4.3等比数列 专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

第三单元　等比数列 【一周一测基础知识专项训练】 单项选择题 1.[2025泰州中学高二期中]在等比数列{an}中,若a5=4,a7=8,则a11=(　　) A.-32 B.-16 C.16 D.32 2.[2025山西大学附中高二月考]等比数列{an}中,若a1+a2=2,a2+a3=8,则{an}的公比为(　　) A.± B.±2 C.2 D.4 3.[2025重庆八中月考]已知等差数列{an}的首项为1,若a1,a2,a3+1成等比数列,则a4=(　　) A.-2 B.4 C.8 D.-2或4 4.[2025兰州一中高二月考]已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=λ·2n-2,则λ=(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 5.[2025南师附中、金陵中学、南京中华中学等校联合调研]已知等比数列{an}满足a4a5a6=64,则a2a4+a6a8的最小值为(　　) A.48 B.32 C.24 D.8 6.[2025苏州中学月考]“数列{log3an}是等差数列”是“数列{an}为等比数列”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件 7.【教材变式】[2025哈尔滨三中高二期中]学生小张计划将每年的压岁钱存入银行,从2025年起,每年3月1日到银行新存入2 000元(一年定期),若年利率为1%保持不变,且每年到期存款均自动转为新的一年定期,到2035年3月1日将之前的所有存款及利息全部取回,则他可取回的钱数约为(　　) 参考数据:1.019≈1.094,1.0110≈1.105,1.0111≈1.116. A.2.0万元 B.2.1万元 C.2.2万元 D.2.3万元 8.[2025南京外国语学校高二月考]已知数列{an}满足a1=1,前n项和为Sn,an+1·an=2n(n∈N*),则S2 026等于(　　) A.22 026-1 B.3×21 013-1 C.3×21 013-2 D.3×21 013-3 多项选择题 9.[2025云南师大附中高二月考]已知正项等比数列{an}的公比为q,若a3+a4=4(a1+a2),且a3=,则(　　) A.q=3 B.a5= C.是数列{an}中的项 D.a1,a2+a3,a4成等差数列 10.[2025陕西师大附中高二月考]已知等比数列{an}的公比q=-,其前n项和记为Sn,且S6=21,则(　　) A.a4a8=-2 B.an≥a2 C.Sn≤21 D.Sn≥16 11.[2025驻马店高级中学高二月考]已知数列{an}满足a1=3,2an+1=3an-2,则(　　) A.{an-2}是等比数列 B.{a2n}的前n项和为[()n-1]-2n C.{an}是单调递增数列 D.数列{an+1+()n}的最小项为 填空题 12.[2025全国一卷]若一个等比数列的各项均为正数,且前4项的和等于4,前8项的和等于68,则这个数列的公比等于　　　　.  13.【教材变式】[2025杭州二中高二期中]已知数列{an}为等比数列,a1=16,公比q=.若Tn是数列{an}的前n项积,则Tn的最大值为　　　　.  14.[2024镇海中学模拟]已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n+1,则{an}的通项公式为　　　　;若保持{an}中各项先后顺序不变,在ak与ak+1(k=1,2,…)之间插入k个1,使它们和原数列的项构成一个新的数列{bn},记{bn}的前n项和为Tn,则T100的值为　　　　(用数字作答).(本题第一空2分,第二空3分)  解答题 15.(13分)[2025深圳实验学校高二阶段考试]已知数列{an}是等比数列,公比大于0,前n项和为Sn,a1=,=+4. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若Sm=,求m. 16.(15分)【开放创新】[2025哈师大附中高二月考改编]已知数列{an}是各项均为正数的等比数列,满足　　　　.  请从①3a1+a2=18,=9a1a5;②a1=3,其前4项和S4=120,3a3,2a4,a5成等差数列这两个条件中任选一个补充到上面的横线处,并解答下列问题. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若bn=求数列{bn}的前2n项和T2n. 17.(15分)[2025大庆铁人中学高二开学考试]设{an}是公比大于0的等比数列,其前n项和为Sn,{bn}是等差数列,已知a1=1,a3=a2+2,a4=b3+b5,a5=b4+2b6. (1)求{an},{bn}的通项公式; (2)设cn=,数列{cn}的前n项和为Tn,求Tn,并证明≤Tn<. 18.(17分)[2025上海市延安中学高二期中]已知数列{an}满足a1=2,对任意正整数m,p都有am+p=am·ap. (1)求数列{an}(n∈N,n≥1)的通项公式an; (2)数列{bn}满足an=+++…+(n∈N,n≥1),求数列{bn}的前n项和Bn; (3)在(2)中的Bn,设cn=,求数列{cn}(n∈N,n≥1)中最小项的值. 19.(17分)[2024大连二十四中高二月考]已知数列{an}为等差数列,a2=3,a14=3a5,数列{bn}的前n项和为Sn,且满足2Sn=3bn-1. (1)求{an}和{bn}的通项公式; (2)若cn=an·bn,数列{cn}的前n项和为Tn, ①求Tn; ②若Tn-n·3n<(-1)n·m对n∈N*恒成立,求实数m的取值范围. 参考答案 1.D　设等比数列{an}的公比为q,由a5=4,a7=8,得则则a11=a1q10=25=32(由a1a11=a5a7,得a11==32). 2.D　设数列{an}的公比为q,则a2+a3=q(a1+a2)=8,即2q=8,解得q=4. 3.B　设等差数列{an}的公差为d,若a1,a2,a3+1成等比数列,则=a1(a3+1),即(1+d)2=1+2d+1,则d2=1,d=±1.当d=1时,a4=1+3=4;当d=-1时,a2=1-1=0,此时a1,a2,a3+1不能构成等比数列(不要忘记验证是否是等比数列),故舍去.所以a4=4. 4.C　方法一　当n=1时,a1=S1=2λ-2;当n=2时,S2=4λ-2,故a2=4λ-2-(2λ-2)=2λ;当n=3时,S3=8λ-2,故a3=8λ-2-(4λ-2)=4λ.因为{an}为等比数列,所以=,即==2,解得λ=2. 方法二　设{an}的公比为q,易知q不为1(运用等比数列求和公式时要注意公比不为1),则Sn==-+(当等比数列公比不为1时,前n项和是关于n的指数型函数),又Sn=λ·2n-2,所以λ=2. 方法三　当n=1时,a1=S1=2λ-2,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(λ·2n-2)-(λ·2n-1-2)=λ·2n-1,故当n≥2时,an+1=λ·2n=2·λ·2n-1=2an.因为数列{an}为等比数列,所以该数列的公比为2,则a2=2a1,即2λ=2(2λ-2),解得λ=2. 5.B　等比数列下标和性质及应用+基本不等式求和的最小值 思路导引　根据等比数列的性质得到a5=4,a2a4+a6a8=+,然后利用基本不等式即可得解. 由a4a5a6=64,得(a5)3=64,解得a5=4,∴a2a4+a6a8=+≥2a3a7=2=32,当且仅当a3=a7时等号成立. 6.A　若数列{log3an}是等差数列,设其公差为d,则d=log3an+1-log3an=log3,所以=3d,且对任意的n∈N*,an>0,所以数列{an}为等比数列,即“数列{log3an}是等差数列”⇒“数列{an}为等比数列”,充分性成立.另一方面,若数列{an}为等比数列,不妨取an=-1(n∈N*)(举一个反例即可),则数列{an}为等比数列,但log3an无意义,即“数列{an}为等比数列”“数列{log3an}是等差数列”,必要性不成立.因此,“数列{log3an}是等差数列”是“数列{an}为等比数列”的充分不必要条件. 7.B　由题意,2025年存的2 000元共存了10年,本息和为0.2(1+0.01)10万元,2026年存的2 000元共存了9年,本息和为0.2(1+0.01)9万元,……,2034年存的2 000元共存了1年,本息和为0.2(1+0.02)万元,所以到2035年3月1日将之前的所有存款及利息全部取回,他可取回的钱数为0.2(1+0.01)10+0.2(1+0.01)9+…+0.2(1+0.01)=0.2×≈0.2×=2.121≈2.1(万元). 8.D　等比数列前n项和+分组求和法 解题路线　an+1·an=2n a2=2,an+2·an+1=2n+1→=2→数列{a2n-1}是以1为首项,2为公比的等比数列,数列{a2n}是以2为首项,2为公比的等比数列 S2 026. 数列{an}中,a1=1,由an+1·an=2n,得a2=2,an+2·an+1=2n+1,则有=2,因此数列{a2n-1}是以1为首项,2为公比的等比数列,数列{a2n}是以2为首项,2为公比的等比数列,所以S2 026=(a1+a3+…+a2 025)+(a2+a4+…+a2 026)=+=3×21 013-3. 9.BC　A(✕)由a3+a4=4(a1+a2),可得q2=4,所以q=2. B(√)a5=a3q2=a3×4=. C(√)an=a3qn-3=×2n-3=,因为=,所以是数列{an}中的项. D(✕)由q=2,可得a1=,a2+a3=+=2,a4=,因为2×2≠+,所以a1,a2+a3,a4不成等差数列. 10.BD　由题意可得S6====21,即a1=32,故an=32·(-)n-1=-(-)n-6. A(✕)a4a8=-(-)4-6×[-(-)8-6]=4×=1( 因为公比q=-,所以{an}的偶数项同号,所以a4a8>0). B(√)an-a2=-(-)n-6+(-)-4=16-(-)n-6,若n为奇数,则an-a2=16-(-)n-6=16+>0;若n为偶数,则an-a2=16-(-)n-6=16-,随n的增大而增大,故an-a2≥a2-a2=0.综上得an≥a2( 易得{an}的奇数项和偶数项分别是公比为的等比数列,又a1=32>0,a2=-16<0,所以{an}的奇数项为正数,偶数项为负数且单调递增,故{an}的最小项为a2,即an≥a2). C(✕)D(√)Sn===-·(-)n,当n为奇数时,Sn=+>,且随n的增大而减小;当n为偶数时,Sn=-<,且随n的增大而增大.则当n=1时,Sn有最大值,即Sn≤S1=32;当n=2时,Sn有最小值,即Sn≥S2=16. 11.ACD　A(√)B(✕)由2an+1=3an-2,得2(an+1-2)=3(an-2),因为a1-2=1≠0,所以a2-2≠0,a3-2≠0,…,an-2≠0,从而=,所以{an-2}是首项为1,公比为的等比数列,所以an-2=1×()n-1,即an=()n-1+2,所以a2n=()2n-1+2,所以a2+a4+…+a2n=+2n=[()n-1]+2n. C(√)由an=()n-1+2,易知{an}是单调递增数列. D(√)an+1+()n=()n+()n+2≥2+2=4,当且仅当()n=()n,即n=0时取等号,又n为正整数,所以上述不等式等号不成立,故当n=1时,an+1+()n有最小值a2+()1=+2+=. 12.2　基本量法　设等比数列为{an},其公比为q,前n项和为Sn,因为等比数列{an}的各项均为正数,所以q>0,又S4=4,S8=68,所以q≠1.由S4=4得=4　①,由S8=68得=68　②,得=, 即=1+q4=17,所以q4=16,又q>0,所以q=2. 13.1 024　由题意an=16×()n-1=16×=,则Tn=×××…×==.因为函数y=x2-9x图象的对称轴为x=,所以当n=4或n=5时,取得最小值,为-10,所以Tn的最大值为=1 024. 14.an=计算即可,注意分n=1和n≥2分别计算.由数列{an}的前n项和Sn=2n+1,知当n≥2时,Sn-1=2n-1+1,所以an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1,n≥2,当n=1时,a1=S1=21+1=3,不符合上式,所以数列{an}的通项公式为an=保持数列{an}中各项先后顺序不变,在ak与ak+1(k=1,2,…)之间插入k个1,则新数列{bn}的前100项为3,1,21,1,1,22,1,1,1,23,1,1,1,1,24,…,212,1,1,1,1,1,1,1,1,1,则T100=[3+(21+22+…+212)]+[(1+2+3+…+12)+9]=90+213-2=88+213=88+8 192=8 280. 15.【解析】(1)设数列{an}的公比为q(q>0), 因为=+4,a1=,所以=+4,所以2q2+q-1=0, 解得q=-1(舍去)或q=,(5分) 所以an=×()n-1=.(7分) (2)Sn==1-,(10分) 若Sm=,则1-=,解得m=6.(13分) 16.【解析】(1)若选①,设等比数列{an}的公比为q,因为=9a1a5=9,且{an}的各项均为正数, 所以a4=3a3,所以q==3,(3分) 所以3a1+a2=6a1=18,解得a1=3,(5分) 所以an=a1qn-1=3n.(7分) 若选②,设等比数列{an}的公比为q,由3a3,2a4,a5成等差数列可得4a4=3a3+a5,即4a1q3=3a1q2+a1q4,解得q=1或q=3.(3分) 当q=1时,S4=4a1=12≠120,故q≠1( 注意进行检验);(4分) 当q=3时,S4==120,满足题意,故q=3.(5分) 所以an=a1qn-1=3n.(7分) (2)n是奇数时,bn=an=3n;n是偶数时,bn=2log3an-1=2n-1. 所以bn=(10分) 所以T2n=(b1+b3+…+b2n-1)+(b2+b4+…+b2n) =(3+33+35+…+32n-1)+[3+7+11+…+(4n-1)] =+ =+n(2n+1) =2n2+n-+(数列{bn}的奇数项构成首项为3,公比为9的等比数列;数列{bn}的偶数项构成首项为3,公差为4的等差数列).(15分) 17.【解析】(1)设{an}的公比为q(q>0), 因为a3=a2+2,所以a1q2=a1q+2,又a1=1, 所以q2-q-2=0,解得q=2或q=-1(舍去), 所以an=a1qn-1=2n-1.(3分) 设{bn}的公差为d,因为a4=b3+b5,a5=b4+2b6, 所以b3+b5=8,b4+2b6=16, 所以 解得d=b1=1, 所以bn=b1+(n-1)d=n.(7分) (2)cn===-,所以Tn=c1+c2+c3+…+cn=-+-+-+…+-=-.(11分) 因为n为正整数,所以>0,所以Tn<.(12分) 又因为数列{}单调递减,所以{Tn}单调递增, 所以Tn≥T1=. 综上,得≤Tn<.(15分) 18.【解析】(1)对任意正整数m,p都有am+p=am·ap成立,a1=2, 所以令m=n,p=1,得an+1=an·a1( 直接给m,p赋值得到一个等比数列的关系式),n∈N,n≥1, 所以数列{an}(n∈N,n≥1)是首项和公比都为2的等比数列. 所以an=2n(n∈N,n≥1).(4分) (2)由an=+++…+(n∈N,n≥1),得an-1=+++…+(n∈N,n≥2), 故an-an-1=(n∈N,n≥2), 所以bn=2n-1(2n+1)=22n-1+2n-1(n∈N,n≥2),(7分) 当n=1时,a1=,b1=6, 于是,bn= 当n=1时,B1=b1=6; 当n≥2时, Bn=b1+b2+b3+…+bn =6+(23+25+…+22n-1)+(21+22+…+2n-1) =6++ =×4n+2n+.(10分) 又n=1时,B1=×4+2+=6, 所以Bn=×4n+2n+,n∈N,n≥1.(11分) (3)通过判断数列的单调性,确定最小项的位置,判断单调性只需要比较cn,cn-1的大小即可: 因为cn=,c1===3, 所以cn=×2n+×+1(n∈N,n≥1),(13分) 所以cn-cn-1=×2n+×+1-×2n-1-×-1=(2n-1-)>(n≥2), 所以数列{cn}(n∈N,n≥1)是单调递增数列,即数列{cn}中最小项是c1,其值为3.(17分) 19.等比数列的通项公式+错位相减法求和 思路导引　(1)根据等差数列通项公式可构造方程求得公差,由此可得an;利用bn与Sn关系可证得数列{bn}为等比数列,由等比数列通项公式可求得bn. (2)①由(1)可得cn,采用错位相减法可求得Tn;②分别在n为奇数和n为偶数的情况下分离参数,根据数列单调性可求得m的取值范围. 【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d, 由a2=3,a14=3a5,得a2+12d=3(a2+3d),即3+12d=3(3+3d), 解得d=2,∴an=a2+(n-2)d=3+2(n-2)=2n-1.(3分) 当n=1时,2S1=2b1=3b1-1,解得b1=1; 当n≥2时,2bn=2Sn-2Sn-1=3bn-1-3bn-1+1=3bn-3bn-1, ∴bn=3bn-1,∴数列{bn}是以1为首项,3为公比的等比数列, ∴bn=3n-1.(6分) (2)①由(1)得cn=(2n-1)·3n-1.(7分) ∴Tn=1×30+3×31+5×32+…+(2n-3)·3n-2+(2n-1)·3n-1, 3Tn=1×31+3×32+5×33+…+(2n-3)·3n-1+(2n-1)·3n, ∴-2Tn=1+2×(31+32+…+3n-1)-(2n-1)·3n=1+2×-(2n-1)·3n=1-3+3n-(2n-1)·3n=(2-2n)·3n-2, ∴Tn=(n-1)·3n+1.(11分) ②由①知(n-1)·3n+1-n·3n=1-3n<(-1)n·m对n∈N*恒成立.(12分) 当n为奇数时,m<3n-1, ∵{3n-1}为递增数列,∴(3n-1)min=31-1=2,∴m<2;(14分) 当n为偶数时,m>1-3n, ∵{1-3n}为递减数列,∴(1-3n)max=1-32=-8,∴m>-8.(16分) 综上所述,实数m的取值范围为(-8,2).(17分) 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $