就是已知直线的垂线。 【详解】 【变式训练2】先过点A画出直线a的垂线，再过点A画出直线b的平行线。 【答案】见详解 【分析】（1）过直线上或直线外一点作作垂线的步骤：把三角尺的一条直角边与已知直线重合；沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上；沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。这条直线就是已知直线的垂线。 （2）画已知直线的平行线可以借助直尺和三角尺来完成：固定三角尺，沿一条直角边先画一条直线或先让三角形的直角边与已知直线重合；用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺直至三角尺的直角边经过已知的点；最后，沿直角边画出另一条直线。 【详解】 【变式训练3】请画出小方家到小青家最近的路，请画出小青家到公路最近的路，请画出通过小超家与公路平行的路。 【答案】见详解 【分析】连接两家之间的线段就是两家之间的最短距离；从小青家作到公路的垂直线段就是小青家到公路最近的路，过小超家作公路的平行线。 垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线。 平行线的画法： 首先让直角板的一条边和已知直线重合，让直角板的一条边和直尺的一条边完全重合，这是两个重合。 然后紧贴着直角板平移三角板。在平移的过程当中要注意三角板要和直角和直尺的边始终重合在一起。 当不断向上平移刚才和已知直线重合的那条边通过点小超家的时候，这就是要画的平行线，可以稍微的延长一点。 【详解】如图： 拔尖训练 1．9时整，时钟的时针和分针所夹的角是（    ）。 A．60° B．90° C．180° 【答案】B 【分析】 如图，9时整，时针指9，分针指12，时针和分针所夹的角如图，组成90°的直角。 【详解】根据分析，9时整，时钟的时针和分针所夹的角是90°。 故答案为：B 2．将一张正方形纸以“边对边”的方式对折两次，打开后两条折痕（    ）。 A．互相垂直 B．互相平行 C．可能互相垂直也可能互相平行 【答案】C 【分析】根据题意，对折两次，可以朝着同一方向折两次，也可以朝着两个方向折两次，据此画出两种折法后选择即可。 【详解】 如图： 打开后两条折痕可能互相垂直也可能互相平行。 故答案为：C 3．如图，小明、小亮和小强三人过马路，他们选择了不同的路线，（    ）选择的路线最短。 A．小明 B．小亮 C．小强 【答案】B 【分析】要走过人行横道，把人行横道的另一端看成一条直线，根据点到直线的距离可知，点到直线的距离，垂线段最短；据此解答。 【详解】根据分析可知，小亮走的是垂线，小明和小强走的是斜线；所以小亮选择的路线最短。 故答案为：B 4．钟面上3时整，时针和分针的夹角是直角，时针和分针的夹角下一次出现直角，大约在3时（    ）之间。 A．1分至15分 B．16分至30分 C．31分至45分 【答案】C 【分析】钟面上有12个大格，每个大格对应的度数是30°。要想时针和分针的夹角是直角，那么时针和分针之间得隔着3个大格。钟面上3时整，时针指着数字3，分针指着数字12，中间有3个大格，所以时针和分针的夹角是直角。然后分针和时针继续运动，时针应该在3到4之间，要想时针和分针的夹角下一次出现直角，那么分针应该在6到7之间，那么对应的分钟数是30分到35分之间。 【详解】由分析得，时针和分针的夹角下一次出现直角，大约在3时30分到35分之间。 故答案为：C 5．如图，角的一条边被墨水挡住了，这个角不可能是（    ）。 A．60° B．50° C．40° 【答案】C 【分析】根据量角器的认识，量角器上每一大格表示10°，由图示可知，图中角的一条边指向70°，墨水挡住部分在0°和30°之间，从没有被墨水挡住的部分看，这个角的两条边之间超过4个大格，也就是这个角超过40°，不可能是40°，据此解答即可。 【详解】根据分析： 角的一条边被墨水挡住了，这个角不可能是40°。 故答案为：C 6．量出下面角的度数。 ∠1＝( )。 【答案】135° 【分析】用量角器进行测量，方法是：先把量角器放在角的上面，使量角器的中心和角的顶点重合，零度刻度线和角的一条边重合，角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。 【详解】 ∠1＝135° 7．如图，轩轩从家到学校的3条路线中，路线①和路线②相比，根据两点间所有连线中( )最短，所以轩轩从家到学校走路线( )最近。 【答案】 线段 ② 【分析】两点间所有的连线中，线段的距离是最短的，线段是直的，据此判断。 【详解】这3条路线中，②号路线是直的，是线段，据两点间所有连线中线段最短，所以轩轩从家到学校走路线②最近。 8．如下图，∠1＝140°，那么∠2＝( )°，∠3＝( )°，∠4＝( )°。 【答案】 40 140 40 【分析】平角等于180°，因此根据题目图形可知：∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠4＝180°，即∠2＝180°－∠1，∠4＝180°－∠1；再根据∠2＋∠3＝180°，即∠3＝180°－∠2；依此计算。 【详解】∠2：180°－140°＝40° ∠4：180°－140°＝40° ∠3：180°－40°＝140° 因此∠2＝40°，∠3＝140°，∠4＝40°。 9．用一副三角尺拼成如图，∠1＝( )，∠2＝ ( )。 【答案】 105 135 【分析】一副三角尺有两个三角板，一个三角板的三个角分别是45°，45°，90°，另一个三角板的三个角分别是30°，60°，90°。由图可知：∠1＋45°＋30°＝180°，∠2＋45°＝180°；据此求出∠1、∠2的度数。 【详解】∠1＝180°－45°－30°＝135°－30°＝105° ∠2＝180°－45°＝135° 用一副三角尺拼成如图，∠1＝105，∠2＝ 135。 10．如图，∠1＝( )°，是( )角。∠2＝( )°，是( )角。像这样用一副三角板去拼角，还可以拼出( )°。 【答案】 150 钝 75 锐 135 【分析】一副三角尺由两个三角尺组成，一个三角尺的三个角分别是90°，45°，45°，另一个三角尺的三个角分别是90°，60°，30°。由图可知，∠1是直角和三角尺上60°的角组成的，直接用加法即可算出∠1的度数；∠2是三角尺上45°的角和三角尺上30°的角组成的，直接用加法即可算出∠2的度数；大于0°小于90°的角叫作锐角，直角的度数等于90°，大于90°小于180°的角叫作钝角；用一副三角板去拼角，直接把三角尺上的两个角相加或相减即可算出可以拼出的角的度数。 【详解】∠1＝90°＋60°＝150°，∠1是钝角。 ∠2＝45°＋30°＝75°，∠2是锐角。 90°＋45°＝135°，即一副三角板可以拼出135°的角。 60°＋45°＝105°，即一副三角板可以拼出105°的角。 90°＋30°＝120°，即一副三角板可以拼出120°的角。 故∠1＝150°，是钝角。∠2＝75°，是锐角。像这样用一副三角板去拼角，还可以拼出135°。（答案不唯一） 11．2021年3月，教育部发布了《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》，要求小学生每天睡眠至少应达到9小时。张桦晚上8：45睡觉，第二天早上6：45起床，这时钟面上的时针和分针成( )角，时针转动了( )度。 【答案】 锐 300 【分析】6：45时分针指向9，时针指向6和7之间，这时时针和分针所成的角小于90°，所以这时钟面上的时针和分针成锐角；从晚上8：45到次日6：45共10小时。每小时转30°，10小时转动 10×30°＝300°。 【详解】6：45时分针指向9，时针指向6和7之间，这时钟面上的时针和分针成锐角； 晚上12：45－晚上8：45＝4（小时） 次日6：45－凌晨0：45＝6（小时） 4＋6＝10（小时） 10×30°＝300° 时针转动了300度。 12．一个长方形有( )组对边互相平行，长和宽互相( )。 【答案】 2 垂直 【分析】根据长方形的特性，两组对边互相平行的是长方形，这两组对边就是长和宽，所以长和宽互相垂直，据此解答。 【详解】根据分析：一个长方形有2组对边互相平行，长和宽互相垂直。 13．经过纸上2个点可以画1条直线，经过6个点中的每两个点最多可以画( )条直线。 【答案】15 【分析】直线没有端点无限长，经过纸上2个点可以画1条直线，经过6个点中的每两个点，第一个点可以和另外五个点画5条直线，第二个点可以和除去第一个点的另外四个点画4条直线，第三个点可以和除去前面两个点的另外三个点画3条直线，第四个点可以和除去前面三个点的另外两个点画2条直线，第五个点可以和第六个点画1条直线，则一共可以画（5＋4＋3＋2＋1）条直线。 【详解】5＋4＋3＋2＋1＝15（条） 经过纸上2个点可以画1条直线，经过6个点中的每两个点最多可以画15条直线。 14．过点A画出直线a的垂线，过点B画出直线b的平行线。 【答案】见详解 【分析】过直线外一点A作直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过点A时，沿这条直角边画的直线就是过该点作的直线的垂线；过直线外一点B作直线的平行线：把三角板的一边靠紧直线，另一边靠紧一直尺，沿直尺滑动三角板，当与直线重合的一边经过点B时，沿这边画直线就是过该点作的直线的平行线。 【详解】如图所示： 15．小青蛙要从点A游到小河的对岸去，怎样游路线最短？请在图中画出来。 【答案】见详解 【分析】点到直线的距离垂线段最短，所以过A点作河对岸的垂线段为最短线路。 【详解】如图： 线段AB即为最短路线。 16．这里有一个损坏的量角器，请以中心为顶点，画出一个60°的角。 【答案】见详解 【分析】先画一条射线，使其跟损坏的量角器的某一刻度线重合，比如外圈的60°，使量角器的中心和射线的端点重合， 60°＋60°＝120°，然后在外圈的120°刻度线的地方点一个点，然后以画出的射线的端点为端点，通过刚刚画的点，再画一条射线，即可解题。合理即可。 【详解】 （答案不唯一） 17．下面两个图中的∠1与∠2是不是相等？说明理由。 【答案】两个图中的∠1与∠2都是相等的。 【分析】如图所示，我们可以左图中标注一个∠3，右图中标注一个∠4。 在左图中，∠1和∠2分别加上∠3后，都能组成一个直角，所以可得∠1＝∠2。 在右图中，∠1和∠2分别加上∠4后，都能组成一个平角，所以可得∠1＝∠2。 【详解】左图：因为∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠3＝90°， 所以∠1＝90°－∠3，∠2＝90°－∠3， 所以∠1＝∠2。 右图：因为∠1＋∠4＝180°，∠2＋∠4＝180°， 所以∠1＝180°－∠4，∠2＝180°－∠4， 所以∠1＝∠2。 答：下面两个图中的∠1与∠2相等。 18．下图表示一张长方形纸折起一个角。已知，，是多少度？ 【答案】65° 【分析】根据题意因为是折起的角，则两个∠1的度数和∠2以及∠3组成一个平角，平角＝180°，∠1＝25°，先用25°×2求出两个∠1的度数，用180°减去两个∠1的度数求出∠2＋∠3的度数，因为∠2＝∠3，除以2即可求出∠2的度数。 【详解】25°×2＝50° （180°－50°）÷2 ＝130°÷2 ＝65° 答：∠2是65°。 19．明明家要把大街边的自来水管接到自己家里，怎样接材料最省？请画出路线图，并用学过的知识解释为什么这样安排。 【答案】作图见详解 因为直线外一点到与直线上任意一点的连线中，垂直线段最短。 【分析】要使材料最省，则要使从明明家这一点连接自来水管道的连线最短，根据直线外一点到直线的距离可知：直线外一点与直线上任意一点的连线中，垂直线段最短；所以，从明明家这一点向自来水管道这条直线作垂直线段，就是接材料的路线；根据过直线外一点向已知直线作垂线的方法，用三角板的一条直角边与已知直线重合，另一条直角边与直线外一点重合，从这一点沿直角边向已知直线作线段即可。据此解答。 【详解】根据分析，作图如下： 因为直线外一点到与直线上任意一点的连线中，垂直线段最短。 20．如图，把一个长方形纸折叠后，∠2＝75°，∠1是多少度？（在图中标出你需要的数据） 【答案】图见详解；30° 【分析】如下图所示，∠2是∠3折叠上去的角，那么∠3＝∠2＝75°，∠1、∠2和∠3组成了一个平角，1平角＝180°，那么∠1＝180°－∠2－∠3，据此代入数据解答即可。 【详解】数据标注如下图所示： ∠3＝∠2＝75° 180°－75°－75° ＝105°－75° ＝30° 答：∠1是30°。 试卷第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习09：垂线与平行线 期末复习易错题型举一反三培优练习 目录 知识梳理 2 一、直线、射线和线段 2 二、角的认识 2 三、角的度量 2 四、画角 3 五、角的计算 3 六、平行与垂直 3 易错点练习 4 易错点一：线段、直线、射线的认识及特征 4 易错点二：数图形（线段、直线、射线） 4 易错点三：角的概念及表示方式 5 易错点四：数图形（数角） 5 易错点五：角的度量 6 易错点六：平角、周角的认识及特征 7 易错点七：用量角器画角 7 易错点八：用三角尺画角 9 易错点九：角度的计算 9 易错点十：平行和垂直的特征和性质 10 易错点十一：画垂线和平行线 11 拔尖训练 12 知识梳理 一、直线、射线和线段 1.线段：有两个端点，可以度量长度，不能向两端无限延伸 2.射线：有一个端点，可以向一端无限延伸，无法度量长度 3.直线：没有端点，可以向两端无限延伸，无法度量长度 4.关系：线段和射线都是直线的一部分 二、角的认识 1.角的定义：从一点引出的两条射线所组成的图形 2.角的各部分名称：顶点（两条射线的公共端点）和边（两条射线） 3.角的表示方法： 用数字表示（如∠1、∠2） 用字母表示（如∠AB，顶点字母必须写在中间） 4.角的分类： 锐角：小于90°的角 直角：等于90°的角 钝角：大于90°且小于180°的角 平角：等于180°的角（一条射线绕它的端点旋转半周形成的角） 周角：等于360°的角（一条射线绕它的端点旋转一周形成的角） 三、角的度量 1.量角器：度量角的工具，呈半圆形，把半圆分成180等份，每一份所对的角是1° 2.度量方法： 点点重合：量角器的中心与角的顶点重合 线边重合：量角器的0°刻度线与角的一条边重合 读准度数：角的另一条边所对量角器上的刻度，就是这个角的度数 3.注意事项： 区分内圈刻度和外圈刻度 量角器有两圈刻度，当角的一条边与内圈0°刻度线重合时，读内圈刻度；与外圈0°刻度线重合时，读外圈刻度 四、画角 1.用量角器画角步骤： 画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0°刻度线和射线重合 在量角器相应度数刻度线的地方点一个点 以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线 2.用三角尺画特殊角： 30°、45°、60°、90°的角可以直接用三角尺画出 利用三角尺组合可以画出15°（45°-30°）、75°（45°+30°）、105°（60°+45°）、120°（90°+30°）、135°（90°+45°）、150°（90°+60°）等角 五、角的计算 1.角的度量单位：度（°）、分（′）、秒（″），1°=60′，1′=60″ 2.角的和差计算： 已知两个角的度数，求它们的和或差 例如：一个角是35°，另一个角是55°，它们的和是90°（直角） 3.角的倍数计算： 求一个角的几倍是多少度 例如：一个角是30°，它的3倍是90°（直角） 4.平角和周角的计算： 1平角=2直角=180° 1周角=2平角=4直角=360° 六、平行与垂直 1.平行： 定义：在同一平面内，不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线 表示方法：直线a与直线b互相平行，记作a∥b，读作a平行于b 特点：平行线之间的距离处处相等 2.垂直： 定义：如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足 表示方法：直线a与直线b互相垂直，记作a⊥b，读作a垂直于b 特点：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离 3.画平行线的方法： 用直尺和三角尺：固定三角尺，沿一条直角边先画一条直线；用直尺紧靠三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后平移三角尺；再沿第一步中的直角边画出另一条直线 4.画垂线的方法： 过直线上一点画垂线：把三角尺的一条直角边与这条直线重合，直角顶点是垂足，沿着另一条直角边画直线 过直线外一点画垂线：把三角尺的一条直角边与这条直线重合，让三角尺的另一条直角边通过这个已知点，沿着另一条直角边画直线 易错点练习 易错点一：线段、直线、射线的认识及特征 例题：射线可以向一端无限延伸，所以无法量出射线的长度。( ) 【变式训练1】学习要“有始无终，勇往直前”。数学上可以用“有始无终，勇往直前”来形容（    ）的特征。 A．直线 B．线段 C．射线 【变式训练2】一条直线上有2个点，这2个点把这条直线分成了（    ）条射线。 A．4 B．3 C．2 【变式训练3】下面这把尺子只有1厘米、4厘米和6厘米的刻度，用这把尺子一次可以量出( )条不同长度的线段。 易错点二：数图形（线段、直线、射线） 例题：左图有( )条直线、( )条射线、( )条线段。 【变式训练1】图中能数出( )条线段，( )条直线。 【变式训练2】下图中有A、B、C、D四个点，其中（    ）两点之间的距离最短，（    ）两点之间的距离最长。如果经过其中任意两点画直线，那么最多可以画（    ）条直线，在图上画一画。 【变式训练3】图中有( )条线段，( )条直线，( )条射线。我发现：数射线条数，先数由A点发出的射线有( )条，再数由B点发出的射线有( )条，最后数由C点发出的射线有( )条，共有( )条射线。 易错点三：角的概念及表示方式 例题：把一个的角扩大到原来的10倍，它就成为的角，用10倍的放大镜看这个的角，这个角是（    ）。 A． B． C． 【变式训练1】图中的角可以记作( )，读作( )。 【变式训练2】当山坡的坡面与地面成（    ）角时，摩托车要爬坡是相对最困难的。 A．35° B．45° C．65° 【变式训练3】角是由( )和由这个点引出的( )所组成的图形，这个点叫作角的( )，两条( )叫作角的边。 易错点四：数图形（数角） 例题：图中一共有（    ）个角。 A．10 B．15 C．6 D．8 【变式训练1】数一数。 ( )条线段； ( )个角； ( )个角。 【变式训练2】如图，已知∠1＝∠2＝∠3，且图中所有锐角的和是200°，那么∠2＝( )°。 【变式训练3】数一数，填一填。 ( )个锐角，( )个直角，( )个钝角。 易错点五：角的度量 例题：下图是一个破损量角器测量角的大小，这个角的度数是（    ）。 A．60° B．150° C．90° 【变式训练1】芳芳在用量角器量角时，角的一条边对着量角器上外圈“150”的刻度，另一条边对着外圈“90”的刻度，这个角是( )°。 【变式训练2】用量角器量出下面的∠1＝( )°，∠2＝( )°。 【变式训练3】观察量角器上的刻度，填出每个角的度数。 ( )°                          ( )° 易错点六：平角、周角的认识及特征 例题：1个平角和1个钝角的差一定是( )角；1个直角和1个锐角的和一定是( )角。 【变式训练1】如图中，已知∠1＝35°，∠3是一个直角。那么，∠2＝( )°，∠4＝( )°，∠5＝( )°。 【变式训练2】如图，现在是4时整，钟面上时针和分针所成的角是( )°，再过30分钟，钟面上时针和分针所成的角是( )°。 【变式训练3】已知：下图中，则( )。 易错点七：用量角器画角 例题：画出下面的角。 30°        65°        135° 【变式训练1】以点A为顶点，引一条射线与已知直线a相交组成65°的角。 【变式训练2】用图中的一条射线作边，画一个135°的角。 【变式训练3】按要求把下面的角分成两个角。 （1）分成两个锐角。 （2）分成1个钝角和1个锐角。 易错点八：用三角尺画角 例题：用一副三角尺拼成下面的四边形，那么∠1＝( )°，∠2＝( )°。 【变式训练1】新素养几何直观如图，把两块三角尺重叠在一起，∠1＝( )°。 【变式训练2】不用量角器，你能用一副三角尺分别画出下面的角吗？ 15°          105°            120° 【变式训练3】过0点，用一副三角尺画一个135°的角。保留画图的痕迹。 易错点九：角度的计算 例题：下图是用一副三角尺拼成的图形，是多少度？ 【变式训练1】下图中，CD垂直于AB，已知∠1＝60°，求∠2，∠3，∠4的度数。 【变式训练2】看图想一想，直线a和直线b互相垂直吗？为什么？ 【变式训练3】图中的∠1和∠2相等吗？说明理由。 易错点十：平行和垂直的特征和性质 例题：如图的字母中，有线段互相平行的有( )个，有线段互相垂直的有( )个。 【变式训练1】图中，ABDC与CDFE都是长方形，那么，线段AB与线段BF相互( )直线与直线相互( )。 【变式训练2】把线段的两端都无限延长，就得到一条( )。( )和( )都是无限长的。把一个长方形纸对折再对折，两条折痕互相( )。 【变式训练3】下图是坪山区地图的一部分，在图中，你认为互相垂直的一组道路是( )和( )。     易错点十一：画垂线和平行线 例题：分别画出已知直线的垂线和平行线。 【变式训练1】过点A分别画已知直线的垂线。 【变式训练2】先过点A画出直线a的垂线，再过点A画出直线b的平行线。 【变式训练3】请画出小方家到小青家最近的路，请画出小青家到公路最近的路，请画出通过小超家与公路平行的路。 拔尖训练 1．9时整，时钟的时针和分针所夹的角是（    ）。 A．60° B．90° C．180° 2．将一张正方形纸以“边对边”的方式对折两次，打开后两条折痕（    ）。 A．互相垂直 B．互相平行 C．可能互相垂直也可能互相平行 3．如图，小明、小亮和小强三人过马路，他们选择了不同的路线，（    ）选择的路线最短。 A．小明 B．小亮 C．小强 4．钟面上3时整，时针和分针的夹角是直角，时针和分针的夹角下一次出现直角，大约在3时（    ）之间。 A．1分至15分 B．16分至30分 C．31分至45分 5．如图，角的一条边被墨水挡住了，这个角不可能是（    ）。 A．60° B．50° C．40° 6．量出下面角的度数。 ∠1＝( )。 7．如图，轩轩从家到学校的3条路线中，路线①和路线②相比，根据两点间所有连线中( )最短，所以轩轩从家到学校走路线( )最近。 8．如下图，∠1＝140°，那么∠2＝( )°，∠3＝( )°，∠4＝( )°。 9．用一副三角尺拼成如图，∠1＝( )，∠2＝ ( )。 10．如图，∠1＝( )°，是( )角。∠2＝( )°，是( )角。像这样用一副三角板去拼角，还可以拼出( )°。 11．2021年3月，教育部发布了《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》，要求小学生每天睡眠至少应达到9小时。张桦晚上8：45睡觉，第二天早上6：45起床，这时钟面上的时针和分针成( )角，时针转动了( )度。 12．一个长方形有( )组对边互相平行，长和宽互相( )。 13．经过纸上2个点可以画1条直线，经过6个点中的每两个点最多可以画( )条直线。 14．过点A画出直线a的垂线，过点B画出直线b的平行线。 15．小青蛙要从点A游到小河的对岸去，怎样游路线最短？请在图中画出来。 16．这里有一个损坏的量角器，请以中心为顶点，画出一个60°的角。 17．下面两个图中的∠1与∠2是不是相等？说明理由。 18．下图表示一张长方形纸折起一个角。已知，，是多少度？ 19．明明家要把大街边的自来水管接到自己家里，怎样接材料最省？请画出路线图，并用学过的知识解释为什么这样安排。 20．如图，把一个长方形纸折叠后，∠2＝75°，∠1是多少度？（在图中标出你需要的数据） 试卷第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $