5.3导数在研究函数中的应用 专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

第六单元　导数在研究函数中的应用 【一周一测基础知识专项训练】 单项选择题 1.函数f(x)=ex-ex的最小值为(　　) A.-e B.-1 C.0 D.1 2.若函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,则f(x)的极大值点是(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 3.下列函数中,在(1,+∞)上单调递增的是(　　) A.y=x2-3x+1 B.y=ln x-x C.y=x+ D.y=x3+ 4.若直线y=m与函数y=x3-3x的图象恰有两个交点,则m=(　　) A.-1或0 B.-1或1 C.-2或2 D.-2或0 5.【模块综合】已知函数f(x)=ln x+ax2,则“a>0”是“函数f(x)在(0,+∞)上是单调函数”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.【高考变式】已知函数f(x)= 的值域为R,则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,-1] B.[-1,] C.(-∞,-1]∪[,+∞) D.(-∞,-1]∪[,+∞) 7.若f(x)=sin 2x-cos x-ax在(0,π)上有两个极值点,则a的取值范围为(　　) A.(0,1) B.(0,1] C.[1,) D.(0,] 8.已知ea=3.15.1,eb=4.14.1,ec=5.13.1,ed=4.15.1,则下列不等关系正确的有(　　) A.a<c B.a>d C.b>d D.b>c 多项选择题 9.已知函数f(x)=x3+kx2+2,则(　　) A.当k>3时,f(x)有两个极值点 B.当k=3时,f(x)在x=-1处有极值 C.当k<0时,f(k-1)<f(k) D.当k=-3时,曲线y=f(x)关于点(1,0)中心对称 10.已知函数f(x)=(x+1)ex,则下列说法正确的是(　　) A.函数f(x)的单调递增区间是(-2,+∞) B.函数f(x)有两个零点  C.若函数g(x)=f(x)-a有两个零点,则a>- D.函数f(x)的值域为[-,+∞) 11.定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),对于任意实数x,都有f(-x)=e2xf(x),且满足2f(x)+f'(x)=2x+1-e-2x,则下列说法正确的是(　　) A.函数F(x)=exf(x)为偶函数 B.f(0)=0 C.不等式exf(x)+<e的解集为(1,+∞) D.若方程 -(x-a)2=0有两个根x1,x2,则x1+x2>2a 填空题 12.函数f(x)=ln(2x)++2x存在大于1的极值点,则实数a的取值范围是　　　　.  13.【探索新定义】若函数f(x)在区间D上是减函数,且函数f'(x)在区间D上也是减函数,其中f'(x)是函数f(x)的导函数,则称函数f(x)是区间D上的“缓减函数”,区间D叫做“缓减区间”.则函数f(x)=sin2x+2cos x的“缓减区间”是　　　　.  14.某零食生产厂家准备用长为2 cm,宽为4 cm的长方形纸板剪去阴影部分(如图,阴影部分是全等四边形),将剩余部分折成一个底面为长方形的四棱锥形状的包装盒,则该包装盒容积的最大值为　　　　cm3.  解答题 15.(13分)已知函数f(x)=x3-2x2+mx+n在x=1时取得极值. (1)求实数m的值; (2)存在x∈[2,4],使得f(x)>n2成立,求实数n的取值范围. 16.(15分)已知函数f(x)=a-ln x(a>0). (1)求f'(x); (2)若f(x)在[1,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围; (3)若f(x)在[2,4]上存在单调递减区间,求实数a的取值范围. 17.(15分)已知函数f(x)=x-aln(1+x),a∈R. (1)当a=1时,求f(x)的极值; (2)若f(x)在区间(-1,0)上存在零点x0,求a的取值范围. 18.(17分)设函数f(x)=sin x-x+x3. (1)若m=,求导函数f'(x)在[0,+∞)上的最小值; (2)若对任意的x∈[0,+∞),有f(x)≥0,求m的取值范围. 19.(17分)已知f(x)=ex-ax+1,a∈R,e是自然对数的底数. (1)讨论函数y=f(x)的单调性; (2)若关于x的方程f(x)-1=0有两个不等实根,求a的取值范围; (3)当a=e时,若满足f(x1)=f(x2)(x1<x2),求证:x1+x2<2. 参考答案 1.C　f'(x)=ex-e,令f'(x)>0,则x>1,令f'(x)<0,则x<1,所以函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(-∞,1),所以f(x)min=f(1)=0. 2.B　根据极大值点的定义可知,极大值点两侧导数符号左正右负( 极大值点两侧导数符号为左正右负,极小值点两侧导数符号为左负右正),故只有当x=0时,函数取得极大值,故极大值点为0. 3.D　A(✕)方法一　对于函数y=x2-3x+1,求导可得y'=2x-3,令y'=2x-3>0,得x>,即其单调递增区间为(,+∞),所以y=x2-3x+1在(1,+∞)上不是单调递增的. 方法二　对于二次函数y=x2-3x+1,其图象的对称轴为x=,且图象开口向上,所以y=x2-3x+1的单调递增区间为(,+∞),所以y=x2-3x+1在(1,+∞)上不是单调递增的. B(✕)对于函数y=ln x-x,求导可得y'=-1,当x∈(1,+∞)时,<1,所以-1<0,即y'<0,所以y=ln x-x在(1,+∞)上单调递减. C(✕)方法一　对于函数y=x+,求导可得y'=1-=,令y'=>0,得x<-2或x>2,即其单调递增区间为(-∞,-2)和(2,+∞),所以y=x+在(1,+∞)上不是单调递增的. 方法二　对于函数y=x+,这是对勾函数的形式,其单调递增区间为(-∞,-2)和(2,+∞),所以y=x+在(1,+∞)上不是单调递增的. D(√)对于函数y=x3+,求导可得y'=3x2-,当x∈(1,+∞)时,x2>1,所以3x2>3,<1,进而3x2->0,即y'>0,所以y=x3+在(1,+∞)上单调递增. 4.C　利用导数研究函数的极值+图象的交点个数 思路导引　设f(x)=x3-3x,利用导数分析函数f(x)的单调性与极值,数形结合可得实数m的值. 设f(x)=x3-3x,其中x∈R,则f'(x)=3x2-3,令f'(x)=0可得x=±1,列表如下: x (-∞,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以函数f(x)的极大值为f(-1)=2,极小值为f(1)=-2,作出f(x)的大致图象如图所示. 由图可知,当m=±2时,直线y=m与函数f(x)的图象有两个交点. 5.A　因为f(x)的定义域是(0,+∞),所以f'(x)=+2ax=.当a≥0时,f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,即f(x)在(0,+∞)上是单调函数;当a<0时,令f'(x)>0,得0<x<,令f'(x)<0,得x>,f(x)在(0,+∞)上不单调.所以a>0⇒f(x)在(0,+∞)上是单调函数,即充分性成立;反之,f(x)在(0,+∞)上是单调函数⇒a>0或a=0,即必要性不成立.综上,“a>0”是“函数f(x)在(0,+∞)上是单调函数”的充分不必要条件. 6.D　当x>0时,利用导数判断f(x)的单调性,从而求得f(x)在(0,+∞)上的取值范围,结合已知条件f(x)的值域为R,得到f(x)在(-∞,0]上的取值范围,进而根据二次函数的单调性,可求得a的取值范围.当x>0时,f(x)=+ln x,则f'(x)=-+=,令f'(x)=0,解得x=1.当0<x<1时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x>1时,f'(x)>0,f(x)单调递增.所以当x=1时,f(x)取得最小值f(1)=1.要使得函数f(x)的值域为R,则需当x≤0时,f(x)=-x2-2ax-a=-(x+a)2+a2-a的最大值大于等于1.当a≤0时,f(x)≤f(0)=-a,则-a≥1,即a≤-1;当a>0时,f(x)≤f(-a)=a2-a,则a2-a≥1,解得a≥.综上所述,a≤-1或a≥. 7.B　根据极值点求参数 思路导引　求导,将问题转化为f'(x)=0在(0,π)上有两个不相等的实数根,换元,令sin x=t,则t∈(0,1],进而根据函数g(t)=1-2t2+t=-2(t-)2+,t∈(0,1]的图象以及t=sin x的图象求解. 8.D　由已知得a=5.1ln 3.1,b=4.1ln 4.1,c=3.1ln 5.1,d=5.1ln 4.1. A(✕)设f(x)=),则f'(x)=,当x∈(e,+∞)时,f'(x)<0,f(x)=单调递减,所以f(3.1)>f(5.1),即>,所以a>c. B(✕)方法一　因为ln 3.1<ln 4.1,所以a<d. 方法二　根据指数函数y=4.1x在R上单调递增可知b<d. D(√)设h(x)=),则h'(x)=. 方法一　设p(x)=-ln(x+1),则p'(x)=,当x∈(0,+∞)时,p'(x)<0,则p(x)在(0,+∞)上单调递减,p(x)<0,则h'(x)<0,所以h(x)在(0,+∞)上单调递减,所以h(3.1)>h(4.1),即>,所以b>c. 方法二　由于ln x≤x-1(重要二级结论,可尝试证明),则ln≤-1,所以ln x≥1-,从而ln(x+1)≥1-=,所以-ln(x+1)≤(当且仅当x=0时取等号),所以h'(x)<0,从而h(x)在(0,+∞)上单调递减,所以h(3.1)>h(4.1),即>,所以b>c. 9.ACD　由f(x)=x3+kx2+2,得f'(x)=3x2+2kx=3x(x+). A(√)当k>3时,令f'(x)=0得x=-或x=0,当x<-时,f'(x)>0;当-<x<0时,f'(x)<0;当x>0时,f'(x)>0.所以f(x)有两个极值点. B(✕)当k=3时,f(x)=x3+3x2+2,f'(x)=3x(x+2),f'(-1)≠0. C(√)当k<0时,若x∈(-∞,0),则f'(x)=3x(x+)>0,所以f(x)在(-∞,0)上单调递增,因为k-1<k<0,所以f(k-1)<f(k). D(√)当k=-3时,f(x)=x3-3x2+2,因为f(2-x)+f(x)=[(2-x)3-3(2-x)2+2]+x3-3x2+2=0,所以曲线y=f(x)关于点(1,0)中心对称( 函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称⇔f(a+x)+f(a-x)=2b⇔2b-f(x)=f(2a-x)). 10.AD　A(√)对f(x)=(x+1)ex求导,可得f'(x)=ex+(x+1)ex=(x+2)ex.令f'(x)=0,即(x+2)ex=0,因为ex>0恒成立,所以x+2=0,解得x=-2.当x<-2时,x+2<0,ex>0,则f'(x)<0,f(x)单调递减;当x>-2时,x+2>0,ex>0,则f'(x)>0,f(x)单调递增. B(✕)令f(x)=(x+1)ex=0,因为ex>0恒成立,所以x+1=0,解得x=-1,即函数f(x)只有一个零点. C(✕)函数g(x)=f(x)-a有两个零点,即y=f(x)与y=a的图象有两个交点.由前面分析可知f(x)在x=-2处取得极小值f(-2)=-,且当x→-∞时,f(x)→0,当x→+∞时,f(x)→+∞,所以当-<a<0时,y=f(x)与y=a的图象有两个交点. D(√)由f(x)的单调性可知,f(x)在x=-2处取得最小值-.当x→+∞时,f(x)→+∞,所以函数f(x)的值域是[-,+∞). 11.ABD　A(√)F(x)=exf(x),则F(x)的定义域为R,由f(-x)=e2xf(x),得e-xf(-x)=exf(x),即F(-x)=F(x),所以函数F(x)为偶函数. B(√)由2f(x)+f'(x)=2x+1-e-2x,得2e2xf(x)+e2xf'(x)=(2x+1)e2x-1,即[e2xf(x)]'=(2x+1)e2x-1,所以[f(-x)]'=(2x+1)e2x-1,则-f'(-x)=(2x+1)e2x-1,得-f'(x)=(1-2x)e-2x-1,所以2f(x)=2x+1-e-2x-f'(x)=2x(1-e-2x),得f(x)=x(1-e-2x),f(0)=0. C(✕)exf(x)+=xex(1-e-2x)+=xex-+=xex,当x∈(1,+∞)时,函数g(x)=xex单调递增,又g(1)=e,所以g(x)>g(1),即exf(x)+>e. D(√)方程-(x-a)2=0,即e-2x=1-(x-a)2,方程有两个根,等价于函数y=e-2x与函数y=1-(x-a)2的图象有两个交点.易知函数y=e-2x在R上单调递减,函数y=1-(x-a)2的图象是开口向下的抛物线,对称轴方程为x=a,且x>a时函数y=1-(x-a)2单调递减,若方程-(x-a)2=0有两个根x1,x2,不妨设x1<x2,则有x1<a<x2,此时>,即1-(x1-a)2>1-(x2-a)2.若x1<a<x3且x1+x3=2a,则有1-(x1-a)2=1-(x3-a)2,所以1-(x3-a)2>1-(x2-a)2,所以x3<x2,得x1+x2>2a. 12.(3,+∞)　根据极值点求参数 思路导引　求出函数f(x)的导数,将问题转化为f'(x)=0存在大于1的根,分离参数并结合二次函数性质即可求得答案. 由题意知f(x)=ln(2x)++2x的定义域为(0,+∞),则f'(x)=-+2=,由f(x)=ln(2x)++2x存在大于1的极值点,可知f'(x)=0存在大于1的根,即2x2+x-a=0存在大于1的根,即a=2x2+x存在大于1的根,而当x>1时,y=2x2+x随x的增大而增大,故y>3,故a>3,即a的取值范围是(3,+∞). 13.[2kπ,2kπ+](k∈Z)　由题意得f'(x)=2sin xcos x-2sin x=2sin x(cos x-1).由f'(x)≤0,得2kπ≤x≤2kπ+π,k∈Z,即f(x)的单调递减区间为[2kπ,2kπ+π](k∈Z).设g(x)=f'(x)=2sin xcos x-2sin x,则g'(x)=2cos2x-2sin2x-2cos x=4cos2x-2cos x-2.由g'(x)≤0,得4cos2x-2cos x-2≤0,即(2cos x+1)·(cos x-1)≤0,解得2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z,即f'(x)的单调递减区间为[2kπ-,2kπ+](k∈Z).由“缓减区间”的定义可得f(x)的“缓减区间”为[2kπ,2kπ+](k∈Z). 14.　如图是四棱锥形状包装盒的直观图,连接AC,BD,设AC∩BD=O,连接PO,易知PO⊥平面ABCD,设AB,BC的中点分别为E,F,连接PE,PF,OE,设AB=a,BC=b,PO=h,其中a>b,则PE==,且2PE+BC=4,所以2+b=4,整理得h2=4-2b,所以b=,同理2PF+AB=2,所以2+a=2,整理得h2=7-a,所以 a=,所以VP-ABCD=abh=××h=(7-h2)(4-h2)h=(h5-11h3+28h),因为a>0,b>0,所以h∈(0,2).令g(h)=h5-11h3+28h,h∈(0,2),则g'(h)=5h4-33h2+28=(5h2-28)(h2-1),因为5h2-28<0,所以当0<h<1时g'(h)>0,当1<h<2时g'(h)<0,所以g(h)在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,所以当h=1时g(h)取得最大值,即g(h)max=g(1)=18,所以包装盒容积的最大值为×18=(cm3). 15.【解析】(1)易知f'(x)=x2-4x+m, 依题意f'(1)=12-4×1+m=0,解得m=3.(3分) 此时f'(x)=x2-4x+3=(x-1)(x-3), 当x<1或x>3时,f'(x)>0;当1<x<3时,f'(x)<0. 即函数f(x)在(-∞,1),(3,+∞)上单调递增,在(1,3)上单调递减, 因此函数f(x)在x=1时取得极值(关键步骤:将求出的参数代入题中进行检验,此步骤不可省略), 所以m=3.(6分) (2)由(1)得函数f(x)在(2,3)上单调递减,在(3,4)上单调递增. 因为f(2)=+n,f(4)=+n,所以在[2,4]上,f(x)max=+n, 由题意可得+n>n2,解得<n<, 所以n的取值范围为(,).(13分) 16.【解析】(1)由f(x)=a-ln x=a-ln x(a>0), 得f'(x)=a·-, 所以f'(x)=.(3分) (2)由题意得,f'(x)≥0在[1,+∞)上恒成立, 即a≥在[1,+∞)上恒成立,所以当x∈[1,+∞)时,a≥()max.(5分) 因为y=在[1,+∞)上单调递减,所以y=在[1,+∞)上的最大值为=2, 所以a≥2,即实数a的取值范围为[2,+∞).(8分) (3)由题意得,f'(x)<0在[2,4]上有解,即a<在[2,4]上有解.(9分) 因为y=在[2,4]上单调递减, 所以当x∈[2,4]时,1≤≤, 所以0<a<, 即实数a的取值范围为(0,).(15分) 17.【解析】(1)当a=1时,f(x)=x-ln(1+x),x∈(-1,+∞),f'(x)=, 当x∈(-1,0)时,f'(x)=<0,当x∈(0,+∞)时,f'(x)=>0, 所以f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,f(x)有极小值f(0)=0,无极大值.(6分) (2)f'(x)=1-=( 需要对a分类,讨论函数f(x)在区间(-1,0)上的零点情况), 当a≤0时,f'(x)=1->0在(-1,0)上恒成立,所以f(x)在(-1,0)上单调递增, 又f(0)=0,所以f(x)在(-1,0)上无零点.(9分) 当a≥1时,由于x∈(-1,0),故f'(x)=<0, 所以f(x)在(-1,0)上单调递减,又f(0)=0, 所以f(x)在(-1,0)上无零点.(11分) 当0<a<1时,若x∈(-1,a-1),则f'(x)=<0,故f(x)在(-1,a-1)上单调递减, 若x∈(a-1,0),则f'(x)=>0,故f(x)在(a-1,0)上单调递增, 所以f(a-1)<f(0)=0.(13分) 又因为当x→-1时,f(x)=x-aln(1+x)→+∞, 所以存在x0∈(-1,a-1),使得f(x0)=0. 综上,a的取值范围为(0,1).(15分) 18.【解析】(1)当m=时,f(x)=sin x-x+x3, 可得f'(x)=cos x-1+x2.(1分) 令g(x)=cos x-1+x2,所以g'(x)=-sin x+x. 令h(x)=-sin x+x,所以h'(x)=-cos x+1. 因为h'(x)≥0,所以h(x)在[0,+∞)上单调递增, 又因为h(0)=0,所以h(x)≥0,即g'(x)≥0, 所以g(x)在[0,+∞)上单调递增,即f'(x)在[0,+∞)上单调递增, 所以f'(x)在[0,+∞)上的最小值为f'(0)=0.(5分) (2)第一步:求导函数f'(x)的解析式 由f(x)=sin x-x+x3,可得f'(x)=cos x-1+mx2.(7分) 第二步:为确定f(x)的单调性,需要构造函数 令p(x)=cos x-1+mx2,则p'(x)=-sin x+2mx, 令n(x)=-sin x+2mx,则n'(x)=-cos x+2m.(9分) 第三步:对m进行分类,讨论函数f(x)的单调性,并判断是否满足对任意的x∈[0,+∞),有f(x)≥0 ①当m≤0时,f'(x)≤0,则f(x)在[0,+∞)上单调递减, 又因为f(0)=0,所以f(x)≤0,不满足题意;(11分) ②当m≥时,n'(x)=-cos x+2m≥0,所以n(x)(即p'(x))在[0,+∞)上单调递增, 又因为p'(0)=0,所以p'(x)≥0,所以p(x)(即f'(x))在[0,+∞)上单调递增, 又因为f'(0)=0,所以f'(x)≥0,所以f(x)在[0,+∞)上单调递增, 又因为f(0)=0,所以f(x)≥0,满足题意;(13分) ③当0<m<时,n'(x)在[0,]上单调递增, 又因为n'(0)=2m-1<0,n'()=2m>0,所以存在t∈(0,),使得n'(t)=0, 当0≤x≤t时,n'(x)≤0,所以n(x)(即p'(x))在[0,t]上单调递减, 又因为p'(0)=0,所以p'(x)≤0,所以p(x)(即f'(x))在[0,t]上单调递减, 又因为f'(0)=0,所以f'(x)≤0,所以f(x)在[0,t]上单调递减, 又因为f(0)=0,所以f(x)≤0,不满足题意.(16分) 第四步:根据以上讨论情况得出结果 综上所述,m的取值范围为[,+∞).(17分) 19.利用导数证明不等式+利用导数研究函数的单调性、零点 思路导引　(1)求出函数f(x)的导数,再按a≤0,a>0分类讨论导数值正负即得. (2)令g(x)=,把f(x)-1=0的根转化为直线y=a与g(x)=的图象有两个交点求解. (3)由(1)的信息可得x1<1<x2,构造函数h(x)=f(x)-f(2-x),x<1,利用导数探讨单调性即可推理得证. 【解析】(1)函数f(x)=ex-ax+1的定义域为R,求导得f'(x)=ex-a. 当a≤0时,恒有f'(x)>0,则函数f(x)在R上单调递增; 当a>0时,由f'(x)<0,得x<ln a,由f'(x)>0,得x>ln a, 即函数f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增.(3分) 所以当a≤0时,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞),无单调递减区间; 当a>0时,函数f(x)的单调递减区间为(-∞,ln a),单调递增区间为(ln a,+∞).(5分)  (2)方程f(x)-1=0,即ex-ax=0,当x=0时,方程不成立,则a=.(6分) 令g(x)=, 依题意,方程f(x)-1=0有两个不等实根,即直线y=a与y=g(x)的图象有两个交点( 将方程根的问题转化为两函数图象的交点问题), 求导得g'(x)=,当x<0或0<x<1时,g'(x)<0,当x>1时,g'(x)>0, 所以函数g(x)在(-∞,0),(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, 而当x<0时,g(x)<0,当x>0时,g(x)>0,且当x=1时, g(x)取得极小值g(1)=e, 作出函数y=g(x)的大致图象,如图.(9分) 观察图象,当a>e时,直线y=a与函数y=g(x)的图象有两个交点, 所以a的取值范围为(e,+∞).(11分) (3)方法一　当a=e时,f(x)=ex-ex+1,求导得f'(x)=ex-e, 由(1)知,函数f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.(12分) 由x1<x2,且f(x1)=f(x2),得x1<1<x2. 令函数h(x)=f(x)-f(2-x),x<1, 求导得h'(x)=f'(x)+f'(2-x)=ex-e+e2-x-e>2-2e=0,(14分) 则函数h(x)在(-∞,1)上单调递增,有h(x)<0,于是f(x)<f(2-x), 而x1<1,因此f(x1)<f(2-x1),即f(x2)<f(2-x1), 又2-x1>1,x2>1, 函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,所以x2<2-x1, 所以x1+x2<2.(17分) 方法二　当a=e时,f(x)=ex-ex+1, 因为f(x1)=f(x2), 所以-ex1+1=-ex2+1, 即-=e(x2-x1), 即=e. 要证x1+x2<2,即证<1,即证<e,即证>,　 令=m,=n,则x2=ln m,x1=ln n, 又x1<x2,所以0<n<m. 即证>,即证ln<=-, 即证-2ln->0.(14分) 下证-2ln->0. 构造函数h(x)=x-2ln x-,x∈[1,+∞), 所以h'(x)=1-+=(1-)2, 所以当x∈(1,+∞)时,h'(x)>0,函数h(x)单调递增. 所以当x∈(1,+∞)时,h(x)>h(1)=0. 因为m>n>0,所以>1, 所以h()=-2ln->h(1)=0,得证.(17分) 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $