5.7 三角函数的应用（5大题型）（训练）-2025-2026学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版必修第一册）

5．7 三角函数的应用 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：三角函数模型在物理学中的应用 2 题型二：三角函数模型的实际应用 2 题型三：数据拟合问题 3 题型四：三角函数在圆周中的应用 4 题型五：几何中的三角函数模型 7 重难点拓展 9 题型一：三角函数模型在物理学中的应用 1．（2025·高一·江西上饶·月考）某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中的位移（单位：）与时间（单位：）之间满足关系式，则该弹簧振子运动的最小正周期为（    ） A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 2．已知被弹簧牵引的小球相对于平衡位置的位移与时间之间的函数关系为，，若小球1s内运动4次，则的值为（   ） A．4 B．8 C． D． 3．电流强度随时间变化的关系式是，当时，电流强度为（   ） A． B． C． D． 题型二：三角函数模型的实际应用 4．（2025·高一·安徽·阶段练习）受潮汐影响，某港口一天的水深（单位：）与时刻的部分记录如下表： 时刻 水深 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 若该天从与的关系可近似的用函数来表示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．时的水深约为 D．一天中水深低于的时间为4小时 5．（2025·高一·江西南昌·阶段练习）南昌市摩天轮的高为160米（即最高点离地面的距离），转盘直径为153米，摩天轮在开放时匀速旋转，并且旋转一周需30分钟，若从最低点处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间变化而变化，以你登上摩天轮的时间开始记时，则下列选项不正确的是（    ） A．你与地面的距离与时间的函数解析式为 B．第1次距离地面121.75米时，用了10分钟的时间 C．第4次距离地面121.75米时，用了40分钟的时间 D．当你距离地面121.75米，你所用的时间的取值集合为或 6．（2025·高一·安徽马鞍山·开学考试）“古典正弦”定义为：在如图所示的单位圆中，当圆心角的范围为时，其所对的“古典正弦”为（为的中点）．根据以上信息，当圆心角对应弧长时，的“古典正弦”值为（    ） A． B． C． D． 题型三：数据拟合问题 7．（2025·高一·重庆沙坪坝·阶段练习）建设生态文明是关系人民福祉，关乎民族未来的长远大计.某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于时，才开放中央空调，否则关闭中央空调.如图是该市冬季某一天的气温（单位：）随时间（，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似满足关系. (1)求的表达式： (2)请根据（1）的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长. 8．（2025·高一·山东临沂·阶段练习）某景区每年各个月接待游客的人数近似满足周期性规律，假设一年中第个月的游客人数可以近似用函数，来表示，其中，，…，12.已知该景区每年4月游客最少，有2000人，每年游客最多时有8000人. (1)求的表达式； (2)当该景区的旅游人数不少于6500时，该景区进入了一年中的“旅游旺季”，则该景区一年中进入“旅游旺季”的月份有几个月？ 9．（2025·高一·浙江宁波·开学考试）通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近于函数的图像.2025年2月10号鄞州区最高温度出现在14时，最高温度为；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为. (1)请推理鄞州区该时段的温度函数的表达式； (2)2月10日上午8时某高中将举行返校测试，如果温度高于，教室就不开空调，请问届时应该开空调吗? 题型四：三角函数在圆周中的应用 10．（2025·高一·湖北武汉·阶段练习）摩天轮是一种大型的转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处观赏四周景色.某摩天轮最高点距离地面的高度为90米，转盘直径为80米，设置有24个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要48分钟. (1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动t分钟后距离地面的高度为y米，在转动一周的过程中，，求y关于t的函数解析式； (2)在的（1）条件下，求游客甲在开始转动8分钟后距离地面的距离； (3)游客甲、乙两人先后坐进座舱，甲先坐进去，并且乙与甲中间恰好间隔一个座舱，从乙坐进座舱开始计时，至乙运行一周结束计时，在这过程中，当甲、乙两人距离地面高度差恰为米时，求摩天轮运行时间的值. 11．（2025·高一·上海·期中）坐落于奉贤渔人码头的摩天轮，堪称上海独一无二的海滨摩天轮.在晴朗的傍晚时分，踏上这场别具一格的海边摩天轮之旅，你将有机会与落日余晖、轻柔晚风、辽阔大海以及璀璨星空进行一场浪漫的邂逅.若已知摩天轮最高点距离地面高度为50米，转盘直径为40米，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，进舱后开始计时，若开始转动（单位：分钟）后距离地面的高度为（单位：米），转一周大约需要15分钟. (1)已知关于的函数关系式满足（其中，，），求摩天轮转动一周的解析式； (2)若游客在距离地面至少40米的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮在运行一周的过程中，游客能有多长时间有最佳视觉效果？ 12．（2025·高一·陕西·期中）如图，某欢乐世界摩天轮的半径为，圆心距地面的高度为，摩天轮做逆时针匀速转动，每转一圈，摩天轮上的点的起始位置在最低点处. (1)已知在时刻（单位：）时点距离地面的高度是关于的函数（其中，，），求函数的解析式； (2)当点距离地面及以上时，可以看到公园的全貌，求游客在游玩一圈的过程中共有多长时间可以看到公园的全貌. 13．（2025·高一·上海·期中）游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图1，该摩天轮最高点距离地面高度为90米，转盘直径为88米，设置有56个座舱，摩天轮上的座舱运动可以近似的看作是质点在圆周上做匀速圆周运动，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要18分钟．如图2，设座舱距离地面最近的位置为点， (1)游客小明坐上摩天轮的座舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式，； (2)坐上摩天轮转动一圈，当距离地面68米及以上高度时游客就能俯瞰全景，大有“一览众山小”之感．小明能有多长时间感受这个过程？ (3)小明在摩天轮上发现朋友小华刚要入舱乘坐摩天轮，而且小华的座舱和自己的座舱之间还有13个座舱，求从小明坐上摩天轮座舱开始计时，到小明运行一周结束计时，问在什么时刻两人距离地面的高度差最大，最大值是多少？ 14．（2025·高一·上海·阶段练习）如图，有一块边长为50 m的正方形球场ABCD，其中阴影部分ATN是一个半径为30 m的扇形，由于天气原因，这个扇形内有积水，无法在上面踢球，但是球场的其余部分可以正常使用．一群热爱足球的正在准备“霸王杯”比赛的高一同学相在可以正常使用的球场上截取一块矩形场地PQCR进行训练，其中R，Q两点分别在边CD，BC上，点P落在弧TN上（包括T，N两点）．设，矩形PQCR的面积为．    (1)求关于的函数表达式； (2)求的最大值，并求此时的值． 题型五：几何中的三角函数模型 15．（2025·高一·内蒙古包头·阶段练习）为迎接大运会的到来，学校决定在半径为，圆心角为的扇形空地的内部修建一平行四边形观赛场地，如图所示，则观赛场地的面积最大值为 . 16．（2025·高一·浙江杭州·期末）如图，在扇形中，半径，圆心角，C为扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，则矩形的面积的最大值为 ．    17．（2025·高三·江苏宿迁·期中）如图，在半径为2、圆心角为的扇形的弧上任取一点A，作扇形的内接平行四边形，使点B在上，点C在上，则该平行四边形面积的最大值为 .    1．动点在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已知当地时间时，点的坐标是，则当时，动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·高一·广东广州·期末）如图，一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：秒）之间的关系为（，，），则（   ） A． B． C．盛水筒出水后至少经过秒就可到达最低点 D．盛水筒P在转动一圈的过程中，P在水中的时间为秒 3．（2025·高一·内蒙古包头·期末）已知摩天轮的半径为60m，其中心距离地面70m，摩天轮做匀速转动，每30min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最低点处．则在时刻t（min）时，点P离地面的高度h为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·高一·山东枣庄·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今仍在农业生产中发挥作用，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．一半径为2m的筒车水轮如图，水轮圆心O距离水面1m，已知水轮每30s逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上的点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列结论错误的是（ ） A．点P再次进入水中用时20s B．当水轮转动25s时，点P处于最低点 C．当水轮转动28.75s时，点P距离水面 D．点P第三次到达距水面时用时42.5s 5．（多选题）（2025·高一·全国·单元测试）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在t秒时相对于平衡位置的高度h（单位：厘米）由关系式确定，其中，，．小球从最低点出发，2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（    ） A． B．与时小球偏离平衡位置的距离之比为 C．当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 D．当时，若，时刻小球偏离平衡位置的距离相同，则 6．（多选题）（2025·高一·全国·单元测试）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（如图1）．若一半径为的筒车水轮圆心O距离水面（如图2），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图2中点）开始计时，点P距水面的高度y（单位：）可以用与时间x（单位：s）有关的函数表示．下列结论正确的有（    ） A． B．点P第一次到达最高点需用时5s C．点P再次接触水面需用时10s D．当点P运动2.5s时，距水面的高度为 7．（多选题）（2025·高一·甘肃白银·期末）已知某景区有一时钟花观花区，这种花开放与环境的温度有关，在花期内，时钟花每天可开闭一次，当温度达到20℃时花才开放，当温度上升到30℃时花就会凋谢.已知某季节该景区在8时到16时的气温y（单位：℃）与时间t（单位：时）近似满足函数关系式.某游客在该季节的某日8时到16时的某时段到该景区观赏这种时钟花，则他能欣赏到这种花开放的时段是（    ） A．8～10时 B．10～12时 C．12～14时 D．14～16时 8．已知某地区某天的温度（单位：）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系，且这天的最大温差为，则 ；若温度不低于需要开空调降温，则这天需要降温的时长为 h． 9．（2025·高一·贵州安顺·期末）某实验室一天的温度y（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系，，a，b为正实数，若该实验室这一天的最大温差为10℃，则的最大值为 ． 10．（2025·高一·四川德阳·期末）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y（m）和时间t（s）的函数关系为，如图，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，（），且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为 s． 11．（2025·高一·广东广州·期末）如图，设筒车上的某个盛水筒到水面的距离（单位：）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：）之间的关系为.已知一个半径为的筒车按照逆时针方向每分钟转5圈，筒车的轴心距离水面的高度为.则 . 12．已知甲、乙两车间的污水瞬时排放量（单位：）关于时间单位：h）的关系均近似地满足函数．其图象如图所示：    (1)根据图象求函数解析式； (2)若甲车间先投产，1h后乙车间再投产，求两车间都投产时的最大污水排放量． 13．如图，弹簧挂着的小球做上下运动．若以小球的平衡位置为原点，运动路径所在的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，将小球视为点，则小球的运动可视为点在之间的上下运动．它在时相对于平衡位置（点）的高度（在点下方时，）（单位：）由关系式确定．若点在开始运动（即）时的位置位于平衡位置上方处． (1)求关于的解析式；每8秒钟点能往复运动多少次？ (2)在图中画出关于的函数在长度为一个周期的闭区间上的简图． (3)当点开始运动时，轴的负半轴上点处连续发出一束光经过的中点，在时点恰好被这束光第3次照到，求的值． 14．（2025·高一·全国·单元测试）我国核电在建规模占全球核电在建规模的50%以上，是全球核电建设最活跃的国家.核电抗飞防爆结构是保障核电工程安全的重要基础设施，为此国家制定了一系列核电钢筋混凝土施工强制规范，连接技术全面采用HRB500高强钢筋替代HRB400及以下钢筋.某项目课题组针对HRB500高强钢筋的现场加工难题，对螺纹滚道几何成形机理进行了深入研究，研究中发现某型螺纹丝杠旋铣的滚道径向残留高度（单位：mm）关于滚道径向方位角（单位：rad）的函数近似地满足，其图象的一部分如图所示.    (1)求函数的解析式； (2)为制造一批特殊钢筋混凝土，现需一批滚道径向残留高度不低于且不高于的钢筋，若这批钢筋由题中这种型螺纹丝杠旋铣制作，求这种型螺纹丝杠旋铣能制作出符合要求的钢筋的比例. 15．（2025·高一·辽宁辽阳·期末）如图，四边形是一块矩形铁皮，.该铁皮内有一半径为2的扇形（在上，在上）区域因被腐蚀而不能使用，其余部分可以使用.工人计划在上找一点（包含），作，得到可以使用的矩形铁皮. (1)试比较当点分别与点重合时，矩形铁皮的面积的大小； (2)以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系.定义：若，，则.求的取值范围. 16．（2025·高一·四川宜宾·期末）函数的部分图象如图所示，其中A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且为正三角形． (1)求实数的值； (2)已知时，都有，求实数m的取值范围； (3)若，且，求的值． 17．（2025·高一·广东肇庆·期末）某人承包了一片长方形水域养殖水产，需要在四条边上建立三个饵料投放点，每个饵料投放点之间需要建一段浮桥．已知一个投放点M在的中点处，另外两个投放点N，P分别在，上，且要求与垂直，已知，． (1)求的面积S的最大值； (2)已知建造浮桥的费用为每米100元，预估造桥费用为Q元，求Q的取值范围． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 5．7 三角函数的应用 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：三角函数模型在物理学中的应用 2 题型二：三角函数模型的实际应用 2 题型三：数据拟合问题 4 题型四：三角函数在圆周中的应用 6 题型五：几何中的三角函数模型 12 重难点拓展 16 题型一：三角函数模型在物理学中的应用 1．（2025·高一·江西上饶·月考）某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中的位移（单位：）与时间（单位：）之间满足关系式，则该弹簧振子运动的最小正周期为（    ） A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 【答案】A 【解析】由已知可得该弹簧振子振动的最小正周期 故选：A. 2．已知被弹簧牵引的小球相对于平衡位置的位移与时间之间的函数关系为，，若小球1s内运动4次，则的值为（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】D 【解析】因为小球1s内运动4次，即小球运动的频率为4， 所以， 则. 故选：D. 3．电流强度随时间变化的关系式是，当时，电流强度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数，当时，. 故选：A 题型二：三角函数模型的实际应用 4．（2025·高一·安徽·阶段练习）受潮汐影响，某港口一天的水深（单位：）与时刻的部分记录如下表： 时刻 水深 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 若该天从与的关系可近似的用函数来表示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．时的水深约为 D．一天中水深低于的时间为4小时 【答案】C 【解析】由数据知，所以，A错误；，故B错误； 由，得，故C正确； 由，得，或，故水深低于3.75的时间为8小时，故D错误. 故选：C. 5．（2025·高一·江西南昌·阶段练习）南昌市摩天轮的高为160米（即最高点离地面的距离），转盘直径为153米，摩天轮在开放时匀速旋转，并且旋转一周需30分钟，若从最低点处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间变化而变化，以你登上摩天轮的时间开始记时，则下列选项不正确的是（    ） A．你与地面的距离与时间的函数解析式为 B．第1次距离地面121.75米时，用了10分钟的时间 C．第4次距离地面121.75米时，用了40分钟的时间 D．当你距离地面121.75米，你所用的时间的取值集合为或 【答案】C 【解析】如图，以摩天轮的轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系， 设， 根据题意，，， ∴，故A正确； 令121.75，得，， 若，则，∴或，，=20. 所以第1次距离地面121.75米时，用了10分钟的时间，故B正确； 第2次距离地面121.75米时，用了20分钟的时间，第4次距离地面121.75米时，用了50分钟的时间，故C不正确； 故距离地面121.75米所用的时间的取值为，或，，故D正确. 故选：C. 6．（2025·高一·安徽马鞍山·开学考试）“古典正弦”定义为：在如图所示的单位圆中，当圆心角的范围为时，其所对的“古典正弦”为（为的中点）．根据以上信息，当圆心角对应弧长时，的“古典正弦”值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由圆心角对应弧长，得圆心角弧度数绝对值为2，则， 所以. 故选：D. 题型三：数据拟合问题 7．（2025·高一·重庆沙坪坝·阶段练习）建设生态文明是关系人民福祉，关乎民族未来的长远大计.某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于时，才开放中央空调，否则关闭中央空调.如图是该市冬季某一天的气温（单位：）随时间（，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似满足关系. (1)求的表达式： (2)请根据（1）的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长. 【解析】（1）因为图象上最低点坐标为，与之相邻的最高点坐标为， 所以， 所以，解得， 将代入解析式，有， 故，解得， 由，故， 所以； （2）由（1）得，，所以， 所以， 解得， 因为，所以， 所以该商场的中央空调应在本天内开启时长为8小时. 8．（2025·高一·山东临沂·阶段练习）某景区每年各个月接待游客的人数近似满足周期性规律，假设一年中第个月的游客人数可以近似用函数，来表示，其中，，…，12.已知该景区每年4月游客最少，有2000人，每年游客最多时有8000人. (1)求的表达式； (2)当该景区的旅游人数不少于6500时，该景区进入了一年中的“旅游旺季”，则该景区一年中进入“旅游旺季”的月份有几个月？ 【解析】（1）依题意，，即且，，解得， 故且； （2）令，则， 所以，则， 由，故有，即， 所以该景区一年中进入“旅游旺季”有5个月. 9．（2025·高一·浙江宁波·开学考试）通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近于函数的图像.2025年2月10号鄞州区最高温度出现在14时，最高温度为；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为. (1)请推理鄞州区该时段的温度函数的表达式； (2)2月10日上午8时某高中将举行返校测试，如果温度高于，教室就不开空调，请问届时应该开空调吗? 【解析】（1）因为， 所以， 所以，代入点 可得，所以， 所以， ； （2）当. 所以不开空调. 题型四：三角函数在圆周中的应用 10．（2025·高一·湖北武汉·阶段练习）摩天轮是一种大型的转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处观赏四周景色.某摩天轮最高点距离地面的高度为90米，转盘直径为80米，设置有24个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要48分钟. (1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动t分钟后距离地面的高度为y米，在转动一周的过程中，，求y关于t的函数解析式； (2)在的（1）条件下，求游客甲在开始转动8分钟后距离地面的距离； (3)游客甲、乙两人先后坐进座舱，甲先坐进去，并且乙与甲中间恰好间隔一个座舱，从乙坐进座舱开始计时，至乙运行一周结束计时，在这过程中，当甲、乙两人距离地面高度差恰为米时，求摩天轮运行时间的值. 【解析】（1）因为摩天轮最高点距离地面的高度为90米，转盘直径为80米， 所以，，且当时，， 又转一周需要48分钟，所以周期， 所以，其中，，， 所以，，，， 所以 （2）由（1）知，， 当时，， 所以游客甲在开始转动8分钟后距离地面距离为30米. （3）设甲、乙都坐进座舱，并记两人位置为点A，B，则， 结合（1），当乙运行分钟后，乙离地面距离， 甲离地面距离， 所以甲、乙两人距离地面高度差 ， 所以， 所以，于是有或或 或，. 又，解得：或或或， 所以甲、乙两人距离地面高度差恰为米时，运行时间的值为或或或. 11．（2025·高一·上海·期中）坐落于奉贤渔人码头的摩天轮，堪称上海独一无二的海滨摩天轮.在晴朗的傍晚时分，踏上这场别具一格的海边摩天轮之旅，你将有机会与落日余晖、轻柔晚风、辽阔大海以及璀璨星空进行一场浪漫的邂逅.若已知摩天轮最高点距离地面高度为50米，转盘直径为40米，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，进舱后开始计时，若开始转动（单位：分钟）后距离地面的高度为（单位：米），转一周大约需要15分钟. (1)已知关于的函数关系式满足（其中，，），求摩天轮转动一周的解析式； (2)若游客在距离地面至少40米的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮在运行一周的过程中，游客能有多长时间有最佳视觉效果？ 【解析】（1）由题意可知：摩天轮最高点距离地面，最低点距离地面， 所以，所以， 又因为转一周大约需要，所以， 所以， 又因为， 所以且，所以， 所以； （2）因为， 令，则， 又因为，则，所以， 所以，且， 故摩天轮在运行一周的过程中，游客能有最佳视觉效果. 12．（2025·高一·陕西·期中）如图，某欢乐世界摩天轮的半径为，圆心距地面的高度为，摩天轮做逆时针匀速转动，每转一圈，摩天轮上的点的起始位置在最低点处. (1)已知在时刻（单位：）时点距离地面的高度是关于的函数（其中，，），求函数的解析式； (2)当点距离地面及以上时，可以看到公园的全貌，求游客在游玩一圈的过程中共有多长时间可以看到公园的全貌. 【解析】（1）由题意知，，解得. 又，，即. 又摩天轮上的点的起始位置在最低点处，即， ，即，∴. 又，, ，. （2）由（1）知，. 从高度为到达最高点，再经过最高点下降至的过程中可以看到全貌， ∴令，得，即， 解得，即， 又， 游客在游玩过程中共有可以看到公园的全貌. 13．（2025·高一·上海·期中）游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图1，该摩天轮最高点距离地面高度为90米，转盘直径为88米，设置有56个座舱，摩天轮上的座舱运动可以近似的看作是质点在圆周上做匀速圆周运动，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要18分钟．如图2，设座舱距离地面最近的位置为点， (1)游客小明坐上摩天轮的座舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式，； (2)坐上摩天轮转动一圈，当距离地面68米及以上高度时游客就能俯瞰全景，大有“一览众山小”之感．小明能有多长时间感受这个过程？ (3)小明在摩天轮上发现朋友小华刚要入舱乘坐摩天轮，而且小华的座舱和自己的座舱之间还有13个座舱，求从小明坐上摩天轮座舱开始计时，到小明运行一周结束计时，问在什么时刻两人距离地面的高度差最大，最大值是多少？ 【解析】（1）， 由题意知，解得， 又，解得， 所以， 因为，所以，所以， 所以，； （2）由（1）． 令，则，即， 因为，则，所以，解得， 所以小明坐上摩天轮能有（分钟）感受这个过程. （3）由题意知，两人间隔的弧度数为， 所以小明经过分钟后距离地面的高度为， 小华距离地面的高度为，； 则两人离地高度差 ， 当（或），即（或）时，的最大值为米． 14．（2025·高一·上海·阶段练习）如图，有一块边长为50 m的正方形球场ABCD，其中阴影部分ATN是一个半径为30 m的扇形，由于天气原因，这个扇形内有积水，无法在上面踢球，但是球场的其余部分可以正常使用．一群热爱足球的正在准备“霸王杯”比赛的高一同学相在可以正常使用的球场上截取一块矩形场地PQCR进行训练，其中R，Q两点分别在边CD，BC上，点P落在弧TN上（包括T，N两点）．设，矩形PQCR的面积为．    (1)求关于的函数表达式； (2)求的最大值，并求此时的值． 【解析】（1）延长RP交AB于E，延长QP交AD于F， 由四边形ABCD是正方形，四边形PQCR是矩形，可知，， 由，，，可得，， 所以，， 所以 故S关于θ的函数表达式为． （2）令， 则，即， 而， 由，则， 即，即， 所以， 函数开口向上，对称轴为，所以当时，即， 解得或，此时S取得最大值，最大值为． 题型五：几何中的三角函数模型 15．（2025·高一·内蒙古包头·阶段练习）为迎接大运会的到来，学校决定在半径为，圆心角为的扇形空地的内部修建一平行四边形观赛场地，如图所示，则观赛场地的面积最大值为 . 【答案】 【解析】如图所示： 连接，设，作，，垂足分别为． 根据平面几何知识可知，，，． 所以，． 故四边形的面积也为四边形的面积， 即有 ，其中． 所以当即时，． 故答案为：． 16．（2025·高一·浙江杭州·期末）如图，在扇形中，半径，圆心角，C为扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，则矩形的面积的最大值为 ．    【答案】/ 【解析】设点，由则， 所以矩形的面积 ， 由，，， ，当且仅当时取到最大值. 故矩形的面积的最大值为 故答案为： 17．（2025·高三·江苏宿迁·期中）如图，在半径为2、圆心角为的扇形的弧上任取一点A，作扇形的内接平行四边形，使点B在上，点C在上，则该平行四边形面积的最大值为 .    【答案】/ 【解析】过点分别作分别垂直于点， 则，，又， 所以，所以， 所以平行四边形的面积和长方形的面积相等， 设，， 则，，， 所以， 所以四边形的面积， 所以 ， 因为，所以， 故当即时，面积取得最大值为. 故答案为：. 1．动点在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已知当地时间时，点的坐标是，则当时，动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知可得该函数的周期，， 又当时，， 设，令，得 由，得，在一个周期内可得，， 又需满足，故， . 故选：D 2．（2025·高一·广东广州·期末）如图，一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：秒）之间的关系为（，，），则（   ） A． B． C．盛水筒出水后至少经过秒就可到达最低点 D．盛水筒P在转动一圈的过程中，P在水中的时间为秒 【答案】D 【解析】点到水面的距离与时间之间的关系为， 对于A，依题意，，则，A错误； 对于B，由时，得，即，而，则，B错误； 对于C，，令，得， 解得，则，解得， 即盛水筒出水后至少经过秒可到达最低点，C错误； 对于D，由，得，即， 则，解得， 所以盛水筒在转动一圈的过程中，在水中的时间为秒，D正确. 故选：D 3．（2025·高一·内蒙古包头·期末）已知摩天轮的半径为60m，其中心距离地面70m，摩天轮做匀速转动，每30min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最低点处．则在时刻t（min）时，点P离地面的高度h为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】点的初始位置在最低点，设点从最低点沿逆时针方向匀速转动， 在内所转过的角度为，则以为始边，为终边的角为， 因此点的纵坐标， 所以点离地面的高度. 故选：B 4．（2025·高一·山东枣庄·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今仍在农业生产中发挥作用，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．一半径为2m的筒车水轮如图，水轮圆心O距离水面1m，已知水轮每30s逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上的点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列结论错误的是（ ） A．点P再次进入水中用时20s B．当水轮转动25s时，点P处于最低点 C．当水轮转动28.75s时，点P距离水面 D．点P第三次到达距水面时用时42.5s 【答案】D 【解析】由题意，角速度弧度/秒， 又由水轮的半径为2米，且圆心O距离水面1米，可知半径与水面所成角为，点P再次进入水中用时为秒，故A正确； 当水轮转动25秒时，半径转动了弧度，而，点P正好处于最低点，故B正确； 当水轮转动28.75秒时，由于，又，所以距水面高度为米，故C正确； 逆时针转动一周时，两次到达离水面高度为用时30秒， 所以第三次到达距水面高度为时需要转动一周后再逆时针转动弧度，此时用时为秒， 所以点P第三次到达距水面米时用时37.5秒，故D错误． 故选：D． 5．（多选题）（2025·高一·全国·单元测试）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在t秒时相对于平衡位置的高度h（单位：厘米）由关系式确定，其中，，．小球从最低点出发，2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（    ） A． B．与时小球偏离平衡位置的距离之比为 C．当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 D．当时，若，时刻小球偏离平衡位置的距离相同，则 【答案】BC 【解析】对于A，由题可知小球运动的最小正周期，又，所以，解得， 当时，，即， 又，所以，则，故A错误； 对于B，因为，， 所以与时小球偏离平衡位置的距离之比为，故B正确； 对于C，若，则， 又当时，小球有且只有三次到达最高点， 所以，解得，即，故C正确； 对于D，，令， 则，， 满足且时刻小球偏离平衡位置的距离相同，此时，故D错误. 故选：BC 6．（多选题）（2025·高一·全国·单元测试）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（如图1）．若一半径为的筒车水轮圆心O距离水面（如图2），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图2中点）开始计时，点P距水面的高度y（单位：）可以用与时间x（单位：s）有关的函数表示．下列结论正确的有（    ） A． B．点P第一次到达最高点需用时5s C．点P再次接触水面需用时10s D．当点P运动2.5s时，距水面的高度为 【答案】BC 【解析】函数中，所以， 时，，解得，因为，所以， 所以，A错误； 令得，则，解得， 所以x的最小值为5，即点P第一次到达最高点需用时5秒，B正确； 由题意知，点P再次接触水面需用时（秒），C正确； 当时，，点P距水面的高度为2米，D错误． 故选：BC 7．（多选题）（2025·高一·甘肃白银·期末）已知某景区有一时钟花观花区，这种花开放与环境的温度有关，在花期内，时钟花每天可开闭一次，当温度达到20℃时花才开放，当温度上升到30℃时花就会凋谢.已知某季节该景区在8时到16时的气温y（单位：℃）与时间t（单位：时）近似满足函数关系式.某游客在该季节的某日8时到16时的某时段到该景区观赏这种时钟花，则他能欣赏到这种花开放的时段是（    ） A．8～10时 B．10～12时 C．12～14时 D．14～16时 【答案】ABD 【解析】， 由，得， 令，则， 所以，或，， 解得，或，， 结合， 取时，； 时，或. 所以或或. 故选：ABD 8．已知某地区某天的温度（单位：）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系，且这天的最大温差为，则 ；若温度不低于需要开空调降温，则这天需要降温的时长为 h． 【答案】 4 6 【解析】对于，其最小正周期， 故这天的最大温差即为的最大值与最小值的差， 又，故，解得， 令，即，， 由，得， 所以或，解得， 则一天中需要降温的时长为， 故答案为：4；6 9．（2025·高一·贵州安顺·期末）某实验室一天的温度y（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系，，a，b为正实数，若该实验室这一天的最大温差为10℃，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】因为， 且的最小正周期为，即正好为一个满周期， 可知的最大值为，最小值为， 所以最大温差为， 由题意得，即 又因为为正实数， 则， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：. 10．（2025·高一·四川德阳·期末）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y（m）和时间t（s）的函数关系为，如图，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，（），且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为 s． 【答案】 【解析】该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，（），且，， ，，，，， 由可得， ，， ， 在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为. 故答案为：. 11．（2025·高一·广东广州·期末）如图，设筒车上的某个盛水筒到水面的距离（单位：）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：）之间的关系为.已知一个半径为的筒车按照逆时针方向每分钟转5圈，筒车的轴心距离水面的高度为.则 . 【答案】 【解析】由题筒车上的最高点到水面距离为， 筒车上的最低点到水面距离为，则. 因筒车按照逆时针方向每分钟转5圈，则， 又由题可得，则，因， 则，从而. 故答案为：. 12．已知甲、乙两车间的污水瞬时排放量（单位：）关于时间单位：h）的关系均近似地满足函数．其图象如图所示：    (1)根据图象求函数解析式； (2)若甲车间先投产，1h后乙车间再投产，求两车间都投产时的最大污水排放量． 【解析】（1）由图可得． 最小正周期， 将代入，得 又， 所求函数的解析式为． （2）设乙车间投产甲、乙两车间污水排放量之和为， 此时甲车间污水排放量为，乙车间污水排放量为， 故， ． 故两车间都投产时的最大污水排放量为． 13．如图，弹簧挂着的小球做上下运动．若以小球的平衡位置为原点，运动路径所在的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，将小球视为点，则小球的运动可视为点在之间的上下运动．它在时相对于平衡位置（点）的高度（在点下方时，）（单位：）由关系式确定．若点在开始运动（即）时的位置位于平衡位置上方处． (1)求关于的解析式；每8秒钟点能往复运动多少次？ (2)在图中画出关于的函数在长度为一个周期的闭区间上的简图． (3)当点开始运动时，轴的负半轴上点处连续发出一束光经过的中点，在时点恰好被这束光第3次照到，求的值． 【解析】（1）由题意可知， 又，所以， 所以， 因为，所以每8秒钟点往复运动2次． （2）由取值列表如下， 0 4 2 0 －2 0 图象如图所示： （3）点恰好被这束光第三次照到的时间即为与的图象的第三个交点的横坐标， 由，得， 则或， 解得或， 将方程的正根从小到大排列得，所以． 14．（2025·高一·全国·单元测试）我国核电在建规模占全球核电在建规模的50%以上，是全球核电建设最活跃的国家.核电抗飞防爆结构是保障核电工程安全的重要基础设施，为此国家制定了一系列核电钢筋混凝土施工强制规范，连接技术全面采用HRB500高强钢筋替代HRB400及以下钢筋.某项目课题组针对HRB500高强钢筋的现场加工难题，对螺纹滚道几何成形机理进行了深入研究，研究中发现某型螺纹丝杠旋铣的滚道径向残留高度（单位：mm）关于滚道径向方位角（单位：rad）的函数近似地满足，其图象的一部分如图所示.    (1)求函数的解析式； (2)为制造一批特殊钢筋混凝土，现需一批滚道径向残留高度不低于且不高于的钢筋，若这批钢筋由题中这种型螺纹丝杠旋铣制作，求这种型螺纹丝杠旋铣能制作出符合要求的钢筋的比例. 【解析】（1）由图可知，解得由，得， 所以， 又函数图象过点， 所以，即， 所以，得， 又，所以，所以. （2）由题意得， 则，即， 令，画出的图象如图所示， 由图象可知，， 即，解得， 所以当时，，所以这种型螺纹丝杠旋铣能制作出符合要求的钢筋的比例为. 15．（2025·高一·辽宁辽阳·期末）如图，四边形是一块矩形铁皮，.该铁皮内有一半径为2的扇形（在上，在上）区域因被腐蚀而不能使用，其余部分可以使用.工人计划在上找一点（包含），作，得到可以使用的矩形铁皮. (1)试比较当点分别与点重合时，矩形铁皮的面积的大小； (2)以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系.定义：若，，则.求的取值范围. 【解析】（1）当点与点重合时，可得， 此时矩形的面积为； 当点与点重合时，可得， 此时矩形的面积为. 显然，所以当点与点重合时，矩形的面积大. （2）设， 因为，可得， 则， 可得， 所以， 因为，可得，则， 则，即的取值范围. 16．（2025·高一·四川宜宾·期末）函数的部分图象如图所示，其中A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且为正三角形． (1)求实数的值； (2)已知时，都有，求实数m的取值范围； (3)若，且，求的值． 【解析】（1）由得：， 又正三角形的高为，从而;所以函数的周期 （2）因为，都有，故须在单调递减区间内， 由（1）得，由，解得：，令,得单调减区间为 故函数在区间上单调递减，故； （3）由，所以， 整理得：，因为，所以， 所以， 所以 17．（2025·高一·广东肇庆·期末）某人承包了一片长方形水域养殖水产，需要在四条边上建立三个饵料投放点，每个饵料投放点之间需要建一段浮桥．已知一个投放点M在的中点处，另外两个投放点N，P分别在，上，且要求与垂直，已知，． (1)求的面积S的最大值； (2)已知建造浮桥的费用为每米100元，预估造桥费用为Q元，求Q的取值范围． 【解析】（1）设，由题意， ，，． 当N在D点时，θ最大，此时，， 当P在C点时，θ最小，此时，， ． ， ，， 当，即或时，． （2）记的周长为L，由（1）知， ， ， ，． 令，则， ． ，， ，， ， ， . 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $