精品解析：湖北省十堰市普通高中区县联合体2025-2026学年高二上学期期中联考数学试题

2025-2026学年度上学期高二年级期中测评 数学试卷 考试时间：2025年11月21日下午14：30-16：30 试卷满分：150分 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时必须使用铅笔，将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 5.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某直线的斜率为，则此直线的倾斜角为（ ） A. 0 B. C. D. 2. 如图：在平行六面体中，为与交点.若，，，则可以表示为（ ） A. B. C. D. 3. 已知事件两两互斥，若，，，则（    ）． A. B. C. D. 4. 某次朗诵比赛，9位评委分别给某选手评分，最后去掉一个最高分和一个最低分，得到7个有效分.7个有效分与9个原始分比较，一定不变的数字特征是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 5. 过直线与的交点，且一个方向向量为的直线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，且，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 7. 为了关注学生的健康成长，某学校开展了一次高一年级学生身高的抽样调查，随机抽取了100名学生，将他们的身高划分成了A，B，C，D，E五个层次，根据抽样结果得到如下统计图，则从图中能得出的信息是（ ） A. 样本中A层次身高女生少于男生 B. 样本中B层次身高的学生人数最多 C. 样本中D层次身高的学生人数占总人数的17% D. 样本中E层次身高的男生有6人 8. 在三棱锥中，、、两两垂直且，点为的外接球上任意一点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9. 下列四种抽样中，不是简单随机抽样的是（ ） A. 从一个不透明的盒中，抽取2个球（盒中每个球的大小和质感一样） B. 一节公开课，老师点了7位同学回答问题或板书 C. 根据某校学生的学籍号，教务处利用电脑软件抽取了20名学生 D. 利用投掷硬币的方法，选出一个班级中所有掷出正面的学生 10. 已知：，：，则下列说法正确的是（ ） A. 的充要条件是或 B. 若，则 C. 若直线不经过第四象限，则 D. 若将直线关于原点对称后得到的直线纵截距为1，则 11. 如图，在长方体中，，点P为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，，P，D三点共线 B. 当时， C 当时，平面 D. 当时，平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一组数据1，3，5，的平均数为4，则这组数据的方差为________. 13. 如图是某班级50名学生参加数学、语文、英语兴趣小组情况，设事件“参加数学兴趣小组”，事件“参加语文兴趣小组”，事件“参加英语兴趣小组”.现从这个班任意选择一名学生，则事件所代表的区域是________（填区域编号）. 14. 已知实数，，，满足，则的最小值为________. 四、解答题：本题共5小题.共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某多选题有，，，四个选项. （1）若已知有且仅有两个选项正确，则随机任选两项，能全对的概率是多少； （2）若已知有且仅有三个选项正确，则随机任选两项，能得分（不是0分）的概率是多少？ 16. 已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点． （1）求证：A1E⊥BD； （2）若平面A1BD⊥平面EBD，试确定E点的位置． 17. 平面直角坐标系内，点，， （1）求直线的方程和线段长度； （2）求三角形的面积； （3）求的角平分线所在直线的方程. 18. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40,50)，[50,60)，，[90,100]得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值及样本成绩的第75百分位数； （2）求样本成绩的众数，中位数和平均数； （3）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差. 19. 如图，四棱锥底面是正方形，平面，.已知点为中点，点在线段上，且满足，平面交于点. （1）求证平面； （2）求的值； （3）判断线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期高二年级期中测评 数学试卷 考试时间：2025年11月21日下午14：30-16：30 试卷满分：150分 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时必须使用铅笔，将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 5.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某直线的斜率为，则此直线的倾斜角为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系求解. 【详解】设该直线的倾斜角为，则. 因为，所以. 故选：C. 2. 如图：在平行六面体中，为与的交点.若，，，则可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合平行六面体的性质，根据空间向量的线性运算性质求解即可. 【详解】由题意可知，. 故选：B. 3. 已知事件两两互斥，若，，，则（    ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据互斥事件定义、并事件概率公式直接求解即可. 【详解】两两互斥，， ，， . 故选：B. 4. 某次朗诵比赛，9位评委分别给某选手评分，最后去掉一个最高分和一个最低分，得到7个有效分.7个有效分与9个原始分比较，一定不变的数字特征是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数、中位数、众数、方差的概念和性质，判断正确结果. 【详解】对于A：平均数 原始分 = {1，1，1，1，1，1，1，8，9}，原始平均数 . 有效分 = {1，1，1，1，1，1，8}，有效平均数 = 2. 平均数改变，因此不满足“一定不变”，故A错误； 对于B：中位数 原始9个分数排序后，中位数是第5个值（奇数个数据）.去掉最高分（第9个）和最低分（第1个）后，剩余7个分数排序后为原序列的第2至第8个值，其中位数是第4个值，正好对应原序列的第5个值. 因此，无论原始分如何，中位数一定不变.故B正确； 对于C：众数 众数是出现次数最多的值.移除最高和最低分可能改变频率分布，导致众数改变. 例如，原始分 = {1，1，2，3，4，5，6，7，7}，众数为1和7（各出现2次）；有效分 = {1，2，3，4，5，6，7}，所有值出现1次，无众数（改变）. 因此不满足“一定不变”，故C错误； 对于D：方差 方差衡量数据离散程度。移除极端值（最高和最低分）通常会减小方差，因为减少了数据波动. 例如，原始分 = {1，8，8，8，8，8，8，8，9}，方差 大于0；有效分 = {8，8，8，8，8，8，8}，方差 = 0（减小）. 因此不满足“一定不变”，故D错误. 故选：B. 5. 过直线与的交点，且一个方向向量为的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出两条直线的交点坐标，再结合方向向量求出直线方程. 【详解】由，解得，即直线与的交点坐标为， 而该直线的斜率为，所以所求直线的方程为，即. 故选：A 6. 已知，，且，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量的数量求出，再利用向量夹角公式求解即得. 【详解】向量，，由，得，解得，， 因此，而，则， 所以向量与的夹角为. 故选：D 7. 为了关注学生的健康成长，某学校开展了一次高一年级学生身高的抽样调查，随机抽取了100名学生，将他们的身高划分成了A，B，C，D，E五个层次，根据抽样结果得到如下统计图，则从图中能得出的信息是（ ） A. 样本中A层次身高的女生少于男生 B. 样本中B层次身高的学生人数最多 C. 样本中D层次身高的学生人数占总人数的17% D. 样本中E层次身高的男生有6人 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题中统计图可判断各选项正误. 【详解】对于A，样本中女生人数为，则样本中男生有（人），样本中A层次身高的男生人数为，女生人数为4，所以样本中A层次身高的女生少于男生．故A正确； 对于B，因为男生中B层次身高的人数比例最大，女生中B层次身高的人数比例也最大，所以样本中B层次身高的学生人数最多．故B正确； 对于C，样本中D层次身高的女生有8人，D层次身高的男生有（人），所以样本中D层次身高的学生人数占总人数的比例为．故C正确； 对于D，样本中E层次身高的男生有（人）．故D错误. 故选：ABC 8. 在三棱锥中，、、两两垂直且，点为的外接球上任意一点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将三棱锥补成正方体，计算出正方体的体对角线长，即为三棱锥的外接球直径长，设线段的中点为，利用点、球心、点三点共线且球心在线段上时，最长可求得的最大值，由此可得出的最大值. 【详解】因为三棱锥中，、、两两垂直且， 将三棱锥补成正方体， 设三棱锥的外接球半径为，球心为， 则，， 取的中点，连接、， ，则为的外接圆的一条直径，则为的外接圆圆心， 所以，平面，平面，， ，， 由球的几何性质可知，当、、三点共线且点在线段上时， 取得最大值，且. ，， 所以，. 当且仅当时，等号成立. 因此，的最大值为. 故选：D. 【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法： ①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解； ②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9. 下列四种抽样中，不是简单随机抽样的是（ ） A. 从一个不透明的盒中，抽取2个球（盒中每个球的大小和质感一样） B. 一节公开课，老师点了7位同学回答问题或板书 C. 根据某校学生的学籍号，教务处利用电脑软件抽取了20名学生 D. 利用投掷硬币的方法，选出一个班级中所有掷出正面的学生 【答案】BD 【解析】 【分析】根据简单随机抽样的特点逐一分析即可. 【详解】简单随机抽样的特点是总体中的个体有限，从总体中逐个进行抽取，每个个体被抽到的机会均等，抽样是随机、无差别的； 对于A，从一个不透明的盒中，抽取2个球，所有球被抽到的可能性相同，故A是简单随机抽样； 对于B，老师点名有自己主观的考量，因此每位同学被抽到的可能性并不相同，故B不是简单随机抽样； 对于C，根据学籍号，并用电脑软件抽取，避免了人为因素的影响，从客观角度看，每位同学被抽到的可能性相同，故C是简单随机抽样； 对于D，利用投掷硬币的方法，选出一个班级中所有掷出正面的学生，此方法选出的样本容量不固定，不是简单随机抽样. 故选：BD. 10. 已知：，：，则下列说法正确的是（ ） A. 的充要条件是或 B. 若，则 C. 若直线不经过第四象限，则 D. 若将直线关于原点对称后得到的直线纵截距为1，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合两直线平行性质，利用充要条件概念判断A；利用两直线垂直建立方程求解即可判断B；将直线化为斜截式后利用纵截距列不等式求解判断C；先求出直线关于原点对称的直线，利用纵截距列式求解判断D. 【详解】对于A：若，则，即，解得或， 当时，：，：，则，符合题意； 当时，：，：，则，符合题意， 所以的充要条件是或，故A正确； 对于B：若，则，解得，故B正确； 对于C：：即， 若直线：不经过第四象限，则，解得，故C错误； 对于D：直线：关于原点对称后得到的直线为，则纵截距为，解得，故D正确． 故选：ABD 11. 如图，在长方体中，，点P为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，，P，D三点共线 B. 当时， C. 当时，平面 D. 当时，平面 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标公式，求得点的坐标，根据空间向量公式，可得答案. 【详解】由题意，如图建系： 则， ， 设，，则， 可得， ， 对于A：当时，则点P为对角线的中点， 根据长方体性质可得三点共线，故A正确； 对于B：当时， ∴，解得， 所以， 则， 因此不正确，故B错误； 对于C：当时，， 设平面的法向量为， ， ∴，， 当时，，，故， ∴，∴， 又平面，∴平面，故C正确； 对于D：当时，可得，， 设平面的法向量为， 则，， 取，则，∴， 而，∴，∴平面，故D正确． 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一组数据1，3，5，的平均数为4，则这组数据的方差为________. 【答案】5 【解析】 【分析】根据平均数列方程求出的值，再结合方差的定义即可求解. 【详解】由题知，解得. 所以这组数据的方差为. 故答案：. 13. 如图是某班级50名学生参加数学、语文、英语兴趣小组情况，设事件“参加数学兴趣小组”，事件“参加语文兴趣小组”，事件“参加英语兴趣小组”.现从这个班任意选择一名学生，则事件所代表的区域是________（填区域编号）. 【答案】4 【解析】 【分析】结合事件所表示的意义和韦恩图求出答案. 【详解】事件表示喜欢数学兴趣小组，且喜欢语文兴趣小组， 但不喜欢英语兴趣小组，故表示的区域为4. 故答案为：4 14. 已知实数，，，满足，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的性质，求出参数之间的等量关系，进而根据两点之间的距离公式，求出结果. 【详解】由题意得，化简得， 所以点分别在两平行直线上，且， 而表示这两点之间距离的平方， 所以其最小值为两平行直线间距离的平方，即为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题.共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某多选题有，，，四个选项. （1）若已知有且仅有两个选项正确，则随机任选两项，能全对的概率是多少； （2）若已知有且仅有三个选项正确，则随机任选两项，能得分（不是0分）的概率是多少？ 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）列出所有选法，共6种，全对的有且只有一种，所以全对的概率为； （2）把能得分的情况看作是从三个正确选项中随机选两个，与从四个中随机选两个的情况数的比值即为得分的概率；或假设正确答案为，分析随机选两个能得分的情况，再用全概率思想求解；或假设所选的两项是，分析能得分的概率，再用全概率思想求解. 【小问1详解】 随机选两项共有6种选法， 其中只有1种全对，所以全对的概率为； 【小问2详解】 从四个选项中随机任选两项，共有种情况， 能得分的情况相当于从三个正确选项中随机选两个，共有种， 所以能得分（不是0分）的概率是. 方法二：假设正确答案为，其概率为. 随机选两项共有6种， 其中3种可得分，所以能得分概率为， 若正确答案为其它，同理可得. 所以能得分概率为. 方法三：假设选的是，其概率为. 正确答案的可能选项共有4种， 其中有2种可以得分，所以得分概率为，其它同理可得. 所以能得分概率. 16. 已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点． （1）求证：A1E⊥BD； （2）若平面A1BD⊥平面EBD，试确定E点的位置． 【答案】（1）证明见解析；（2）E为CC1的中点. 【解析】 【分析】以D为原点，DA、DC、DD1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系. （1）计算即可证明； （2）求出面A1BD与面EBD的法向量，根据法向量垂直计算即可． 【详解】以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图， 设正方体棱长为a，则A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，A1(a，0，a)，C1(0，a，a)． 设E(0，a，e)(0≤e≤a)． （1）＝(－a，a，e－a)，＝(－a，－a，0)， ＝a2－a2＋(e－a)·0＝0， ∴，即A1E⊥BD； （2）设平面A1BD，平面EBD的法向量分别为＝(x1，y1，z1)，＝(x2，y2，z2)． ∵＝(a，a，0)，＝(a，0，a)，＝(0，a，e) ∴， ， ，. ∴,　 取x1＝x2＝1，得＝(1，－1，－1)，＝(1，－1，)． 由平面A1BD⊥平面EBD得⊥. ∴2－＝0，即e＝. ∴当E为CC1的中点时，平面A1BD⊥平面EBD. 17. 平面直角坐标系内，点，， （1）求直线的方程和线段长度； （2）求三角形的面积； （3）求的角平分线所在直线的方程. 【答案】（1），； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）已知，利用此公式求出，利用点斜式得到直线，利用两点间距离公式求出； （2）利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离为，求出即为所求； （3）显然的角平分线所在直线的斜率存在，设的角平分线所在直线的斜率为，利用点斜式设出此直线方程在角平分线上取不同于的一点，求出直线方程，利用角平分线性质：点到的距离相等，求出点到的距离，建立等式计算得到，由图形观察对进行取舍，从而得到的角平分线所在的直线方程. 【小问1详解】 ， ， ； 【小问2详解】 点到直线的距离为：， 所以，即三角形的面积为； 【小问3详解】 设的角平分线所在直线的斜率为，显然斜率存在， 则此直线方程为， 在角平分线上取不同于的一点， ，，， 直线方程为，即， 则由角平分线性质可知：点到的距离相等， 所以， 解得：， 由图形观察可知为外角平分线， 为内角平分线， 所以的角平分线所在直线为：. 18. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40,50)，[50,60)，，[90,100]得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值及样本成绩的第75百分位数； （2）求样本成绩的众数，中位数和平均数； （3）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差. 【答案】（1），第75百分位数为84； （2）众数为75，中位数为75，平均数为74； （3）平均数为62，方差为37. 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1求得，结合百分数定义求第75百分位数； （2）根据直方图，及众数、中位数、平均数求法求值； （3）根据已知求样本总均值，再由总方差公式求样本总方差. 【小问1详解】 由每组小矩形的面积之和为1，得，解得， 成绩在内的频率为，在内的频率为， 显然第75百分位数，由，解得， 所以第75百分位数为84. 小问2详解】 由，得样本成绩的众数为75， 成绩落在[40,70)内的频率为， 成绩落在内的频率为， 故中位数在[70,80)内，由，得样本成绩的中位数为75， 由. 得样本成绩的平均数为74. 【小问3详解】 由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为，成绩在的市民人数为， 所以， 总方差为. 19. 如图，四棱锥的底面是正方形，平面，.已知点为中点，点在线段上，且满足，平面交于点. （1）求证平面； （2）求的值； （3）判断线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）存在，的坐标为或. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理得证. （2）利用共面向量定理及向量的坐标运算计算得解. （3）求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式列式求解. 【小问1详解】 在四棱锥中，底面是正方形，平面，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ，于是 即平面，而平面，所以平面. 【小问2详解】 设，则，， 由四点共面，得， 因此，解得，所以. 【小问3详解】 由（2）得，则，设， 于是点，，而， 设平面的法向量为，则，取，得， 点到平面的距离，解得或， 所以线段上存在一点满足条件，点的坐标为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $