第五单元导数的概念及其意义、导数的运算一周一测基础知识专项训练-2025-2026学年数学人教A版选择性必修第二册

第五单元　导数的概念及其意义、导数的运算 【一周一测基础知识专项训练】 单项选择题 1.[2025慈溪中学、余姚中学等校高二期中联考]函数y=x2在区间[1,1+Δx]上的平均变化率是(　　) A.2 B.2x C.2+Δx D.2+(Δx)2 2.[2025盐城中学高二期中]已知f'(2 025)=1,则=(　　) A.- B. C.-2 D.2 3.[2025邢台一中高二月考]函数f(x)=x3e2x的图象在点(1,f(1))处的切线的斜率为(　　) A.4e2 B.5e2 C.6e2 D.8e2 4.[2025江西省萍乡市高二期中]已知f(x)=-,若f'(0)=,则f(3)=(　　) A.- B.-1 C. D.1 5.【模块综合】[2025武汉二中、武汉外国语学校等校高二期中]设函数f(x)=x2+ax的导函数f'(x)=2x+1,则数列{}(n∈N*)的前100项和是(　　) A. B. C. D. 6.[2025东莞外国语学校期中]如图是函数f(x)的部分图象,记f(x)的导数为f'(x),则下列选项中值最大的是(　　)  A.f(3) B.3f'(3) C.f(-14) D.f'(8) 7.[2024全国甲卷理]设函数f(x)=,则曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　) A. B. C. D. 8.[2025成都外国语学校高二期中]函数f(x)=ln x图象上一点P到直线y=的最短距离为(　　) A. B. C. D. 多项选择题 9.【情境创新】[2025北京市朝阳区高二期末改编]建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用,提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内,甲、乙两个水库的蓄水量W与时间t的关系如图所示,则下列叙述中正确的是(　　) A.在[0,t3]这段时间内,甲、乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B.在[t1,t2]这段时间内,甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率 C.甲水库在t2时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在t2时刻蓄水量的瞬时变化率 D.乙水库在t1时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在t2时刻蓄水量的瞬时变化率 10.【探索新定义】[2025广州大学附中高二月考]若函数y=f(x)的图象上至少存在两个不同的点P,Q,使得曲线y=f(x)在这两点处的切线垂直,则称函数y=f(x)为“垂切函数”.下列函数中为“垂切函数”的是(　　) A.y=x2 B.y=ex C.y=xln x D.y=cos x 11.[2025南师附中月考]已知定义在R上的函数f(x)和g(x),g'(x)是g(x)的导函数且定义域为R.若g(x)为偶函数,f(x)+g'(x)-2=0,f(x)-g'(4-x)-2=0,则下列选项正确的是(　　) A.g'(-4)=0 B.f(4)=2 C.g'(-2)+f(2)=4 D.f(1)+f(3)=4 填空题 12.[2025河北武邑中学调研]已知函数f(x)=x2f'()+ln x-9,则f'(1)=　　　　.  13.[2025河南省实验中学高二月考]已知点P在曲线f(x)=-x2+2x+1上,α为曲线f(x)在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围为　　　　.  14.[2025江苏省卓越联盟月考]已知直线l:x-y+b=0与曲线y=ex+1,y=-x2+mx(m>0)都相切,则b-2m的值为　　　　.  解答题 15.(13分)[2025陕西省西安市新城区高二期末改编]求下列函数的导函数: (1)f(x)=; (2)f(x)=(x+1)lg(x+1)-; (3)f(x)=tan x+ln(-x). 16.(15分)【情境创新】[2025石家庄精英中学高二月考改编]2025年3月30日00时05分,我国在文昌航天发射场使用长征七号改运载火箭,成功将通信技术试验卫星十六号发射升空,卫星顺利进入预定轨道,发射任务获得圆满成功.若竖直向上发射的火箭熄火时上升速度达到100 m/s,此后其位移H(单位:m)与时间t(单位:s)近似满足函数关系H=100t-5t2. (1)分别求火箭熄火后在[0,2],[2,4]这些时间段内的平均速度; (2)求火箭熄火后在t=2时的瞬时速度﹔ (3)熄火后多长时间火箭上升速度为0. 17.(15分)[2025江苏省如东一中、宿迁一中、徐州中学阶段测试]已知函数f(x)=ln(ax+1)-x为R上的偶函数,a>0且a≠1. (1)求a; (2)求f'(x); (3)若g(x)=ef(x),求g(x)的图象在x=1处的切线方程. 18.(17分)[2025金陵中学高二期末]已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)与g(x)=x3+ax的图象都过点(1,0),且在点(1,0)处有公切线. (1)求f(x),g(x)的表达式; (2)求点(1,0)处的公切线方程; (3)过点(0,1)作曲线y=f(x)的切线,使切点P在第三象限,求点P的坐标. 19.(17分)【探索新定义】[2025上海市奉贤区二模]设函数y=f(x)的定义域是R,它的导数是f'(x).若存在常数m(m∈R),使得f(x+m)=-f'(x)对一切x∈R恒成立,那么称函数y=f(x)具有性质P(m). (1)求证:函数y=ex不具有性质P(m). (2)判断函数y=sin x是否具有性质P(m).若具有,求出m的取值集合;若不具有,请说明理由. 参考答案 1.C　直接根据平均变化率的概念求解即可.==2+Δx. 2.D　根据导数的定义可知,=2×=2×=2f'(2 025)=2(自变量的改变量是2Δx而不是Δx). 3.B　求导,根据导数的几何意义,将x=1代入即可得答案.因为f(x)=x3e2x,所以f'(x)=3x2e2x+2x3e2x,所以f'(1)=5e2,所以函数f(x)=x3e2x的图象在点(1,f(1))处的切线的斜率为5e2. 4.D　利用导数的求导法则得出f'(x),利用f'(0)=可求出a,再求f(3)即可.由f(x)=-,得f'(x)=+,则f'(0)=+a=,得a=4,则f(x)=-,所以f(3)=-=1. 5.C　流程化思维解题　函数f(x)=x2+ax→f'(x)=2x+a a=1→f(x)=x2+x→===- 数列{}(n∈N*)的前100项和为++…+=-+-+…+-=1-=. 6.A　由题图可知,f(-14),f'(8)为负数,f(3),3f'(3)为正数,故不选f(-14),f'(8).设A(3,f(3)),显然直线OA的斜率kOA大于f'(3),则>f'(3),可转化为f(3)>3f'(3),所以f(3)的值最大. 7.A　f'(x)=,所以f'(0)=3,所以曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程为y-1=3(x-0),即3x-y+1=0,切线与两坐标轴的交点分别为(0,1),(-,0),所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为×1×=. 8.C　设与直线y=平行且与曲线f(x)=ln x相切的直线的切点坐标为(x0,ln x0).因为f'(x)=,所以=,解得x0=1,则切点坐标为(1,0).故最短距离为点(1,0)到直线y=的距离,即为=. 9.BD　结合瞬时变化率与平均变化率及图象分析即可得解. A(✕)由题图可知,在[0,t3]这段时间内,甲水库蓄水量的平均变化率小于0,乙水库蓄水量的平均变化率大于0. B(√)由题图可知,在[t1,t2]这段时间内,甲水库蓄水量的平均变化率小于0,乙水库蓄水量的平均变化率大于0,故甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率. C(✕)由题图可知,甲水库在t2时刻蓄水量的瞬时变化率小于0,乙水库在t2时刻蓄水量的瞬时变化率大于0,故甲水库在t2时刻蓄水量的瞬时变化率小于乙水库在t2时刻蓄水量的瞬时变化率. D(√)由题图可知,乙水库在t1时刻蓄水量上升比在t2时刻蓄水量上升快,故乙水库在t1时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在t2时刻蓄水量的瞬时变化率. 10.ACD　由题意可知,导函数中至少存在两个点,它们的函数值相乘为-1,这样的函数才是“垂切函数”,求导相乘,逐项判断即可. A(√)y'=2x,则存在x1,x2,使4x1x2=-1成立. B(✕)y'=ex>0,则不存在x1,x2,使=-1成立. C(√)y'=ln x+1,存在x1=1,x2=e-2,使(ln x1+1)(ln x2+1)=-1成立. D(√)y'=-sin x,存在x1=,x2=,使sin x1sin x2=-1成立. 11.ABD　A(√)因为g(x)为偶函数,所以g(-x)=g(x),两边求导得-g'(-x)=g'(x),所以g'(x)为奇函数(偶函数的导数是奇函数).因为f(x)+g'(x)-2=0,f(x)-g'(4-x)-2=0,所以f(x)-2=-g'(x)=g'(4-x),则g'(-x)=g'(4-x),所以g'(x)=g'(4+x),即g'(x)的周期T=4,因为g'(x)为定义域为R的奇函数,所以g'(0)=g'(4)=0,则g'(-4)=-g'(4)=0. B(√)在f(x)+g'(x)-2=0中,令x=4,可得f(4)+g'(4)-2=0,所以f(4)=2. C(✕)在-g'(x)=g'(4-x)中,令x=2,可得g'(2)=-g'(2),则g'(2)=0,g'(-2)=-g'(2)=0;在f(x)-2=-g'(x)中,令x=2,可得f(2)-2=-g'(2)=0,则f(2)=2,所以g'(-2)+f(2)=2. D(√)在f(x)+g'(x)-2=0中,令x=1,得f(1)+g'(1)-2=0　①;在f(x)-g'(4-x)-2=0中,令x=3,得f(3)-g'(1)-2=0　②.①②两式相加得f(1)+f(3)-4=0,即f(1)+f(3)=4. 12.19　对f(x)求导,注意f'(),进而可求f'(1).∵f'(x)=2f'()x+,∴令x=,可得f'()=9,∴f'(x)=18x+,∴f'(1)=19. 13.[)　函数f(x)=-x2+2x+1的定义域为R,求导得f'(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1,当且仅当x=1时取等号,由α为曲线f(x)在点P处的切线的倾斜角,得tan α≥1,则≤α<),所以α的取值范围为[,). 14.-4　先设直线l与两曲线的切点分别为(x1,y1)和(x2,y2),再结合导数的几何意义和切点既在切线上又在曲线上即可依次列出方程组计算求解.设直线l与曲线y=ex+1的切点为(x1,y1),与曲线y=-x2+mx(m>0)的切点为(x2,y2).对y=ex+1求导得y'=ex+1,所以⇒即直线l与曲线y=ex+1的切点为(-1,1),所以-1-1+b=0⇒b=2.对y=-x2+mx(m>0)求导得y'=-2x+m(m>0),所以⇒或(舍去),所以b-2m=2-2(1+2)=-4. 15.【解析】(1)f'(x)===.(3分) (2)f'(x)=(x+1)'lg(x+1)+(x+1)[lg(x+1)]'-()'=lg(x+1)+-=lg(x+1)+-.(8分) (3)f(x)=+ln(-x),则f'(x)=+·(-x)'=+.(13分) 16.【解析】(1)由位移H与时间t近似满足函数关系H=100t-5t2, 得火箭熄火后在[0,2]内的平均速度为==9(m/s);(2分) 在[2,4]内的平均速度为==7(m/s).(5分) (2)由函数H(t)=100t-5t2,可得H'(t)=100-10t, 可得H'(2)=100-10×2=80, 所以火箭熄火后在t=2时的瞬时速度为80 m/s.(10分)  (3)由H'(t)=100-10t,令H'(t)=0,即100-10t=0,解得t=10, 所以熄火后10 s火箭上升速度为0.(15分)  17.【解析】(1)因为函数f(x)=ln(ax+1)-x为R上的偶函数,所以f(-x)=f(x), 当x=1时,f(-1)=f(1),即ln(a-1+1)+1=ln(a+1)-1, ln(a+1)-ln(a-1+1)=2,ln=ln a=2,解得a=e2,(4分) 此时f(x)=ln(e2x+1)-x=ln=ln(ex+), 经检验,f(x)为R上的偶函数(检验不可少), 所以a=e2.(6分) (2)由(1)得f(x)=ln(e2x+1)-x,则f'(x)=-1=.(9分) (3)由(1)得f(x)=ln(ex+),所以g(x)==ex+,(10分) 则g'(x)=ex-,则g'(1)=e-.(12分) 又g(1)=e+, 所以g(x)=ef(x)的图象在x=1处的切线方程为y-(e+)=(e-)(x-1),即y=(e-)x+.(15分) 18.【解析】(1)由已知可得得a=-1,b+c=1, 则f(x)=-x2+bx+c,g(x)=x3-x, f'(x)=-2x+b,g'(x)=3x2-1.(3分) 又在点(1,0)处有公切线,故可得f'(1)=g'(1), 即-2+b=2,得b=4,则c=-3, 所以f(x)=-x2+4x-3,g(x)=x3-x.(6分) (2)由(1)知,f'(1)=2, 所以点(1,0)处的公切线方程为y=2(x-1),即y=2x-2.(9分) (3)设切点为P(x0,y0)( 对于过某点的切线问题,一般先设切点), 则切线的斜率为k=f'(x0)=-2x0+4, 故又点P(x0,y0)在第三象限,故解得 即P(-2,-15).(17分) 19.【解析】(1)假设y=ex具有性质P(m),即ex+m=-(ex)'对一切x∈R恒成立, 则ex+m=-ex,得到em=-1,显然不存在实数m使得em=-1,所以假设错误, 因此函数y=ex不具有性质P(m).(8分) (2)假设y=sin x具有性质P(m),即sin(x+m)=-(sin x)'对一切x∈R恒成立, 即sin(x+m)=-cos x对一切x∈R恒成立,则sin xcos m+(sin m+1)cos x=0对一切x∈R恒成立, 令则m=2kπ-,k∈Z, 所以y=sin x具有性质P(m),m的取值集合为{m|m=2kπ-,k∈Z}.(17分)  1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $