导数的概念及其意义、导数的运算 专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

第五单元　导数的概念及其意义、导数的运算 【一周一测能力提升专项训练】 单项选择题 1.函数y=x2在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为k1,在[x0-Δx,x0]上的平均变化率为k2,则k1与k2的大小关系是(　　) A.k1=k2 B.k1<k2 C.k1>k2 D.k1≤k2 2.若函数y=f(x)在x=x0处可导,且=-4,则f'(x0)=(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 3.已知函数f(x)=,f'(m)=2,则m=(　　) A.-2 B.-1 C.0 D.0或-2 4.已知函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线l的方程为ax-y+2=0,且点(1,m)在l上,m+f'(2)=-4,则a=(　　) A.3 B.-3 C.4 D.-4 5.已知f(x)=x2-sin(-x),f'(x)为f(x)的导函数,则y=f'(x)的图象大致是(　　) 6.设P为曲线f(x)=ex-x+1上的点,若曲线f(x)在点P处的切线的倾斜角的取值范围是[,),则点P的横坐标的取值范围是(　　) A.[ln 2,+∞) B.(-∞,ln 2] C.[2,+∞) D.(-∞,2] 7.设函数f(x)=x3+x2+ax.若函数y=f(x)的图象在x=x0和x=x0+1处的切线互相平行,则两平行线之间距离的最大值为(　　) A. B. C. D. 8.已知f(x)=ln(ex)和g(x)=ex+1的图象有公切线l,切点分别为P(x1,y1),Q(x2,y2),则下列结论错误的是(　　) A.x1y2-x1=1 B.x1+=0 C.若点A(0,1),则∠PAQ始终为钝角 D.x2+=0 多项选择题 9.大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖,可以调节小环境的气温,好的绿化有助于降低气温日较差(一天气温的最高值与最低值之差).如图是甲、乙两地某一天的气温曲线图.假设除绿化外,其他可能影响甲、乙两地气温的因素均一致,则下列结论中正确的是(　　)  A.甲地的绿化好于乙地 B.当日6时到12时,甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率  C.当日12时到18时,甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 D.当日12时,甲、乙两地气温的瞬时变化率相同 10.已知函数f(x)=x+(x>0),直线l1与直线x=0及y=x分别交于点A,B,与f(x)图象交于点C,D,P为f(x)图象上一点,f(x)图象在点P处的切线l2与直线x=0及y=x分别交于点M,N,与x轴交于点K,若O为坐标原点,则下列结论正确的是(　　) A.A,B,C,D四点的横坐标满足xA+xB=xC+xD B.存在点P,使得|PM|·|PN|= C.存在点P,使得△OMN的面积大于4 D.存在唯一的点P,使得△OKM的面积为4 11.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,f'(x)为f(x)的导函数,f(1)f(2)≠0,f(1)+f(2)=0,且f(y)=f(x)f'(y-x)+f'(x)f(y-x),则(　　) A.f'(-1)= B.f(288)=0 C.f(1)+f(2)+…+f(20)=0 D.f'(-1)+f'(-2)+…+f'(-20)=0 填空题 12.已知f(x)=cos(2x+),g(x)=x+2,则关于x的不等式[f(x)+g(x)]'≤0的解集为　　　　.  13.【数学文化】拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一,内容为:如果函数f(x)在区间[a,b]上的图象连续不断,且在区间(a,b)上可导,那么在区间(a,b)内至少存在一点c,使得f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)成立,其中c叫做f(x)在区间[a,b]上的“拉格朗日中值点”.已知函数f(x)=x3-x2在区间[-1,m]上的拉格朗日中值点为-,则m=　　　　.  14.过点C(x0,y0)作曲线y=ex的两条切线,切点分别是A(x1,y1),B(x2,y2),且这两条切线的斜率之积为1,则-的最小值为　　　　.  解答题 15.(13分)求下列函数的导函数: (1)y=; (2)y=sin 2x+3x; (3)y=(x+1)(x+2)(x+3); (4)y=ln. 16.(15分)【高考变式】已知f(x)=f'(1)x2-x+2ln x,g(x)=ex+2x. (1)求f'(1)并写出f(x)的表达式; (2)求曲线g(x)=ex+2x在点(0,1)处的切线方程; (3)记h(x)=[f(x)+x2+x]+a,若曲线h(x)过点(0,1)的切线与(2)中切线重合,求a的值.   17.(15分)一天中,区域的居民活动类型(工作、学习和休闲)越丰富,活动地点总数越多,区域之间人口流动越频繁,其活力越高.Q市基于大数据测算城市活力,发现该市一工作日中活力度M(t)与一日中时间t(单位:时)的关系可以用函数M(t)=来刻画,其中t∈(0,24],M(6)=M(24),正午12点时,该市的活力度为20,是该工作日内活力度的最高值. (1)求实数m,n的值; (2)求Q市该工作日内活力度不大于10的时长; (3)证明:Q市该工作日内活力度升高时所对应瞬时变化率的绝对值恒大于活力度降低时所对应瞬时变化率的绝对值(附:ln 2≈0.69). 18.(17分)【探索创新】已知函数f(x)=ax,其中a>1,设函数f(x)的反函数为g(x). (1)记函数f(x)的导函数为f'(x),函数g(x)的导函数为g'(x),求f'(x),g'(x). (2)若存在x1,x2满足f'(x1)=g'(x2),试探究x1+g(x2)+的值是否为定值.若是,求出该定值;若不是,请说明理由. (3)若函数f(x)与g(x)的图象有两个交点,求a的取值范围.   19.(17分)已知曲线f(x)=ex在点(x0,)处的切线为l,设fi(x)=,i=1,2,…,n-1,n∈N*且n≥2. (1)设x0是方程f(x)=的一个实根,证明:l为曲线f(x)=ex和y=ln x的公切线; (2)当x∈[-1,1]时,对任意的n∈N*且n≥2,都有f1(x)f2(x)…fn-1(x)≥,求m的最小值. 参考答案 1.C　分别计算平均变化率k1,k2,利用作差法即可判断.由题意有k1===2x0+Δx,k2==2x0-Δx,所以k1-k2=2Δx>0,即k1>k2. 2.D　因为=-4,所以=-=2,又函数y=f(x)在x=x0处可导,所以f'(x0)==2. 3.D　因为f(x)==1-,所以f'(x)=,则f'(m)==2,解得m=0或-2. 4.B　依题意,有( 处理与切线有关的问题,关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出有关参数的方程:①切点处的导数是切线的斜率;②切点在切线上;③切点在曲线上),解得 5.A　因为f(x)=x2-sin(-x)=x2+cos x,所以f'(x)=x-sin x,则f'(x)为奇函数,排除B,D.当x=时,f'()=×-1<0,排除C,故选A. 6.A　f'(x)=ex-1,设点P的横坐标为x0,曲线f(x)在点P处的切线的倾斜角为α,因为α∈[,),所以tan α≥1,所以-1≥1,解得x0≥ln 2,所以点P的横坐标的取值范围是[ln 2,+∞). 7.C　求出函数f(x)的导数,利用导数的几何意义及两直线平行求出切线方程,进而求出最大距离.函数f(x)=x3+x2+ax,求导得f'(x)=3x2+3x+a,依题意,f'(x0+1)=f'(x0),即3(x0+1)2+3(x0+1)+a=3+3x0+a,解得x0=-1,则两条切线的斜率为f'(0)=a(两直线平行,斜率相等,也可用f'(-1)=a计算斜率),对应的两个切点为(-1,-a),(0,0),两切线方程为y-(-a)=a(x+1)和y=ax,即ax-y+=0和ax-y=0,切线ax-y+=0过定点A(0,),切线ax-y=0过定点O(0,0),所以两平行线之间距离的最大值为|OA|=. 8.D　公切线+求在曲线上一点处的切线方程 思路导引　通过对f(x)=ln(ex)和g(x)=ex+1求导,根据导数的几何意义,可分别求得公切线方程,通过斜率和截距相等建立方程组,可求得x1,x2的关系,逐项代入化简,即可进行判断. 设公切线l的斜率为k,由f(x)=ln(ex)得f'(x)=,又切点为P(x1,y1),则k=,y1=ln(ex1),所以切线方程为y-ln(ex1)=(x-x1),即y=x+ln(ex1)-1.由g(x)=ex+1得g'(x)=ex,切点为Q(x2,y2),则k=,y2=+1,所以切线方程为y-(+1)=(x-x2),即y=·x-x2++1.又直线l是f(x)=ln(ex)和g(x)=ex+1图象的公切线,所以整理得x2=-ln x1, x1ln x1=ln x1+x1+1,当x1=1时,经验证x1ln x1≠ln x1+x1+1,所以x1≠1. A(√)x1y2-x1=x1(y2-1)=x1(+1-1)=x1=1. B(√)x1+=x1+===0. C(√)=(x1,y1-1)=(x1,ln(ex1)-1)=(x1,ln x1),=(x2,y2-1)=(x2,),则·=x1x2+ln x1·=-x1ln x1+ln x1=(-x1)ln x1,当0<x1<1时,-x1>0,ln x1<0;当x1>1时,-x1<0,ln x1>0.又x1≠1,所以·<0,所以∠PAQ始终为钝角. D(✕)x2+=-ln x1+==≠0. 9.AB　A(√)由题图可知,甲地气温的日较差明显小于乙地气温的日较差,所以甲地的绿化好于乙地. B(√)由题图可知,当日6时到12时,甲、乙两地气温的平均变化率为正数,且乙地气温的变化量更大,所以甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率. C(✕)由题图可知,当日12时到18时,甲、乙两地气温的平均变化率为负数,且乙地气温的变化量的绝对值更大,所以甲地气温的平均变化率大于乙地气温的平均变化率. D(✕)由题图可知,两曲线在当日12时处的切线斜率不相等,即当日12时,甲、乙两地气温的瞬时变化率不相同. 10.AD　导数的运算+导数的几何意义 思路导引　对于A,设l1:y=kx+b,可以分别求得A,B的横坐标,利用根与系数的关系可计算出C,D两点的横坐标之和,即可判断;对于B,由A可得P为MN中点,故|PM|·|PN|=|PM|2,求出|PM|,即可判断;对于C,根据f(x)图象在P处的切线方程可得M,N的坐标,继而可以表示出△OMN的面积,即可判断;对于D,根据f(x)图象在P处的切线方程可得K的坐标,继而可以表示出△OKM的面积,即可判断. A(√)设直线l1:y=kx+b,易知xA=0,联立得xB=,则xA+xB=.联立得(k-1)x2+bx-2=0,则xC+xD=,所以xA+xB=xC+xD. B(✕)由A易知xP+xP=xM+xN,即xP=,又P,M,N均在切线l2上,所以P为MN中点,故|PM|·|PN|=|PM|2,设点P(x0,x0+)(x0>0),则f'(x0)=1-(x0>0),所以f(x)=x+(x>0)的图象在点P处的切线方程为y-x0-=(1-)(x-x0)　(1),将x=0代入(1)式得y=,M的坐标为(0,),|PM|2=+(x0+-)2=2+-4≥2-4=4-4>4(1.4-1)=1.6>. C(✕)将y=x代入(1)式得点N(2x0,2x0),所以△OMN的面积为|OM|·|ON|sin=··2x0·=4. D(√)将y=0代入(1)式得K(,0),△OKM的面积为|OM|·|OK|=··||=,当0<x0<时,=>4,当x0>时,=,令=4,得x0=2,即存在唯一的点P(2,3),使得△OKM的面积为4. 11.BC　A(✕)令x=1,y=2,则f(2)=f(1)f'(1)+f'(1)f(1)=2f'(1)f(1),∵f(1)f(2)≠0,f(1)+f(2)=0,∴2f'(1)=-1,解得f'(1)=-.∵f(x)为奇函数,∴-f(-x)=f(x),∴f'(-x)=f'(x),∴f'(x)为偶函数,∴f'(-1)=f'(1)=-. B(√)令y=x+1,则f(x+1)=f(x)f'(1)+f'(x)f(1),∴f(1-x)=f(-x)f'(1)+f'(-x)f(1)=-f(x)f'(1)+f'(x)f(1),两式作差得f(x+1)-f(1-x)=2f(x)f'(1)=-f(x),又-f(1-x)=f(x-1),∴f(x+1)=-f(x)-f(x-1),∴f(x+3)=-f(x+2)-f(x+1)=f(x+1)+f(x)-f(x+1)=f(x),∴f(x)是周期为3的周期函数.∵f(x)为R上的奇函数,∴f(0)=0,∴f(288)=f(96×3)=f(0)=0. C(√)∵f(1)+f(2)=0,f(3)=f(0)=0,∴f(1)+f(2)+f(3)=0,∴f(1)+f(2)+…+f(20)=6[f(1)+f(2)+f(3)]+[f(1)+f(2)]=0. D(✕)∵f(x+3)=f(x),∴f'(x+3)=f'(x),∴f'(x)是周期为3的周期函数,又f(x+1)=f(x)f'(1)+f'(x)f(1),∴令x=0,则f(1)=f(0)f'(1)+f'(0)f(1)=f'(0)f(1),∴f'(0)=1,∴f'(3)=f'(0)=1.又f'(1)=-,f(3)=f(1)f'(2)+f'(1)f(2)=f(1)f'(2)-f'(1)f(1)=0,f(1)f(2)≠0,∴f(1)≠0,∴f'(2)=f'(1)=-,∴f'(1)+f'(2)+f'(3)=0,∴f'(-1)+f'(-2)+…+f'(-20)=f'(1)+f'(2)+…+f'(20)=[f'(1)+f'(2)+f'(3)]×6+[f'(1)+f'(2)]=-1. 12.{x|kπ≤x≤+kπ,k∈Z}　f(x)=cos(2x+),g(x)=x+2,则f'(x)=-2sin(2x+),g'(x)=1,由[f(x)+g(x)]'≤0,可得-2sin(2x+)+1≤0,即sin(2x+)≥,所以+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,解得kπ≤x≤+kπ,k∈Z,即不等式的解集为{x|kπ≤x≤+kπ,k∈Z}. 13.1　函数f(x)=x3-x2,求导得f'(x)=3x2-2x,则f'(-)=3×(-)2-2×(-)=1.依题意,f(m)-f(-1)=f'(-)[m-(-1)],即m3-m2+2=m+1,整理得(m+1)(m-1)2=0,而m>-1(注意题干隐含条件),所以m=1. 14.　求在曲线上一点处的切线方程+基本不等式 思路导引　根据题意表示出两切点处的切线方程,由两条切线的斜率之积为1,得到x1与x2的关系,联立两切线的方程,并代入x1与x2的关系求出x0,y0,对-化简,利用基本不等式可求其最小值. ∵y'=ex,∴在A(x1,y1)处的切线方程l1:y=(x-x1)+,在B(x2,y2)处的切线方程l2:y=(x-x2)+,∵这两条切线的斜率之积为1,∴·==1,∴x2=-x1.∵两条切线相交于点C(x0,y0),∴联立两条切线的方程,解得x0=-1=-1,y0=(-1-x1)+=,即-=-=+≥2=,当且仅当==时取等号,故-的最小值为. 15.【解析】(1)因为y==,所以y'=-=-.(3分) (2)y'=(sin 2x+3x)'=(sin 2x)'+(3x)'=cos 2x·(2x)'+3xln 3=2cos 2x+3xln 3.(6分)  (3)方法一　y'=[(x+1)(x+2)(x+3)]'=[(x+1)(x+2)]'(x+3)+(x+1)(x+2)(x+3)'=(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)=(2x+3)(x+3)+x2+3x+2=3x2+12x+11.(9分) 方法二　因为(x+1)(x+2)(x+3)=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6, 所以y'=[(x+1)(x+2)(x+3)]'=(x3+6x2+11x+6)'=3x2+12x+11.(9分) (4)令t=, 则t'===,所以y'=·=.(13分) 16.【解析】(1)由f(x)=f'(1)x2-x+2ln x,求导可得f'(x)=2f'(1)x-1+,(2分) 由f'(1)=2f'(1)-1+2,解得f'(1)=-1,(4分) 则f(x)=-x2-x+2ln x.(5分)  (2)由g(x)=ex+2x得g'(x)=ex+2,故曲线g(x)=ex+2x在(0,1)处的切线斜率k=e0+2=3, 所以曲线g(x)=ex+2x在(0,1)处的切线方程为y-1=3(x-0),即y=3x+1.(10分) (3)h(x)=[f(x)+x2+x]+a=ln x+a,求导可得h'(x)=,(12分) 令h'(x)==3,解得x=.(13分) 方法一　将x=代入切线方程y=3x+1,可得y=2,故曲线h(x)过点(0,1)的切线的切点坐标为(,2),代入h(x)得h()=ln +a=2, 解得a=2+ln 3.(15分)  方法二　将x=代入h(x)得h()=ln +a,故曲线h(x)过点(0,1)的切线的切点坐标为(,ln +a),又曲线h(x)过点(0,1)的切线与(2)中切线重合,所以=3,解得a=2+ln 3.(15分)  17.【解析】(1)由已知得M(6)=6m+5-6m=5,M(12)=12m+5-6m=6m+5=20,则m=,(2分) M(24)=M(12)·e-12n=20e-12n=5,解得n=.(4分) (2)由(1)得M(t)= 0<t<6时显然满足要求, 6≤t≤12时,令t-10≤10,得6≤t≤8,8-6=2, 12<t≤24时,令20≤10,解得18≤t≤24,24-18=6.(8分) 综上,6+2+6=14,即该工作日内活力度不大于10的时长为14小时.(9分) (3)该工作日内活力度升高时所对应瞬时变化率为.(10分) 活力度降低时,M(t)=20, 故活力度降低时所对应瞬时变化率为M'(t)=-,12<t≤24, 所以|M'(t)|=<=≈=2.3<.(15分) 18.基本初等函数的导数公式+已知切线求参数 思路导引　(1)由题设知g(x)=logax,对f(x),g(x)求导可得; (2)根据f'(x1)=g'(x2)得x1=-logax2-2loga(ln a),化简x1+g(x2)+即可; (3)将问题转化为f(x)的图象与直线y=x在第一象限有两个交点,研究f(x)的图象与直线y=x相切的情况求得a=,结合指数函数的图象与性质确定参数范围. 【解析】(1)f(x)=ax,则f'(x)=axln a.(1分)  由题设知g(x)=logax,则g'(x)=.(3分) (2)若f'(x1)=g'(x2),则ln a=⇒x1=loga=-logax2-2loga(ln a), 所以x1+g(x2)+=-logax2-2loga(ln a)+logax2+2loga(ln a)=0, 即x1+g(x2)+的值是定值0.(8分) (3)由a>1,f(x),g(x)的图象关于y=x对称,知要使f(x)与g(x)的图象有两个交点, 只需f(x)的图象与直线y=x在第一象限有两个交点即可.(10分) 由(1)知f'(x)=axln a, 若f(x)的图象与直线y=x相切且切点为(m,m),则⇒⇒ln m=1, 所以m=e,则a=.(12分) 结合指数函数的图象与性质知, 若1<a<,则f(x)的图象与直线y=x在第一象限有两个交点;(14分) 若a>,则f(x)的图象与直线y=x在第一象限无交点.(16分) 综上,a的取值范围是(1,).(17分) 19.【解析】(1)第一步:根据导数的几何意义求出曲线f(x)=ex在点(x0,)处的切线l的方程 根据题意,切线l的方程为y-=(x-x0),即y=x-x0+.(2分) 第二步:求出曲线y=ln x的斜率为的切线方程 设曲线y=ln x在点(x1,y1)处的切线斜率为, 则=,x1=,y1=-x0,即切点为(,-x0), 所以曲线y=ln x在点(,-x0)处的切线方程为y+x0=(x-),即y=x-x0-1.(5分) 第三步:证明两切线重合 因为x0为方程f(x)=的一个实根,所以=, 所以-x0+=(1-x0)=(1-x0)=-1-x0, 所以这两条切线重合,即l为曲线f(x)=ex和y=ln x的公切线.(7分) (2)因为fi(x)=,i=1,2,…,n-1,n∈N*且n≥2,所以对x∈[-1,1],f1(x)f2(x)…fn-1(x)=…≥e-m恒成立, 即对x∈[-1,1],≥e-m恒成立, 所以对x∈[-1,1],-m≤()x+()x+…+()x恒成立.(11分) 因为y=()x在x∈[-1,1]上单调递减,i=1,2,…,n-1, 所以y=()x+()x+…+()x在x∈[-1,1]上单调递减, 所以当x=1时,函数y=()x+()x+…+()x取最小值, 所以[()x+()x+…+()x]min=++…+=, 即对任意n∈N*且n≥2,-m≤恒成立,(15分) 显然当n=2时,()min=,所以-m≤,即m≥-, 所以m的最小值为-.(17分) 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $