第五章 三角函数（高效培优单元测试·提升卷）数学人教A版2019高一必修第一册

第五章 三角函数（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则（   ） A． B． C． D． 2．已知函数，将的图象向左平移（）个单位后，得到函数的图象，若与的图象关于轴对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．函数，是（   ） A．奇函数，且存在最大值 B．奇函数，且存在最小值 C．偶函数，且存在最大值 D．偶函数，且存在最小值 4．已知，，定义新运算，记，，满足，则（   ） A． B． C． D． 5．已知表示不超过的最大整数，如：，，则函数在区间上的零点个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．已知函数，若对于任意，总存在，使，则的值可能为（   ） A． B． C． D． 7．函数在上有且仅有3个零点和2个最小值点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．如图，是半径为4的半圆O的直径，点B，C在弧上，若，则四边形周长的最大值为（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则（   ） A．函数的最小正周期为 B．是的一个对称中心 C．函数在上单调递增 D．函数图象与直线有3个交点 10．已知函数，下列说法正确的是（   ） A．的图象关于点对称 B．在区间上单调递增 C．若，其中，则 D．在区间上的值域为 11．已知函数，，则下列结论正确的是（   ） A．为偶函数 B．为奇函数 C．在上没有零点 D．的最小正周期为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，，，则的值为 . 13．已知函数在上单调递增,且其图像关于点对称,则 ． 14．已知函数，其中. 给出下列四个结论： ① 函数是奇函数； ② ，； ③ ，使得在内至少有个零点； ④ ，，都有. 其中，所有正确结论的序号是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)函数在上的最大值，并确定此时的值． 16．已知函数，，其图象相邻的两个对称中心间的距离为. (1)求，的值； (2)若在区间上有且只有一个零点，求的取值范围. 17．已知. (1)求的值及函数的单调递增区间； (2)将函数图象上所有点向右平移个单位长度，横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数的解集. 18．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某市的摩天轮最高点距离地面的高度为，转盘直径为，设有60个座舱，开启后按逆时针方向匀速转动，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周约需要.游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后，距离地面的高度为. (1)在转动一周的过程中，求关于的函数关系式； (2)求游客甲在开始转动后距离地面的高度； (3)当游客距离地面的高度不低于时，可以俯瞰该市的全景，求游客甲在摩天轮转动一周的过程中能俯瞰该市全景的时长. 19．2024年政府工作报告中提出，加快新质生产力，积极打造低空经济.某市积极响应国家号召，不断探索低空经济发展新模式，引进新型无人机开展物流运输.该市现有相距100km的A，B两集散点到海岸线为直线距离均为如图，计划在海岸线l上建造一个港口C，在A，B两集散点及港口C间开展无人机物流运输.由于该无人机最远运输距离为，需在A，B，C之间设置补能点无人机需经过补能点M更换电池，且，设 (1)当时，求无人机从A到C运输航程的值; (2)求的取值范围. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 三角函数（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 即得，则， 故， 故选：A 2．已知函数，将的图象向左平移（）个单位后，得到函数的图象，若与的图象关于轴对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得 ， 所以， 因为与的图象关于轴对称， 所以，即， 所以，解得， 又由可得的最小值为， 故选：A 3．函数，是（   ） A．奇函数，且存在最大值 B．奇函数，且存在最小值 C．偶函数，且存在最大值 D．偶函数，且存在最小值 【答案】C 【详解】，， 所以，所以为偶函数， ， 又在单调递增，所以，无最小值， 即有最大值1，无最小值. 故选：C. 4．已知，，定义新运算，记，，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 根据题中定义可得 ，故. 故选：A. 5．已知表示不超过的最大整数，如：，，则函数在区间上的零点个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】由，得，令函数与， 依题意，所求问题即为函数与在上的交点个数， 在同一坐标系内作出函数与在上的图象，    观察图象得函数与在上的图象有2个交点， 所以函数在区间上的零点个数为2. 故选：A 6．已知函数，若对于任意，总存在，使，则的值可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得当时，． 令，解得． 故当，即时，需要满足可以取遍区间中的每一个值． 当时，，无法满足； 当时，，无法满足； 当时，，无法满足； 当时，，可以取遍． 故选：D． 7．函数在上有且仅有3个零点和2个最小值点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，依题意，，解得， 所以的取值范围为. 故选：B 8．如图，是半径为4的半圆O的直径，点B，C在弧上，若，则四边形周长的最大值为（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】B 【详解】取的中点，连接， 则⊥，⊥， 因为，所以，， 因为，所以， 设，，则，， 故，， 故 ， 因为，所以，， 故当时，取得最大值，最大值为17. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则（   ） A．函数的最小正周期为 B．是的一个对称中心 C．函数在上单调递增 D．函数图象与直线有3个交点 【答案】AD 【详解】A选项，， 故的最小正周期为，A正确； B选项，，故不是的一个对称中心，B错误； C选项，，令， 由于在上不单调，故在上不单调，C错误； D选项，同一坐标系内画出与，如下：      可以看出两函数有3个交点，D正确． 故选：AD 10．已知函数，下列说法正确的是（   ） A．的图象关于点对称 B．在区间上单调递增 C．若，其中，则 D．在区间上的值域为 【答案】ACD 【详解】由，A正确； 令，可得， 所以的单调递增区间为，， 显然不是上述区间的子集，B错误； ， ，一个为的最大值，另一个为的最小值， 由，则，C正确； 若，则，则，即，D正确． 故选：ACD 11．已知函数，，则下列结论正确的是（   ） A．为偶函数 B．为奇函数 C．在上没有零点 D．的最小正周期为 【答案】ACD 【详解】对于A，，其定义域为且关于原点对称， ，即为偶函数，故A正确； 对于B，，其定义域为且关于原点对称， ，即为偶函数，故B错误； 对于C，令，即，即，， 又，则无解，所以在上没有零点，故C正确； 对于D，，因为，即， 假设存在，使得对任意的恒成立， 令，则，所以，即，， 因为，这样的不存在， 所以的最小正周期为，故D正确； 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，，，则的值为 . 【答案】/ 【详解】因为， ， 所以， 分子分母同时除以，得①． 由于，所以，所以， 所以， 所以，，代入①， 得，解得. 故答案为：. 13．已知函数在上单调递增,且其图像关于点对称,则 ． 【答案】/0.5 【详解】在上单调递增 又关于点对称 , 当时,, 故答案为： 14．已知函数，其中. 给出下列四个结论： ① 函数是奇函数； ② ，； ③ ，使得在内至少有个零点； ④ ，，都有. 其中，所有正确结论的序号是 . 【答案】① ③ ④ 【详解】对于①：∵. ​定义域 R 关于原点对称，且 对所有 x 成立,结论①正确. 对于②：当且仅当存在使得且时，. 此时需要解方程组：. 化简得：​.需满足. , 例如：若取则，验证： . 因此，存在使得.故②错误. ​ 对于③​：. 又等价于或. 则或. 在[0,1]内： 共 个点. :，共 个点. 总零点数为 （假设）. 需要，即. 取 ，则零点数为. ​结论③正确. 对于④： . 需要这对所有 x 成立，因此：且. 即：​,所以. ​，可以取，则 . 结论④正确. 故答案为：①③④ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)函数在上的最大值，并确定此时的值． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）由题图知，，则， ∴．又， ∴． ∵，∴，∴，即， ∴的解析式为． （2）由（1）． ∵，∴， ∴当，即时，． 16．已知函数，，其图象相邻的两个对称中心间的距离为. (1)求，的值； (2)若在区间上有且只有一个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， 又，，所以， 又图象相邻的两个对称中心间的距离为，所以， 综上，. （2）由（1）知， ， 在区间上有且只有一个零点， 所以，解得. 17．已知. (1)求的值及函数的单调递增区间； (2)将函数图象上所有点向右平移个单位长度，横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数的解集. 【答案】(1)，， (2)，. 【详解】（1）因为， 所以， 故. 由，， 解得，. 所以函数的单调递增区间为，. （2）将函数图象上所有点向右平移个单位长度，得：， 再将的图象横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得. 所以函数， 由，得：，. 解得，， 所以函数的解集为，. 18．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某市的摩天轮最高点距离地面的高度为，转盘直径为，设有60个座舱，开启后按逆时针方向匀速转动，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周约需要.游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后，距离地面的高度为. (1)在转动一周的过程中，求关于的函数关系式； (2)求游客甲在开始转动后距离地面的高度； (3)当游客距离地面的高度不低于时，可以俯瞰该市的全景，求游客甲在摩天轮转动一周的过程中能俯瞰该市全景的时长. 【答案】(1)，. (2). (3)10分钟 【详解】（1）设游客甲乘坐的座舱距离地面最近的位置为点，以摩天轮的轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立平面直角坐标系， 当时，，此时，以为终边的角是， 因为该摩天轮转一周约需要，该摩天轮的角速度约为， 所以，. （2）当时，， 即游客甲在开始转动后距离地面的高度约为. （3）由题意可得，即. 因为，所以， 所以，解得， 则游客甲在摩天轮转动一周的过程中能俯瞰该市全景的时长为. 19．2024年政府工作报告中提出，加快新质生产力，积极打造低空经济.某市积极响应国家号召，不断探索低空经济发展新模式，引进新型无人机开展物流运输.该市现有相距100km的A，B两集散点到海岸线为直线距离均为如图，计划在海岸线l上建造一个港口C，在A，B两集散点及港口C间开展无人机物流运输.由于该无人机最远运输距离为，需在A，B，C之间设置补能点无人机需经过补能点M更换电池，且，设 (1)当时，求无人机从A到C运输航程的值; (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1） 当时，，作， 则，所以， 故从A到C运输航程； （2）由已知，， ，， 因为无人机最远运输距离为， 所以， 所以， ， 令，， 因为，所以， ， 当时，， 当时，， 故的范围是 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $