专题09 阴影部分的有关计算（压轴题专项训练）数学湘教版九年级下册

专题09 与圆有关的计算 目录 1 类型一、求某点的弧形运动路径长度 1 类型二、求图形旋转后扫过的面积 6 类型三、不规则阴影部分面积计算 15 类型四、不规则阴影部分面积中的最值相关的计算 23 28 类型一、求某点的弧形运动路径长度 核心思路：利用圆的几何性质，确定运动轨迹的圆心、半径及圆心角，结合弧长公式计算。 解题步骤： 1. 轨迹分析： · 定点旋转：路径为圆弧，半径=旋转中心到点的距离。 · 动点约束（如沿圆周运动）：路径仍为圆弧，需确定圆心角。 2. 关键公式： · 弧长公式：（为圆心角度数，为半径）。 · 若角度为弧度制：（为弧度）。 3. 变量确定： · 通过几何关系（如旋转角、切线性质）求圆心角。 · 半径通常为点到旋转中心的距离，或题目给定的定值。 关键技巧： · 动态分析：旋转角度不足360°时，注意轨迹是否分段（如往返运动）。 · 转化思想：复杂路径可分解为多段圆弧相加。 例1．在梯形纸片中，，，将这张纸片折叠一次，使得点与点重合，设折痕所在直线为，则点沿直线翻折至与点重合的过程中形成的轨迹的长度为（    ） A． B． C． D． 变式1-1．如图，在矩形中， ，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线的垂线，垂足为点G，在这个移动过程中点G经过的路径长是 ． 变式1-2．如图1，在中，，，，点D，E分别为，的中点．如图2，将绕点C顺时针旋转，设旋转角为，记直线与直线的交点为点P，交于点O，则在运动过程中，点P到直线距离的最大值为 ；点P运动的长度为 ． 变式1-3 已知一个扇形工件，搬动前如图所示，A、B两点触地放置，此时，搬动时，先将扇形以B为圆心，作如图所示的无滑动翻转，再使它紧贴地面滚动，当A、B两点再次触地时停止，半圆的直径为6m，则圆心O所经过的路线长是 m． 类型二、求图形旋转后扫过的面积 核心思路：分析旋转前后图形的位置变化，确定扫过区域的边界（如圆弧、线段轨迹），分解为规则图形（扇形、环形、三角形等）的组合。 解题步骤： 4. 轨迹分析： · 固定点旋转→形成扇形（半径=旋转半径，圆心角=旋转角度）。 · 线段旋转→形成环形或组合图形（注意端点轨迹是否重合）。 5. 面积计算： · 扇形面积：（为旋转角度）。 · 环形面积：外圆面积减内圆面积（）。 · 线段扫过面积：两端点轨迹形成的扇形差或矩形（若旋转角度为180°）。 6. 关键技巧： · 分步计算：先求点/线旋转的独立轨迹，再组合或相减。 · 动态分析：旋转角度不足360°时，注意边界是否形成封闭图形。 例2．已知，平面直角坐标系内两点，，点是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交直线于点，绕点顺时针旋转，边扫过区域面积的最大值是（   ） A． B． C． D． 变式2-1．已知一个三角形的周长和面积分别是84、210，一个单位圆在它的内部沿着三边匀速无摩擦地滚动一周后回到原来的位置（如图），则这个三角形的内部以及边界没有被单位圆滚过的部分的面积是 （结果保留准确值）． 变式2-2．如图1，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形的两顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点．现将正方形绕点O顺时针旋转，当点A第一次落在直线上时停止旋转．旋转过程中，边交直线于点M，边交x轴于点N，如图2． (1)求边在旋转过程中所扫过的面积 (2)设的周长为，在旋转正方形的过程中，值是否有变化？请证明你的结论． 变式2-3．如图1，在菱形中，，．动点从点出发，沿边以每秒1个单位长度的速度运动，到点时停止，连接，点与点关于直线对称，连接，．设运动时间为（秒）． (1)菱形对角线的长为___________； (2)如图2，当点恰在上时，求的值； (3)当时，求的周长； (4)直接写出在整个运动过程中，线段扫过的面积． 类型三、不规则阴影部分面积计算 核心思路：通过割补法将不规则图形转化为规则图形（圆、扇形、三角形等）的和差组合，结合对称性简化计算。 解题步骤： 7. 图形分解： · 分割：将阴影拆解为扇形、弓形、三角形等可求面积的规则图形。 · 补形：将空白部分补全为规则图形，再用整体减空白。 8. 关键公式： · 扇形面积：（为圆心角） · 弓形面积：扇形面积减去三角形面积。 9. 变量处理： · 设未知数（如半径、角度），利用几何关系（勾股定理、相似比）建立方程。 10. 对称性应用： · 若图形对称，可只计算一半再乘以2。 关键技巧： · 容斥原理：重叠部分面积 = 各图形面积和 - 并集面积。 · 等积变换：利用平行线、等底等高三角形转化面积。 例3．如图，四边形为矩形，点在边上，，半径为2的与四边形的各边都相切，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 变式3-1．如图，在菱形中，对角线，相交于点，以为圆心，长为半径作圆心角为的扇形与边交于点与边交于点．若，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）． 变式3-2 如图，在中，，，，D为的中点，以点D为圆心作圆心角为的扇形，点C恰在弧上，则图中阴影部分的面积为 ． 变式3-3 如图为的直径，且，点C是弧上的一动点（不与A，B重合），过点B作的切线交的延长线于点D，点E是的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)当时，求图中阴影部分面积． 类型四、不规则阴影部分面积中的最值相关的计算 核心思路：将不规则阴影转化为规则图形（扇形、三角形等）的加减组合，利用几何性质（对称性、切线性质）和代数方法（函数表达式、配方法）求极值。 解题步骤： 11. 图形分解：将阴影拆分为可求面积的规则图形（如圆减三角形、扇形减弓形）。 12. 变量设定：选择关键变量（如圆心角θ、半径r、动点坐标），建立面积函数。 13. 最值工具： · 几何法：利用对称性（如垂线段最短）或特殊位置（如切线、直径）。 · 代数法：二次函数配方法（aθ²+bθ+c）或均值不等式。 14. 验证边界：检查变量定义域（如0<θ<π）及端点值。 关键技巧： · 动态问题固定变量，优先分析不变关系（如固定弦长，求最大弓形面积）。 · 复杂图形优先消元，减少变量（如用r表示θ） 例4．如图，在扇形中，平分交于点，点为半径上一动点．若，则阴影部分周长的最小值为 ．    变式4-1．如图，一张直径为的圆饼被切掉了一块，数据如图所示，连接 ，则 ；图中阴影部分面积的最小值为 ． 变式4-2．如图，在扇形中，C为上一点且，点D为半径上一动点．若，则阴影部分周长的最小值为 ． 变式4-3．如图，⊙O的半径为2cm，弦，C是弦AB所对的优弧上一个动点，则图中阴影部分的面积之和的最小值是 cm2． 一、单选题 1．如图，点为半上的三等分点，点是弧上的一动点，过点作交延长线于点，若直径，在点从点运动到点的过程中，则点的运动路径长为（    ）      A． B． C． D． 2．如图，在△ABC中，，．点P在以为直径的半圆上运动，M为的三等分点（靠近点P），当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长为（  ）    A． B． C． D． 3．如图，点为的斜边的中点，，，以点为旋转中心顺时针旋转得到，若，当时，图中弧所构成的阴影部分面积为（）． A． B． C． D． 二、填空题 4．四边形中，，，且，．以为圆心，为半径作弧，交的延长线于点，若点为弧上的动点，过点作于点，设点I为的内心，连接，当点Q从点C运动到点E时，则内心I所经过的路径长为 ．    5．如图，在平面直角坐标系中，，，，点在轴的正半轴上滑动，点在轴的正半轴上滑动，点，点在滑动过程中可与原点重合，下列结论： ①若，两点关于对称，则；②若平分，则； ③四边形面积的最大值为；④的中点运动路径的长为． 其中正确的结论是 （写出所有正确结论的序号）． 6．如图，把一个直角三角形ABC的斜边AB放在直线上，按顺时针方向在上转动两次，使它转到△A″B″C″的位置．设BC=2，AC=，则顶点A运动到点A″的位置时，线段AB扫过的图形面积是 ．    7．一个含30度角的三角板和一个含45度角的三角板按如图所示的方式拼接在一起，经测量发现，，取中点，连接．在内部任意转动（包括边界），则在运动过程中扫过的面积为 ，在旋转过程中，线段的最小值为 ． 8．如图是某高速公路在转向处设计的一段圆曲线（即圆弧），机动车转弯时从曲线起点A行驶至终点B，过点A，B的两条切线相交于点C，机动车在从点A到点B行驶过程中转角为．若这段圆弧的半径，，则图中危险区（阴影部分）的面积为 ． 9．如图，的半径是4，等边内接于，点D在上，点E在上，且，于点F，则阴影部分的面积是 ． 三、解答题 10．如图，为的外接圆，为的直径，交于点，过点作，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，，求图中阴影部分的面积． 11．在平面直角坐标系中有正方形，点的坐标． (1)如图1，点在第一象限，半圆与轴、轴相切于点，半圆的半径为5，半圆交边于．则点的坐标是 ，的坐标是 ，点的坐标是 (2)如图2，在（1）的条件下，将半圆绕点顺时针旋转()，当半圆与边相切时，则点P坐标为 ，半圆从图1位置旋转到与边相切时，半圆扫过的面积为 （结果保留π） (3)如图3，在（1）的条件下，将半圆沿线段向右平移一个单位到点，将半圆绕点顺时针旋转()．求当半圆正好过点时，在五边形中所剪出最大圆的面积．（参考数据∶） 12．定义：若圆内接三角形是等腰三角形，我们就称这样的三角形为“圆等三角形”． (1)如图1，是的一条弦（非直径），若在上找一点C，使得C是“圆等三角形”，则这样的点C能找到_______个． (2)如图2，四边形是的内接四边形，连结对角线和均为“圆等三角形”，且． ①当时，求的度数； ②如图3，当时，求阴影部分的面积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 与圆有关的计算 目录 1 类型一、求某点的弧形运动路径长度 1 类型二、求图形旋转后扫过的面积 6 类型三、不规则阴影部分面积计算 15 类型四、不规则阴影部分面积中的最值相关的计算 23 28 类型一、求某点的弧形运动路径长度 核心思路：利用圆的几何性质，确定运动轨迹的圆心、半径及圆心角，结合弧长公式计算。 解题步骤： 1. 轨迹分析： · 定点旋转：路径为圆弧，半径=旋转中心到点的距离。 · 动点约束（如沿圆周运动）：路径仍为圆弧，需确定圆心角。 2. 关键公式： · 弧长公式：（为圆心角度数，为半径）。 · 若角度为弧度制：（为弧度）。 3. 变量确定： · 通过几何关系（如旋转角、切线性质）求圆心角。 · 半径通常为点到旋转中心的距离，或题目给定的定值。 关键技巧： · 动态分析：旋转角度不足360°时，注意轨迹是否分段（如往返运动）。 · 转化思想：复杂路径可分解为多段圆弧相加。 例1．在梯形纸片中，，，将这张纸片折叠一次，使得点与点重合，设折痕所在直线为，则点沿直线翻折至与点重合的过程中形成的轨迹的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用证明，再通过证明四边形的四条边相等，来证明它是菱形，然后利用勾股定理求得，再利用弧长公式求解． 【详解】解：如图，连线与直线交于点，直线交于点，连结， 由折叠可知，， ∵，， ∴， ∴， ∴直线是的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴（）， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴点沿直线翻折至与点重合的过程中形成的轨迹是以为圆心为半径的半圆， ∴其长度为． 故选：A 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质的综合应用，菱形的判断与性质，中位线的判定与性质，勾股定理，弧长公式等知识，解题的关键是通过证明四边形的四条边相等，来证明四边形是菱形，再利用勾股定理求解． 变式1-1．如图，在矩形中， ，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线的垂线，垂足为点G，在这个移动过程中点G经过的路径长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轨迹长度的求解、矩形的性质、直角三角形斜边中线的性质、与圆有关的位置关系等知识点，确定点G的轨迹是解题的关键． 如图：连接，交于点O，取中点H，连接，根据直角三角形斜边中线的性质，可以得出G的轨迹，从而求出G经过的路程长即可． 【详解】解：如图：连接，交于点O，取中点H，连接， ∵矩形，， ∴，，， ，， ∴是等边三角形，即 在与中， ， ， ∴E、O、F共线， ，H是中点， ∴，则， ∴G的轨迹为以H为圆心，1为半径的圆弧， 当E与A重合时，；当E与B重合时，G与B重合； ∴G走过的路程为． 故答案为． 变式1-2．如图1，在中，，，，点D，E分别为，的中点．如图2，将绕点C顺时针旋转，设旋转角为，记直线与直线的交点为点P，交于点O，则在运动过程中，点P到直线距离的最大值为 ；点P运动的长度为 ． 【答案】 / / 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形．利用两边对应成比例且夹角相等证明，推出，得到点在以为直径的圆上，如图，取的中点，以的长为半径作，以点为圆心，的长为半径作．当是的切线时，点到直线的距离最大．过点作，交的延长线于点，连接，据此利用解直角三角形求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴点在以为直径的圆上， 如图，取的中点，以的长为半径作，以点为圆心，的长为半径作．当是的切线时，点到直线的距离最大． 如图，过点作，交的延长线于点，连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点的运动轨迹为点点点， ∴点运动的长度为， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴点到直线距离的最大值为． 故答案为：；． 变式1-3 已知一个扇形工件，搬动前如图所示，A、B两点触地放置，此时，搬动时，先将扇形以B为圆心，作如图所示的无滑动翻转，再使它紧贴地面滚动，当A、B两点再次触地时停止，半圆的直径为6m，则圆心O所经过的路线长是 m． 【答案】18.84 【分析】本题考查了弧长的计算公式，难度较大，解答本题的关键是正确理解经过的路线． 经过的路线是两个半径是3，圆心角的的弧，平移的距离是半径长是3，圆心角是的弧长，二者的和就是所求的路线长． 【详解】解： ，， 旋转的长度是：， 移动的距离是：， 则圆心所经过的路线长是：． 故答案为：18.84． 类型二、求图形旋转后扫过的面积 核心思路：分析旋转前后图形的位置变化，确定扫过区域的边界（如圆弧、线段轨迹），分解为规则图形（扇形、环形、三角形等）的组合。 解题步骤： 4. 轨迹分析： · 固定点旋转→形成扇形（半径=旋转半径，圆心角=旋转角度）。 · 线段旋转→形成环形或组合图形（注意端点轨迹是否重合）。 5. 面积计算： · 扇形面积：（为旋转角度）。 · 环形面积：外圆面积减内圆面积（）。 · 线段扫过面积：两端点轨迹形成的扇形差或矩形（若旋转角度为180°）。 6. 关键技巧： · 分步计算：先求点/线旋转的独立轨迹，再组合或相减。 · 动态分析：旋转角度不足360°时，注意边界是否形成封闭图形。 例2．已知，平面直角坐标系内两点，，点是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交直线于点，绕点顺时针旋转，边扫过区域面积的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得，求出直线表达式为，则设，则，利用扇形面积公式得到，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：如图， 根据旋转的性质，， ∴， 则 ， ∵，， 设直线表达式为：， 则 解得：， ∴直线表达式为： ∵点P在直线上，点Q在直线上，且轴， 设，则， ∴，， ∴ ， 设， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴的最大值为． 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，扇形的面积公式，二次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 变式2-1．已知一个三角形的周长和面积分别是84、210，一个单位圆在它的内部沿着三边匀速无摩擦地滚动一周后回到原来的位置（如图），则这个三角形的内部以及边界没有被单位圆滚过的部分的面积是 （结果保留准确值）． 【答案】/ 【分析】由图知，要求的面积有两部分：（1）三角形的内部被圆滚过的部分是个三角形，且与原三角形相似，已知了原三角形的周长和面积，可求得原三角形的内切圆半径，进而可得三角形内部被圆滚过部分的三角形的内切圆半径，即可得到两个三角形的相似比，根据相似三角形的性质可求得此三角形的周长和面积；（2）三角形边界的三个角的面积；连接单位圆的圆心和原三角形的三顶点，先求得构成的6个小直角三角形的面积，而3个扇形正好构成一个圆，由此可得原三角形边界三个角的面积；综合（1）（2）的面积，即可得所求的值． 【详解】解：如图；设的内切圆半径为R，的内切圆半径为r； 依题意有：，即； ∵半径为1的圆在它的内部沿着三边匀速无摩擦地滚动一周后回到原来的位置， ∴，， ∴， ∴； 由题意得，被圆滚过的三角形内部的三角形也和相似；且其内切圆半径为：，即其面积； 由图知：，同理； ∴ ∵， ∴所求的面积， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查的是圆的综合题，图形面积的求法，切线的性质、扇形面积的计算方法、相似三角形以及三角形内切圆半径的求法等知识，知道被圆滚过的三角形内部的三角形与原三角形相似，原三角形边界的三个扇形正好构成一个单位圆是解题的关键． 变式2-2．如图1，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形的两顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点．现将正方形绕点O顺时针旋转，当点A第一次落在直线上时停止旋转．旋转过程中，边交直线于点M，边交x轴于点N，如图2． (1)求边在旋转过程中所扫过的面积 (2)设的周长为，在旋转正方形的过程中，值是否有变化？请证明你的结论． 【答案】(1) (2)值无变化，证明见解析 【分析】（1）先根据正方形的性质可得，，，从而可得，再设点旋转后的对应点为点，点旋转后的对应点为点，则图（见解析）中阴影部分的面积即为边在旋转过程中所扫过的面积，根据边在旋转过程中所扫过的面积等于求解即可得； （2）延长，交轴于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据三角形的周长公式、等量代换即可得． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，边长为1， ∴，，， ∴， ∵直线上的点的横、纵坐标相等， ∴直线与轴正半轴、轴正半轴形成的夹角均为， ∴当点第一次落在直线上时，旋转的角度为， ∴此时点旋转后的对应点落在轴正半轴， 如图，设点旋转后的对应点为点，点旋转后的对应点为点，则图中阴影部分的面积即为边在旋转过程中所扫过的面积， 由旋转的性质得：， ∴， ∴边在旋转过程中所扫过的面积为 ． （2）解：值无变化，证明如下： 如图，延长，交轴于点， ∵四边形是正方形，边长为1， ∴，， ∴， ∵轴轴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵直线上的点的横、纵坐标相等， ∴直线与轴正半轴、轴正半轴形成的夹角均为， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ， 所以在旋转正方形的过程中，值无变化． 【点睛】本题考查了扇形的面积、正方形的性质、勾股定理、旋转的性质、三角形全等的判定与性质、正比例函数等知识，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 变式2-3．如图1，在菱形中，，．动点从点出发，沿边以每秒1个单位长度的速度运动，到点时停止，连接，点与点关于直线对称，连接，．设运动时间为（秒）． (1)菱形对角线的长为___________； (2)如图2，当点恰在上时，求的值； (3)当时，求的周长； (4)直接写出在整个运动过程中，线段扫过的面积． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】 （1）连接交于，依据菱形中，，，即可得到菱形对角线的长； （2）依据点与点关于直线对称，可得，进而得出，，，依据，，即可得到的值； （3）当时，有两种情况：点是的中点；点是的中点．分别依据的周长的周长，进行计算即可； （4）点运动路径为以点为圆心，6为半径，圆心角为的弧，从而得到线段扫过的部分为扇形，再利用扇形面积计算即可． 【详解】（1） 解：如图，连接交于， 菱形中，，． ， ，， ， 故答案为：； （2） 如图，菱形中，， ， 又是菱形的对角线， ， 点与点关于直线对称， ， ，，， ，， 即， 解得； （3） 当时，有两种情况：点是的中点；点是的中点． ①当点是的中点时，如图，过作于， 在中，， ，， 在中，，， ． 的周长的周长； ②当点是的中点时，如图，连接，则是等边三角形， ， 在中，， 与①同理，得， 的周长的周长； （4） 由题可得，点运动路径为以点为圆心，6为半径，圆心角为的弧， ∴线段扫过的部分为扇形， ∴线段扫过的面积为． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，三角函数的综合运用；解决此类问题的关键是能分析出各种情况的位置，分类讨论做到不重不漏，严密思考． 类型三、不规则阴影部分面积计算 核心思路：通过割补法将不规则图形转化为规则图形（圆、扇形、三角形等）的和差组合，结合对称性简化计算。 解题步骤： 7. 图形分解： · 分割：将阴影拆解为扇形、弓形、三角形等可求面积的规则图形。 · 补形：将空白部分补全为规则图形，再用整体减空白。 8. 关键公式： · 扇形面积：（为圆心角） · 弓形面积：扇形面积减去三角形面积。 9. 变量处理： · 设未知数（如半径、角度），利用几何关系（勾股定理、相似比）建立方程。 10. 对称性应用： · 若图形对称，可只计算一半再乘以2。 关键技巧： · 容斥原理：重叠部分面积 = 各图形面积和 - 并集面积。 · 等积变换：利用平行线、等底等高三角形转化面积。 例3．如图，四边形为矩形，点在边上，，半径为2的与四边形的各边都相切，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可先转化阴影部分的面积，如图，圆心连接切点，得，要求出梯形面积关键是求出，的长，设， ，半径为2，则可得，，利用勾股定理求出，则各边长度即可求出，问题就迎刃而解了． 【详解】解：如图，点分别连接切点M，N，F， 设，则， 的半径为2，且与四边形的各边都相切， ，， ∴， 在中，， ， ， ，， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了多边形的内切圆、矩形的性质、勾股定理以及图形的面积，求不规则图形的面积问题，关键把它转化为规则图形的面积和差问题． 变式3-1．如图，在菱形中，对角线，相交于点，以为圆心，长为半径作圆心角为的扇形与边交于点与边交于点．若，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）． 【答案】 【分析】过O作于P，于Q，证明，得出，则，证明，得出，则，进而得出，解直角三角形求出， ，，然后结合扇形面积公式和三角形面积公式求解即可． 【详解】解：过O作于P，于Q， ∵菱形中，， ∴，，平分，，， 又，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，扇形的面积公式，解直角三角形等知识，难度较大，属中考压轴题． 变式3-2 如图，在中，，，，D为的中点，以点D为圆心作圆心角为的扇形，点C恰在弧上，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】过点D作于点M，作于点N，连接，由题意易证矩形为正方形，即可求出，，从而得出，．再证明，得出，最后根据和求解即可． 【详解】解：如图，过点D作于点M，作于点N，连接． ∴， ∴四边形为矩形． ∵D为的中点，， ∴平分， ∴， ∴矩形为正方形． ∵， ∴，， ∴，． ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查求不规则图形的面积，等腰三角形的性质，正方形的判定和性质，角平分线的判定和性质，三角形全等的判定和性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键． 变式3-3 如图为的直径，且，点C是弧上的一动点（不与A，B重合），过点B作的切线交的延长线于点D，点E是的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)当时，求图中阴影部分面积． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）如图：连接，先由切线的性质得，由为的直径，得，因为点E是的中点，所以，可证明得，即可证明结论； （2）先由、求得，由圆周角定理得，再根据三角形的中位线定理证明得，由得，则，根据勾股定理求得，即可由求出图中阴影部分的面积即可． 【详解】（1）证明：如图：连接， 与相切于点B， ， ， 是的直径， ， ， 点E是的中点， ， ，， ， ， 经过的半径的外端，且， 是的切线． （2）解：，， ， ， ， ， ， 是的中位线， ， ， ， ， ， ， ， 图中阴影部分面积 【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定与性质、圆周角定理、三角形的中位线定理、全等三角形的性质和判定、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、直角三角形中角所对的直角边等于斜边一半、勾股定理的应用、三角形的面积公式及扇形的面积公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 类型四、不规则阴影部分面积中的最值相关的计算 核心思路：将不规则阴影转化为规则图形（扇形、三角形等）的加减组合，利用几何性质（对称性、切线性质）和代数方法（函数表达式、配方法）求极值。 解题步骤： 11. 图形分解：将阴影拆分为可求面积的规则图形（如圆减三角形、扇形减弓形）。 12. 变量设定：选择关键变量（如圆心角θ、半径r、动点坐标），建立面积函数。 13. 最值工具： · 几何法：利用对称性（如垂线段最短）或特殊位置（如切线、直径）。 · 代数法：二次函数配方法（aθ²+bθ+c）或均值不等式。 14. 验证边界：检查变量定义域（如0<θ<π）及端点值。 关键技巧： · 动态问题固定变量，优先分析不变关系（如固定弦长，求最大弓形面积）。 · 复杂图形优先消元，减少变量（如用r表示θ） 例4．如图，在扇形中，平分交于点，点为半径上一动点．若，则阴影部分周长的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题考查与圆有关的计算，掌握轴对称的性质，弧长的计算方法是正确计算的前提，理解轴对称解决路程最短问题是关键．利用轴对称的性质，得出当点E移动到点时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为弧的长与的长度和，分别进行计算即可． 【详解】解：如图，作点D关于的对称点，连接交于点，连接，    此时最小，即：， 由题意得，， ， ，的长， ∴阴影部分周长的最小值为． 故答案为：． 变式4-1．如图，一张直径为的圆饼被切掉了一块，数据如图所示，连接 ，则 ；图中阴影部分面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图1，设圆心为，连接，则，由圆周角定理可得，由勾股定理得，，计算求解即可；设到的距离为，由题意知，，则当最大时，最小，当时，最大，如图1，作于，由垂径定理可得，由勾股定理得，，则，然后求阴影部分面积即可． 【详解】解：如图1，设圆心为，连接，则， ∵， ∴， 由勾股定理得，， 设到的距离为， 由题意知， ， 当最大时，最小， ∴当时，最大，如图1，作于， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，扇形面积，垂径定理等知识．熟练掌握圆周角定理，勾股定理，扇形面积，垂径定理是解题的关键． 变式4-2．如图，在扇形中，C为上一点且，点D为半径上一动点．若，则阴影部分周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称最短路径问题和弧长公式以及勾股定理，解题关键是把周长最小问题转化为两点之间，线段最短问题，熟练的运用圆的有关性质和勾股定理是解题的关键． 作点关于的对称点F，连接，与交点为D，此时最小，最小值就是长，再加上弧的长即可． 【详解】解: 作点关于的对称点, 连接,与交点为D,交于点,过点作 交延长线于点，由对称可知 ，    ∵四边形是矩形, ， ∴， ∴， ∴阴影部分周长的最小值为， 故答案为：． 变式4-3．如图，⊙O的半径为2cm，弦，C是弦AB所对的优弧上一个动点，则图中阴影部分的面积之和的最小值是 cm2． 【答案】/ 【分析】过点C作于E，由，得当最大时，最小，此时，经过圆心O，即垂直平分，点C为优弧的中点，连接，由垂径与勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：过点C作于E， ∵， ∴当最大时，最小，此时，经过圆心O，即垂直平分，点C为优弧的中点，连接， ∵， ∴， 由勾股定理，得， ∴， ∴最小值， 故答案为：． 【点睛】本题考查垂径定理，不规则图形面积，三角形面积，勾股定理，根据图形面积关系，得出点C为优弧的中点时，阴影面积最小是解题的关键． 一、单选题 1．如图，点为半上的三等分点，点是弧上的一动点，过点作交延长线于点，若直径，在点从点运动到点的过程中，则点的运动路径长为（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由点的运动特点可知点轨迹是以为直径圆上的弧，求出的长以及圆心角，即可求解． 【详解】解：连接，，以的长为半径，的中点为圆心画圆，点为半圆上的三等分点，连接，，如图：    ∵点为半上的三等分点， ∴， 故， ∴， ∴， ∴， 当点从点运动到点的过程中，， 即， ∴， 故点的运动轨迹是，且， 在中，， ∴点的运动路径长为， 故答案为：B． 【点睛】本题考查了点的运动轨迹，勾股定理，弧长公式，三角形内角和定理，圆周角定理，能够根据点的运动特点分析点的运动轨迹是解题的关键． 2．如图，在△ABC中，，．点P在以为直径的半圆上运动，M为的三等分点（靠近点P），当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长为（  ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图所示，在上取一点E使得，在上取一点F使得，连接，取中点O，连接，证明，得到，同理可证，即可得到，则点M在以O为圆心，以的长为半径的圆弧上运动，根据三线合一定理得到，，求出，又当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M从点E沿半圆运动到点F，可得点M运动的路径长为． 【详解】解：如图所示，在上取一点E使得，在BC上取一点F使得，连接，取中点O，连接， ∵点P在以为直径的半圆上运动， ∴， ∵M为的三等分点（靠近点P）， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可证， ∴， ∴点M在以O为圆心，以的长为半径的圆弧上运动， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M从点E沿半圆运动到点F， ∴点M运动的路径长为， 故选B．    【点睛】本题主要考查了动点的运动轨迹长度，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，解直角三角形等等，正确确定点M的运动轨迹是解题的关键． 3．如图，点为的斜边的中点，，，以点为旋转中心顺时针旋转得到，若，当时，图中弧所构成的阴影部分面积为（）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设A1C1与AB的交点为D，连接OC1，作DE⊥OC1于E，根据含30°角的直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质以及平行线的性质求得∠BOC1=30°，OC1=2，DE=，然后根据扇形面积公式、三角形的面积公式即可求得阴影的面积． 【详解】解：设A1C1与AB的交点为D，连接OC1，作DE⊥OC1于E， ∵在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2， ∴AB=2BC=4，∠ABC=60°， ∵点O为Rt△ABC的斜边AB的中点， ∴OC=AB=2， ∴OC1=OA1=2， ∴∠A1=∠A1C1O=30°， ∴∠A1OC1=120°， ∵BC∥A1C1， ∴∠ADA1=∠ABC=60°， ∵∠A1=∠A=30°， ∴∠A1OD=90°， ∴∠DOC1=30°， ∴∠DOC1=∠A1C1O， ∴OD=DC1， ∴OE=EC1=1， ∴DE=OE=， ∴S阴影=S扇形-S△ODC1=-×2×=π- 故选：A． 【点睛】本题考查了扇形的面积，旋转的性质，含30°角的直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质以及平行线的性质，证得∠BOC1=30°是解题的关键． 二、填空题 4．四边形中，，，且，．以为圆心，为半径作弧，交的延长线于点，若点为弧上的动点，过点作于点，设点I为的内心，连接，当点Q从点C运动到点E时，则内心I所经过的路径长为 ．    【答案】/ 【分析】三角形的内心是三角形三个内角平分线的交点，连接，由内心定义得，继而证明，再由全等三角形的对应角相等解得，接着计算的度数，得到，过、、三点作，求得的度数，求出，在等腰直角三角形中，利用勾股定理解得，最后根据弧长公式解题即可． 【详解】解：如图，连接，   是内心， ， ，， ， ， ， ， ， ， 过、、三点作，连接， ， 当点从点运动到点时，内心所经过的路径长为的长， 过点作，过作，垂足分别为M、N， ，， ，， ，． ，， ， 在等腰直角三角形中，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查圆的综合，涉及圆周角定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、三角形的内心性质、不共线三点确定一个圆、弧 长公式等知识，是重要考点，正确作出辅助线、掌握相关知识是解题关键． 5．如图，在平面直角坐标系中，，，，点在轴的正半轴上滑动，点在轴的正半轴上滑动，点，点在滑动过程中可与原点重合，下列结论： ①若，两点关于对称，则；②若平分，则； ③四边形面积的最大值为；④的中点运动路径的长为． 其中正确的结论是 （写出所有正确结论的序号）． 【答案】①③/③① 【分析】①先根据含角的直角三角形性质分别求出和，由轴对称的性质可知：是的垂直平分线，所以；②当时，四边形是矩形，此时与互相平分，但与不垂直；③如图2，根据四边形的面积等于面积与面积的和，其中的面积为，的面积为，且、的取值都是大于等于0小于等于4，由勾股定理得到，推出，推出，得到，得到；④如图3，半径为2，圆心角为的扇形的圆弧是点D的运动路径，根据弧长公式计算得到π． 【详解】解：在，，， ∴，， 若C、O两点关于对称，如图1，则是的垂直平分线， ∴，故①正确； 当时，， ∴四边形是矩形， ∴与互相平分，但与不垂直，故②不正确； 如图2，，其中，，且，， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵，D是的中点， ∴， ∴如图3，斜边的中点D运动路径是：以点O为圆心，以2为半径的圆周的的圆弧， 其弧长为：，故④正确． 综上所述，本题正确的有：①③． 故答案为：①③． 【点睛】本题主要考查了含角的直角三角形，轴对称，三角形面积，二次函数，圆弧等，解决问题的关键是熟练掌握含角的直角三角形的边角性质，轴对称性质，三角形面积公式，二次函数性质，圆弧长公式． 6．如图，把一个直角三角形ABC的斜边AB放在直线上，按顺时针方向在上转动两次，使它转到△A″B″C″的位置．设BC=2，AC=，则顶点A运动到点A″的位置时，线段AB扫过的图形面积是 ．    【答案】 【分析】在直角△ABC中，BC=2，AC=，根据勾股定理得到AB的长为4．求出∠CAB、∠CBA，顶点A运动到点A″的位置时，AB扫过的面积=扇形 BAA′+圆环BJKB′′+ 圆环 A′KLA′′-弓形BM，根据扇形的面积公式可以进行计算． 【详解】解：∵在Rt△ACB中，BC=2，AC=， ∴由勾股定理得：AB=4， ∴AB=2BC， ∴∠CAB=30°，∠CBA=60°， ∴∠ABA′=120°，∠A″C″A′=90°， 过点C′′作C′′F⊥A′B，作C′′F′⊥A′′B′′，垂足分别是F，F′， ∴C′′F′=C′′F=， ∴AB扫过的面积=扇形BAA′+圆环BJKB′′+圆环A′KLA′′-弓形BM， = = = 故答案为：．    【点睛】本题考查了扇形的面积计算，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质的应用，本题的关键是弄清线段AB扫过图形的形状． 7．一个含30度角的三角板和一个含45度角的三角板按如图所示的方式拼接在一起，经测量发现，，取中点，连接．在内部任意转动（包括边界），则在运动过程中扫过的面积为 ，在旋转过程中，线段的最小值为 ． 【答案】 ， 【分析】由在内部任意转动（包括边界），可得F在以C为圆心，以CF为半径的圆上且运动的圆心角最大为45°的扇形，求出CF的长度，就可求出在运动过程中扫过的面积．由图知，CF、OC不变，所以当C、O、F三点共线时，OF最小，问题得解． 【详解】如图1 ∵在内部任意转动（包括边界） ∴在运动过程中扫过的图形面积是扇形CF1F2的面积． 由图易知∠F1CF2=45°，CF== ∴在运动过程中扫过的面积==． 如图2 在RT△ABC中，∵∠C=90°∠A=30° ∴ 又∵O是AB的中点 ∴OC= 由图易知（当C、O、F三点共线时取等号，在题的条件下可以取此三点共线） 所以OF的最小值为． 【点睛】本题考查画扇形和计算扇形面积，还考查几何中的最值问题．计算扇形面积时先要弄准扇形的半径长和圆心角的度数，才能代入公式计算；对于求距离最值问题可分为两步，第一步确定在什么情况下取最值，第二步是计算最值．确定在什么情况下取最值时，先要分清那些量是常量那些量是变量，再根据学过的有关图形最值的知识——如两点之间线段最短，垂线段最短等来解决问题． 8．如图是某高速公路在转向处设计的一段圆曲线（即圆弧），机动车转弯时从曲线起点A行驶至终点B，过点A，B的两条切线相交于点C，机动车在从点A到点B行驶过程中转角为．若这段圆弧的半径，，则图中危险区（阴影部分）的面积为 ． 【答案】 【分析】根据圆的切线性质，得，得，得，得，由切线长性质，得，得，可得，由，得． 【详解】解：连接， ∵为的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴， 由轴对称知，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的切线．熟练掌握圆的切线性质，切线长性质，四边形性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理，三角形面积公式，扇形面积公式，是解题的关键． 9．如图，的半径是4，等边内接于，点D在上，点E在上，且，于点F，则阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查扇形的面积公式，根据圆的旋转不变性，把阴影部分面积化为弓形的面积和三角形面积是解题的关键． 连接、，过O作于点G，，，进而得到：阴影部分的面积=弓形的面积，根据扇形的面积公式和三角形的面积公式，即可求解． 【详解】连接、， 是等边三角形， ， ， ， ， 即， 即， 在和中 ， ， 为等腰三角形， ， ， 过O作于点G， ， ， ， ， ， ， 在和中 ∴阴影部分的面积=弓形的面积， ， 故答案为： 三、解答题 10．如图，为的外接圆，为的直径，交于点，过点作，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由圆周角定理可得，进而可得，结合，所以，即可证明是的切线． （2）连接，结合，，可得，，根据，即可证明，，，进而根据等边三角形的性质和判定可得为等边三角形，，，即可由进行求解． 【详解】（1）证明：∵为的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：如解图，连接， 由（1）知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴为等边三角形，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，弦弧圆心角的关系，切线判定，扇形的面积公式，等边三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 11．在平面直角坐标系中有正方形，点的坐标． (1)如图1，点在第一象限，半圆与轴、轴相切于点，半圆的半径为5，半圆交边于．则点的坐标是 ，的坐标是 ，点的坐标是 (2)如图2，在（1）的条件下，将半圆绕点顺时针旋转()，当半圆与边相切时，则点P坐标为 ，半圆从图1位置旋转到与边相切时，半圆扫过的面积为 （结果保留π） (3)如图3，在（1）的条件下，将半圆沿线段向右平移一个单位到点，将半圆绕点顺时针旋转()．求当半圆正好过点时，在五边形中所剪出最大圆的面积．（参考数据∶） 【答案】(1)；； (2)； (3) 【分析】（1）连接，设直线与交于T，由切线的性质可得，则，即可得到点D的坐标为，点P的坐标为；证明四边形是矩形， 得到，，则，由勾股定理得，则，即可得到点F的坐标为； （2）设半圆P与边相切于K，连接并延长交于S，则，，证明四边形是矩形，得到，，则，由勾股定理得，则，即可得到点P的坐标为；解，得到，则可证明，再根据扇形面积计算公式求解即可； （3）先求出点M的坐标为，；设点P的坐标为，根据题意可得，则，解方程可得点P的坐标为；设所剪出的圆的圆心为W，设的半径为，分当恰好与相切时， 当恰好与相切时， 当恰好与相切时，三种情况分别求出对应的r的值， 比较即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，连接，设直线与交于T， ∵半圆与轴、轴相切于点，半圆的半径为5， ∴， ∴， ∴点D的坐标为，点P的坐标为； ∵四边形是正方形，且， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴点F的坐标为， 故答案为：，，； （2）解：如图所示，设半圆P与边相切于K，连接并延长交于S， ∴，， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴点P的坐标为； 如图所示，半圆P扫过的图形面积即为半圆P的面积加上扇形的面积， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴半圆扫过的面积为， 故答案为：；； （3）解：∵将半圆沿线段向右平移一个单位到点， ∴点M的坐标为， ∵四边形是正方形， ∴， ∴； 设点P的坐标为， ∵半圆P恰好经过点C， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴点P的坐标为， ∴此时点P在上， ∴， 又∵， ∴， 设所剪出的圆的圆心为W，设的半径为 如图所示，当恰好与相切时，则点W到的距离都为， ∴点W到的距离为， ∵， ∴， 解得； 如图所示，当恰好与相切时，则点W到的距离都为， ∴点W到的距离为， ∵， ∴， 解得； 如图所示，当恰好与相切时，则点W到的距离都为， ∴点W到的距离为， ∵， ∴， 解得； ∵， ∴当恰好与相切时，的面积最大，最大为； 综上所述，在五边形中所剪出最大圆的面积为． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，扇形面积计算，勾股定理，解直角三角形，正方形的性质，矩形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 12．定义：若圆内接三角形是等腰三角形，我们就称这样的三角形为“圆等三角形”． (1)如图1，是的一条弦（非直径），若在上找一点C，使得C是“圆等三角形”，则这样的点C能找到_______个． (2)如图2，四边形是的内接四边形，连结对角线和均为“圆等三角形”，且． ①当时，求的度数； ②如图3，当时，求阴影部分的面积． 【答案】(1)4 (2)①或或，② 【分析】本题考查了圆周角的定理和等腰三角形的性质，求扇形面积，解题关键是准确理解题意，熟练运用圆的有关知识、等腰三角形的性质进行解题． （1）根据等腰三角形的画法画图即可判断； （2）①求出的度数，再分类讨论，求出，即可解答； ②连结、、，得出是等边三角形，求出圆心角和半径，运用公式求出扇形面积和三角形面积即可． 【详解】（1）解：如图，使得是“圆等三角形”，则这样的点能找到4个， 故答案为：4． （2）解：①∵四边形是圆内接四边形，，， ，， 当时，， ∴； 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上，的度数为或或； ②连结、、． ∵四边形是圆内接四边形，， ， ∵是圆等三角形， ∴是等边三角形， ， ， ∴， ， ， ∴是等边三角形， ， 过点作， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴扇形的面积为：， 阴影部分面积为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $